Bac M2 2011, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2011 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați ${\log }_{6}3+{\log }_{6}12$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-x+3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^x+7^{x+1}=392$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^2=4A_n^1$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,-2)$ și $B(4,m)$, unde $m\in \mathbb{R}$. Determinați valorile lui $m$ pentru care $AB=5$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\cos 40^{\circ }+\cos 140^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}m& -1& 1\\ 1& m& -1\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}mx-y+z=0\\ x+my-z=0\\ x-2y+z=0\end{array}$, unde $m$ este parametru real.

a) (5 puncte) Calculați determinantul matricei $A$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care tripletul $(-1,2,5)$ este o soluție a sistemului.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care sistemul admite doar soluția $(0,0,0)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+x+y$.

a) (5 puncte) Arătați că legea „$\ast$" este asociativă.

b) (5 puncte) Determinați elementul neutru al legii „$\ast$".

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^2\ast 2=x\ast 4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{(x-1{)}^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-x-5}{(x-1{)}^3}$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(x)+\frac{1}{12}\ge 0$, oricare ar fi $x\in (-\infty ,1)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln x}{x},& x>1\\ \frac{x-1}{x},& 0<x\le 1\end{array}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_2^e\frac{f(x)}{\ln x}dx$.

b) (5 puncte) Fie $g:(0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$. Determinați primitiva funcției $g$, primitivă al cărei grafic conține punctul $A(1,5)$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_{\frac{1}{2}}^{e}f(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea august-septembrie 2011; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2011 are, la multe cerințe, câte trei, patru sau cinci rânduri punctate (de exemplu $2+1+2$, $1+1+1+2$ sau cinci rânduri de câte $1$ p), plus rânduri de „finalizare"; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — logaritmi.

Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului: $${\log }_{6}3+{\log }_{6}12={\log }_{6}36\text{(3 p)}.$$ Cum $36=6^2$: $${\log }_{6}36={\log }_6{6}^2=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{6}3+{\log }_{6}12={\log }_{6}15$, adunând argumentele; sau ${\log }_{6}36=6$, confundând logaritmul cu rădăcina pătrată.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, vârful parabolei.

Pentru $f(x)=2x^2-x+3$: $a=2$, $b=-1$, $c=3$. Abscisa vârfului: $$x_V=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$ Discriminantul: $$\Delta =b^2-4ac=1-24=-23\text{(1 p)}.$$ Ordonata vârfului: $$y_V=-\frac{\Delta }{4a}=\frac{23}{8}\text{(2 p)}.$$ Vârful parabolei este $\mathbf{V}\left(\frac{1}{4},\frac{23}{8}\right)$.

(Control: $f\left(\frac{1}{4}\right)=2\cdot \frac{1}{16}-\frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}-\frac{2}{8}+\frac{24}{8}=\frac{23}{8}$. Unde se greșește de obicei: se ia $b=1$ în loc de $-1$ și iese $x_V=-\frac{1}{4}$; sau se scrie $y_V=\frac{\Delta }{4a}=-\frac{23}{8}$, fără minusul din formulă.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scrie $7^{x+1}=7^x\cdot 7$: $$7^x+7^{x+1}=392⟺7^x+7^x\cdot 7=392\text{(1 p)}.$$ Se dă factor comun $7^x$: $$7^x\cdot 8=392⟺7^x=49\text{(2 p)}.$$ Cum $49=7^2$, $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $7^2+7^3=49+343=392$. Unde se greșește de obicei: se scrie $7^{x+1}=7^x+7$; sau factorul comun dă $7^x\cdot 7$ în loc de $7^x\cdot (1+7)$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări și aranjamente.

Se scriu ambele numere cu factoriale: $$\frac{n!}{2!(n-2)!}=4\cdot \frac{n!}{(n-1)!}\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{n(n-1)}{2}$, iar cel drept $4n$; împărțind la $n\ne 0$: $$\frac{n-1}{2}=4\text{(2 p)},$$ $$\mathbf{n}=9\text{(1 p)}.$$

(Control: $C_9^2=36$ și $4A_9^1=4\cdot 9=36$. Unde se greșește de obicei: se ia $A_n^1=1$, confundând cu $C_n^0$; sau se simplifică greșit $\frac{n!}{(n-1)!}$ ca $n-1$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, distanța cu parametru.

Formula distanței dintre $A(0,-2)$ și $B(4,m)$: $$\sqrt{(4-0{)}^2+(m+2{)}^2}=5\text{(1 p)}.$$ Ridicând la pătrat, $16+m^2+4m+4=25$, deci $$m^2+4m-5=0\text{(2 p)},$$ $$\mathbf{m}=-5\text{ sau }\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $m=1$, $AB=\sqrt{16+9}=5$; pentru $m=-5$, $AB=\sqrt{16+9}=5$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(m-2{)}^2$ în loc de $(m+2{)}^2$, uitând că ordonata lui $A$ este $-2$; sau se păstrează o singură valoare a lui $m$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, unghiuri suplementare.

Unghiurile de $40^{\circ }$ și $140^{\circ }$ sunt suplementare: $$\cos 140^{\circ }=\cos \left(180^{\circ }-40^{\circ }\right)=-\cos 40^{\circ }\text{(3 p)}.$$ Deci $$\cos 40^{\circ }+\cos 140^{\circ }=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos (180^{\circ }-x)=\cos x$, ca la sinus, și iese $2\cos 40^{\circ }$; sau se confundă suplementarele cu complementarele și se scrie $\cos 140^{\circ }=\sin 40^{\circ }$ — fals, pentru că $\cos 140^{\circ }<0$; suma nu mai iese $0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea și sistem omogen.

a) (5 p) Regula lui Sarrus: $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}m& -1& 1\\ 1& m& -1\\ 1& -2& 1\end{array}\right|=m^2-2+1-m-2m+1=\text{(3 p)}$$ $$={\mathbf{m}}^2-3m\text{(2 p)}.$$

(Cei șase termeni, în ordine: $m\cdot m\cdot 1=m^2$, $1\cdot (-2)\cdot 1=-2$, $(-1)\cdot (-1)\cdot 1=1$, apoi se scad $1\cdot m\cdot 1=m$, $(-1)\cdot (-2)\cdot m=2m$ și $1\cdot (-1)\cdot 1=-1$. Control: pentru $m=0$ și $m=3$ determinantul este $0$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul produsului $1\cdot (-1)\cdot 1$ la scădere.)

b) (5 p) Tripletul este soluție dacă verifică toate cele trei ecuații pentru $x=-1$, $y=2$, $z=5$: $$\{\begin{array}{l}-m-2+5=0\\ -1+2m-5=0\\ -1-4+5=0\end{array}\text{(3 p)}.$$ A treia ecuație este verificată pentru orice $m$, iar primele două dau aceeași valoare: $$\mathbf{m}=3\text{(2 p)}.$$

(Din prima ecuație $m=3$, din a doua $2m=6$, deci tot $m=3$. Observație: pentru $m=3$ determinantul este $0$, deci sistemul are și soluții nenule — tripletul $(-1,2,5)$ este una dintre ele. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește tripletul în altă ordine, $x=5$, $y=2$, $z=-1$; primele două ecuații dau atunci $m=\frac{3}{5}$ și $m=-3$, iar concluzia greșită este „nicio valoare".)

c) (5 p) Un sistem omogen pătratic admite doar soluția nulă exact când determinantul matricei sistemului, care este chiar $A$, este nenul: $$\det A\ne 0\text{(2 p)}.$$ Cum $\det A=m(m-3)$, $$\mathbf{m}\in \mathbb{R}\setminus \{0,3\}\text{(3 p)}.$$

(Legătura cu b): pentru $m=3$ sistemul are soluția nenulă $(-1,2,5)$, în acord cu faptul că $\det A=0$. Unde se greșește de obicei: se cere $\det A=0$ în loc de $\det A\ne 0$; sau se exclude doar $m=3$, uitând rădăcina $m=0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție, asociativitate și element neutru.

a) (5 p) Se calculează cele două grupări: $$(x\ast y)\ast z=(xy+x+y)\ast z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z\text{(2 p)},$$ $$x\ast (y\ast z)=x\ast (yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+z\text{(2 p)}.$$ Finalizare: cele două expresii au aceiași termeni, deci $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$, oricare ar fi $x,y,z\in \mathbb{R}$, adică legea este asociativă (1 p).

(Detaliul primei grupări: $(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z$. O scriere echivalentă a legii este $x\ast y=(x+1)(y+1)-1$, din care ambele grupări dau $(x+1)(y+1)(z+1)-1$. Unde se greșește de obicei: se verifică asociativitatea pe numere particulare.)

b) (5 p) Elementul neutru $e$ verifică, pentru orice $x\in \mathbb{R}$: $$x\ast e=e\ast x=xe+x+e=x,\forall x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Simplificând $x$: $$ex+e=0,\forall x\in \mathbb{R}\text{(1 p)},$$ $$\mathbf{e}=0\text{(2 p)}.$$

(Din $e(x+1)=0$ pentru orice $x$ rezultă $e=0$; de exemplu, pentru $x=0$ se obține direct $e=0$. Control: $x\ast 0=0+x+0=x$. Aici $e$ este elementul neutru, nu numărul lui Euler. Unde se greșește de obicei: se rezolvă $e(x+1)=0$ ca $x=-1$, confundând necunoscuta.)

c) (5 p) Se calculează fiecare membru: $$x^2\ast 2=2x^2+x^2+2=3x^2+2\text{(1 p)},$$ $$x\ast 4=4x+x+4=5x+4\text{(1 p)},$$ $$x^2\ast 2=x\ast 4⟺3x^2-5x-2=0\text{(1 p)},$$ $${\mathbf{x}}_1=-\frac{1}{3}\text{ și }{\mathbf{x}}_2=2\text{(2 p)}.$$

(Rădăcinile: $\Delta =25+24=49$, $x=\frac{5\pm 7}{6}$. Control: pentru $x=2$, $4\ast 2=8+4+2=14$ și $2\ast 4=14$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2\ast 2=2x^2+2$, uitând termenul $x^2$ din lege.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, asimptota verticală, minim global.

a) (5 p) Regula de derivare a câtului, cu $((x-1{)}^2{)}^{\prime }=2(x-1)$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2-2(x-1)(x+2)}{(x-1{)}^4},x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}\text{(3 p)}.$$ Finalizare: se simplifică prin $x-1$ și se reduce numărătorul, $(x-1)-2(x+2)=-x-5$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{-x-5}{(x-1{)}^3}$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se derivează $(x-1{)}^2$ ca $2(x-1{)}^2$ sau se uită factorul $2$; sau se scrie numărătorul invers, $2(x-1)(x+2)-(x-1{)}^2$, și iese semnul opus.)

b) (5 p) Funcția este continuă pe domeniu, iar singurul punct în care poate apărea o asimptotă verticală este $1$: $$f\text{ este continua˘ pe }\mathbb{R}\setminus \{1\}\text{ și }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2}{(x-1{)}^2}=+\infty \text{(3 p)},$$ deci $$\mathbf{x}=1\text{ este ecuația asimptotei verticale}\text{(2 p)}.$$

(Numărătorul tinde la $3$, iar numitorul la $0$ prin valori pozitive, pentru că este un pătrat. Unde se greșește de obicei: se caută asimptota verticală în rădăcina numărătorului, $x=-2$; sau se scrie $y=1$, care ar fi o dreaptă orizontală.)

c) (5 p) Punctul critic: $$f^{\prime }(x)=0⟹x=-5\text{(1 p)}.$$ Pe $(-\infty ,1)$, $(x-1{)}^3<0$, deci semnul lui $f^{\prime }$ este opus semnului lui $-x-5$: $f^{\prime }<0$ pe $(-\infty ,-5)$ și $f^{\prime }>0$ pe $(-5,1)$. Așadar $$x=-5\text{ este punct de minim global pe }(-\infty ,1)\text{(2 p)}.$$ Cum $f(-5)=\frac{-3}{36}=-\frac{1}{12}$: $$f(x)\ge f(-5),\forall x\in (-\infty ,1)\Rightarrow f(x)\ge -\frac{1}{12},\forall x\in (-\infty ,1)\Rightarrow f(x)+\frac{1}{12}\ge 0,\forall x\in (-\infty ,1)\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $f(-4)=-\frac{2}{25}=-0,08>-0,0833$ și $f(-6)=-\frac{4}{49}\approx -0,0816$. Unde se greșește de obicei: se uită semnul lui $(x-1{)}^3$ pe $(-\infty ,1)$ și iese că $-5$ este punct de maxim.)

Exercițiul 10. (15 p) — funcție pe ramuri, integrale și primitive.

a) (5 p) Pe $[2,e]$ avem $x>1$, deci se folosește ramura $\frac{\ln x}{x}$, iar logaritmul se simplifică: $${\int }_2^e\frac{f(x)}{\ln x}dx={\int }_2^e\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_2^e=\text{(3 p)}$$ $$=1-\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Capătul de sus, $e\approx 2,718$, este mai mare decât $2$, deci integrala este pozitivă: $1-\ln 2\approx 0,307$. Unde se greșește de obicei: se folosește ramura $\frac{x-1}{x}$, deși pe $[2,e]$ avem $x>1$; sau se scrie $\ln 2-1$, cu capetele inversate.)

b) (5 p) Pe $(0,1]$ se folosește ramura a doua: $$g(x)=\frac{x-1}{x},x\in (0,1]\text{(1 p)}.$$ Cum $\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$: $$\int g(x)dx=x-\ln x+C\text{(1 p)},$$ $$G(x)=x-\ln x+c,c\in \mathbb{R},\text{ este o primitiva˘ a funcției }g\text{ pe intervalul }(0,1]\text{(1 p)}.$$ Graficul trece prin $A(1,5)$: $$G(1)=5⟹1-0+c=5⟹c=4\text{(1 p)},$$ $$\mathbf{G}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\ln \mathbf{x}+4\text{(1 p)}.$$

(Control: $G^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$ și $G(1)=1+4=5$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{x-1}{x}$ ca $\frac{\ln x}{x}$, luând ramura greșită; sau se scrie $\ln 1=1$ și iese $c=5$.)

c) (5 p) Intervalul $\left[\frac{1}{2},e\right]$ conține punctul de racord $1$, deci integrala se desparte: $${\int }_{\frac{1}{2}}^{e}f(x)dx={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{x-1}{x}dx+{\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx\text{(2 p)}.$$ Prima integrală, cu primitiva de la b): $${\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{x-1}{x}dx=\frac{1}{2}-\ln 2\text{(1 p)}.$$ A doua, cu ${\left(\frac{{\ln }^{2}x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{\ln x}{x}$: $${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x{|}_1^e=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ Adunând: $${\int }_{\frac{1}{2}}^{e}f(x)dx=1-\ln 2\text{(1 p)}.$$

(Prima integrală în detaliu: $(x-\ln x){|}_{1/2}^1=1-\left(\frac{1}{2}-\ln \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\ln \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\ln 2$. Ea este negativă, $\approx -0,193$, pentru că pe $\left(\frac{1}{2},1\right)$ ramura $\frac{x-1}{x}$ este negativă. Control numeric: $1-\ln 2\approx 0,307$. Unde se greșește de obicei: se folosește o singură ramură pe tot intervalul; sau se scrie $\ln \frac{1}{2}=\ln 2$, fără minus.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2011 a examenului de bacalaureat — Varianta 3, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2011 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2011:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: suma a doi logaritmi în aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: factor comun $7^x$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: o ecuație cu combinări și aranjamente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: distanța dintre două puncte, cu un parametru — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: cosinusul unghiurilor suplementare — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: un determinant cu parametru, o soluție dată a sistemului și condiția de soluție unică pentru un sistem omogen — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: asociativitatea, elementul neutru și o ecuație cu legea — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, asimptota verticală, minimul global pe un interval — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: o integrală cu $\frac{1}{x}$, primitiva care trece printr-un punct, integrala unei funcții definite pe ramuri — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2011. Subiectul I are șase cerințe de rutină; cea mai delicată este ecuația cu combinări și aranjamente de la cerința 4, unde factorialele se simplifică până la o ecuație de gradul întâi. Subiectul al II-lea pune o matrice $3\times 3$ cu parametru care este chiar matricea unui sistem omogen: soluția unică $(0,0,0)$ înseamnă determinant nenul; apoi o lege de compoziție $x\ast y=xy+x+y$, cu asociativitatea, elementul neutru $0$ și o ecuație de gradul al doilea. Subiectul al III-lea cere derivata unui cât, asimptota verticală $x=1$ și o inegalitate citită din minimul global $f(-5)=-\frac{1}{12}$; la integrale, o funcție definită pe ramuri, la care fiecare integrală se calculează pe ramura potrivită, iar ultima se desparte în punctul de racord $x=1$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție și elementul ei neutru, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple și $1-\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.
• Greșeli de redactare de evitat: la sistemul omogen, condiția de soluție unică scrisă fără determinant; elementul neutru căutat doar dintr-o parte sau fără „pentru orice $x$"; asimptota verticală afirmată fără limita laterală; la ultima integrală, o singură formulă folosită pe tot intervalul $\left[\frac{1}{2},e\right]$, deși funcția are două ramuri.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$. Vârful parabolei: $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$. Combinări și aranjamente: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Distanța: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Unghiuri suplementare: $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$.
• Sisteme omogene: un sistem liniar omogen pătratic admite doar soluția nulă exact când determinantul matricei sistemului este nenul.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$, oricare ar fi $x$; o egalitate „pentru orice $x$" de forma $ex+e=0$ cere ca toți coeficienții să fie nuli.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $x=a$ este asimptotă verticală dacă o limită laterală în $a$ este infinită; un punct critic în care derivata trece de la minus la plus este punct de minim.
• Integrale: $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C$ pe $(0,+\infty )$; $\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+C$; pentru o funcție pe ramuri, integrala se desparte în punctul de racord.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{x+2}{(x-1{)}^2}$ de la cerința $9$ și funcția definită pe ramuri de la cerința $10$. Litera $A$ este punctul $A(0,-2)$ de la cerința $5$, matricea $A$ de la cerința $7$ și punctul $A(1,5)$ de la cerința $10$; iar $A_n^1$ de la cerința $4$ înseamnă aranjamente de $n$ luate câte $1$.
• La cerința $8$, $e$ este elementul neutru al legii (litera folosită de barem), nu numărul lui Euler; la cerința $10$, $e$ este numărul lui Euler, $e\approx 2,718$, capătul integralelor. Tot la cerința $8$, „$\ast$" este legea din enunț, nu înmulțirea obișnuită.
• La cerința $10$, ${\ln }^{2}x$ înseamnă $(\ln x{)}^2$; funcția $g$ de la subpunctul b) este restricția lui $f$ la intervalul $(0,1]$, adică ramura $\frac{x-1}{x}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".