Bac M2 2010, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2010 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați ${\log }_2\left(3+\sqrt{5}\right)+{\log }_2\left(3-\sqrt{5}\right)$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=m{x}^2+2x-5$. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care abscisa vârfului parabolei asociate funcției $f$ este egală cu $2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{1-x^2}=\frac{1}{27}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați $C_6^2-A_4^2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În sistemul de coordinate $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $A(2,-2)$ și $B(6,8)$. Calculați distanța de la punctul $O$ la mijlocul segmentului $(AB)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\cos 130^{\circ }+\cos 50^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Pentru $m\in \mathbb{R}$ se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 1& 3& -1\\ m& 0& 2\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}x-y-z=-2\\ x+3y-z=-2\\ mx+2z=4\end{array}$, unde $x,y,z\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Calculați determinantul matricei $A$.

b) (5 puncte) Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $A$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Rezolvați sistemul pentru $m=-1$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2xy-2x-2y+3$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=2(x-1)(y-1)+1$, pentru oricare $x,y\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați elementul neutru al legii „$\circ$".

c) (5 puncte) Dați exemplu de două numere $a,b\in \mathbb{Q}-\mathbb{Z}$ pentru care $a\circ b\in \mathbb{Z}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+3}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A(1,2)$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ se consideră funcțiile $f_n:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f_n(x)=x^n\ln x$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_e^{e^2}\frac{\ln x}{f_1(x)}dx$.

b) (5 puncte) Demonstrați că primitivele funcției $f_1$ sunt convexe pe intervalul $\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^e\frac{f_{2009}(x)}{x^{2010}}dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2010, varianta de rezervă; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2010 are, la mai multe cerințe, câte trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$ sau $1+1+2+1$) și rânduri „Finalizare"; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — logaritmi în aceeași bază.

Suma a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul produsului, iar produsul este o diferență de pătrate: $${\log }_2\left(3+\sqrt{5}\right)+{\log }_2\left(3-\sqrt{5}\right)={\log }_2(9-5)\text{(3 p)}.$$ Prin urmare $${\log }_2(9-5)={\log }_{2}4=2\text{(2 p)}.$$

(Ambele argumente sunt pozitive: $3-\sqrt{5}\approx 0,76>0$, deci logaritmii există. Control: $\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)=9-5=4=2^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_2\left(3+\sqrt{5}\right)+{\log }_2\left(3-\sqrt{5}\right)={\log }_{2}6$, adunând argumentele în loc să le înmulțim.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, vârful parabolei.

Abscisa vârfului parabolei $y=a{x}^2+bx+c$ este $-\frac{b}{2a}$; aici $a=m$ și $b=2$, deci condiția din enunț este $$-\frac{2}{2m}=2\text{(3 p)}.$$ De aici $-\frac{1}{m}=2$, adică $$\mathbf{m}=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Pentru $m=-\frac{1}{2}$ funcția este chiar de gradul al doilea, deci parabola există. Control: $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x-5$ are $x_V=-\frac{2}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=2$. Unde se greșește de obicei: se uită minusul din formula vârfului și iese $m=\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scrie membrul drept ca putere a lui $3$, $\frac{1}{27}=3^{-3}$, iar funcția exponențială este injectivă: $$3^{1-x^2}=3^{-3}⟹1-x^2=-3\text{(3 p)}.$$ Rezultă $$x^2=4⟹\mathbf{x}\in \{2,-2\}\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $x=\pm 2$, $1-x^2=-3$ și $3^{-3}=\frac{1}{27}$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar soluția pozitivă, $x=2$; ecuația $x^2=4$ are două soluții reale.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări și aranjamente.

Combinările de $6$ luate câte $2$: $$C_6^2=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=15\text{(2 p)}.$$ Aranjamentele de $4$ luate câte $2$: $$A_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=12\text{(2 p)}.$$ Diferența: $$C_6^2-A_4^2=3\text{(1 p)}.$$

(Control: $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$ și $A_4^2=4\cdot 3=12$. Unde se greșește de obicei: se confundă formulele — $A_4^2$ calculat ca $C_4^2=6$ dă diferența $9$; aranjamentele țin cont de ordine, combinările nu.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și distanța.

Fie $C$ mijlocul segmentului $(AB)$; coordonatele lui sunt mediile coordonatelor capetelor, $\left(\frac{2+6}{2},\frac{-2+8}{2}\right)$: $$C\text{ este mijlocul lui }(AB)⟹C(4,3)\text{(2 p)}.$$ Finalizare: distanța de la origine este $$OC=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{-2+8}{2}=-5$, cu semnul greșit; sau se calculează distanța $AB=\sqrt{16+100}$ în loc de distanța $OC$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, unghiuri suplementare.

Unghiurile de $130^{\circ }$ și $50^{\circ }$ sunt suplementare ($130^{\circ }=180^{\circ }-50^{\circ }$), iar $$\cos (\pi -x)=-\cos x,\forall x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Deci $\cos 130^{\circ }=-\cos 50^{\circ }$ și $$\cos 130^{\circ }+\cos 50^{\circ }=0\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $\cos 130^{\circ }\approx -0,6428$ și $\cos 50^{\circ }\approx 0,6428$. Unde se greșește de obicei: se folosește $\cos (180^{\circ }-x)=\cos x$, ca la sinus, și iese $2\cos 50^{\circ }$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea și sistem liniar.

a) (5 p) Se scrie determinantul matricei $A$: $$\det (A)=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 1& 3& -1\\ m& 0& 2\end{array}\right|\text{(3 p)},$$ iar cu regula lui Sarrus $$\det (A)=6+m+0+3m+0+2=8+4m\text{(2 p)}.$$

(Cei șase termeni, în ordine: $1\cdot 3\cdot 2=6$, $(-1)\cdot (-1)\cdot m=m$, $(-1)\cdot 1\cdot 0=0$, apoi, cu semn schimbat, $-(-1)\cdot 3\cdot m=3m$, $-1\cdot (-1)\cdot 0=0$, $-(-1)\cdot 1\cdot 2=2$. Unde se greșește de obicei: la termenii scăzuți se uită schimbarea semnului, și iese $8-2m$ sau $4-2m$.)

b) (5 p) O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul: $$A\text{ inversabila˘}⟺\det (A)\ne 0⟺8+4m\ne 0\text{(3 p)},$$ deci $$\mathbf{m}\in \mathbb{R}-\{-2\}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se răspunde $m=-2$, adică exact valoarea pentru care matricea NU este inversabilă; întrebarea cere mulțimea tuturor valorilor bune.)

c) (5 p) Pentru $m=-1$, matricea sistemului este chiar $A$ cu $m=-1$, iar $$\det (A)=8-4=4\ne 0\text{(2 p)},$$ deci sistemul este compatibil determinat. Rezolvându-l (de exemplu, scăzând prima ecuație din a doua: $4y=0$, deci $y=0$; apoi $x-z=-2$ și $-x+2z=4$ dau, prin adunare, $z=2$ și $x=0$), se obține $$\mathbf{x}=\mathbf{y}=0,\mathbf{z}=2\text{(3 p)}.$$

(Verificare în toate cele trei ecuații: $0-0-2=-2$, $0+0-2=-2$, $0+2\cdot 2=4$. Merge și cu regula lui Cramer: $\Delta =4$, ${\Delta }_x=0$, ${\Delta }_y=0$, ${\Delta }_z=8$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m=-1$ în a treia ecuație ca $x+2z=4$, fără minus.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se scrie constanta $3$ ca $2+1$: $$x\circ y=2xy-2x-2y+2+1\text{(2 p)},$$ apoi se grupează termenii: $$x\circ y=2x(y-1)-2(y-1)+1=2(x-1)(y-1)+1\text{(3 p)}.$$

(Control prin desfacere: $2(x-1)(y-1)+1=2xy-2x-2y+2+1=2xy-2x-2y+3$. Unde se greșește de obicei: se scoate factor comun $2$ și se uită că $3$ nu se împarte exact, obținându-se $2(x-1)(y-1)+3$.)

b) (5 p) Numărul $e$ este element neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$; legea este comutativă, deci condiția devine $$x\circ e=e\circ x=x,\forall x\in \mathbb{R}⟺2(x-1)(e-1)+1=x,\forall x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Scăzând $1$: $2(e-1)(x-1)=x-1$ pentru orice $x$, deci $2(e-1)=1$. Finalizare: $$\mathbf{e}=\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$

(Control: $x\circ \frac{3}{2}=2(x-1)\cdot \frac{1}{2}+1=x$. Unde se greșește de obicei: se verifică egalitatea doar pentru $x=0$ și se obține tot $e=\frac{3}{2}$, dar fără a arăta că merge pentru orice $x$; sau se rezolvă $x\circ e=e$ în loc de $x\circ e=x$.)

c) (5 p) Se caută două numere raționale neîntregi pentru care $2(a-1)(b-1)$ este întreg. Un exemplu este $$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{3}\text{(2 p)},$$ pentru că $$\frac{5}{2}\circ \frac{5}{3}=2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}+1=3\in \mathbb{Z}\text{(3 p)}.$$

(Cerința cere un exemplu, deci orice pereche potrivită este corectă — de pildă și $a=\frac{5}{2}$, $b=\frac{4}{3}$, cu $2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}+1=2$. Nu merge însă orice pereche: $a=b=\frac{3}{2}$ dă $2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\notin \mathbb{Z}$. Ideea: numitorii lui $a-1$ și $b-1$ trebuie să se simplifice cu factorul $2$ și cu numărătorii. Unde se greșește de obicei: se dă un exemplu cu un număr întreg, de pildă $a=1$, care face produsul zero, dar $1\notin \mathbb{Q}-\mathbb{Z}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și asimptotă oblică.

a) (5 p) Derivata radicalului unei funcții se calculează cu ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{{\left(x^2+3\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+3}}\text{(3 p)},$$ adică $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\frac{\mathbf{x}}{\sqrt{{\mathbf{x}}^2+3}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Funcția este derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+3\ge 3>0$. Unde se greșește de obicei: se uită derivata funcției de sub radical și se scrie $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $1$ este $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(1 p)}.$$ Se calculează valorile: $$f(1)=2\text{ și }{f}^{\prime }(1)=\frac{1}{2}\text{(2 p)},$$ deci $y-2=\frac{1}{2}(x-1)$, adică $$\mathbf{y}=\frac{1}{2}\mathbf{x}+\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(1)=\sqrt{4}=2$, deci punctul $A(1,2)$ este pe grafic, iar dreapta găsită trece prin el: $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie tangenta cu $f^{\prime }(x)$ în loc de $f^{\prime }(1)$, obținând o „dreaptă" care nu e dreaptă.)

c) (5 p) Panta asimptotei oblice: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}=1\text{(2 p)}.$$ Ordonata la origine: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\text{(1 p)}.$$ Se amplifică cu conjugata: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}=0\text{(1 p)}.$$ Prin urmare $$\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{ este asimptota˘ oblica˘ spre }+\infty \text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{x^2+3}-x\to \infty -\infty =0$ fără amplificare — rezultatul e corect, dar calculul nu; sau se ia $m=\lim f(x)$, care este $+\infty$. Spre $-\infty$ asimptota ar fi $y=-x$, dar enunțul o cere doar spre $+\infty$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $f_n(x)=x^n\ln x$.

a) (5 p) Se scrie întâi funcția: $$f_1(x)=x\ln x\text{(1 p)}.$$ Pe $\left[e,e^2\right]$ avem $\ln x\ge 1>0$, deci fracția se simplifică: $${\int }_e^{e^2}\frac{\ln x}{x\ln x}dx={\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}dx\text{(1 p)}.$$ O primitivă a lui $\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$ este $\ln x$: $${\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_e^{e^2}\text{(1 p)},$$ $$\ln e^2-\ln e=2-1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $f_1(x)=\ln x$, uitând factorul $x^1$, și integrala devine ${\int }_e^{e^2}1dx=e^2-e$.)

b) (5 p) Fie $F$ o primitivă a funcției $f_1$. Atunci $F^{\prime }=f_1$, iar $f_1$ este derivabilă, deci $$F^{\prime \prime }(x)=f_1^{\prime }(x)=1+\ln x\text{(3 p)}.$$ Pentru $x\ge \frac{1}{e}$, $\ln x\ge -1$, deci $$1+\ln x\ge 0,\forall x\in \left[\frac{1}{e},+\infty \right)⟹F\text{ convexa˘ pe }\left[\frac{1}{e},+\infty \right)\text{(2 p)}.$$

(Derivata lui $x\ln x$ este $1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$. Raționamentul nu depinde de care primitivă alegem: toate au aceeași derivată a doua. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f_1$, nu al lui $f_1^{\prime }$ — semnul lui $f_1$ spune unde este $F$ crescătoare, nu unde este convexă.)

c) (5 p) Se scrie funcția: $$f_{2009}(x)=x^{2009}\ln x\text{(1 p)},$$ iar raportul se simplifică: $${\int }_1^e\frac{x^{2009}\ln x}{x^{2010}}dx={\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx\text{(1 p)}.$$ Cum ${\left(\frac{{\ln }^{2}x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{\ln x}{x}$: $${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e\text{(2 p)},$$ $$\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{\ln x}{x}$ ca $\ln x\cdot \ln x$ sau ca $\frac{1}{x^2}$; sau la final se scrie $\frac{{\ln }^{2}e}{2}=\frac{e^2}{2}$, confundând ${\ln }^{2}e=1$ cu $e^2$. Control numeric: integrala lui $\frac{\ln x}{x}$ pe $[1,e]$ dă $0,5$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la matematică, programa M2, în varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2010 a examenului de bacalaureat — Varianta 8, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii, și — în 2010 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: suma logaritmilor în aceeași bază, produsul conjugatelor — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: abscisa vârfului parabolei, $x_V=-\frac{b}{2a}$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: combinări și aranjamente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a IX-a și a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: unghiuri suplementare, $\cos (\pi -x)=-\cos x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinantul de ordinul al treilea, matrice inversabilă, rezolvarea unui sistem compatibil determinat — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „descompusă" a legii, elementul neutru, calcul cu numere raționale — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei funcții compuse cu radical, tangenta într-un punct, asimptota oblică — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: integrala lui $\frac{1}{x}$, convexitatea primitivelor prin semnul derivatei a doua, schimbarea de variabilă ${\left({\ln }^{2}x\right)}^{\prime }=\frac{2\ln x}{x}$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2010, la varianta de rezervă. Subiectul I este format din șase cerințe scurte de calcul, fiecare cu o singură idee: produsul $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=4$ transformă suma de logaritmi într-un număr întreg, iar suplementele $130^{\circ }$ și $50^{\circ }$ au cosinusuri opuse. Subiectul al II-lea pune o matrice de ordinul al treilea cu parametrul $m$, care este chiar matricea sistemului — determinantul de la a) decide inversabilitatea de la b) și face sistemul de la c) compatibil determinat. Problema a doua este o lege de compoziție de forma $x\circ y=2(x-1)(y-1)+1$, la care se cer descompunerea, elementul neutru și un exemplu de numere raționale neîntregi „compuse" într-un întreg. Subiectul al III-lea cere derivata lui $\sqrt{x^2+3}$, tangenta și asimptota oblică, apoi trei integrale construite din aceeași familie $f_n(x)=x^n\ln x$ — fiecare se simplifică la ceva elementar dacă se scrie întâi funcția.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție și elementul ei neutru, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple și o dreaptă cu coeficienți raționali.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: inversabilitatea afirmată fără condiția $\det (A)\ne 0$; elementul neutru verificat doar pe o parte ($x\circ e=x$, fără $e\circ x=x$) sau doar pentru câteva valori ale lui $x$; exemplul de la problema a doua dat fără calculul care arată că rezultatul este întreg; asimptota oblică scrisă fără cele două limite, $m$ și $n$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$. Vârful parabolei $y=a{x}^2+bx+c$: $x_V=-\frac{b}{2a}$. Combinări și aranjamente: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Mijlocul segmentului $(AB)$: $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; distanța $OC=\sqrt{x_C^2+y_C^2}$. Trigonometrie: $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$.
• Matrice și sisteme: $A$ este inversabilă exact când $\det (A)\ne 0$; un sistem pătratic cu determinantul nenul are soluție unică.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$, pentru orice $x$.
• Derivate: ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; tangenta în $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; asimptota oblică spre $+\infty$: $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$.
• Integrale: $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+\mathcal{C}$ pe $(0,+\infty )$; $\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+\mathcal{C}$; o funcție de două ori derivabilă, cu derivata a doua nenegativă pe un interval, este convexă pe acel interval.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=m{x}^2+2x-5$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ de la cerința $9$ și familia $f_n(x)=x^n\ln x$ de la cerința $10$ (cu indicele $n$). La fel, $m$ este parametrul funcției de la cerința $2$ și, separat, parametrul matricei de la cerința $7$ — iar la cerința $9$, subpunctul c), $m$ este panta asimptotei. Fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; așa îl tipărește subiectul oficial. Tot acolo, litera $e$ este elementul neutru al legii, în timp ce la cerința $10$ același $e$ este baza logaritmului natural, $e\approx 2,718$.
• La cerința $10$, ${\ln }^{2}x$ înseamnă $(\ln x{)}^2$, pătratul logaritmului, nu $\ln (\ln x)$; iar $F^{\prime \prime }$ este derivata a doua a primitivei $F$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".