Pe un cerc, $$m(\overset{\frown}{AB}) = m(\overset{\frown}{CD}) = 95°$$, iar coarda $$[AB]$$ are lungimea $$7$$ cm. Ce poți afirma despre coarda $$[CD]$$?

$$[CD] = 7$$ cm, pentru că arce congruente subîntind coarde congruente

Nu se poate determina lungimea lui $$[CD]$$

$$[CD]$$ este mai mare decât $$7$$ cm

Ce este unghiul la centru al unui cerc?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Unghiul la centru și arcul

Este unghiul cu vârful chiar în centrul cercului și cu laturile pe două raze. Valoarea lui se citește direct pe cerc: arcul cuprins între laturi are aceeași măsură în grade ca unghiul. Din 96 de grade rezultă un arc mic de 96 de grade, iar arcului rămas îi revin $360 - 96 = 264$ . Coarda care unește capetele crește odată cu arcul mic, așa că arce de aceeași măsură din același cerc au coarde de aceeași lungime.

Un unghi la centru are vârful chiar în centrul $O$ al cercului, iar laturile sunt două raze, $O A$ și $O B$ . Punctele $A$ și $B$ împart cercul în două arce: arcul mic $A B ⌢$ și arcul mare. Regula de aur: măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător, $m (A B ⌢) = m (A O B)$ . Cercul întreg are $360°$ , deci arcul mare se află scăzând arcul mic din $360°$ . Dacă $A$ și $B$ sunt diametral opuse (segmentul $A B$ trece prin $O$ ), unghiul la centru este alungit ( $180°$ ), iar fiecare arc este un semicerc. În același cerc, arce congruente au coarde congruente, și invers. Exemplu: dacă $m (A O B) = 96°$ , atunci arcul mic are $96°$ , iar arcul mare $= 360° - 96° = 264°$ .

De reținut

vârful în centru, laturile pe două raze
măsura arcului mic = măsura unghiului la centru
arcul mare $= 360°$ minus arcul mic
coarde congruente ↔ arce congruente, în cercul dat

Greșeala tipică

Se dă ca răspuns arcul mare când se cere cel mic. Arcul cuprins între laturile unghiului la centru este cel mic, iar cele două arce trebuie să adune 360 de grade.

Exerciții din această mini-lecție

Unghiul la centru $A O B = 82°$ . Cât măsoară arcul mare $A B ⌢$ ?
- a) $82°$
- b) $278°$
- c) $180°$
- d) $98°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $278°$

Arcul mic are aceeași măsură ca unghiul la centru: $m (A B ⌢ mic) = 82°$ . Arcul mare este restul cercului: $360° - 82° = 278°$ .
Pe un cerc, $m (A B ⌢) = m (C D ⌢) = 95°$ , iar coarda $[A B]$ are lungimea $7$ cm. Ce poți afirma despre coarda $[C D]$ ?
- a) $[C D] = 7$ cm, pentru că arce congruente subîntind coarde congruente
- b) $[C D] = 95$ cm
- c) Nu se poate determina lungimea lui $[C D]$
- d) $[C D]$ este mai mare decât $7$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[C D] = 7$ cm, pentru că arce congruente subîntind coarde congruente

Arcele $A B ⌢$ și $C D ⌢$ au aceeași măsură, deci sunt arce congruente. În același cerc, arce congruente subîntind coarde congruente: $[A B] \equiv [C D]$ , deci $[C D] = 7$ cm.
Unghiul la centru $A O B = 137°$ . Cât măsoară arcul mic $A B ⌢$ ?
- a) $137°$
- b) $223°$
- c) $227°$
- d) $147°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $137°$

Regula de aur: arcul mic are aceeași măsură ca unghiul la centru corespunzător, deci $m (A B ⌢) = m (A O B) = 137°$ . Varianta b) $223°$ este arcul mare ( $360° - 137° = 223°$ ), nu cel mic — cea mai frecventă confuzie la acest tip de exercițiu; c) și d) provin din calcule greșite.

Întrebări conexe

Cum aflu lungimea unui arc, nu doar măsura lui?

Măsura în grade spune ce parte din cerc ocupă arcul, iar lungimea se obține luând aceeași parte din lungimea întregului cerc. Pentru $90°$ iei un sfert, pentru $60°$ o șesime. Măsura se scrie în grade, lungimea în centimetri: sunt două mărimi diferite.

De ce un unghi cu vârful pe cerc nu este unghi la centru?

Fiindcă laturile lui nu mai sunt raze, iar deschiderea nu mai coincide cu arcul dintre ele. Un astfel de unghi are jumătate din măsura arcului pe care îl cuprinde, lucru studiat mai târziu. Regula măsurii egale merge numai când vârful stă în centru.

Ce unghi la centru corespunde unui sfert de cerc?

Are 90 de grade, fiindcă $360 : 4 = 90$ . Reperele folositoare sunt 90 pentru un sfert, 180 pentru jumătate și 270 pentru trei sferturi. Cu ele îți dai seama dintr-o privire dacă un rezultat este plauzibil.

Cum împart un cerc în cinci arce egale cu raportorul?

Calculezi $360 : 5 = 72$ și măsori din centru cinci unghiuri de câte 72 de grade, unul după altul. Ultima rază trebuie să cadă peste prima; dacă nu cade, undeva s-a strecurat o eroare de măsurare.

Ce lungime are coarda când unghiul la centru are 60 de grade?

Are exact cât raza. Cele două raze și coarda formează un triunghi cu două laturi egale și cu unghiul dintre ele de 60 de grade, deci celelalte două unghiuri au tot 60, iar triunghiul este echilateral.

Cum verific dacă două arce ale aceluiași cerc sunt congruente?

Compari unghiurile la centru care le corespund: la unghiuri egale, arcele sunt egale. Se poate compara și coarda fiecăruia, fiindcă în același cerc coarde de aceeași lungime taie arce de aceeași măsură.

Oamenii mai întreabă și: unghi la centru · măsura arcului de cerc · arce și coarde în cerc · unghiul la centru și arcul corespunzător · cum aflu arcul mare