Dreptele $$EF$$ și $$GH$$ se intersectează în punctul $$O$$. Unghiurile $$\widehat{EOG}$$ și $$\widehat{FOH}$$ sunt opuse la vârf. Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?

Au aceeași măsură, deoarece sunt congruente.

Suma lor este $$180°$$, deoarece sunt suplementare.

Au o latură comună, deoarece sunt alăturate.

Suma lor este $$360°$$, deoarece formează singure un cerc complet.

Ce sunt unghiurile opuse la vârf?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Unghiuri opuse la vârf, congruente

Sunt unghiurile care stau față în față peste punctul în care se taie două drepte. Laturile unuia sunt prelungirile laturilor celuilalt, deci nu au nicio latură comună. Proprietatea lor este că au aceeași măsură: dintr-un unghi de 65 de grade rezultă că și cel din fața lui are 65. Explicația vine din faptul că amândouă completează până la 180 de grade același unghi vecin.

Când două drepte se intersectează într-un punct $O$ , se formează patru unghiuri. Două unghiuri sunt opuse la vârf dacă au același vârf, iar laturile unuia sunt prelungirile (semidreptele opuse) laturilor celuilalt — stau „față în față" peste vârf, fără nicio latură comună (nu se confundă cu unghiurile alăturate, care împart o latură). Proprietatea fundamentală: unghiurile opuse la vârf sunt congruente (au aceeași măsură). Justificarea: ambele sunt suplementare cu același al treilea unghi, deci sunt egale între ele. De exemplu, dacă $A O C = 65°$ , atunci unghiul alăturat $C O B = 180° - 65° = 115°$ , iar opusul lui la vârf, $B O D$ , are tot $65°$ , pentru că $B O D = 180° - 115° = 65°$ . Cele patru unghiuri formate adună mereu $360°$ .

De reținut

unghiurile opuse la vârf au aceeași măsură
două drepte concurente dau patru unghiuri și două perechi opuse
unghiurile vecine adună $180°$ , cele patru adună $360°$

Greșeala tipică

Se crede că unghiurile opuse la vârf adună 180 de grade. Ele sunt egale; 180 de grade adună perechile vecine, cele cu latură comună.

Exerciții din această mini-lecție

Dreptele $E F$ și $G H$ se intersectează în punctul $O$ . Unghiurile $E O G$ și $F O H$ sunt opuse la vârf. Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?
- a) Au aceeași măsură, deoarece sunt congruente.
- b) Suma lor este $180°$ , deoarece sunt suplementare.
- c) Au o latură comună, deoarece sunt alăturate.
- d) Suma lor este $360°$ , deoarece formează singure un cerc complet.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Au aceeași măsură, deoarece sunt congruente.

Unghiurile opuse la vârf nu au nicio latură comună (deci nu sunt alăturate) și nu sunt suplementare între ele — sunt congruente, adică au aceeași măsură. Suma de $360°$ se obține doar adunând toate cele patru unghiuri din jurul vârfului, nu doar perechea opusă la vârf. Răspunsul corect este a.
Dreptele $P Q$ și $R S$ se intersectează în $O$ , formând unghiurile opuse la vârf $P O R$ și $QO S$ . Dacă $m (P O R) = 39°$ , care este măsura lui $QO S$ ?
- a) $39°$
- b) $19°$
- c) $141°$
- d) $129°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $39°$

Unghiurile opuse la vârf $P O R$ și $QO S$ sunt congruente, deci $m (QO S) = m (P O R) = 39°$ . Varianta c) $141°$ este măsura unghiului $P O S$ , care este alăturat (nu opus) lui $P O R$ : $180° - 39° = 141°$ — capcana frecventă de a confunda cele două relații.
Două unghiuri opuse la vârf au măsurile $(5 x - 12) °$ și $(3 x + 20) °$ . Află valoarea lui $x$ .
- a) $x = 16$
- b) $x = 4$
- c) $x = 6$
- d) $x = 26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 16$

Fiind opuse la vârf, cele două unghiuri sunt congruente, deci egalăm expresiile: $5 x - 12 = 3 x + 20$ . Trecem necunoscutele într-o parte: $5 x - 3 x = 20 + 12$ , adică $2 x = 32$ , deci $x = 16$ . Verificare: $5 (16) - 12 = 68$ și $3 (16) + 20 = 68$ ✔️. Varianta b) $x = 4$ apare dintr-o eroare de semn la mutarea lui $- 12$ ( $5 x - 3 x = 20 - 12$ ).

Întrebări conexe

Cum aflu x din două unghiuri opuse la vârf scrise cu litere?

Pui semnul egal între cele două expresii, fiindcă unghiurile au aceeași măsură, apoi rezolvi. Din $5 x - 12 = 3 x + 20$ obții $2 x = 32$ , deci $x = 16$ . Verifici înlocuind, iar amândouă expresiile trebuie să dea 68.

Când sunt toate cele patru unghiuri de la o intersecție egale?

Atunci când dreptele sunt perpendiculare, deci fiecare unghi are 90 de grade. În orice altă situație apar doar două valori diferite, care se repetă câte de două ori și adună 180 de grade la fiecare pereche vecină.

Ce unghiuri opuse la vârf apar la două drumuri care se încrucișează?

Cele patru colțuri ale intersecției se grupează în două perechi așezate în diagonală, iar colțurile din fiecare pereche au aceeași deschidere. De aceea o intersecție arată la fel privită dintr-un colț sau din cel opus lui.

Care perechi de unghiuri de la o intersecție adună 180 de grade?

Perechile vecine, cele care au o latură comună. Ele se sprijină pe aceeași dreaptă, deci acoperă împreună un unghi alungit. Perechile din diagonală nu adună 180, ci au măsuri egale.

Se pot forma unghiuri opuse la vârf din trei drepte concurente?

Da, dacă toate trei trec prin același punct. Cele trei drepte se iau două câte două, iar fiecare astfel de alegere aduce încă două perechi față în față, deci ies șase cu totul. Cele șase unghiuri din jurul punctului adună 360 de grade.

De ce nu au unghiurile opuse la vârf nicio latură comună?

Fiindcă fiecare latură a unuia continuă dincolo de vârf și devine latura celuilalt, deci cele două unghiuri se deschid în direcții opuse. Unghiurile care împart o latură sunt cele vecine, iar acelea sunt suplementare, nu egale.

Oamenii mai întreabă și: unghiuri opuse la vârf · unghiuri opuse la vârf sunt congruente · două drepte care se intersectează unghiuri · unghiuri față în față la intersecție · ce înseamnă opuse la vârf