Bac M2 2016, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2016 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați rația progresiei geometrice ${\left(b_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $b_3=5$ și $b_4=10$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați valoarea maximă a funcției $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+12}=x+2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4,5,6,7\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,4)$ și $B(1,0)$. Determinați ecuația dreptei $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$, în care $AB=6$ și $C=\frac{\pi }{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1+x& -x\\ 2x& 1-2x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)A(y)=A(x+y-xy)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, $x\ne 1$, pentru care matricea $A(x)$ este egală cu inversa ei.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=2xy-6x-6y+21$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $1\circ 2\circ 3\circ 4=3$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, pentru care $x\circ x\circ x=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\ln x\le x-1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(x^2+1\right)f(x)dx=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx=1-\frac{\pi }{4}$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$, știind că ${\int }_n^{n+1}2xf(x)dx=\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea august-septembrie 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică, rația.

Într-o progresie geometrică fiecare termen se obține din precedentul înmulțind cu rația, deci $$q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{10}{5}\text{(3 p)}.$$ $$q=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $b_4=b_3\cdot q=5\cdot 2=10$. Unde se greșește de obicei: se împarte invers, $\frac{b_3}{b_4}=\frac{1}{2}$; atunci $b_4$ ar fi $5\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$, nu $10$. Sau se scade, $b_4-b_3=5$, ca la o progresie aritmetică.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, valoarea maximă.

Pentru $x\in [1,5]$ avem $x\le 5$, deci $$x\le 5\Rightarrow x-3\le 2\text{(2 p)}.$$ Așadar $f(x)\le 2$ pentru orice $x\in [1,5]$, iar valoarea $2$ este atinsă, $f(5)=2$, deci valoarea maximă a funcției este $2$ (3 p).

(Funcția $f(x)=x-3$ are coeficientul lui $x$ pozitiv, deci este crescătoare: maximul se atinge în capătul din dreapta al intervalului. Unde se greșește de obicei: se ia capătul din stânga, $f(1)=-2$ — aceea este valoarea minimă; sau se răspunde cu abscisa, $5$, în loc de valoarea funcției.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ridicăm la pătrat ambii membri: $$x^2+12=(x+2{)}^2\Rightarrow x^2+12=x^2+4x+4\Rightarrow 4x-8=0\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{x}=2$, care verifică ecuația: $\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4=2+2$ (2 p).

(Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă — poate adăuga soluții — de aceea verificarea în ecuația inițială face parte din rezolvare. Aici $x+2=4\ge 0$, deci soluția convine. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x+2{)}^2=x^2+4$, uitând termenul dublu $4x$; atunci ecuația devine $12=4$, fără soluție.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, submulțimi.

O submulțime cu două elemente nu ține seama de ordine, deci numărul lor este numărul de combinări de $7$ luate câte $2$: $$C_7^2=\frac{7!}{2!\cdot 5!}\text{(3 p)}.$$ $$C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21\text{(2 p)}.$$

(Control prin numărare directă: elementul $1$ se poate împerechea cu $6$ elemente mai mari, $2$ cu $5$, …, $6$ cu unul singur, deci $6+5+4+3+2+1=21$. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamentele, $A_7^2=7\cdot 6=42$, care numără perechile ordonate — $\{1,2\}$ și $\{2,1\}$ sunt însă aceeași submulțime; sau se răspunde cu $2^7=128$, numărul tuturor submulțimilor.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, ecuația dreptei prin două puncte.

Ecuația dreptei prin două puncte, scrisă cu punctul $B(1,0)$ ca reper: $$\frac{y-0}{4-0}=\frac{x-1}{3-1}\text{(3 p)}.$$ De aici $\frac{y}{4}=\frac{x-1}{2}$, adică $\mathbf{y}=2x-2$ (2 p).

(Control: $A(3,4)$: $2\cdot 3-2=4$; $B(1,0)$: $2\cdot 1-2=0$ — ambele puncte verifică ecuația. Panta dreptei este $m=\frac{4-0}{3-1}=2$. Unde se greșește de obicei: se inversează raportul și se ia panta $\frac{3-1}{4-0}=\frac{1}{2}$; atunci dreapta $y=\frac{x-1}{2}$ nu mai trece prin $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, teorema sinusurilor.

Latura $AB$ se opune unghiului $C$, iar teorema sinusurilor dă $$\frac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{6}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{(3 p)}.$$ $$R=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Control: $2R=4\sqrt{3}$, iar $4\sqrt{3}\cdot \sin \frac{\pi }{3}=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6=AB$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ și se scrie $R=\frac{AB}{\sin C}=4\sqrt{3}$ — aceasta este lungimea diametrului; sau se folosește $\cos C=\frac{1}{2}$ în loc de $\sin C$ și iese $R=6$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$ matricea este chiar matricea unitate: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det (A(0))=1-0=1\text{(3 p)}.$$

(În general, $\det (A(x))=(1+x)(1-2x)+2x^2=1-x$, iar pentru $x=0$ dă tot $1$. Unde se greșește de obicei: se adună elementele de pe diagonala principală, $1+1=2$ — aceasta este suma diagonalei, nu determinantul. Adunarea produselor celor două diagonale, în loc de scădere, nu se vede la $A(0)$, unde produsul diagonalei secundare este $0$, dar în general dă $(1+x)(1-2x)-2x^2=1-x-4x^2$ în loc de $1-x$.)

b) (5 p) Înmulțim linie cu coloană: $$A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}1+x& -x\\ 2x& 1-2x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1+y& -y\\ 2y& 1-2y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+x+y-xy& -y-x+xy\\ 2x+2y-2xy& 1-2y-2x+2xy\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Grupăm în fiecare element expresia $x+y-xy$: $$A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}1+(x+y-xy)& -(x+y-xy)\\ 2(x+y-xy)& 1-2(x+y-xy)\end{array}\right)=A(x+y-xy),\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Detaliul primului element: $(1+x)(1+y)+(-x)\cdot 2y=1+x+y+xy-2xy=1+x+y-xy$. Pentru că $x+y-xy$ nu se schimbă dacă schimbăm $x$ cu $y$, avem și $A(x)A(y)=A(y)A(x)$: aceste matrice comută. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element, $(1+x)(1+y)$, $xy$, …, ceea ce nu este înmulțirea matricelor.)

c) (5 p) Matricea $A(x)$ este egală cu inversa ei exact când $A(x)\cdot A(x)=I_2$. Cu regula de la b) și cu $I_2=A(0)$: $$A(x)A(x)=I_2\text{ și, cum }{I}_2=A(0),\text{ obținem }A\left(x+x-x^2\right)=A(0)\text{(3 p)}.$$ $$2x-x^2=0\iff \mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Baremul trece direct de la $A(s)=A(t)$ la $s=t$; justificarea: elementul din dreapta sus al lui $A(s)$ este $-s$, deci două matrice $A(s)$ și $A(t)$ egale au $-s=-t$. Condiția $x\ne 1$ din enunț exclude singura valoare pentru care $\det (A(x))=1-x=0$, adică matricea fără inversă; ambele soluții o respectă. Control: $A(2)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& -3\end{array}\right)$ și $A(2)\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}9-8& -6+6\\ 12-12& -8+9\end{array}\right)=I_2$. Unde se greșește de obicei: se pune condiția $\det (A(x))=1$ și iese doar $x=0$; din $A(x)\cdot A(x)=I_2$ rezultă însă numai $(\det A(x){)}^2=1$, adică determinantul poate fi și $-1$ — exact cazul lui $A(2)$, pentru care $\det (A(2))=-1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Scriem termenul liber ca $18+3$: $$x\circ y=2xy-6x-6y+18+3\text{(2 p)}.$$ Grupăm primii doi termeni și următorii doi: $$x\circ y=2x(y-3)-6(y-3)+3=2(x-3)(y-3)+3,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $x=y=0$, $2\cdot 0\cdot 0-0-0+21=21$ și $2\cdot (-3)\cdot (-3)+3=21$. Unde se greșește de obicei: se desface paranteza cu un semn greșit, $2(x-3)(y-3)=2xy-6x-6y-18$, și termenul liber nu mai iese.)

b) (5 p) Legea este asociativă, deci calculăm de la stânga la dreapta: $$1\circ 2\circ 3\circ 4=((1\circ 2)\circ 3)\circ 4\text{(3 p)}.$$ Cu forma de la a), $1\circ 2=2\cdot (-2)\cdot (-1)+3=7$, iar $7\circ 3=2\cdot 4\cdot 0+3=3$, deci $$1\circ 2\circ 3\circ 4=3\circ 4=3\text{(2 p)}.$$

(Mai mult: pentru orice $y$ real, $3\circ y=2\cdot 0\cdot (y-3)+3=3$ — numărul $3$ „înghite" orice alt număr, așa că rezultatul este $3$ indiferent de ceilalți factori. Unde se greșește de obicei: se aplică formula cu $x+3$ în loc de $x-3$ sau se uită termenul $+3$ de la final, iar calculul nu mai iese $3$.)

c) (5 p) Aplicăm forma de la a) de două ori: $$x\circ x=2(x-3{)}^2+3,x\circ x\circ x=4(x-3{)}^3+3\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $4(x-3{)}^3+3=x$, adică $4(x-3{)}^3-(x-3)=0$, sau $(x-3)(4(x-3{)}^2-1)=0$: $$4(x-3{)}^3+3=x\iff \mathbf{x}=\frac{5}{2}\text{ sau }\mathbf{x}=3\text{ sau }\mathbf{x}=\frac{7}{2}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $(x\circ x)\circ x=2(2(x-3{)}^2+3-3)(x-3)+3=4(x-3{)}^3+3$. Din $4(x-3{)}^2=1$ rezultă $x-3=\pm \frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $4(x-3{)}^3=x-3$ prin $x-3$ și se pierde soluția $x=3$; sau se scrie $x\circ x\circ x=2(x-3{)}^3+3$, cu coeficientul $2$ în loc de $4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate, convexitate și o inegalitate.

a) (5 p) Derivăm termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }-(\ln x{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $f^{\prime }(2)=\frac{1}{2}$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot aproximativ $0,5$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\ln x{)}^{\prime }=\ln x$ sau $(\ln x{)}^{\prime }=x$.)

b) (5 p) Derivăm încă o dată $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}$: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime \prime }(x)>0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\Rightarrow f\text{ este convexa˘ pe intervalul }(0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează $-\frac{1}{x}$ ca $-\frac{1}{x^2}$, cu semnul greșit — atunci $f^{\prime \prime }$ ar fi negativă și concluzia s-ar inversa; sau se trage concluzia din semnul lui $f^{\prime }$, care dă monotonia, nu convexitatea.)

c) (5 p) Studiem monotonia lui $f$: $$f^{\prime }(x)=0\iff x=1\text{(1 p)}.$$ $$x\in (0,1]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,1]\text{(1 p)}.$$ $$x\in [1,+\infty )\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Cum $f(1)=1-\ln 1=1$, obținem $f(x)\ge 1$, adică $x-\ln x\ge 1$, deci $\ln x\le x-1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (2 p).

(Semnul lui $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x}$ este semnul lui $x-1$, pentru că $x>0$. Funcția coboară până în $x=1$ și urcă după, deci $f(1)=1$ este valoarea ei minimă. Unde se greșește de obicei: se inversează semnul lui $f^{\prime }$ pe $(0,1)$ și iese că $1$ este punct de maxim, adică $x-\ln x\le 1$ — inegalitatea contrară, $\ln x\ge x-1$. Verificarea în câteva puncte ($x=1$, $x=e$) nu este o demonstrație.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite cu $\frac{1}{x^2+1}$.

a) (5 p) Factorul $x^2+1$ se simplifică: $${\int }_0^1\left(x^2+1\right)f(x)dx={\int }_0^1\left(x^2+1\right)\cdot \frac{1}{x^2+1}dx={\int }_0^{1}1dx=x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1\left(x^2+1\right)f(x)dx=1-0=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează separat, ca și cum integrala unui produs ar fi produsul integralelor; simplificarea dinainte face totul de o linie.)

b) (5 p) Adunăm și scădem $1$ la numărător: $${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx={\int }_0^1\frac{x^2}{x^2+1}dx={\int }_0^{1}1dx-{\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx\text{(2 p)}.$$ Cu primitiva $\mathrm{arctg}x$ a funcției $\frac{1}{x^2+1}$: $${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx=x{|}_0^1-\mathrm{arctg}x{|}_0^1=1-\mathrm{arctg}1=1-\frac{\pi }{4}\text{(3 p)}.$$

(Rescrierea: $\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}$. Se folosesc $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ și $\mathrm{arctg}0=0$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,2146018$, iar $1-\frac{\pi }{4}\approx 0,2146018$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $\frac{1}{x^2+1}$ ca $\ln \left(x^2+1\right)$ — aceea este primitiva lui $\frac{2x}{x^2+1}$, de la subpunctul c).)

c) (5 p) Numărătorul $2x$ este derivata numitorului $x^2+1$, deci primitiva este un logaritm: $${\int }_n^{n+1}2xf(x)dx={\int }_n^{n+1}\frac{2x}{x^2+1}dx=\ln \left(x^2+1\right){|}_n^{n+1}=\ln \frac{(n+1{)}^2+1}{n^2+1}\text{(3 p)}.$$ Logaritmul este injectiv, deci $$\ln \frac{(n+1{)}^2+1}{n^2+1}=\ln 2\iff n^2+2n+2=2n^2+2\iff n^2-2n=0\iff \mathbf{n}=0\text{ sau }\mathbf{n}=2\text{(2 p)}.$$

(Ambele valori sunt numere naturale și convin. Control: pentru $n=0$, $\ln \frac{2}{1}=\ln 2$; pentru $n=2$, $\ln \frac{10}{5}=\ln 2$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $n=2$, uitând că $0$ este număr natural; sau se scrie diferența de logaritmi ca $\frac{\ln \left((n+1{)}^2+1\right)}{\ln \left(n^2+1\right)}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2016 a examenului de bacalaureat național — Varianta 9, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din august-septembrie 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația din doi termeni consecutivi — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valoarea maximă a unei funcții crescătoare pe un interval închis — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu două elemente, prin combinări — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația dreptei prin două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, produsul a două matrice cu parametru, o matrice egală cu inversa ei — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: scrierea legii ca produs de paranteze, un calcul cu legea, o ecuație cu legea aplicată de două ori — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata întâi, derivata a doua și convexitatea, monotonia și o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: formula Leibniz–Newton, primitiva $\mathrm{arctg}x$ și o primitivă de tipul $\ln u$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2016. Subiectul I este format din șase cerințe directe: rația unei progresii geometrice, maximul funcției $x-3$ pe $[1,5]$, o ecuație cu radical în care, după ridicarea la pătrat, $x^2$ se reduce și rămâne o ecuație de gradul întâi, numărul de submulțimi cu două elemente, ecuația unei drepte și raza cercului circumscris din teorema sinusurilor. La Subiectul al II-lea, matricele $A(x)$ se înmulțesc după regula $A(x)A(y)=A(x+y-xy)$, iar de aici subpunctul c) se reduce la $A\left(2x-x^2\right)=A(0)$, fără să se calculeze vreo inversă. Legea $x\circ y=2xy-6x-6y+21$ se scrie $2(x-3)(y-3)+3$: numărul $3$ „înghite" orice alt număr, iar ecuația $x\circ x\circ x=x$ are trei soluții, dintre care una, $x=3$, se pierde dacă se împarte prin $x-3$. La Subiectul al III-lea, funcția $x-\ln x$ are derivata a doua pozitivă, iar minimul ei, $f(1)=1$, dă inegalitatea clasică $\ln x\le x-1$. La integrale, factorul $x^2+1$ se simplifică la subpunctul a), la subpunctul b) apare primitiva $\mathrm{arctg}x$, iar la subpunctul c) o primitivă de tipul $\ln u$ duce la ecuația $n^2-2n=0$, cu două soluții naturale.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $2$, $2$, $x=2$, $21$, $y=2x-2$, $2\sqrt{3}$, $x\in \{0,2\}$, $\left\{\frac{5}{2},3,\frac{7}{2}\right\}$, $1-\frac{\pi }{4}$ și $n\in \{0,2\}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția dată fără verificarea în ecuația inițială; la cerința 8, subpunctul c), ecuația împărțită prin $x-3$, cu pierderea soluției $x=3$; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea „citită" din grafic, fără tabelul de monotonie; la cerința 10, subpunctul c), soluția $n=0$ uitată, deși $0$ este număr natural.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: într-o progresie geometrică, rația este $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$. Ecuații iraționale: $\sqrt{E(x)}=F(x)$ se ridică la pătrat, iar soluțiile găsite se verifică în ecuația inițială. Combinatorică: numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Dreapta prin $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$: $\frac{y-y_B}{y_A-y_B}=\frac{x-x_B}{x_A-x_B}$. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=2R$.
• Matrice: pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, $\det M=ps-qr$; o matrice $M$ este egală cu inversa ei exact când $M\cdot M=I_2$.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\circ y=k(x-a)(y-a)+a$ se aplică de mai multe ori „prin exponent": $x\circ x=k(x-a{)}^2+a$, $x\circ x\circ x=k^2(x-a{)}^3+a$; numărul $a$ are proprietatea $a\circ y=a$.
• Derivate: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; dacă $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval, $f$ este convexă pe acel interval; semnul lui $f^{\prime }$ dă monotonia, iar minimul funcției dă o inegalitate valabilă pe tot domeniul.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$; $\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x-3$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=x-\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ de la cerința $10$. Litera $A$ este un punct la cerința $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și matricea $A(x)$ la cerința $7$; literele $B$ și $C$ sunt puncte ale reperului sau vârfuri ale triunghiului ($C$ intră și în notația $C_7^2$ a combinărilor, la cerința $4$), iar la cerința $6$, $C=\frac{\pi }{3}$ înseamnă că unghiul din vârful $C$ are $60^{\circ }$ (subiectul oficial scrie măsura unghiului cu litera vârfului). Litera $n$ este indicele termenilor $b_n$ la cerința $1$ și numărul natural căutat la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este la cerința $7$ parametrul real al matricei $A(x)$, iar la cerința $8$ un număr real oarecare pe care se aplică legea; la cerința $7$, subpunctul c), condiția $x\ne 1$ vine din $\det (A(x))=1-x$: pentru $x=1$ matricea nu are inversă.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; subiectul oficial îl tipărește așa și l-am păstrat.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".