Bac M2 2018, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2018 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $1+i+(i-1)(1+i)-(i-1)=0$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+1$. Calculați $(f\circ f)(1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\left(x^2-5x+7\right)={\log }_{2}3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale pare de două cifre, acesta să fie divizibil cu $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$, $B(-2,1)$, $C(4,3)$ și $D(8,5)$. Demonstrați că patrulaterul $ABCD$ este paralelogram.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin x+3\cos x=2\sqrt{2}$, știind că $\mathrm{tg}x=1$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $X(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 5\\ 1& a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (X(1))=-4$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $X(-a)+X(a)=X(-2018)+X(2018)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați perechile de numere reale $(a,b)$ pentru care $X(a)X(b)=X(a)+X(b)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2-X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=2$, arătați că $f(2)=0$.

b) (5 puncte) Arătați că, dacă polinomul $f$ se divide cu $X+1$, atunci polinomul $f$ se divide cu $X^2-3X+2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $m$, știind că $\frac{x_1}{x_2{x}_3}+\frac{x_2}{x_3{x}_1}+\frac{x_3}{x_1{x}_2}=6$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}+\frac{1}{(x+2{)}^2}+\frac{1}{(x+3{)}^2}$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x+1+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx=11$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)}{x}dx=\frac{3e^2+4e-4}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=a$ are aria egală cu $a^3+a^2+a-2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Produsul din mijloc este de forma $(i-1)(i+1)=i^2-1$: $$1+i+(i-1)(1+i)-(i-1)=1+i+\left(i^2-1\right)-i+1=\text{(3 p)}$$ Cu $i^2=-1$, $i^2-1=-2$: $$=1+i-2-i+1=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se desface $-(i-1)$ ca $-i-1$, cu semnul lui $1$ neschimbat; sau se scrie $i^2-1=0$, ca și cum $i^2=1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează întâi valoarea din interior: $$f(1)=1-2+1=0\text{(2 p)},$$ apoi $$(f\circ f)(1)=f(f(1))=f(0)=1\text{(3 p)}.$$

(Observație: $f(x)=(x-1{)}^2$, deci $f(0)=1$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)\cdot f(1)=0$, confundând compunerea cu produsul.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii în aceeași bază sunt egali exact când argumentele sunt egale: $$x^2-5x+7=3\Rightarrow x^2-5x+4=0\text{(2 p)},$$ cu rădăcinile $$\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=4\text{, care convin}\text{(3 p)}.$$

(De ce convin: pentru ambele valori argumentul este $x^2-5x+7=3>0$; de altfel, $x^2-5x+7$ are discriminantul $25-28<0$, deci este pozitiv pentru orice $x$ real. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2-5x+7={\log }_{2}3$, păstrând logaritmul într-un singur membru.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale pare de două cifre sunt $10,12,\dots ,98$: $$\text{mulțimea numerelor naturale pare de doua˘ cifre are }45\text{ de elemente, deci sunt }45\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Un număr par divizibil cu $5$ este divizibil cu $10$: $10,20,\dots ,90$: $$\text{sunt }9\text{ numere divizibile cu }5\text{, deci }9\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)},$$ $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{45}=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără și numerele impare divizibile cu $5$ ($15,25,\dots$), deși mulțimea conține doar numere pare; sau se numără $90$ de cazuri posibile, adică toate numerele de două cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, paralelogram.

Se compară mijloacele diagonalelor $[AC]$ și $[BD]$, prin sumele coordonatelor: $$x_A+x_C=6,x_B+x_D=6\Rightarrow x_A+x_C=x_B+x_D\text{(2 p)},$$ $$y_A+y_C=6,y_B+y_D=6\Rightarrow y_A+y_C=y_B+y_D\Rightarrow \text{segmentele }AC\text{ și }BD\text{ au același mijloc, deci }ABCD\text{ este paralelogram}\text{(3 p)}.$$

(Mijlocul comun este $(3,3)$. Punctele nu sunt coliniare — de exemplu, $A$, $B$, $C$ nu sunt pe aceeași dreaptă, pentru că $A$ și $C$ au ordonata $3$, iar $B$ are ordonata $1$ —, deci patrulaterul este nedegenerat; baremul nu cere această verificare. Unde se greșește de obicei: se compară mijloacele laturilor $[AB]$ și $[CD]$ — la paralelogram se înjumătățesc DIAGONALELE.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

În primul cadran, singurul unghi cu tangenta $1$ este $\frac{\pi }{4}$: $$\text{cum }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{ și }\mathrm{tg}x=1\text{, obținem }x=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$ Atunci $$\sin \frac{\pi }{4}+3\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$

(Un drum fără unghi: din $\mathrm{tg}x=1$, $\sin x=\cos x$, iar din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\cos x>0$ rezultă $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$; suma este $4\cos x=2\sqrt{2}$. Unde se greșește de obicei: se ia $x=\frac{\pi }{2}$ sau $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=1$: $$X(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (X(1))=\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 1& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-1\cdot 5=\text{(3 p)}$$ $$=1-5=-4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună produsul diagonalei secundare, $1+5=6$.)

b) (5 p) Parametrul stă doar pe diagonală, cu semne opuse în cele două matrice, deci se reduce: $$X(-a)+X(a)=\left(\begin{array}{cc}-a& 5\\ 1& -a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}a& 5\\ 1& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 10\\ 2& 0\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ Aceeași sumă se obține pentru $a=2018$: $$=\left(\begin{array}{cc}-2018& 5\\ 1& -2018\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2018& 5\\ 1& 2018\end{array}\right)=X(-2018)+X(2018)\text{, pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: în $X(-a)$ se pune minusul doar la primul $a$ de pe diagonală, $X(-a)=\left(\begin{array}{cc}-a& 5\\ 1& a\end{array}\right)$; atunci suma iese $\left(\begin{array}{cc}0& 10\\ 2& 2a\end{array}\right)$, care depinde de $a$, și egalitatea nu mai are loc pentru orice $a$. Tot greșit este $X(-a)=-X(a)$ — elementele $5$ și $1$ nu depind de $a$ —, deși, aplicată la fel în ambii membri, această greșeală ar lăsa egalitatea „adevărată": $O_2=O_2$.)

c) (5 p) Se calculează produsul și se egalează cu suma, element cu element: $$\left(\begin{array}{cc}ab+5& 5(a+b)\\ a+b& ab+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+b& 10\\ 2& a+b\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din elementul de jos, $a+b=2$, iar din diagonală, $ab+5=a+b=2$, deci $ab=-3$: $$\text{cum }a+b=2\text{ și }ab=-3\text{, obținem perechile }(-1,3)\text{ și }(3,-1)\text{(2 p)}.$$

($a$ și $b$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-2t-3=0$, adică $-1$ și $3$, în ambele ordini. Control: $X(-1)X(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 10\\ 2& 2\end{array}\right)=X(-1)+X(3)$. Unde se greșește de obicei: se păstrează o singură pereche — cerința cere perechi ordonate, iar $(3,-1)$ este alta decât $(-1,3)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=2$: $$f=X^3-2X^2-X+2\Rightarrow f(2)=2^3-2\cdot 2^2-2+2=\text{(3 p)}$$ $$=8-8-2+2=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $2\cdot 2^2$ ca $4^2=16$ — puterea se face înaintea înmulțirii.)

b) (5 p) După teorema lui Bézout, $X+1$ divide $f$ exact când $f(-1)=0$; cum $f(-1)=-1-2+1+m=m-2$: $$f(-1)=0\Rightarrow m=2\text{, deci }f=X^3-2X^2-X+2\text{(3 p)}.$$ Polinomul se descompune: $f=X^2(X-2)-(X-2)=(X-2)(X-1)(X+1)$, iar $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$: $$\text{restul ıˆmpa˘rțirii lui }f\text{ la }{X}^2-3X+2\text{ este }0\text{, deci }f\text{ se divide cu }{X}^2-3X+2\text{(2 p)}.$$

(Control al împărțirii: $X^3-2X^2-X+2=\left(X^2-3X+2\right)(X+1)$. Unde se greșește de obicei: se socotește $(-1{)}^2=-1$, deci $f(-1)=-1+2+1+m=m+2$, și iese $m=-2$; pentru $m=-2$, $f(1)=-4\ne 0$, deci $f$ nu s-ar mai divide cu $X^2-3X+2$. Rădăcina lui $X+1$ este $-1$; aici, întâmplător, $f(1)=f(-1)=m-2$, așa că și $f(1)$ ar da $m=2$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $f=X^3-2X^2-X+m$: $$x_1+x_2+x_3=2,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-1,x_1{x}_2{x}_3=-m\text{(3 p)}.$$ Aducând la numitorul comun $x_1{x}_2{x}_3$, suma din enunț este $\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{x_1{x}_2{x}_3}$, iar $x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot (-1)=6$: $$\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{x_1{x}_2{x}_3}=6⟺\frac{6}{-m}=6\text{, deci }\mathbf{m}=-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliu: $\frac{x_1}{x_2{x}_3}=\frac{x_1^2}{x_1{x}_2{x}_3}$, la fel pentru celelalte două fracții. Control numeric: pentru $m=-1$, suma calculată pe rădăcinile numerice ale lui $X^3-2X^2-X-1$ dă $6$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1{x}_2{x}_3=m$, fără minus, și iese $m=1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și imaginea funcției.

a) (5 p) Cu regula câtului, pe fiecare termen: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}+\frac{1\cdot (x+2)-(x+1)\cdot 1}{(x+2{)}^2}+\frac{1\cdot (x+3)-(x+2)\cdot 1}{(x+3{)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{x+1-x}{(x+1{)}^2}+\frac{x+2-x-1}{(x+2{)}^2}+\frac{x+3-x-2}{(x+3{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}+\frac{1}{(x+2{)}^2}+\frac{1}{(x+3{)}^2},x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Scurtătură: fiecare termen are forma $\frac{u}{u+1}=1-\frac{1}{u+1}$, cu derivata $\frac{1}{(u+1{)}^2}$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea din regula câtului și toate derivatele ies negative.)

b) (5 p) Fiecare fracție are gradul numărătorului egal cu al numitorului și coeficienții dominanți egali, deci tinde la $1$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}\right)=3\text{(3 p)},$$ $$\text{dreapta de ecuație }\mathbf{y}=3\text{ este asimptota˘ orizontala˘ spre }+\infty \text{ la graficul funcției }f\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $x=3$ — asimptota orizontală are forma $y=\ell$; sau se aduce totul la același numitor, ceea ce complică inutil calculul.)

c) (5 p) Derivata este o sumă de pătrate inverse, strict pozitivă: $$f^{\prime }(x)>0\text{, pentru orice }x\in (-1,+\infty )\Rightarrow f\text{ este cresca˘toare pe }(-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Limitele la capetele domeniului: la dreapta lui $-1$, $\frac{x}{x+1}\to -\infty$ (numărătorul tinde la $-1$, numitorul la $0^{+}$), iar ceilalți termeni rămân finiți: $$f\text{ este continua˘ pe }(-1,+\infty ),\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x>-1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty \text{ și }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=3\text{, deci }\mathrm{Im}f=(-\infty ,3)\text{(3 p)}.$$

(Funcția este strict crescătoare, deci nu atinge niciuna dintre limitele de la capete; fiind continuă, ia toate valorile dintre ele. Unde se greșește de obicei: se scrie $(-\infty ,3]$ — valoarea $3$ este doar limita la $+\infty$, nu o valoare a funcției.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Logaritmul se reduce, iar integrandul devine un polinom: $${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx={\int }_1^2\left(3x^2+2x+1\right)dx=\left(x^3+x^2+x\right){|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=(8+4+2)-(1+1+1)=11\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită valoarea în $1$ și iese $14$.)

b) (5 p) Se împarte fiecare termen la $x$: $${\int }_1^e\frac{f(x)}{x}dx={\int }_1^e\left(3x+2+\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}\right)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+2x+\ln x\right){|}_1^e+{\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\text{(3 p)}$$ Primul termen dă $\frac{3e^2}{2}+2e+1-\frac{3}{2}-2=\frac{3e^2+4e-5}{2}$, iar $\frac{\ln x}{x}$ are forma $u^{\prime }\cdot u$, cu $u=\ln x$: $$=\frac{3e^2+4e-5}{2}+\frac{1}{2}{\ln }^{2}x{|}_1^e=\frac{3{\mathbf{e}}^2+4e-4}{2}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{3e^2+4e-4}{2}\approx 14,5201$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{x}$, sau se uită că $\ln 1=0$ și $\ln e=1$.)

c) (5 p) Pentru $x\ge 1$, $\ln x\ge 0$, deci $f(x)>0$ pe $[1,a]$, iar $|f(x)|=f(x)$: $$\mathcal{S}={\int }_1^a|f(x)|dx={\int }_1^a\left(3x^2+2x+1+\ln x\right)dx=\left(x^3+x^2+x\right){|}_1^a+\left(x\ln x-x\right){|}_1^a=a^3+a^2+a\ln a-2\text{(3 p)}.$$ Egalând cu aria dată: $$a^3+a^2+a\ln a-2=a^3+a^2+a-2\Rightarrow \ln a=1\text{, deci }\mathbf{a}=\mathbf{e}\text{(2 p)}.$$

(Detaliu: $\left(x^3+x^2+x\right){|}_1^a=a^3+a^2+a-3$ și $\left(x\ln x-x\right){|}_1^a=a\ln a-a+1$; suma este $a^3+a^2+a\ln a-2$. Din $a\ln a=a$ și $a>1$ se împarte la $a$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: primitiva lui $\ln x$ se scrie $\frac{1}{x}$, adică se derivează în loc să se integreze.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2018 a examenului național de bacalaureat — Varianta 5, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de rezervă din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: calcul cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: valoarea $(f\circ f)(1)$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: egalitatea argumentelor la logaritmi în aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea numerelor pare de două cifre și a celor divizibile cu $5$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: paralelogramul recunoscut după mijlocul comun al diagonalelor — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: unghiul cu $\mathrm{tg}x=1$ și valori remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, o sumă care nu depinde de parametru, o ecuație $X(a)X(b)=X(a)+X(b)$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea polinomului, divizibilitatea prin teorema lui Bézout și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei sume de câturi, asimptota orizontală și imaginea unei funcții strict crescătoare — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite și arii: formula Leibniz–Newton, integrala de tipul $\frac{\ln x}{x}$ și aria unei suprafețe plane cu parametru — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din iunie-iulie 2018. Subiectul I are șase cerințe de calcul direct; singura care cere o idee este cerința 5, unde paralelogramul se demonstrează cel mai scurt prin mijlocul comun al diagonalelor — adică prin sume egale de coordonate. Subiectul al II-lea pune o matrice de ordinul al doilea cu parametru pe diagonală, la care $X(-a)+X(a)$ nu mai depinde de $a$, iar ecuația de la c) se reduce, element cu element, la suma și produsul a două numere; problema a doua este un polinom de gradul al treilea cu parametru, în care divizibilitatea cu $X+1$ fixează parametrul și descompune polinomul complet. Subiectul al III-lea cere la problema 1 derivata unei sume de trei câturi, asimptota orizontală și imaginea funcției, obținută din monotonie și din limitele la capete; la problema 2, integrale în care totul se simplifică înainte de integrare și o arie cu parametru care se reduce la $\ln a=1$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, un interval, expresii cu $e$ și $a=e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile date fără să se spună că argumentul logaritmului este pozitiv; la cerința 5, paralelogramul „văzut" pe desen, fără calcul; la problema 7.c), o singură pereche, deși sistemul simetric dă două; la problema 9.c), imaginea scrisă fără monotonie și fără limitele la capete.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$, $(i-1)(i+1)=i^2-1$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u,v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Paralelogram: $ABCD$ este paralelogram dacă diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ au același mijloc, adică $x_A+x_C=x_B+x_D$ și $y_A+y_C=y_B+y_D$. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; două matrice sunt egale exact când sunt egale element cu element.
• Polinoame: teorema lui Bézout — $X-\alpha$ divide $f$ exact când $f(\alpha )=0$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; o funcție continuă și strict crescătoare pe un interval deschis are ca imagine intervalul deschis dintre limitele de la capete.
• Integrale: $\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+\mathcal{C}$, $\int \ln xdx=x\ln x-x+\mathcal{C}$; aria suprafeței delimitate de graficul unei funcții continue și pozitive $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-2x+1$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3-2X^2-X+m$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=3x^2+2x+1+\ln x$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este parametrul matricei $X(a)$ la cerința $7$ și, separat, capătul intervalului la cerința $10$; la cerința $7$, $X$ este numele matricei, iar la cerința $8$, $X$ este nedeterminata polinomului.
• La cerința $2$, $f\circ f$ este compunerea funcției cu ea însăși: $(f\circ f)(1)=f(f(1))$, nu produsul $f(1)\cdot f(1)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".