Bac M2 2011, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2011 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați ${\log }_7\left(3+\sqrt{2}\right)+{\log }_7\left(3-\sqrt{2}\right)$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax+b$. Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care graficul funcției $f$ conține punctele $A(2,3)$ și $B(-1,0)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația $3^x+3^{x+1}=36$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea $\{10,11,12,\dots ,99\}$, acesta să fie divizibil cu $4$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(2,-1)$ și $N(-1,3)$. Determinați coordonatele vectorului $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați lungimea laturii unui triunghi echilateral, care are aria egală cu $4\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră punctele $A_n\left(2^n,3^n\right)$, unde $n\in \mathbb{N}$.

a) (5 puncte) Scrieți ecuația dreptei $A_0{A}_1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că punctele $A_1$, $A_2$, $A_3$ nu sunt coliniare.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care aria triunghiului $A_n{A}_{n+1}{A}_{n+2}$ este egală cu $216$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{1}{2}(xy-x-y+3)$.

a) (5 puncte) Verificați dacă elementul neutru al legii „$\circ$" este $e=3$.

b) (5 puncte) Determinați simetricul elementului $2$ în raport cu legea „$\circ$".

c) (5 puncte) Arătați că mulțimea $H=\{2k+1\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea de compoziție „$\circ$".

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x+e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că $x{f}^{\prime }(x)=1+x{e}^x$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A(1,e)$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x+1$.

a) (5 puncte) Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$.

b) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe intervalul $\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, oricare ar fi $a\ge 2$, are loc inegalitatea ${\int }_0^{a}f(x)dx\ge 3a^2+2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2011; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2011 are, la mai multe cerințe, câte trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$ sau $1+2+1+1$) și un rând „Finalizare"; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — logaritmi, logaritmul produsului.

Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului: $${\log }_7\left(3+\sqrt{2}\right)+{\log }_7\left(3-\sqrt{2}\right)={\log }_7\left[\left(3+\sqrt{2}\right)\cdot \left(3-\sqrt{2}\right)\right]\text{(3 p)}.$$ Produsul este o diferență de pătrate, $9-2=7$: $$={\log }_{7}7=1\text{(2 p)}.$$

(Ambele argumente sunt pozitive, pentru că $\sqrt{2}<3$, deci logaritmii există. Unde se greșește de obicei: se scrie suma logaritmilor ca logaritmul sumei, ${\log }_{7}6$; sau se calculează produsul ca $9+2=11$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, puncte pe grafic.

Un punct aparține graficului exact când coordonatele lui verifică $y=f(x)$: $$A(2,3)\in G_f⟹f(2)=3⟹4+2a+b=3\text{(2 p)},$$ $$B(-1,0)\in G_f⟹f(-1)=0⟹1-a+b=0\text{(2 p)}.$$ Scăzând a doua ecuație din prima, $3+3a=3$, deci $$\mathbf{a}=0,\mathbf{b}=-1\text{(1 p)}.$$

(Control: $f(x)=x^2-1$ dă $f(2)=3$ și $f(-1)=0$. Unde se greșește de obicei: se inversează coordonatele punctului, $f(3)=2$; sau se calculează $f(-1)=-1-a+b$, cu semnul greșit la $(-1{)}^2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterea cu exponentul $x+1$ se scrie cu $3^x$: $$3^x+3\cdot 3^x=36\text{(2 p)}.$$ Factor comun: $4\cdot 3^x=36$, deci $$3^x=9\text{(2 p)},$$ $$\mathbf{x}=2\text{(1 p)}.$$

(Control: $3^2+3^3=9+27=36$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3^{x+1}=3^x+1$ sau $3^{x+1}=3^x+3$; sau se adună exponenții, $3^x+3^{x+1}=3^{2x+1}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Probabilitatea se calculează ca raport: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}\text{(1 p)}.$$ Numerele divizibile cu $4$ din mulțime sunt $12,16,\dots ,96$: $$12,16,\dots ,96⟹22\text{ de cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Mulțimea $\{10,11,\dots ,99\}$ are $90$ de elemente: $$\text{sunt }90\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Probabilitatea este $$p=\frac{22}{90}=\frac{11}{45}\text{(1 p)}.$$

(Numărarea multiplilor: $12=4\cdot 3$ și $96=4\cdot 24$, deci sunt $24-3+1=22$ de numere. Unde se greșește de obicei: se începe numărarea de la $4$ sau de la $8$, care nu au două cifre; sau se socotesc $89$ de cazuri posibile, uitând că ambele capete fac parte din mulțime.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, suma a doi vectori.

Vectorii de poziție se scriu cu coordonatele punctelor, apoi se adună pe componente: $$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=2\vec{i}-\vec{j}-\vec{i}+3\vec{j}=\vec{i}+2\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Coordonatele sunt $$(1,2)\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-3\vec{i}+4\vec{j}$ în locul sumei; sau se scrie $\overrightarrow{ON}=\vec{i}+3\vec{j}$, pierzând minusul primei coordonate, și iese $3\vec{i}+2\vec{j}$, adică $(3,2)$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria triunghiului echilateral.

Aria triunghiului echilateral cu latura $l$ este $$\mathcal{S}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\text{(3 p)}.$$ Din $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ rezultă $l^2=16$, deci $$\mathbf{l}=4\text{(2 p)}.$$

(În baremul oficial aria este notată $A$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Lungimea este pozitivă, deci soluția $-4$ se elimină. Unde se greșește de obicei: se folosește formula $\frac{l^2\sqrt{3}}{2}$, care dă $l=2\sqrt{2}$; sau se oprește rezolvarea la $l^2=16$.)

Exercițiul 7. (15 p) — determinanți în geometrie: dreaptă, coliniaritate, arie.

a) (5 p) Pentru $n=0$ și $n=1$: $$A_0(1,1),A_1(2,3)\text{(1 p)}.$$ Ecuația dreptei prin două puncte, cu determinant: $$A_0{A}_1:\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ 1& 1& 1\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=0\text{(2 p)}.$$ Dezvoltând determinantul, $-2x+y+1=0$, deci $$A_0{A}_1:\mathbf{y}=2x-1\text{(2 p)}.$$

(Dezvoltarea după prima linie: $x(1-3)-y(1-2)+(3-2)=-2x+y+1$. Control: $A_0(1,1)$ și $A_1(2,3)$ verifică $y=2x-1$. Unde se greșește de obicei: se ia $A_0(0,0)$, uitând că $2^0=3^0=1$.)

b) (5 p) Punctele sunt $$A_1(2,3),A_2(4,9),A_3(8,27)\text{(1 p)}.$$ Trei puncte sunt coliniare exact când determinantul format cu coordonatele lor este nul. Aici $$\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 4& 9& 1\\ 8& 27& 1\end{array}\right|=12\ne 0\text{(4 p)},$$ deci punctele $A_1$, $A_2$, $A_3$ nu sunt coliniare.

(Dezvoltarea după prima linie: $2(9-27)-3(4-8)+(108-72)=-36+12+36=12$. Unde se greșește de obicei: se verifică doar că $A_3$ nu este pe dreapta $A_1{A}_2$ „din desen"; sau se citește $A_n(2n,3n)$ în loc de $A_n\left(2^n,3^n\right)$ — punctele $(2,3)$, $(4,6)$, $(6,9)$ ies coliniare, determinantul lor fiind $0$, și concluzia se răstoarnă.)

c) (5 p) Aria triunghiului se scrie cu determinantul coordonatelor: $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |\text{(1 p)},$$ $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{2}^n& 3^n& 1\\ 2^{n+1}& 3^{n+1}& 1\\ 2^{n+2}& 3^{n+2}& 1\end{array}\right|=2\cdot 6^n\text{(3 p)},$$ $$\frac{2\cdot 6^n}{2}=216⟹\mathbf{n}=3\text{(1 p)}.$$

(Calculul lui $\Delta$: din prima coloană se scoate factorul $2^n$, din a doua $3^n$, și rămâne $6^n\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 4& 9& 1\end{array}\right|=6^n(-6+2+6)=2\cdot 6^n$. Apoi $6^n=216=6^3$. Control: pentru $n=1$, $\Delta =12$, exact determinantul de la b). În baremul oficial aria este notată $A$; la noi, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ din formula ariei și iese $6^n=108$, fără soluție naturală.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție: element neutru, simetric, parte stabilă.

a) (5 p) Se calculează compunerea cu $3$ la dreapta: $$x\circ 3=\frac{1}{2}(x\cdot 3-x-3+3)=x\text{(2 p)},$$ și la stânga: $$3\circ x=\frac{1}{2}(3\cdot x-3-x+3)=x\text{(2 p)},$$ pentru orice număr real $x$, deci $3$ este element neutru (1 p).

(Calculul: $\frac{1}{2}(3x-x)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$. Legea este comutativă, deci a doua verificare repetă prima; baremul o cere totuși, pentru că definiția elementului neutru are două egalități. Unde se greșește de obicei: se scrie termenul $-y$ ca $+3$ și iese $x\circ 3=\frac{1}{2}(3x-x+3+3)=x+3\ne x$, de unde concluzia greșită că $3$ nu este element neutru.)

b) (5 p) Căutăm $a\in \mathbb{R}$ astfel încât $$a\circ 2=2\circ a=3\text{(1 p)}.$$ Legea este comutativă: $$2\circ a=a\circ 2\text{(1 p)}.$$ Scriem egalitatea cu formula legii: $$\frac{1}{2}(2a-2-a+3)=3\text{(1 p)},$$ $$a+1=6⟹\mathbf{a}=5\text{(2 p)}.$$

(Control: $2\circ 5=\frac{1}{2}(10-2-5+3)=\frac{1}{2}\cdot 6=3=e$. Unde se greșește de obicei: se caută $a$ cu $2\circ a=0$ sau $2\circ a=1$, ca la adunarea sau la înmulțirea obișnuită; simetricul se definește față de elementul neutru al legii, aici $3$.)

c) (5 p) Luăm două elemente oarecare din $H$: $$\text{fie }x,y\in H⟹x=2k+1,y=2p+1,k,p\in \mathbb{Z}\text{(1 p)}.$$ Înlocuind în formula legii: $$x\circ y=\frac{1}{2}(4kp+2k+2p+1-2k-1-2p-1+3)\text{(2 p)},$$ $$x\circ y=2kp+1\in H\text{(2 p)}.$$

(În paranteză: $xy=4kp+2k+2p+1$, iar $-x-y+3=-2k-1-2p-1+3$; totul se reduce la $4kp+2$, a cărui jumătate este $2kp+1$, cu $kp\in \mathbb{Z}$. Unde se greșește de obicei: se verifică proprietatea pe două numere impare anume, de exemplu $1\circ 3=1$ — un exemplu nu demonstrează proprietatea pentru toate elementele; sau se folosește aceeași literă $k$ pentru $x$ și $y$, ceea ce ar acoperi doar cazul $x=y$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și o limită.

a) (5 p) Derivata funcției este $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+e^x\text{(3 p)}.$$ Finalizare: înmulțind cu $x>0$, $x{f}^{\prime }(x)=x\cdot \frac{1}{x}+x{e}^x=1+x{e}^x$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se derivează $e^x$ ca $x{e}^{x-1}$, ca pe o putere; sau se înmulțește cu $x$ doar primul termen și iese $1+e^x$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $1$ este $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(2 p)}.$$ Valorile necesare: $$f^{\prime }(1)=1+e,f(1)=e\text{(2 p)},$$ deci tangenta are ecuația $$\mathbf{y}=(\mathbf{e}+1)\mathbf{x}-1\text{(1 p)}.$$

(Calculul: $y=e+(e+1)(x-1)=(e+1)x-e-1+e=(e+1)x-1$. Control: pentru $x=1$ se obține $y=e$, adică punctul $A$. Unde se greșește de obicei: se ia panta $f(1)=e$ în loc de $f^{\prime }(1)$; sau se calculează $f(1)=1+e$, uitând că $\ln 1=0$.)

c) (5 p) Limita are forma $\frac{\infty }{\infty }$; cu regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x+e^x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}+e^x}{1}\text{(3 p)},$$ $$=+\infty \text{(2 p)}.$$

(În ultima fracție $\frac{1}{x}\to 0$ și $e^x\to +\infty$. Unde se greșește de obicei: se consideră că $\frac{\ln x}{x}\to 0$ „rezolvă" toată limita și se uită termenul $\frac{e^x}{x}$, care tinde la $+\infty$.)

Exercițiul 10. (15 p) — aria sub grafic, concavitatea primitivelor, o inegalitate cu integrală.

a) (5 p) Funcția este pozitivă (discriminantul lui $3x^2+2x+1$ este $4-12<0$), deci modulul dispare: $$\mathcal{S}={\int }_0^1|f(x)|dx={\int }_0^1\left(3x^2+2x+1\right)dx\text{(3 p)},$$ $$\mathcal{S}=\left(x^3+x^2+x\right){|}_0^1=3\text{(2 p)}.$$

(În baremul oficial aria este notată $A$; la noi, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se integrează $3x^2$ ca $3x^3$, fără împărțirea la exponent, și iese $5$; sau se uită primitiva termenului liber $1$ și iese $\left(x^3+x^2\right){|}_0^1=2$ — primitiva lui $3x^2$ este $x^3$, iar a lui $1$ este $x$.)

b) (5 p) Fie $g$ o primitivă a funcției $f$: $$g^{\prime }(x)=f(x),\text{ oricare ar fi }x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Derivata a doua a primitivei este derivata funcției: $$g^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=6x+2\text{(1 p)}.$$ $$x<-\frac{1}{3}⟹g^{\prime \prime }(x)<0,\text{ deci }g\text{ este concava˘ pe intervalul }\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)\text{(2 p)}.$$

(Semnul: $6x+2<0⟺x<-\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f$ în loc de semnul lui $f^{\prime }$ — semnul lui $f$ dă monotonia primitivei, nu concavitatea ei.)

c) (5 p) Integrala se calculează cu formula Leibniz–Newton: $${\int }_0^{a}f(x)dx=\left(x^3+x^2+x\right){|}_0^a=a^3+a^2+a\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea devine $$a^3+a^2+a\ge 3a^2+2⟺(a-2)\left(a^2+1\right)\ge 0,\text{ adeva˘rata˘ oricare ar fi }a\ge 2\text{(3 p)}.$$

(Factorizarea: $a^3-2a^2+a-2=a^2(a-2)+(a-2)=(a-2)\left(a^2+1\right)$; pentru $a\ge 2$ ambii factori sunt nenegativi. Control: pentru $a=2$, $8+4+2=14=3\cdot 4+2$ — egalitate. Unde se greșește de obicei: se verifică inegalitatea doar pentru $a=2$ și $a=3$ — două valori nu acoperă toți $a\ge 2$; sau se uită termenul $x$ din primitivă, ${\int }_0^{a}f(x)dx=a^3+a^2$, iar inegalitatea $a^3-2a^2-2\ge 0$ pică chiar în $a=2$, unde membrul stâng este $-2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2011 a examenului de bacalaureat — Varianta 10, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2011 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2011:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: suma logaritmilor este logaritmul produsului — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coeficienți determinați din două puncte ale graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: factor comun $3^x$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: multiplii lui $4$ dintre numerele de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: suma a doi vectori de poziție, în coordonate — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: aria triunghiului echilateral — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Determinanți în geometrie: ecuația dreptei prin două puncte, coliniaritatea a trei puncte, aria unui triunghi — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: elementul neutru, simetricul unui element, parte stabilă — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, ecuația tangentei, o limită $\frac{\infty }{\infty }$ — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: aria unei suprafețe plane, concavitatea primitivelor, o inegalitate cu parametru — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din 2011. Subiectul I are șase cerințe scurte, fiecare rezolvabilă cu o singură proprietate: logaritmul produsului, două valori ale unei funcții, factorul comun $3^x$, numărarea multiplilor lui $4$, adunarea vectorilor pe coordonate și formula ariei triunghiului echilateral. Subiectul al II-lea pune determinanții în slujba geometriei — ecuația dreptei, coliniaritatea, aria — pe punctele $A_n(2^n,3^n)$, unde subpunctul c) se reduce la $6^n=216$; apoi o lege de compoziție la care se verifică elementul neutru, se caută simetricul lui $2$ și se arată că numerele impare formează o parte stabilă. Subiectul al III-lea cere o tangentă, o limită rezolvată cu regula lui l'Hôpital, apoi o arie, concavitatea oricărei primitive (prin derivata a doua) și o inegalitate redusă la $(a-2)\left(a^2+1\right)\ge 0$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre legi de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, o ecuație de dreaptă și $+\infty$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: elementul neutru verificat doar pe o parte ($x\circ 3=x$ fără $3\circ x=x$); necoliniaritatea afirmată fără calculul determinantului; partea stabilă arătată pe un exemplu, nu pentru orice $x$, $y$ din mulțime; concavitatea primitivei afirmată fără derivata a doua.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$. Exponențiale: $3^{x+1}=3\cdot 3^x$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Vectori în reper: dacă $M(x_M,y_M)$, atunci $\overrightarrow{OM}=x_M\vec{i}+y_M\vec{j}$. Triunghiul echilateral cu latura $l$ are aria $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.
• Determinanți în geometrie: dreapta prin $(x_1,y_1)$ și $(x_2,y_2)$ are ecuația $\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\end{array}\right|=0$; trei puncte sunt coliniare exact când determinantul lor $\Delta$ este $0$; aria triunghiului este $\frac{1}{2}|\Delta |$.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$; $x^{\prime }$ este simetricul lui $x$ dacă $x\circ x^{\prime }=x^{\prime }\circ x=e$; $H$ este parte stabilă dacă $x,y\in H⟹x\circ y\in H$.
• Derivate: tangenta în punctul de abscisă $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; regula lui l'Hôpital pentru cazul $\frac{\infty }{\infty }$.
• Integrale: aria suprafeței dintre graficul unei funcții pozitive, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$; o funcție cu derivata a doua negativă pe un interval este concavă pe acel interval.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2+ax+b$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\ln x+e^x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=3x^2+2x+1$ de la cerința $10$. Litera $a$ este coeficientul funcției de la cerința $2$, necunoscuta (simetricul lui $2$) în rezolvarea cerinței $8$ și parametrul inegalității de la cerința $10$. Litera $A$ denumește punctul $A(2,3)$ de la cerința $2$, punctele $A_n$ de la cerința $7$ și punctul $A(1,e)$ de la cerința $9$ (în barem, $A$ este și aria, pe care noi o notăm $\mathcal{S}$). Litera $p$ este probabilitatea de la cerința $4$ și, în rezolvarea cerinței $8$, un număr întreg ($y=2p+1$). Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, „$\circ$" este legea de compoziție, nu compunerea funcțiilor; subiectul oficial o notează chiar cu acest semn. Cifra $3$ din formula legii nu are legătură cu elementul neutru $e=3$ decât prin calcul. Tot aici, $e$ este elementul neutru al legii, pe când la cerința $9$ litera $e$ este numărul lui Euler (din $e^x$ și din punctul $A(1,e)$).
• La cerința $7$, $n$ este număr natural, inclusiv $0$ (de aceea există punctul $A_0(1,1)$), iar $A_n$, $A_{n+1}$, $A_{n+2}$ sunt trei puncte consecutive din șir.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".