Cum arată un trunchi de piramidă regulată?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Elementele trunchiului de piramidă

Are două baze paralele, poligoane regulate cu același număr de laturi, dar de mărimi diferite; fețele dintre ele sunt trapeze isoscele, toate la fel. Distanța dintre planele bazelor este înălțimea $h$ , iar înălțimea unui trapez lateral se numește apotema trunchiului, $a_{p}$ . Cele trei mărimi se leagă prin $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ , unde $a_{B}$ și $a_{b}$ sunt apotemele celor două baze.

Dacă tai o piramidă regulată cu un plan paralel cu baza și scoți vârful, rămâne un trunchi de piramidă regulată — ca o găleată sau un abajur. Are o bază mare (jos) și o bază mică (sus, mai mică dar de aceeași formă), unite prin fețe laterale care sunt trapeze isoscele congruente (nu dreptunghiuri!).

Atenție la cele trei „apoteme": $a_{B}$ = apotema bazei mari (orizontală), $a_{b}$ = apotema bazei mici (orizontală), $a_{p}$ = apotema trunchiului (oblică, pe fața laterală = înălțimea trapezului). Ele se leagă prin relația fundamentală: $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ unde $h$ este înălțimea trunchiului. Practic, $a_{p}$ este mereu ipotenuza, deci $a_{p} > h$ .

Exemplu: dacă $h = 4$ , $a_{B} = 6$ , $a_{b} = 3$ , atunci $a_{p}^{2} = 16 + 9 = 25$ , deci $a_{p} = 5$ .

Pentru o bază cu $n$ laturi: $V = 2 n$ vârfuri, $M = 3 n$ muchii, $F = n + 2$ fețe.

De reținut

fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente
$a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ , cu $a_{p}$ ipotenuză
pentru baza cu $n$ laturi: $2 n$ vârfuri, $3 n$ muchii, $n + 2$ fețe

Greșeala tipică

În relația fundamentală se pune diferența laturilor în loc de diferența apotemelor, iar apotema trunchiului iese prea mare. La bazele pătrate, $a_{B} - a_{b}$ este exact jumătate din $L - l$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată?
- a) Dreptunghiuri
- b) Pătrate
- c) Trapeze isoscele congruente
- d) Triunghiuri echilaterale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Trapeze isoscele congruente

Bazele mare și mică au laturi corespunzătoare paralele, dar inegale ( $L \neq = l$ ), iar muchiile laterale (provenite dintr-o piramidă regulată) sunt egale între ele — de aceea fiecare față laterală este un trapez isoscel, iar toate sunt congruente.
Un trunchi de piramidă heptagonală regulată are baza un poligon cu 7 laturi ( $n = 7$ ). Câte fețe are trunchiul?
- a) 7
- b) 9
- c) 14
- d) 21
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 9

Fețele sunt cele $n$ trapeze laterale plus cele 2 baze: $F = n + 2 = 7 + 2 = 9$ .
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are înălțimea $h = 8$ cm, apotema bazei mari $a_{B} = 20$ cm și apotema bazei mici $a_{b} = 5$ cm. Calculează apotema trunchiului $a_{p}$ .
- a) $15$ cm
- b) $27$ cm
- c) $17$ cm
- d) $37$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $17$ cm

$a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2} = 8^{2} + (20 - 5)^{2} = 64 + 225 = 289$ , deci $a_{p} = 289 = 17$ cm (tripletul pitagoreic $8$ - $15$ - $17$ ).

Întrebări conexe

Câte muchii și vârfuri are un trunchi cu baza pătrat?

Pentru $n = 4$ ies $3 n = 12$ muchii și $2 n = 8$ vârfuri, plus $n + 2 = 6$ fețe. Muchiile se împart în trei grupe egale: patru pe baza mare, patru pe baza mică și patru laterale. Vârfurile sunt colțurile celor două pătrate.

Cum calculez aria laterală a trunchiului de piramidă regulată?

Aduni perimetrele celor două baze, înmulțești cu apotema trunchiului și împarți la doi: $A_{l} = \frac{( P _{B} + P _{b} ) \cdot a _{p}}{2}$ . Formula vine din faptul că fiecare față este un trapez, iar ariile lor se adună. La aria totală mai adaugi ariile celor două baze.

Cum se calculează volumul trunchiului de piramidă?

Cu $V = \frac{h}{3} (A_{B} + A_{B} \cdot A_{b} + A_{b})$ , unde cele două arii sunt ale bazelor. Pentru $A_{B} = 36$ , $A_{b} = 9$ și $h = 5$ obții $\frac{5}{3} (36 + 18 + 9) = 105$ . Radicalul din mijloc este media geometrică a ariilor, iar formula seamănă cu cea de la trunchiul de con.

Ce corp rezultă dacă adaugi la loc vârful tăiat?

Se reface piramida întreagă. Trunchiul plus piramida mică de deasupra, cea desprinsă prin tăiere, dau exact corpul de la început. De aceea volumul trunchiului se poate afla și scăzând volumul piramidei mici din al celei mari, când sunt cunoscute înălțimile.

Cât e apotema trunchiului dacă înălțimea are 12 cm și apotemele 14 și 9 cm?

Diferența apotemelor este $5 cm$ , deci $a_{p}^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$ și $a_{p} = 13 cm$ . Rezultatul iese mai mare decât înălțimea, așa cum trebuie: apotema trunchiului este ipotenuza triunghiului dreptunghic ajutător. Tripletul $5$ , $12$ , $13$ apare des în probleme.

Unde întâlnim forma de trunchi de piramidă în jurul nostru?

La un abajur cu baza pătrată, la o găleată cu pereți plani, la coșurile de gunoi de birou, la unele acoperișuri și la piramidele în trepte. Peste tot apare aceeași idee: o formă care se îngustează uniform spre partea de sus.

Oamenii mai întreabă și: trunchi de piramidă regulată · elementele trunchiului de piramidă · apotema trunchiului de piramidă · fețele laterale ale trunchiului de piramidă · cum se obține un trunchi de piramidă