Probleme care se rezolvă folosind ecuații cu numere raționale

Până acum ai învățat să rezolvi ecuații cu numere raționale: ai un necunoscut, faci câțiva pași și afli valoarea lui. Acum vine partea cu adevărat interesantă, cea pentru care matematica chiar a fost inventată: să iei o situație din viața reală — bani de buzunar, kilometri parcurși cu bicicleta, litri de suc, ore de antrenament — și să o „traduci" într-o ecuație pe care apoi o rezolvi. Asta se numește modelare, iar în această lecție vei deveni un adevărat traducător din limba poveștilor în limba matematicii.

Ce vei învăța

• Vei ști să transpui o problemă practică într-o ecuație cu numere raționale.
• Vei ști să alegi necunoscuta potrivită și să notezi totul clar.
• Vei ști să redactezi demersul de rezolvare pe etape, ordonat și corect.
• Vei ști să validezi rezultatul prin probă și să verifici că are sens în context.
• Vei ști să împarți o cantitate în părți direct sau invers proporționale folosind o ecuație.

Hai să descoperim împreună

De la poveste la ecuație: ideea de bază

Imaginează-ți că ai o cutie închisă și nu știi câte bile sunt în ea. Nu o poți deschide, dar cineva îți spune: „Dacă pun încă 5 bile, ajung la 12 bile." Ce faci? Notezi numărul necunoscut de bile cu o literă, de obicei $x$, și scrii ceea ce ți s-a spus exact așa cum sună:

$$x+5=12$$

Apoi rezolvi: $x=12-5=7$. Cutia avea 7 bile. Tocmai ai făcut o problemă rezolvată prin ecuație. Diferența față de lecția anterioară, Ecuații cu numere raționale, este că acolo ți se dădea ecuația de-a gata, iar acum tu trebuie să o construiești pornind de la cuvinte.

Cele cinci etape pe care le vei urma mereu

Ca să nu te rătăcești niciodată, vom folosi mereu același traseu, ca o rețetă. Memorează-l, pentru că funcționează la orice problemă:

1. Citește și înțelege. Ce se cere? Ce se cunoaște? Subliniază datele.
2. Alege necunoscuta. Notează cu $x$ mărimea pe care nu o cunoști și scrie clar ce reprezintă (de exemplu: „$x$ = prețul unui caiet, în lei").
3. Scrie ecuația. Traduce fiecare propoziție din problemă într-o relație matematică. Aici e cheia.
4. Rezolvă ecuația. Folosește pașii pe care îi știi: aduni/scazi același număr în ambii membri, înmulțești/împarți cu același număr nenul.
5. Verifică prin probă și interpretează. Pune valoarea găsită înapoi în problemă. Are sens? Răspunde la întrebarea pusă, cu unitatea de măsură potrivită.

Cum traducem cuvintele în simboluri

Secretul transpunerii este să recunoști cuvintele-cheie care ascund operații matematice. Hai să le punem într-un tablou pe care îl vei folosi des:

• „mai mult cu", „adăugăm", „în plus", „suma" → adunare ($+$)
• „mai puțin cu", „scădem", „rămâne", „diferența" → scădere ($-$)
• „de … ori mai mare", „dublu", „triplu", „produsul" → înmulțire ($\cdot$)
• „jumătate", „o treime", „sfert", „împărțit în mod egal", „câtul" → împărțire sau fracție
• „este", „rezultă", „avem", „obținem" → semnul egal ($=$)

Hai să exersăm doar traducerea, fără să rezolvăm încă:

• „Un număr mărit cu $\frac{3}{4}$ dă $2$." → $x+\frac{3}{4}=2$
• „Triplul unui număr este $\frac{9}{5}$." → $3x=\frac{9}{5}$
• „Jumătate dintr-un număr, micșorată cu $1,5$, dă $0$." → $\frac{x}{2}-1,5=0$

Observă cum fiecare bucată de propoziție devine o bucată de ecuație. Asta e tot. Cu cât exersezi mai mult, cu atât traducerea devine automată.

De ce avem nevoie de numere raționale aici

În viața reală cantitățile rareori sunt numere întregi frumoase. Un litru de suc costă $4,50$ lei, ai parcurs $\frac{2}{3}$ din traseu, ai băut $\frac{3}{8}$ dintr-o sticlă. De aceea ecuațiile noastre vor avea fracții și numere zecimale, adică numere raționale. Tot ce ai învățat despre adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor raționale se folosește acum la rezolvarea propriu-zisă a ecuației.

Un sfat de aur: când o ecuație are mai multe numitoare diferite, poți înmulți toată ecuația cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, ca să scapi de fracții. De exemplu, din $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$ înmulțim totul cu $6$ și obținem $3x+2x=30$, mult mai ușor de rezolvat.

Întregul ca sumă a părților sale

Multe probleme practice se bazează pe o idee simplă: întregul este suma părților lui. Dacă o sticlă conține o anumită cantitate de suc și bei o parte, apoi mai bei o parte, apoi rămâne un rest, atunci:

$$\text{ce-ai ba˘ut prima data˘}+\text{ce-ai ba˘ut a doua oara˘}+\text{restul}=\text{ıˆntregul}$$

Adesea întregul este chiar necunoscuta $x$, iar părțile sunt fracții din $x$. De exemplu, „am cheltuit $\frac{1}{3}$ din bani, apoi $\frac{1}{4}$ din bani și mi-au rămas 25 lei" devine:

$$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+25=x$$

Aceasta este o ecuație cu numere raționale pe care o poți rezolva. Vom face exact acest tip de problemă în exemple.

Un truc care te ajută mult: când vezi fracții dintr-un întreg necunoscut, desenează o bară și împarte-o vizual. Dacă ai cheltuit $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{4}$, bara întreagă se împarte ușor în 12 părticele (numitorul comun), $\frac{1}{3}$ ocupă 4 părticele, $\frac{1}{4}$ ocupă 3 părticele, iar restul de 5 părticele înseamnă cei 25 de lei rămași. De aici vezi imediat că 5 părticele = 25 lei, deci o părticică = 5 lei, iar întregul de 12 părticele = 60 lei. Bara desenată și ecuația spun același lucru în două limbaje diferite — la examen poți folosi pe oricare îți este mai clar, dar ecuația este metoda standard pe care trebuie să o stăpânești.

Atenție la ce reprezintă fracția: din ce întreg?

O capcană tipică: când scrii „$\frac{1}{3}$ din bani", trebuie să fie clar din care întreg iei treimea. Dacă toate fracțiile se iau din suma inițială $x$, atunci scrii $\frac{x}{3}$, $\frac{x}{4}$ și așa mai departe, toate raportate la același $x$. Dacă în schimb o fracție se ia din ce a rămas după prima cheltuială, problema devine mai complicată și întregul se schimbă pe parcurs. În lecția aceasta lucrăm cu situația simplă, în care toate părțile se raportează la același întreg $x$ — exact ca în exemplele de mai jos. Citește mereu cu atenție: cuvântul mic „din banii ei" (toți) sau „din rest" face toată diferența.

Împărțirea unei cantități în părți proporționale

Există un tip special de probleme în care o cantitate trebuie împărțită între mai multe persoane sau părți, dar nu în mod egal, ci după anumite proporții. Aici folosim ideile din lecțiile despre mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale, dar le rezolvăm cu o ecuație.

Părți direct proporționale. Să zicem că împărțim 60 de lei între doi prieteni, direct proporțional cu numerele $2$ și $3$ (de exemplu, pentru că unul a muncit 2 ore și celălalt 3 ore). Asta înseamnă că cele două sume sunt $2k$ și $3k$, unde $k$ este o „valoare a unei părți". Scriem ecuația:

$$2k+3k=60⟹5k=60⟹k=12$$

Deci primul primește $2\cdot 12=24$ lei, iar al doilea $3\cdot 12=36$ lei. Verificare: $24+36=60$.

Părți invers proporționale. Dacă împărțim ceva invers proporțional cu $2$ și $3$, atunci părțile sunt proporționale cu inversele lor, adică cu $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$. De aceea apar numerele raționale! Scriem părțile ca $\frac{k}{2}$ și $\frac{k}{3}$ și formăm ecuația în același fel. Vei vedea un exemplu complet mai jos.

Două mărimi legate una de cealaltă

Până acum am avut o singură necunoscută clară. Dar uneori în problemă apar două mărimi pe care nu le cunoaștem — de exemplu numărul fetelor și numărul băieților dintr-o clasă. Trucul este să observăm că ele nu sunt independente: una este exprimată în funcție de cealaltă. Atunci alegem una singură drept $x$ și o scriem pe a doua tot cu ajutorul lui $x$.

Să zicem că „numărul fetelor este $\frac{3}{4}$ din numărul băieților". Notăm cu $x$ numărul de băieți (mărimea „de care depinde" cealaltă) și atunci numărul fetelor devine $\frac{3}{4}x$. Acum amândouă mărimile sunt scrise cu aceeași literă și putem forma o singură ecuație, de exemplu „fete + băieți = total". Regula de aur este: alege ca $x$ mărimea de care depind celelalte, apoi exprimă tot restul în funcție de ea. Așa transformi o problemă care părea să aibă două necunoscute într-una cu o singură necunoscută, exact tipul pe care știi să îl rezolvi.

De ce facem mereu proba

Proba nu este o pierdere de timp — este plasa ta de siguranță. Când pui valoarea găsită înapoi în enunțul original și totul „se potrivește", ai dovada că rezolvarea e corectă. Dacă nu se potrivește, înseamnă că ai greșit undeva și prinzi eroarea imediat. La examen, o problemă cu probă făcută corect este o problemă pe care o poți preda fără teamă.

În plus, după probă vine interpretarea: rezultatul $x=24$ nu înseamnă nimic singur. Trebuie să spui: „Primul prieten primește 24 de lei." Un număr fără unitate de măsură și fără context este o jumătate de răspuns.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Banii de buzunar

Enunț. Maria a cheltuit $\frac{1}{3}$ din banii ei pe o carte, apoi $\frac{1}{4}$ din banii ei pe un suc și pe un pix. I-au rămas 25 de lei. Câți lei a avut Maria la început?

Etapa 1 — Înțelegem. Necunoscuta este suma totală de bani. Părțile (carte, suc+pix, rest) însumate dau întregul.

Etapa 2 — Alegem necunoscuta. Fie $x$ = suma totală, în lei.

Etapa 3 — Scriem ecuația. Cartea costă $\frac{x}{3}$, sucul și pixul $\frac{x}{4}$, restul este 25:

$$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+25=x$$

Etapa 4 — Rezolvăm. Înmulțim toată ecuația cu $12$ (cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 4):

$$4x+3x+300=12x⟹7x+300=12x$$

Scădem $7x$ din ambii membri:

$$300=5x⟹x=60$$

Etapa 5 — Probă și interpretare. Cartea: $\frac{60}{3}=20$ lei. Sucul și pixul: $\frac{60}{4}=15$ lei. Total cheltuit: $20+15=35$ lei. Rest: $60-35=25$ lei. ✔ Se potrivește. Maria a avut 60 de lei.

Exemplul 2 — Un număr necunoscut

Enunț. Dacă mărim dublul unui număr cu $\frac{3}{2}$, obținem $\frac{17}{2}$. Care este numărul?

Alegerea necunoscutei. Fie $x$ numărul căutat.

Ecuația. „Dublul" înseamnă $2x$, „mărim cu $\frac{3}{2}$" înseamnă $+\frac{3}{2}$:

$$2x+\frac{3}{2}=\frac{17}{2}$$

Rezolvarea. Scădem $\frac{3}{2}$ din ambii membri:

$$2x=\frac{17}{2}-\frac{3}{2}=\frac{14}{2}=7$$

Împărțim la 2:

$$x=\frac{7}{2}=3,5$$

Probă. $2\cdot 3,5+\frac{3}{2}=7+1,5=8,5=\frac{17}{2}$. ✔ Numărul este $\frac{7}{2}$, adică $3,5$.

Exemplul 3 — Antrenamentul de baschet (cantitate cu rest)

Enunț. La un antrenament, Andrei a aruncat la coș de mai multe ori. A reușit $\frac{2}{5}$ din aruncări, iar restul, adică 18 aruncări, le-a ratat. Câte aruncări a făcut în total?

Necunoscuta. Fie $x$ = numărul total de aruncări.

Ecuația. Reușitele sunt $\frac{2}{5}x$, ratările sunt 18, iar împreună dau totalul:

$$\frac{2}{5}x+18=x$$

Rezolvarea. Înmulțim totul cu 5:

$$2x+90=5x⟹90=3x⟹x=30$$

Probă. Reușite: $\frac{2}{5}\cdot 30=12$. Ratări: 18. Total: $12+18=30$. ✔ Andrei a făcut 30 de aruncări (din care 12 reușite).

Exemplul 4 — Părți direct proporționale

Enunț. Trei frați împart o moștenire de 3300 de lei direct proporțional cu vârstele lor: 8, 10 și 12 ani. Cât primește fiecare?

Necunoscuta. Notăm valoarea unei „părți" cu $k$. Atunci sumele sunt $8k$, $10k$ și $12k$.

Ecuația. Suma celor trei părți este totalul:

$$8k+10k+12k=3300⟹30k=3300⟹k=110$$

Calculul fiecărei părți.

• Primul: $8\cdot 110=880$ lei
• Al doilea: $10\cdot 110=1100$ lei
• Al treilea: $12\cdot 110=1320$ lei

Probă. $880+1100+1320=3300$ lei. ✔ Sumele sunt corecte și mai mari pentru cel mai mare frate, exact cum cere proporționalitatea directă.

Exemplul 5 — Părți invers proporționale (apar numere raționale)

Enunț. Doi muncitori primesc împreună 200 de lei pentru o lucrare, repartizați invers proporțional cu numărul de zile în care fiecare a lipsit: 2 zile, respectiv 3 zile (cine a lipsit mai mult primește mai puțin). Cât primește fiecare?

Ideea. Invers proporțional cu 2 și 3 înseamnă direct proporțional cu $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$. Părțile sunt $\frac{k}{2}$ și $\frac{k}{3}$.

Ecuația.

$$\frac{k}{2}+\frac{k}{3}=200$$

Înmulțim cu 6:

$$3k+2k=1200⟹5k=1200⟹k=240$$

Calculul părților.

• Primul: $\frac{240}{2}=120$ lei
• Al doilea: $\frac{240}{3}=80$ lei

Probă. $120+80=200$ lei. ✔ Cel care a lipsit mai puțin (2 zile) primește mai mult (120 lei), exact cum cere proporționalitatea inversă. Primul muncitor: 120 lei, al doilea: 80 lei.

Exemplul 6 — O problemă cu numere zecimale și negative

Enunț. Temperatura dimineața era de $-2,5{}^{\circ }\text{C}$. Până la prânz a crescut cu o anumită valoare, iar la prânz termometrul arăta $4,5{}^{\circ }\text{C}$. Cu câte grade a crescut temperatura?

Necunoscuta. Fie $x$ = creșterea de temperatură, în grade Celsius.

Ecuația. Temperatura inițială plus creșterea dă temperatura de prânz:

$$-2,5+x=4,5$$

Rezolvarea. Adunăm $2,5$ în ambii membri:

$$x=4,5+2,5=7$$

Probă. $-2,5+7=4,5$. ✔ Temperatura a crescut cu $7{}^{\circ }\text{C}$. Observă cum operațiile cu numere negative, învățate la adunarea numerelor întregi, se folosesc natural aici.

Exemplul 7 — Două mărimi legate (fete și băieți)

Enunț. Într-o tabără sunt fete și băieți. Numărul fetelor este $\frac{3}{4}$ din numărul băieților, iar în total sunt 28 de copii. Câți băieți și câte fete sunt?

Etapa 1 — Înțelegem. Avem două mărimi necunoscute (fete și băieți), dar ele sunt legate: fetele se exprimă prin băieți. Deci o singură necunoscută ne ajunge.

Etapa 2 — Alegem necunoscuta. Fie $x$ = numărul de băieți. Atunci numărul de fete este $\frac{3}{4}x$.

Etapa 3 — Scriem ecuația. „Total = fete + băieți":

$$x+\frac{3}{4}x=28$$

Etapa 4 — Rezolvăm. Înmulțim toată ecuația cu $4$:

$$4x+3x=112⟹7x=112⟹x=16$$

Numărul de fete: $\frac{3}{4}\cdot 16=12$.

Etapa 5 — Probă și interpretare. Verificăm totalul: $16+12=28$. ✔ Și relația cerută: $12=\frac{3}{4}\cdot 16$. ✔ În tabără sunt 16 băieți și 12 fete. Observă cum alegerea inteligentă a necunoscutei (am notat băieții, „cei de care depind fetele") a transformat o problemă cu două necunoscute într-una cu una singură.

Exemplul 8 — Cumpărături cu numere zecimale

Enunț. Trei caiete identice și un pix costă împreună $17$ lei. Pixul costă $3,5$ lei. Cât costă un caiet?

Etapa 1 — Înțelegem. Toate caietele au același preț, necunoscut; pixul are preț cunoscut; împreună fac $17$ lei.

Etapa 2 — Alegem necunoscuta. Fie $x$ = prețul unui caiet, în lei.

Etapa 3 — Scriem ecuația. Trei caiete costă $3x$, plus pixul $3,5$ lei, dau totalul $17$ lei:

$$3x+3,5=17$$

Etapa 4 — Rezolvăm. Scădem $3,5$ din ambii membri, apoi împărțim la $3$:

$$3x=17-3,5=13,5⟹x=\frac{13,5}{3}=4,5$$

Etapa 5 — Probă și interpretare. $3\cdot 4,5+3,5=13,5+3,5=17$. ✔ Un caiet costă $4,5$ lei. Aici numerele zecimale au apărut natural, din prețuri reale, și s-au tratat exact ca orice alt număr rațional.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, urmând mereu cele cinci etape. Scrie clar ce reprezintă necunoscuta și fă proba.

1. Tradu în ecuație (fără să rezolvi): „Un număr micșorat cu $\frac{2}{3}$ dă $\frac{1}{3}$."

2. Tradu în ecuație: „Triplul unui număr, mărit cu $1,2$, dă $6,6$."

3. Rezolvă: $x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

4. Rezolvă: $2x-1,5=4,5$.

5. Un număr adunat cu jumătatea lui dă 9. Care este numărul?

6. Adevărat sau fals: ecuația problemei „am cheltuit $\frac{1}{2}$ din bani și mi-au rămas 30 lei" este $\frac{x}{2}+30=x$.

7. Dan a băut $\frac{1}{4}$ dintr-o sticlă de apă dimineața și $\frac{2}{5}$ după sport. În sticlă au rămas $0,7$ litri. Câți litri avea sticla?

8. Suma a două numere este $\frac{15}{2}$. Unul este de patru ori mai mare decât celălalt. Află numerele.

9. Împarte 4500 de lei direct proporțional cu numerele 4, 5 și 6.

10. Împarte 75 de bomboane invers proporțional cu numerele 2 și 3 între doi copii.

11. Completează: dacă $\frac{3}{5}x=12$, atunci $x=\underline{}$.

12. Un telefon s-a ieftinit cu $\frac{1}{5}$ din preț și acum costă 960 lei. Care era prețul inițial?

13. Suma a trei numere pare consecutive este 96. Care sunt numerele? (Indicație: $x$, $x+2$, $x+4$.)

14. Temperatura a scăzut cu $3,5{}^{\circ }\text{C}$ și a ajuns la $-1,5{}^{\circ }\text{C}$. Care era temperatura inițială?

15. Un rezervor se umple pe jumătate, apoi se mai adaugă $\frac{1}{6}$ din capacitate, ajungând la 200 de litri. Care este capacitatea rezervorului?

16. Trei echipe împart un premiu de 1200 lei direct proporțional cu punctele obținute: 10, 14 și 16. Cât primește fiecare echipă?

17. Mică problemă: La un concurs, $\frac{3}{8}$ dintre participanți sunt fete, iar băieții sunt cu 30 mai mulți decât fetele. Câți participanți sunt în total?

18. Potrivește fiecare enunț cu ecuația lui: (a) „dublul unui număr plus 3 dă 10" → … (b) „un număr împărțit la 4 dă 2,5" → … (c) „un număr minus $\frac{1}{2}$ dă $\frac{3}{2}$" → … Ecuații: (I) $\frac{x}{4}=2,5$ ; (II) $2x+3=10$ ; (III) $x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

19. Suma a două numere este 21. Unul este de două ori și jumătate mai mare decât celălalt. Află numerele. (Indicație: notează numărul mic cu $x$, iar pe celălalt cu $2,5x$.)

20. Dintr-un baton de ciocolată ai mâncat $\frac{2}{5}$, apoi încă $\frac{1}{3}$ din baton, iar restul de 60 g l-ai păstrat. Cât cântărea batonul întreg?

Răspunsuri și explicații

1. $x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$. (Doar transpunere; de altfel $x=1$.)

2. $3x+1,2=6,6$. („Triplul" = $3x$, „mărit cu" = $+$.)

3. $x=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Probă: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. ✔

4. $2x=4,5+1,5=6$, deci $x=3$. Probă: $2\cdot 3-1,5=4,5$. ✔

5. $x+\frac{x}{2}=9\Rightarrow \frac{3x}{2}=9\Rightarrow 3x=18\Rightarrow x=6$. Probă: $6+3=9$. ✔ Numărul este 6.

6. Adevărat. Partea cheltuită $\frac{x}{2}$ plus restul 30 dă întregul $x$. Rezolvând: $x=60$.

7. $\frac{x}{4}+\frac{2}{5}x+0,7=x$. Înmulțim cu 20: $5x+8x+14=20x\Rightarrow 13x+14=20x\Rightarrow 14=7x\Rightarrow x=2$. Sticla avea 2 litri. Probă: $0,5+0,8+0,7=2$. ✔

8. Numărul mic $x$, cel mare $4x$. $x+4x=\frac{15}{2}\Rightarrow 5x=\frac{15}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}$. Celălalt: $4\cdot \frac{3}{2}=6$. Numerele sunt $\frac{3}{2}$ și $6$. Probă: $\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}$. ✔

9. Părțile $4k,5k,6k$. $4k+5k+6k=4500\Rightarrow 15k=4500\Rightarrow k=300$. Sumele: 1200 lei, 1500 lei, 1800 lei. Probă: $1200+1500+1800=4500$. ✔

10. Invers proporțional cu 2 și 3 = direct cu $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$. Părți $\frac{k}{2},\frac{k}{3}$: $\frac{k}{2}+\frac{k}{3}=75$. Înmulțim cu 6: $3k+2k=450\Rightarrow 5k=450\Rightarrow k=90$. Primul copil: $\frac{90}{2}=45$ bomboane; al doilea: $\frac{90}{3}=30$ bomboane. Răspuns: 45 și 30 de bomboane. Probă: $45+30=75$. ✔ Copilul „legat" de numărul mai mic (2) primește mai mult, exact cum cere proporționalitatea inversă.

11. $x=12:\frac{3}{5}=12\cdot \frac{5}{3}=20$. Probă: $\frac{3}{5}\cdot 20=12$. ✔

12. Prețul scade cu $\frac{1}{5}$, deci rămâne $\frac{4}{5}$ din preț: $\frac{4}{5}x=960\Rightarrow x=960\cdot \frac{5}{4}=1200$. Prețul inițial era 1200 lei. Probă: $1200-\frac{1}{5}\cdot 1200=1200-240=960$. ✔

13. $x+(x+2)+(x+4)=96\Rightarrow 3x+6=96\Rightarrow 3x=90\Rightarrow x=30$. Numerele sunt 30, 32, 34. Probă: $30+32+34=96$. ✔

14. $x-3,5=-1,5\Rightarrow x=-1,5+3,5=2$. Temperatura inițială era $2{}^{\circ }\text{C}$. Probă: $2-3,5=-1,5$. ✔

15. $\frac{x}{2}+\frac{x}{6}=200$. Cu 6: $3x+x=1200\Rightarrow 4x=1200\Rightarrow x=300$. Capacitatea este 300 litri. Probă: $150+50=200$. ✔

16. Părți $10k,14k,16k$: $40k=1200\Rightarrow k=30$. Sumele: 300 lei, 420 lei, 480 lei. Probă: $300+420+480=1200$. ✔

17. Fete: $\frac{3}{8}x$; băieți: $\frac{5}{8}x$. Băieții sunt cu 30 mai mulți: $\frac{5}{8}x-\frac{3}{8}x=30\Rightarrow \frac{2}{8}x=30\Rightarrow \frac{x}{4}=30\Rightarrow x=120$. 120 de participanți. Probă: fete $45$, băieți $75$, diferența $30$. ✔

18. (a) → (II); (b) → (I); (c) → (III).

19. Numărul mic $x$, cel mare $2,5x$. $x+2,5x=21\Rightarrow 3,5x=21\Rightarrow x=6$. Celălalt: $2,5\cdot 6=15$. Numerele sunt 6 și 15. Probă: $6+15=21$, iar $15=2,5\cdot 6$. ✔

20. $\frac{2}{5}x+\frac{1}{3}x+60=x$. Înmulțim cu 15: $6x+5x+900=15x\Rightarrow 11x+900=15x\Rightarrow 900=4x\Rightarrow x=225$. Batonul cântărea 225 g. Probă: $\frac{2}{5}\cdot 225=90$ g, $\frac{1}{3}\cdot 225=75$ g, iar $90+75+60=225$. ✔

De reținut

• O problemă se rezolvă prin ecuație în cinci etape: înțelege, alege necunoscuta, scrie ecuația, rezolvă, verifică și interpretează.
• Cuvintele-cheie din enunț (sumă, diferență, dublu, jumătate, „este") arată ce operație să folosești.
• Ideea „întregul = suma părților" rezolvă majoritatea problemelor cu fracții și rest.
• La părți direct proporționale scrii sumele ca $a\cdot k,b\cdot k,\dots$; la părți invers proporționale folosești inversele: $\frac{k}{a},\frac{k}{b},\dots$
• Proba și interpretarea cu unitate de măsură sunt obligatorii: răspunsul trebuie să aibă sens în context.

Greșeli frecvente

• Confunzi „cu cât crește" cu „de câte ori". „Mai mare cu 3" înseamnă $x+3$, dar „de 3 ori mai mare" înseamnă $3x$. Citește atent.
• Uiți ce reprezintă $x$. Dacă scrii doar „$x=60$", nu ai răspuns. Spune: „Maria a avut 60 de lei." Rezultatul are nevoie de context și unitate.
• Greșești numitorul comun. Când aduni fracții cu $x$, înmulțește toată ecuația cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, în ambii membri, nu doar într-o parte.
• Confunzi direct cu invers proporțional. La proporționalitate inversă folosești inversele numerelor. Verifică logica: cine „are mai mult" dintr-un motiv, primește mai mult (direct) sau mai puțin (invers)?

Joc acasă

1. Cutia misterioasă. Pune un număr secret de monede într-o cutie, fără ca cineva să vadă. Dă-i unei persoane un indiciu de tip ecuație: „Dacă mai adaug 4 monede, am de două ori cât aveam la început, minus 2." Provoacă-l să scrie ecuația și să afle numărul. Apoi deschideți cutia și verificați.

2. Împărțeala dreaptă. Luați 60 de boabe de fasole (sau bețe de chibrit). Doi „muncitori" au lucrat 2 ore și 3 ore. Împărțiți boabele direct proporțional cu orele lucrate. Apoi refaceți împărțirea invers proporțional și discutați de ce numerele ies altfel. Scrieți de fiecare dată ecuația.

3. Bugetul de o zi. Notează cât ai cheltuit azi: o fracție pe gustare, o fracție pe transport, restul economisit. Pornind de la suma totală pe care ai avut-o, scrie ecuația „părți + rest = total" și verifică dacă se potrivește cu realitatea. Dacă nu, caută unde e diferența — exact ca un mic contabil.

Pentru părinți și învățători

Această lecție mută accentul de la a rezolva o ecuație dată la a construi ecuația pornind de la o situație reală — pasul cel mai dificil și cel mai valoros pentru gândirea elevului. Sprijiniți copilul insistând pe etapa de traducere, nu pe calcul: cereți-i de fiecare dată să spună cu voce tare „ce reprezintă $x$" înainte de a scrie ecuația.

Întrebări utile pe parcurs: „Care este întregul în această problemă?", „Părțile se adună la întreg?", „Cuvântul «de două ori» înseamnă plus sau înmulțit?", „Cum verifici dacă răspunsul are sens?". Dacă elevul scrie ecuația greșit, nu-i dați voi forma corectă — reluați împreună propoziția care l-a încurcat și traduceți-o bucată cu bucată.

Verificați înțelegerea cerându-i să inventeze el o problemă pentru o ecuație dată (de exemplu, $\frac{x}{3}+10=x$). Capacitatea de a construi o poveste în jurul unei ecuații dovedește că a înțeles legătura dintre cele două limbaje. Insistați mereu pe probă și pe răspunsul formulat cu unitate de măsură: acestea sunt punctate separat la Evaluarea Națională.

Întrebări frecvente

Cum transform o problemă în ecuație la clasa a 6-a? Citești enunțul, alegi o literă (de obicei $x$) pentru mărimea necunoscută și traduci fiecare propoziție într-o relație matematică, folosind cuvintele-cheie: „sumă" înseamnă plus, „dublu" înseamnă ori 2, „este" înseamnă egal. Apoi rezolvi ecuația și faci proba.

Ce înseamnă să împart o cantitate în părți direct proporționale? Înseamnă să o împarți astfel încât părțile să crească odată cu numerele date. Scrii părțile ca $a\cdot k$, $b\cdot k$ și așa mai departe, le aduni egalându-le cu totalul, afli $k$ și apoi calculezi fiecare parte. Cine are numărul mai mare primește partea mai mare.

Cum împart invers proporțional? Folosești inversele numerelor date. Dacă împarți invers proporțional cu 2 și 3, părțile sunt proporționale cu $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$, deci le scrii ca $\frac{k}{2}$ și $\frac{k}{3}$, le aduni egal cu totalul și afli $k$. Aici apar des numere raționale.

De ce trebuie să fac proba la o problemă? Proba îți confirmă că rezultatul este corect: pui valoarea găsită înapoi în enunțul original și verifici că toate condițiile se potrivesc. Dacă nu se potrivesc, ai prins o greșeală și o poți corecta înainte de a preda lucrarea.

Ce fac dacă ecuația are mai multe fracții? Înmulțește toată ecuația cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, în ambii membri. Astfel scapi de fracții și rămâi cu o ecuație doar cu numere întregi, mult mai ușor de rezolvat.

Cum aleg ce notez cu $x$? De regulă notezi cu $x$ exact mărimea pe care o cere problema sau „întregul" din care se iau părți. Dacă ai mai multe necunoscute legate între ele, alege-o pe cea de care depind celelalte și exprimă-le pe acestea în funcție de $x$ (de exemplu, „celălalt număr este $4x$").

Răspunsul poate fi un număr negativ sau zecimal? Da. Problemele cu temperaturi, datorii sau scăderi pot avea răspuns negativ, iar cele cu bani, litri sau distanțe au adesea răspuns zecimal. Important este ca răspunsul să aibă sens în context: un număr de persoane nu poate fi negativ, dar o temperatură poate.

Care e diferența față de lecția „Ecuații cu numere raționale"? În lecția Ecuații cu numere raționale ți se dă ecuația și o rezolvi. Aici tu construiești ecuația pornind de la o problemă practică, apoi o rezolvi și interpretezi rezultatul în contextul real. Este pasul care leagă matematica de viața de zi cu zi.