Bac M2 2015, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2015 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați $(2-3i)(2+3i)$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(f(3))$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3\left(x^2+17\right)={\log }_{3}81$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,a)$, $B(3,2)$ și $C(2,1)$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}1& 2a\\ 2a& 4\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $A(1)+A(-1)=2A(0)$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (A(a))=0$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $A(2)\cdot X=A(8)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=2xy-6x-6y+21$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-3)\circ 3=3$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Calculați $1\circ \sqrt{2}\circ \sqrt{3}\circ \dots \circ \sqrt{2015}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3e^x+x^2$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=3$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)e^{x}dx=e^2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=a$, are aria egală cu $4+\ln a$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($1+2+2$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se înmulțesc parantezele; este produsul dintre o diferență și o sumă: $$(2-3i)(2+3i)=4-9i^2=\text{(3 p)}$$ $$=4+9=13\text{(2 p)}.$$

(Numerele $2-3i$ și $2+3i$ sunt conjugate, iar produsul a două numere conjugate este $a^2+b^2$, un număr real: $4+9=13$. Unde se greșește de obicei: se ia $i^2=1$ și iese $4-9=-5$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează întâi valoarea din interior: $$f(3)=2\cdot 3-1=5\text{(2 p)}.$$ $$f(f(3))=f(5)=2\cdot 5-1=9\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $f(f(3))$ se citește ca produs, $f(3)\cdot f(3)=25$ — dar compunerea înseamnă să aplici $f$ valorii $f(3)=5$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția ${\log }_3$ este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$x^2+17=81⟺x^2=64\text{(2 p)}.$$ $${\mathbf{x}}_1=-8\text{ și }{\mathbf{x}}_2=8,\text{ care verifica˘ ecuația}\text{(3 p)}.$$

(Condiția de existență, $x^2+17>0$, este îndeplinită pentru orice $x$ real. Verificare: $(\pm 8{)}^2+17=81=3^4$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $x=8$, uitând că și $(-8{)}^2=64$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$: sunt $90$ de numere, deci $90$ de cazuri posibile (1 p).

Numerele de două cifre divizibile cu $5$ sunt $10,15,20,\dots ,95$: sunt $18$, deci $18$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: numerele divizibile cu $5$ se termină în $0$ sau în $5$; pentru fiecare dintre cele $9$ cifre ale zecilor sunt două, deci $2\cdot 9=18$. Unde se greșește de obicei: se numără $100$ de numere de două cifre, și iese $\frac{18}{100}$, sau $89$ de numere, dintr-o scădere $99-10$ fără $+1$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Se calculează pantele dreptelor $AB$ și $BC$: $$m_{AB}=\frac{2-a}{3-1}=\frac{2-a}{2}\text{ și }{m}_{BC}=\frac{1-2}{2-3}=1\text{(2 p)}.$$ Punctele sunt coliniare când pantele sunt egale: $$m_{AB}=m_{BC}⟺\frac{2-a}{2}=1⟺\mathbf{a}=0\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $a=0$, punctele $A(1,0)$, $B(3,2)$ și $C(2,1)$ se află toate pe dreapta $y=x-1$. Pantele există, pentru că abscisele punctelor sunt diferite două câte două. Unde se greșește de obicei: la panta lui $BC$ diferențele se iau în ordini diferite, $\frac{1-2}{3-2}=-1$, și iese $a=4$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Pentru $x=\frac{\pi }{2}$, $\frac{x}{3}=\frac{\pi }{6}$ și $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{4}$: $$E\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{4}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{1+\sqrt{2}}{2}\approx 1,2071068$. Unde se greșește de obicei: $\frac{\pi }{2}:3$ se socotește $\frac{\pi }{3}$ și se scrie $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar suma iese $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Se scriu cele trei matrice: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right),A(-1)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right),A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$A(1)+A(-1)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 8\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=2A(0)\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: în $A(-1)$ se schimbă semnul tuturor elementelor; doar elementele $2a$ depind de $a$, iar $1$ și $4$ rămân pe loc.)

b) (5 p) Se calculează determinantul: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}1& 2a\\ 2a& 4\end{array}\right|=4-4a^2\text{(3 p)}.$$ $$4-4a^2=0⟺{\mathbf{a}}_1=-1\text{ și }{\mathbf{a}}_2=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $4-4a^2=4(1-a)(1+a)$. Unde se greșește de obicei: produsul de pe a doua diagonală se scrie $2a\cdot 2a=2a^2$ și iese $a^2=2$.)

c) (5 p) Matricea $A(2)$ este inversabilă: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 4\end{array}\right),\det (A(2))=-12\ne 0⟹(A(2){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{12}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se înmulțește ecuația la stânga cu inversa: $$X=(A(2){)}^{-1}\cdot A(8)⟹X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{12}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 16\\ 16& 4\end{array}\right)⟹\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ -1& 5\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $(A(2){)}^{-1}=\frac{1}{-12}\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ -4& 1\end{array}\right)$. Control: $A(2)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ -1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 16\\ 16& 4\end{array}\right)=A(8)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $X=A(8)\cdot (A(2){)}^{-1}$; matricele $A(2)$ și $A(8)$ nu comută, iar produsul în această ordine dă $\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ -4& 5\end{array}\right)$, o matrice care nu verifică ecuația.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=-3$ și $y=3$: $$(-3)\circ 3=2\cdot (-3)\cdot 3-6\cdot (-3)-6\cdot 3+21=\text{(3 p)}$$ $$=-18+18-18+21=3\text{(2 p)}.$$

(Control cu forma de la subpunctul b): $2(-3-3)(3-3)+3=0+3=3$.)

b) (5 p) Se scrie $21=18+3$: $$x\circ y=2xy-6x-6y+18+3=\text{(2 p)}$$ $$=2x(y-3)-6(y-3)+3=2(x-3)(y-3)+3,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $2xy-6x=2x(y-3)$, iar $-6y+18=-6(y-3)$; factorul comun $(y-3)$ dă $(2x-6)(y-3)=2(x-3)(y-3)$. Control: $2(x-3)(y-3)+3=2xy-6x-6y+18+3$.)

c) (5 p) Din forma de la subpunctul b), un factor al produsului se anulează când unul dintre elemente este $3$: $$x\circ 3=3\text{ și }3\circ y=3,\text{ pentru }x\text{ și }y\text{ numere reale}\text{(2 p)}.$$ În șir apare $\sqrt{9}=3$; legea este asociativă, deci termenii se pot grupa: $$1\circ \sqrt{2}\circ \sqrt{3}\circ \dots \circ \sqrt{2015}=\left(1\circ \sqrt{2}\circ \sqrt{3}\circ \dots \circ \sqrt{8}\right)\circ 3\circ \left(\sqrt{10}\circ \sqrt{11}\circ \dots \circ \sqrt{2015}\right)=3\circ \left(\sqrt{10}\circ \sqrt{11}\circ \dots \circ \sqrt{2015}\right)=3\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $x\circ 3=2(x-3)\cdot 0+3=3$. Baremul folosește tacit două lucruri: că $\sqrt{9}=3$ se află printre termenii șirului, între $\sqrt{8}$ și $\sqrt{10}$, și că asociativitatea, dată în enunț, permite gruparea. Control: am compus efectiv șirul, termen cu termen, în scriptul nostru; după al nouălea termen valoarea rămâne $3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x\circ 3=2(x-3)\cdot 0+3=0$, pierzând termenul $+3$, și rezultatul iese $0$; sau se ia $3$ drept element neutru, $x\circ 3=x$, deși el „absoarbe" tot. O observație: o formulă pentru compunerea tuturor celor $2015$ termeni nu este necesară — ajunge elementul $3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata ca limită, tangentă, convexitate.

a) (5 p) Limita este, prin definiție, derivata în $0$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=3e^x+2x\text{ și }{f}^{\prime }(0)=3⟹\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=3\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează exponențiala după regula puterii, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=x{e}^{x-1}$, și iese $f^{\prime }(x)=3x{e}^{x-1}+2x$, deci $f^{\prime }(0)=0$ — limita ar „ieși" $0$, nu $3$. O observație separată: aici $f(0)=3$ are aceeași valoare ca $f^{\prime }(0)$, dar limita raportului este derivata, nu valoarea funcției; a scrie limita egală cu $f(0)$ dă numărul bun pe un drum greșit.)

b) (5 p) Se calculează valoarea și derivata în $0$: $$f(0)=3,f^{\prime }(0)=3\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)⟹\mathbf{y}=3x+3\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(0)=3e^0+0=3$. Unde se greșește de obicei: la calculul lui $f(0)$ se ia $e^0=0$ și iese $f(0)=0$, deci tangenta $y=3x$.)

c) (5 p) Se calculează derivata a doua: $$f^{\prime \prime }(x)=3e^x+2,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime \prime }(x)>0,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }f\text{ este convexa˘ pe }\mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $e^x>0$ pentru orice $x$, deci $3e^x+2>2>0$. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f^{\prime }$ — acesta dă monotonia, nu convexitatea.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Cum $f(x)-\frac{1}{x}=x$: $${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx={\int }_1^{3}xdx=\frac{1}{2}{x}^2{|}_1^3=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{2}(9-1)=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x$ se scrie $x^2$, fără factorul $\frac{1}{2}$, și iese $8$.)

b) (5 p) Integrandul este $x{e}^x$; se integrează prin părți, cu $f=x$ și $g^{\prime }=e^x$: $${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)e^{x}dx={\int }_1^{2}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_1^2-{\int }_1^2{e}^{x}dx=\text{(3 p)}$$ $$=2e^2-e-e^x{|}_1^2=e^2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $e^x{|}_1^2=e^2-e$, deci $2e^2-e-(e^2-e)=e^2$. Control: o primitivă a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$, iar $(2-1)e^2-(1-1)e=e^2$. Unde se greșește de obicei: semnul minus din fața integralei se aplică doar primului termen, $2e^2-e-e^2-e=e^2-2e$.)

c) (5 p) Pe $[1,a]$, $f(x)=x+\frac{1}{x}>0$, deci $|f(x)|=f(x)$: $$\mathcal{S}={\int }_1^a|f(x)|dx={\int }_1^a\left(x+\frac{1}{x}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\ln x\right){|}_1^a=\frac{a^2-1}{2}+\ln a\text{(3 p)}.$$ $$\frac{a^2-1}{2}+\ln a=4+\ln a⟺a^2=9\text{ și, cum }a>1,\text{ obținem }\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$

(Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Detaliul: $\ln 1=0$, iar $\ln a$ se reduce din ambii membri; din $a^2-1=8$ rezultă $a=\pm 3$, iar condiția $a>1$ o lasă doar pe $3$. Control numeric: aria pentru $a=3$ este $4+\ln 3\approx 5,0986123$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2015 a examenului de bacalaureat național — Varianta 5, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: produsul a două numere complexe conjugate — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: valoarea lui $f(f(3))$ pentru o funcție de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: egalitatea argumentelor, apoi o ecuație de gradul al doilea — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre divizibile cu $5$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: trei puncte coliniare, prin pante egale — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valori ale lui $\sin$ și $\cos$ în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: suma a două matrice, determinantul cu parametru, inversa unei matrice și o ecuație matriceală — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, scrierea ei ca produs de paranteze, un element care „absoarbe" tot — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata ca limită, ecuația tangentei, convexitatea prin derivata a doua — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală polinomială, o integrare prin părți, aria unei suprafețe plane cu parametru — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2015. Subiectul I este format din șase cerințe directe: un produs de numere complexe conjugate, care dă un număr real, o funcție compusă cu ea însăși, o ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri, o probabilitate pe numerele de două cifre, coliniaritatea a trei puncte și o expresie trigonometrică în care $\frac{x}{3}$ și $\frac{x}{2}$ devin, pentru $x=\frac{\pi }{2}$, unghiurile remarcabile $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{4}$. La Subiectul al II-lea, ecuația $A(2)\cdot X=A(8)$ se rezolvă cu inversa lui $A(2)$, înmulțită la stânga. Legea $x\circ y=2xy-6x-6y+21$ se scrie $2(x-3)(y-3)+3$, iar de aici $3$ „absoarbe" orice element: în lungul șir $1\circ \sqrt{2}\circ \sqrt{3}\circ \dots \circ \sqrt{2015}$ apare $\sqrt{9}=3$, și rezultatul este $3$. La Subiectul al III-lea, limita de la subpunctul a) este chiar $f^{\prime }(0)$, iar la integrale funcția $x+\frac{1}{x}$ se simplifică la $x$ la subpunctele a) și b); subpunctul b) cere o integrare prin părți.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $13$, $9$, $\{-8,8\}$, $\frac{1}{5}$, $a=0$, $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$, $a\in \{-1,1\}$, $X=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ -1& 5\end{array}\right)$, $3$, $y=3x+3$, $4$, $e^2$ și $a=3$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 7, subpunctul c), inversa înmulțită la dreapta lui $A(8)$ în loc de la stânga; la cerința 8, subpunctul c), rezultatul $3$ scris fără să se arate că $\sqrt{9}=3$ apare în șir; la cerința 10, subpunctul c), soluția $a=-3$ păstrată, deși enunțul cere $a>1$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u,v>0$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Coliniaritate: $A$, $B$, $C$ sunt coliniare când $m_{AB}=m_{BC}$, unde $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Unghiuri remarcabile: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$, dacă $ad-bc\ne 0$; din $A\cdot X=B$ rezultă $X=A^{-1}\cdot B$. Legi de compoziție: dacă $x\circ y=k(x-c)(y-c)+c$, atunci $x\circ c=c\circ y=c$.
• Derivate: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; dacă $f^{\prime \prime }(x)>0$ pe un interval, $f$ este convexă pe el.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; aria suprafeței dintre graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=1$, $x=a$ este $\mathcal{S}={\int }_1^a|f(x)|dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=2x-1$ la cerința $2$, $f(x)=3e^x+x^2$ la cerința $9$ și $f(x)=x+\frac{1}{x}$ la cerința $10$.
• Litera $A$ este, la cerința $5$, un punct din plan, $A(1,a)$, iar la cerința $7$, matricea $A(a)$. Litera $a$ este, la cerințele $5$, $7$ și $10$, câte un număr real necunoscut, de fiecare dată altul.
• La cerința $8$, semnul $\circ$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; compunerea apare doar la cerința $2$, scrisă $f(f(3))$. Pentru că legea este asociativă, șirul $1\circ \sqrt{2}\circ \dots \circ \sqrt{2015}$ are un singur sens, oricum s-ar grupa termenii.
• Baremul oficial notează aria de la cerința $10$ cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$. Litera $X$ de la cerința $7$ este matricea necunoscută, nu nedeterminata unui polinom.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".