Structura probei: 3 ore, 3 subiecte, 10 puncte (M2, științe ale naturii)

Ai în față o foaie pe care n-ai mai văzut-o și trei ore de ceas. Ceea ce desparte, în primele zece minute, un elev liniștit de unul agitat nu e materia: unul știe cum arată foaia, celălalt o descoperă pe loc. Lecția aceasta, prima din unitatea de pregătire a clasei a XII-a de la științe ale naturii (M2), nu predă matematică nouă: îți dă harta probei de la bacalaureatul M2 — câte subiecte are, câte cerințe, ce cere fiecare verb din enunț și unde stă pe foaie, de la Subiectul I până la Subiectul al III-lea, fiecare capitol învățat anul acesta.

Tot ce scrie mai jos despre proba de azi e citit din modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, sesiunea 2026, și din programa de examen din 2014, cea după care se dau sesiunile 2027, 2028 și 2029. Sunt singurele două surse pe care le avem: descriem ce scrie în ele, nu ce am presupune. Pentru generația care va da proba MAT_P2 din 2030, se schimbă chiar lista capitolelor; ce intră și ce iese atunci se citește în Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2, ultima lecție a clasei.

Ce vei învăța

• Vei ști cum e împărțită foaia probei de matematică M2 și cât valorează o singură cerință.
• Vei ști să deosebești cerințele independente de cele legate între ele.
• Vei ști ce cere fiecare verb din enunț: „Arătați că", „Determinați", „Rezolvați", „Demonstrați".
• Vei ști unde stă, pe foaie, fiecare capitol al clasei a XII-a de la științe ale naturii.
• Vei ști să-ți așezi cele trei ore pe cele 18 cerințe, cu o rezervă la final.

Hai să descoperim împreună

1. Ce scrie pe prima pagină a probei, înainte de orice cerință?

Proba de matematică M2 este lucrarea scrisă pe care o dau elevii de la specializarea științe ale naturii, filiera teoretică, profilul real; în documentele examenului poartă numele M_șt-nat și e proba E. c). Ea începe cu trei rânduri tipărite deasupra primei cerințe, care spun tot ce trebuie știut înainte de a lua stiloul.

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, acele rânduri sunt: toate subiectele sunt obligatorii, se acordă zece puncte din oficiu și timpul de lucru efectiv este de trei ore. Nu ai de ales între subiecte — le rezolvi pe toate trei. Din cele $100$ de puncte ale lucrării, $10$ sunt deja ale tale, deci din rezolvări se strâng $90$. Iar cele trei ore sunt efective: se socotesc de la încheierea distribuirii subiectelor.

Sub aceste rânduri, foaia are trei părți, numerotate cu cifre romane de la I la al III-lea, fiecare purtând tipărit în dreapta titlului același număr: $30$ de puncte. De aici aritmetica lucrării: $30+30+30+10=100$.

2. Câte cerințe are, de fapt, proba?

În modelul oficial, Subiectul I are șase cerințe numerotate de la $1$ la $6$, fiecare cu mențiunea $5$p în coloana din stânga. Subiectul al II-lea are două probleme, fiecare cu trei cerințe notate a), b), c), tot cu mențiunea $5$p. Subiectul al III-lea e construit la fel.

Numără: $6+6+6=18$. Optsprezece cerințe de câte cinci puncte fac $90$, iar cu cele zece din oficiu se ajunge la $100$. Reține forma, nu totalul: proba nu e „trei probleme mari", ci optsprezece bucăți egale, iar o cerință de trei rânduri de la Subiectul I valorează cât un subpunct de analiză matematică.

3. De ce nu are proba M2 variante de răspuns?

Pentru că nicio cerință nu cere un răspuns, ci o rezolvare. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele folosesc patru verbe: „Arătați că" de opt ori, „Determinați" de șapte ori, „Rezolvați" o dată și „Demonstrați" de două ori — iar $8+7+1+2=18$ închide numărătoarea, deci alt verb nu mai are loc. Nu apare „Alegeți", nu apare nicio listă de variante.

Deosebirea dintre verbe nu e stilistică, ci schimbă ce scrii pe foaie:

• „Arătați că" vine cu rezultatul tipărit în enunț: ai de construit drumul până la egalitatea scrisă acolo. Un răspuns care repetă rezultatul nu spune nimic.
• „Determinați" ascunde rezultatul. Enunțul dă o condiție, tu afli numărul, funcția sau punctul care o îndeplinește și îl scrii explicit la final.
• „Rezolvați" cere mulțimea soluțiilor unei ecuații: intervalul pe care lucrezi și soluțiile care îl respectă.
• „Demonstrați" cere o afirmație adevărată pentru toate valorile dintr-o mulțime; o verificare pe un caz particular nu ține loc de demonstrație.

Diferența se vede pe două cerințe gemene ale clasei: una îți dă funcția și primitiva ei și cere să arăți că una e primitiva celeilalte; cealaltă îți dă doar funcția și cere primitivele. Le punem alături în Exemplul 2.

4. Ce înseamnă că cerințele a), b), c) sunt legate?

Cele șase cerințe ale Subiectului I sunt independente: fiecare are datele ei, iar una nerezolvată nu împiedică pe următoarea. La celelalte două subiecte, enunțul problemei se scrie o singură dată, deasupra, iar cele trei cerințe se sprijină pe el și, uneori, una pe alta.

În modelul oficial, prima problemă a Subiectului al III-lea arată acest lanț: cerința a) cere derivata funcției, iar b) cere o limită în care apare chiar acea derivată. Legătura nu e însă o regulă a probei: tot acolo, a doua problemă a aceluiași subiect are la a) și la b) două integrale construite din aceeași funcție, care nu depind una de alta.

De aici, două deprinderi de citire. Întâi, enunțul comun se citește o dată, cu creionul pe el — funcția, intervalul, condiția. Apoi, înainte de a începe b), te uiți dacă în el apare ceva ce ai calculat la a).

5. Unde stă, pe foaie, materia clasei a XII-a?

Programa de examen din 2014, cea după care se dau sesiunile 2027–2029, așază materia pe grupe care se regăsesc în cele trei subiecte. Tabelul o citește dinspre lecțiile tale spre foaie.

Subiectul I nu apare în tabel, și nu din greșeală: el adună materia claselor anterioare — numere, funcții, ecuații, probabilități, geometrie analitică în plan, trigonometrie. În modelul oficial, cerința a cincea a Subiectului I e chiar una de geometrie analitică în plan, cu puncte date în reperul $xOy$. Fiecare parte își are lecția ei în unitate: cele șase cerințe scurte, matricele și sistemele, structurile și polinoamele și problemele de analiză matematică.

Două capitole ale clasei tale lipsesc din tabel: geometria analitică în spațiu și ecuațiile diferențiale nu se află în programa de examen din 2014. Ele sunt materie de clasă pentru programa nouă și intră în probă abia din 2030.

6. Cum așezi cele trei ore peste cele 18 cerințe?

Cele trei ore înseamnă $180$ de minute. Împărțite egal la cele $18$ cerințe, ies exact $10$ minute de cerință — un număr rotund, care nu se aplică însă la fel peste tot: cerințele Subiectului I sunt scurte, cele de tip c) cer o idee.

Propunerea lecției, de exersat la simulări, pornește de la numărul de cerințe, nu de la greutatea presupusă a subiectelor:

Suma se verifică: $45+55+65+15=180$. Rezerva nu e timp în plus, ci intervalul în care recitești ce s-a cerut, nu ce ai crezut că s-a cerut. O singură regulă ține planul în picioare: când o cerință depășește cu mult media ei, o lași și treci mai departe.

7. Ce se schimbă pentru generația de după tine?

Lecția descrie proba pe care o dau elevii de astăzi, în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014. Din 2030, la științe ale naturii se dă proba MAT_P2, cu o programă proprie, organizată pe domenii de conținut și nu pe clase; ce intră, ce iese și ce plafoane se mută se citește în lecția următoare. Un lucru merită spus însă aici: structura probei MAT_P2 nu a fost încă publicată, așa că nicio cifră din lecția de față — nici cele trei ore, nici cele trei subiecte, nici cele $18$ cerințe — nu se transportă acolo.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește antetul, înainte de cerințe

Deasupra primei cerințe a modelului oficial publicat pentru proba actuală stau trei rânduri: toate subiectele sunt obligatorii, se acordă zece puncte din oficiu, timpul de lucru efectiv este de trei ore. Răspunde, numai din ele, la trei întrebări.

a) Pot să sar peste un subiect întreg? Nu. Primul rând spune că toate subiectele sunt obligatorii; nu există alegere între ele, cum ar fi „rezolvați două dintre cele trei".

b) Câte puncte se strâng din rezolvări? Nouăzeci, fiindcă zece sunt din oficiu, iar $90+10=100$.

c) De când se socotesc cele trei ore? De la încheierea distribuirii subiectelor — asta spune cuvântul efectiv. Citirea foii intră în cele $180$ de minute.

Exemplul 2 — Același capitol, două verbe

Revenim la două cerințe pe care le-ai rezolvat deja, ca să vezi pe ele deosebirea dintre cele două verbe.

Prima, exercițiul 8 din lecția Primitivele unei funcții: Arată că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^3+9x^2-5x$, este o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+18x-5$. Rezultatul e în enunț: ambele funcții sunt date. Drumul are două rânduri — $F$ e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, și $F^{\prime }(x)=3x^2+18x-5=f(x)$.

A doua, exercițiul 8 din lecția Liniaritatea integralei nedefinite: Calculează $\int \left(12x^2-14x+5\right)dx$ pe $\mathbb{R}$. Aici rezultatul lipsește din enunț, deci el trebuie scris: $4x^3-7x^2+5x+\mathcal{C}$.

La prima, derivarea e metoda; la a doua, ea rămâne proba pe care o faci în minte. Verbul a hotărât ce se scrie.

Exemplul 3 — La ce subiect stă o cerință?

Revenim la exercițiul 14 din lecția Sisteme de ecuații liniare: Se consideră sistemul $3x+2y-z=8$, $x-4y+2z=-9$, $2x+y+3z=15$. a) Scrie matricele $A$ și $B$. b) Arată că tripletul $(1,4,3)$ este soluție. c) Câte soluții are sistemul, dacă $\det A=-49$?

Trei semne îl așază pe foaie. Forma: enunț comun și trei cerințe a), b), c) — forma problemelor din ultimele două subiecte. Materia: sistemele liniare sunt în programa din 2014, la calculul matriceal, deci nu pot sta la subiectul de analiză. Plafonul: programa scrie „sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute", iar aici sunt exact trei. Concluzia: Subiectul al II-lea, prima problemă.

Exemplul 4 — Ce trece de la o cerință la alta

Revenim la exercițiul 16 din lecția Integrala nedefinită: Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2-26x+4$. a) Calculează $\int f(x)dx$. b) Arată că $G(x)=2x^3-13x^2+4x+11$ este o primitivă a lui $f$. c) Calculează $G(3)-G(1)$.

La a) se scrie familia primitivelor, $2x^3-13x^2+4x+\mathcal{C}$. La b) se derivează funcția dată: $G^{\prime }(x)=6x^2-26x+4=f(x)$. La c) se folosește chiar $G$: din $G(3)=-40$ și $G(1)=4$ rezultă $G(3)-G(1)=-44$.

Legătura nu stă între primele două cerințe, ci între ultimele două: b) livrează o funcție, c) o folosește. De aici o observație de citire — înainte de a începe o cerință, te uiți dacă în ea apare ceva calculat mai devreme; dacă la b) ai greșit derivarea, la c) vei calcula corect cu un obiect greșit.

Exemplul 5 — Găsește greșeala de citire

Revenim la exercițiul 15 din lecția Primitiva cu condiție: un elev rezolvă cerința determinați primitiva funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x}$, care se anulează în $1$ și scrie condiția sub forma $F(-1)=0$.

Greșeala nu e de calcul, ci de citire: „se anulează în $1$" înseamnă că valoarea funcției $F$ în punctul $1$ e zero, adică $F(1)=0$. Elevul a mutat semnul pe argument; în plus, $-1$ nici nu aparține intervalului $(0,+\infty )$. Cu condiția corectă, din $F(x)=2\ln x+c$ și $\ln 1=0$ rezultă $c=0$, deci $F(x)=2\ln x$. Greșelile de acest fel se văd recitind enunțul, nu refăcând calculul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluăm, în forma pe care o au problemele Subiectului al III-lea, exercițiul 15 din lecția Integrala definită: Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x+4$. a) Arată că $f(x)>0$ pentru orice $x\ge 0$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$. c) Determină numerele reale $q>0$ pentru care ${\int }_0^{q}f(x)dx\ge 132$.

a) Pentru $x\ge 0$ avem $6x+4\ge 4>0$, deci ipoteza e verificată pe tot intervalul de lucru.

b) O primitivă este $3x^2+4x$, deci ${\int }_0^3(6x+4)dx=\left(3x^2+4x\right){|}_0^3=(27+12)-0=39$.

c) Cu aceeași primitivă, valoarea integralei pe $[0,q]$ este $3q^2+4q$, iar condiția devine $3q^2+4q-132\ge 0$, cu discriminantul $1600$ și rădăcinile $6$ și $-\frac{22}{3}$. Trinomul e nenegativ în afara rădăcinilor, iar din $q>0$ rămâne $q\ge 6$.

Privește structura, nu calculul: a) pregătește ipoteza, b) face calculul cerut, c) întoarce întrebarea — dă rezultatul și cere capătul. Și verbele sunt trei, nu unul. E tiparul unei probleme cu trei cerințe legate, iar recunoașterea lui dinainte e jumătate din liniștea din sală.

Să exersăm

1. Câte cerințe are Subiectul I în modelul oficial publicat pentru proba actuală și cât valorează fiecare?

2. Scrie cele patru numere care dau totalul lucrării și verifică suma lor.

3. O problemă de la Subiectul al II-lea are trei cerințe. Câte puncte însumează ea și câte astfel de probleme are subiectul?

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) La ce subiect stă cerința „Determinați primitivele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}+3x$" și din ce rând al programei din 2014 vine ea?

5. Pentru fiecare verb — „Arătați că", „Determinați", „Demonstrați" — scrie într-un rând ce anume lipsește din enunț și ce trebuie să apară în rezolvare.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Revenim la sistemul din Exemplul 3: rezolvă subpunctul b) și spune de ce nu are nevoie de $\det A$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În modelul oficial publicat pentru proba actuală, verbul «Determinați» apare la mai multe cerințe decât celelalte trei verbe la un loc."

8. Un elev planifică $30$ de minute pentru Subiectul I, $60$ pentru al II-lea și $75$ pentru al III-lea. Câte minute îi rămân și ce ai schimba?

9. Revenim la exercițiul 14 din lecția Primitive: cum recunoști funcția, unde un elev scrie că $\frac{1}{x^2}$ are primitivele $\ln |x|+\mathcal{C}$. Arată prin derivare că e greșit și spune ce a citit greșit.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Cele zece puncte din oficiu se împart între cele trei subiecte, câte $3,33$ la fiecare."

11. Revenim la exercițiul 16 din lecția Aria subgraficului: $f(x)=x^2-17x+66$; a) arată că graficul taie axa $Ox$ în punctele de abscise $6$ și $11$; b) calculează aria regiunii mărginite de grafic, de axa $Ox$ și de dreptele $x=5$ și $x=8$. Ce trece de la a) la b)?

12. Scrie, pentru fiecare dintre cele trei subiecte, câte cerințe are și ce fel de materie conține.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Revenim la exercițiul 11 din lecția Primitivele unei funcții: arată că $F(x)=4x^3-3x^2+7x$ este o primitivă a funcției $f(x)=12x^2-6x+7$ și calculează $F(2)$. Rezolvă-l, apoi spune ce s-ar schimba pe foaie dacă verbul ar fi „Determinați primitivele lui $f$".

14. (Problemă aplicată.) Revenim la exercițiul 15 din lecția Primitive în științe: într-un vas, un precipitat se formează cu viteza $r(t)=3,6-0,3t$ grame pe minut, pe $[0,12]$, iar la pornire vasul nu conținea precipitat; a) determină masa $m(t)$; b) calculează $m(6)$; c) arată că masa nu depășește $21,6$ grame. Rezolvă a) și b) și spune care cerință cere o afirmație pe tot intervalul.

15. Care capitole ale clasei a XII-a nu se regăsesc în programa de examen din 2014 și din ce sesiune intră în probă?

16. Revenim la exercițiul 12 din lecția Tabelul primitivelor: $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+4\sqrt{x}}{x}$; a) arată că $f(x)=x+\frac{4}{\sqrt{x}}$; b) determină mulțimea primitivelor. De ce a) nu e o formalitate?

17. Un enunț de la Subiectul I are trei rânduri, iar unul de la al III-lea are opt. Ce nu se poate deduce din asta?

18. (Provocare.) Un elev vrea să lase la final toate cerințele c). Câte cerințe amână și cât timp îi rămâne pentru ele, dacă restul merge exact după planul de la subsecțiunea 6?

Răspunsuri și explicații

1. Șase cerințe, fiecare de câte $5$ puncte, deci $6\cdot 5=30$ de puncte, cât scrie tipărit în dreptul titlului subiectului.

2. $30+30+30+10=100$: cele trei subiecte și cele zece puncte din oficiu.

3. Cele trei cerințe a), b), c) fac $3\cdot 5=15$ puncte, iar subiectul are două astfel de probleme, deci $2\cdot 15=30$ de puncte.

4. La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. Rândul de programă este „Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale".

5. La „Arătați că" lipsește drumul, fiindcă rezultatul e scris în enunț. La „Determinați" lipsește rezultatul, care se scrie explicit la final. La „Demonstrați" lipsește argumentul general, valabil pentru toate valorile din mulțimea dată; un caz particular nu ține locul lui.

6. Se înlocuiește tripletul în cele trei ecuații: $3+8-3=8$; $1-16+6=-9$; $2+4+9=15$. Toate se verifică, deci $(1,4,3)$ este soluție. Determinantul nu intră aici: verificarea unei soluții e o înlocuire, iar de $\det A$ e nevoie abia la c), unde se cere numărul soluțiilor.

7. Fals. Numărătoarea din subsecțiunea 3 dă șapte cerințe cu „Determinați", iar celelalte trei verbe adună $8+1+2=11$, deci $7<11$. Verbul cu cele mai multe apariții în model este „Arătați că", cu opt.

8. $30+60+75=165$, deci îi rămân $15$ minute. Rezerva e bună, planul e strâmb în interior: Subiectul I primește $5$ minute pe cerință, al III-lea $12,5$.

9. Proba prin derivare cade: derivata logaritmului este $\frac{1}{x}$, nu $\frac{1}{x^2}$. Elevul a citit „$x$ la numitor" și a sărit la logaritm fără să se uite la exponent: expresia e $x^{-2}$, deci rândul potrivit e cel al puterii, iar primitivele sunt $-\frac{1}{x}+\mathcal{C}$.

10. Fals. În dreptul fiecărui subiect e tipărit același număr, $30$, iar cele zece din oficiu stau în afara celor trei părți: ele intră o singură dată în totalul lucrării, de unde $30+30+30+10=100$. Dacă s-ar împărți, în dreptul fiecărui subiect ar scrie $33,33$.

11. De la a) la b) trec rădăcinile $6$ și $11$. Fără ele nu se știe unde își schimbă funcția semnul pe $[5,8]$. Doar $6$ se află în interval, deci funcția e pozitivă înainte și negativă după, iar aria iese $\frac{17}{6}+\frac{22}{3}=\frac{61}{6}$.

12. Subiectul I: șase cerințe independente, materie din clasele anterioare. Al II-lea: șase cerințe în două probleme, cu algebră — sisteme, matrice, determinanți, structuri algebrice, polinoame. Al III-lea: șase cerințe în două probleme, cu analiză matematică.

13. $F^{\prime }(x)=12x^2-6x+7=f(x)$ pe $\mathbb{R}$, deci $F$ e o primitivă a lui $f$; apoi $F(2)=32-12+14=34$. Cu verbul schimbat, $F$ n-ar mai fi dată: ar trebui construită prin liniaritate și tabel, iar răspunsul s-ar scrie cu constanta, $4x^3-3x^2+7x+\mathcal{C}$, fără să se mai ceară vreo valoare.

14. a) $m(t)=3,6t-0,15t^2$ grame. b) $m(6)=21,6-5,4=16,2$ grame. Cerința c) cere o afirmație valabilă pe tot intervalul $[0,12]$, nu într-un punct.

15. Geometria analitică în spațiu și ecuațiile diferențiale. Niciuna nu apare în programa de examen din 2014; amândouă intră în probă din 2030, la MAT_P2.

16. Pentru că expresia inițială nu seamănă cu niciun rând al tabelului: are o fracție cu radical la numărător. Cerința a) o rescrie ca sumă de două funcții cunoscute, iar abia atunci b) devine o aplicare a liniarității.

17. Nu se poate deduce cât timp cere fiecare, nici cât de grea e. Lungimea ține de datele care trebuie scrise: enunțul unei probleme de analiză conține funcția, intervalul și cele trei cerințe deodată.

18. Cerințele c) sunt patru, câte una la fiecare dintre cele patru probleme ale ultimelor două subiecte. Timpul rămas pentru ele ar fi rezerva de $15$ minute, adică sub $4$ minute de cerință: planul arată singur că amânarea tuturor cerințelor c) nu se ține.

De reținut

• Proba de matematică M2 are trei subiecte de câte $30$ de puncte și zece puncte din oficiu, iar timpul de lucru efectiv e de trei ore.
• Lucrarea are $18$ cerințe de câte cinci puncte: șase la Subiectul I și câte șase, grupate în două probleme, la fiecare dintre celelalte două subiecte.
• Nicio cerință nu are variante de răspuns: verbul enunțului spune ce lipsește — drumul, rezultatul sau argumentul general.
• Cerințele Subiectului I sunt independente; cele ale unei probleme au enunț comun și se sprijină uneori una pe alta, dar nu la toate problemele.
• Sistemele și structurile algebrice stau la Subiectul al II-lea, primitivele și integralele la Subiectul al III-lea; geometria analitică în spațiu și ecuațiile diferențiale nu sunt în programa de examen din 2014.

Greșeli frecvente

• A răspunde la „Arătați că" prin rezultatul tipărit în enunț. Ce lipsește e drumul: egalitatea din enunț e punctul de sosire, nu răspunsul.
• A trata o problemă cu trei cerințe ca pe o singură întrebare lungă. Ele se rezolvă și se scriu separat, fiecare cu concluzia ei; un răspuns unic la final lasă două cerințe fără rezolvare.
• A începe subpunctul c) fără a reciti enunțul comun. Ipoteza de care depinde c) e adesea scrisă deasupra, o singură dată, și nu se repetă în dreptul cerinței.
• A crede că enunțul lung înseamnă cerință grea. Lungimea vine din datele problemei; o cerință de trei rânduri de la Subiectul I poate cere mai multă gândire decât una de opt.
• A exersa, pentru sesiunile 2027–2029, capitole care intră abia din 2030. Geometria analitică în spațiu și ecuațiile diferențiale sunt materie de clasă, dar nu sunt în programa de examen din 2014.

Aplică acasă

1. Harta foii. Pe o coală, scrie cele trei subiecte unul sub altul și, în dreptul fiecăruia, capitolele clasei a XII-a învățate anul acesta. Apoi deschide programa de examen din 2014 și taie capitolele care nu apar în ea. Ce rămâne e materia ta de examen, așezată pe foaie.

2. Cerința în cinci cuvinte. Ia zece enunțuri din caiet și rescrie-le în cel mult cinci cuvinte, păstrând verbul și obiectul lui: „arătați că $F$ e primitivă", „determinați aria regiunii". Vei vedea că zece enunțuri se reduc la patru-cinci gesturi.

3. Perechea de enunțuri. Alege din lecțiile clasei două exerciții care se sprijină pe aceeași formulă, dar au verbe diferite — unul cu „Arătați că", altul cu „Determinați". Rezolvă-le pe amândouă și notează ce rând în plus cere fiecare.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul cunoaște arhitectura probei — trei subiecte, $18$ cerințe, trei ore —, dacă deosebește cerințele independente de cele legate, dacă știe ce cere fiecare verb din enunț și dacă poate spune, pentru o cerință dată, la ce subiect stă. Sunt deprinderi de citire, nu de calcul.

Dificultatea reală, la acest profil, nu e materia probei, mai scurtă decât la matematică-informatică, ci întâlnirea cu formatul. Un elev care rezolvă corect la clasă poate pierde primele douăzeci de minute în sală doar pentru că nu știe cum e împărțită foaia. De aceea lecția se reia înaintea fiecărei simulări, iar tabelul de la subsecțiunea 5 se ține la vedere.

Întrebări de control: „Câte cerințe are proba în total?"; „Ce se schimbă în rezolvare când verbul e «Arătați că»?"; „De unde știi dacă b) are nevoie de a)?"; „Capitolul acesta se dă la examenul pe care îl dai tu?". Semne că a înțeles: citește enunțul comun cu creionul înainte de a începe, spune singur la ce subiect ar sta o cerință și nu mai amână toate subpunctele c) pentru final.

Programa și examenul. Lecția descrie proba scrisă de matematică M2 (M_șt-nat) pentru elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a, care dau Bacalaureatul M2 în sesiunile 2027–2029 pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014); toate cifrele despre proba de azi sunt citite din modelul oficial publicat de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Programa școlară nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) se aplică la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; pentru generația care o parcurge, proba de matematică se numește MAT_P2 și are programa ei proprie (OMEC 5077/2026, anexa nr. 4.2), iar structura acelei probe nu a fost încă publicată. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Proba de matematică M2 are grilă?

Nu. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, fiecare dintre cele $18$ cerințe cere o rezolvare scrisă, iar enunțurile încep cu „Arătați că", „Determinați", „Rezolvați" sau „Demonstrați". Nu există liste de variante și nicio cerință la care să se răspundă printr-o literă încercuită.

Ce înseamnă „Arătați că" într-un enunț?

Înseamnă că rezultatul e tipărit în enunț și că ți se cere drumul până la el. Ai un avantaj: știi unde trebuie să ajungi, deci verifici din mers dacă mergi bine. Dezavantajul e că rescrierea rezultatului nu te apropie de nimic — contează numai lanțul de egalități pornit de la datele problemei.

Ce materie a clasei a XII-a intră în proba de azi?

Din programa de examen din 2014: sistemele liniare cu cel mult trei necunoscute și metoda Cramer; grupurile, inelele, corpurile și polinoamele; primitivele și integrala nedefinită; integrala definită cu formula Leibniz-Newton, integrarea prin părți și schimbarea de variabilă; aria unei suprafețe plane și volumul unui corp de rotație. Geometria analitică în spațiu și ecuațiile diferențiale nu se află în ea.

Cu ce diferă proba M2 de cea de la mate-info (M1)?

Sunt două probe cu programe de examen diferite, scrise pentru specializări diferite. Programa M1 e cea mai cuprinzătoare dintre programele de matematică ale bacalaureatului și cere teme care la științe ale naturii nu se studiază; la M2, partea de analiză e mai scurtă, iar plafoanele sunt mai joase — determinanții merg până la ordinul al treilea. Pentru comparație, aceeași hartă pentru cealaltă specializare: structura probei la mate-info (M1).

La ce subiect îmi folosește lecția aceasta?

La toate trei, dar nu ca materie, ci ca hartă: îți spune câte cerințe are fiecare subiect, cum sunt legate și ce cere verbul enunțului. Rezolvarea propriu-zisă se învață în lecțiile următoare: cele șase cerințe scurte, matricele și sistemele, structurile și polinoamele și derivatele și integralele.

Ce înseamnă că „toate subiectele sunt obligatorii"?

Că nu ai de ales între ele: nu există varianta „rezolvați două dintre cele trei subiecte". Fiecare parte a foii intră în lucrare, iar cele $30$ de puncte ale fiecăreia se strâng numai din cerințele ei, deci un capitol lăsat nestudiat nu se compensează din altul.

De unde știu cum arată proba, dacă subiectele se schimbă în fiecare sesiune?

Din două documente publice: programa de examen, care spune ce materie se poate cere, și modelul oficial publicat de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, care arată forma foii. Conținutul cerințelor diferă de la o sesiune la alta; forma descrisă în lecție e cea din model.