Bac M2 2021, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2021 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $b_4$ al progresiei geometrice ${\left(b_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $b_5=6$ și $b_6=18$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x-4$. Determinați numerele reale $m$, știind că $f(m)=m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $100\cdot 10^{2x}=10^{3x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea $\{0,1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4,0)$, $B(4,0)$ și $C(0,4)$. Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 2x=1$, știind că $\mathrm{tg}x=1$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+2& 3\\ -1& x-2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=-1$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care matricea $A(x)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Se consideră numerele reale $a$, $b$ și $c$, astfel încât $A(a)\cdot A(b)=A(c)$. Demonstrați că $a^2+b^2+2c=3$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[-1,1]$ se definește legea de compoziție $x\circ y=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\circ 1=1$.

b) (5 puncte) Determinați $x\in M$ pentru care $x\circ x=0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ \sqrt{1-x^2}=1$, pentru orice $x\in [0,1]$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+x\ln x-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x+\ln x+1$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $e^x+x\ln x\ge \sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}$, pentru orice $x\in \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+2}dx=\frac{17}{6}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$. Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care ${\int }_0^{1}g(x)dx=\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln \frac{a+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Într-o progresie geometrică, pătratul unui termen este produsul vecinilor lui: $$b_5^2=b_4{b}_6\Rightarrow 36=18b_4\text{(3 p)}.$$ $${\mathbf{b}}_4=2\text{(2 p)}.$$

(Drum echivalent: rația este $q=\frac{b_6}{b_5}=3$, deci $b_4=\frac{b_5}{q}=2$. Unde se greșește de obicei: se tratează progresia ca aritmetică și iese $b_4=6-12=-6$; sau se înmulțește cu rația în loc să se împartă, și iese $18$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Se scrie condiția $f(m)=m$: $$m^2+m-4=m⟺m^2-4=0\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{m}=-2\text{ sau }\mathbf{m}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(2)=4+2-4=2$ și $f(-2)=4-2-4=-2$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $m=2$; sau se rezolvă $f(m)=0$ în loc de $f(m)=m$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cum $100=10^2$, membrul stâng este o singură putere a lui $10$, iar funcția exponențială este injectivă: $$10^{2x+2}=10^{3x}⟺2x+2=3x\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $100\cdot 10^4=10^6=10^{3\cdot 2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $100\cdot 10^{2x}=10^{200x}$ sau $1000^{2x}$ — la înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Numărul este par exact când cifra unităților este pară. Cifra unităților, fiind pară, se poate alege dintre $0$, $2$, $4$, adică în $3$ moduri (2 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor, fiind nenulă, se poate alege dintre $1,2,3,4$, adică în câte $4$ moduri, deci se pot forma $3\cdot 4=12$ numere (3 p).

(Lista, pentru control: $10,12,14,20,22,24,30,32,34,40,42,44$. Enunțul spune „cu cifre din mulțime", deci cifrele se pot repeta. Unde se greșește de obicei: se permite $0$ pe locul zecilor și iese $15$; sau se cer cifre distincte, deși enunțul nu o face.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, centrul cercului circumscris.

Originea $O(0,0)$ este egal depărtată de cele trei puncte: $$OA=4,OB=4,OC=4\text{(3 p)}.$$ Centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$ are coordonatele $\mathbf{x}=0$, $\mathbf{y}=0$ (2 p).

(De ce $O$: punctele $A$, $B$, $C$ sunt toate la distanța $4$ de origine, deci stau pe cercul cu centrul $O$ și raza $4$; cum cercul circumscris este unic, acesta este el. Altfel: unghiul $ACB$ este drept, deoarece $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(-4)(4)+(-4)(-4)=0$, iar centrul este mijlocul ipotenuzei $AB$, adică $O$. Unde se greșește de obicei: se dă centrul de greutate, $\left(0,\frac{4}{3}\right)$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Singurul unghi din $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu tangenta $1$ este $\frac{\pi }{4}$: $$\mathrm{tg}x=1\text{ și }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$ $$\sin 2x=\sin \frac{2\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{2}=1\text{(3 p)}.$$

(Drum fără unghi: $\sin 2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}=\frac{2}{2}=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin 2x=2\sin x=\sqrt{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right|=2\cdot (-2)-(-1)\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(0))=-4+3=-1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1)\cdot 3=3$, și iese $-4-3=-7$.)

b) (5 p) Se calculează determinantul în general: $$\det (A(x))=\left|\begin{array}{cc}x+2& 3\\ -1& x-2\end{array}\right|=x^2-1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Matricea $A(x)$ este inversabilă $⟺\det (A(x))\ne 0$, deci $\mathbf{x}\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$ (3 p).

(Detaliu: $(x+2)(x-2)-3\cdot (-1)=x^2-4+3=x^2-1$; pentru $x=0$ regăsim $-1$ de la a). Unde se greșește de obicei: se răspunde cu mulțimea $\{-1,1\}$, adică exact valorile pentru care matricea NU este inversabilă.)

c) (5 p) Se calculează produsul și se egalează cu $A(c)$, element cu element: $$A(a)\cdot A(b)=A(c)⟺\left(\begin{array}{cc}ab+2a+2b+1& 3a+3b\\ -a-b& ab-2a-2b+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}c+2& 3\\ -1& c-2\end{array}\right)⟺a+b=1\text{ și }c=ab+1\text{(3 p)}.$$ $$a^2+b^2+2c=a^2+b^2+2ab+2=(a+b{)}^2+2=1+2=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliu: din $3a+3b=3$ rezultă $a+b=1$; atunci primul element dă $c+2=ab+2(a+b)+1=ab+3$, deci $c=ab+1$, iar ultimul element, $ab-2+1=c-2$, dă același lucru. Control: pentru $a=0$, $b=1$ avem $c=1$ și $0+1+2=3$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele pe poziții, $(a+2)(b+2)$ în stânga sus, uitând termenul $3\cdot (-1)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu radicali.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=0$ și $y=1$: $$0\circ 1=0\cdot \sqrt{1-1}+1\cdot \sqrt{1-0}\text{(3 p)}.$$ $$0\circ 1=0+1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează rolurile, $\sqrt{1-y^2}$ cu $\sqrt{1-x^2}$, și iese $0\circ 1=0$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$ cei doi termeni sunt egali: $$x\circ x=2x\sqrt{1-x^2},\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Un produs este zero când unul dintre factori este zero: $x=0$ sau $\sqrt{1-x^2}=0$. Deci $2x\sqrt{1-x^2}=0$ dă $\mathbf{x}=-1$, $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=1$, care convin (toate sunt în $M=[-1,1]$) (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se împarte prin $x$ și se pierde soluția $x=0$; sau se uită soluțiile $\pm 1$, pentru care se anulează radicalul.)

c) (5 p) Pentru $x\in M$ avem $\sqrt{1-x^2}\in [0,1]\subset M$, deci compunerea are sens; înlocuind $y=\sqrt{1-x^2}$: $$x\circ \sqrt{1-x^2}=x\sqrt{1-\left(1-x^2\right)}+\sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-x^2}=x\sqrt{x^2}+1-x^2=x|x|+1-x^2,\text{ pentru orice }x\in M\text{(3 p)}.$$ Cum $|x|=x$ pentru orice $x\in [0,1]$, obținem $$x\circ \sqrt{1-x^2}=x^2+1-x^2=1,\text{ pentru orice }x\in [0,1]\text{(2 p)}.$$

(Condiția $x\ge 0$ contează: $\sqrt{x^2}=|x|$, iar pentru $x$ negativ egalitatea nu mai are loc — de exemplu, $\left(-\frac{1}{2}\right)\circ \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$, nu $1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x^2}$ și iese $x^2+\sqrt{1-x^2}$, care nu este constant — pentru $x=\frac{1}{2}$ dă $\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 1,116$, nu $1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și o inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu regula produsului la $x\ln x$: $$f^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }+x^{\prime }\cdot \ln x+x\cdot (\ln x{)}^{\prime }-1^{\prime }\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=e^x+1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=e^x+\ln x+1,x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(x\ln x{)}^{\prime }=1\cdot \frac{1}{x}$, adică produsul derivatelor; sau se uită că derivata constantei $-1$ este $0$.)

b) (5 p) Se calculează valoarea și panta în $x=1$, cu $\ln 1=0$: $$f(1)=e-1,f^{\prime }(1)=e+1\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-(e-1)=(e+1)(x-1)$, de unde $$\mathbf{y}=(\mathbf{e}+1)\mathbf{x}-2\text{(3 p)}.$$

(Detaliu: $y=(e+1)x-(e+1)+e-1=(e+1)x-2$. Control: pentru $x=1$ dreapta dă $y=e-1=f(1)$. Unde se greșește de obicei: se ia panta $f(1)$ în loc de $f^{\prime }(1)$; sau se scrie $f(1)=e$, uitând termenul $-1$.)

c) (5 p) Monotonia pe $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$: logaritmul este crescător, deci $$x\in \left[\frac{1}{2},+\infty \right)\Rightarrow \ln x\ge \ln \frac{1}{2},\text{ deci }{f}^{\prime }(x)=e^x+\ln x+1\ge e^x+\ln \frac{e}{2}>e^x>0,$$ de unde obținem că $f$ este crescătoare pe $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$ (3 p). Pentru orice $x\in \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$, $f(x)\ge f\left(\frac{1}{2}\right)$, deci $e^x+x\ln x-1\ge \sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}-1$, de unde obținem $$e^x+x\ln x\ge \sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2},\text{ pentru orice }x\in \left[\frac{1}{2},+\infty \right)\text{(2 p)}.$$

(De ce $\ln \frac{e}{2}>0$: $\ln \frac{1}{2}+1=\ln \frac{1}{2}+\ln e=\ln \frac{e}{2}$, iar $\frac{e}{2}>1$. Control numeric: $\sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}\approx 1,302$, iar pentru $x=1$ membrul stâng este $e\approx 2,718$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}$, uitând termenul $-1$; atunci din $f(x)\ge f\left(\frac{1}{2}\right)$ iese $e^x+x\ln x\ge \sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}+1$, inegalitate falsă chiar pentru $x=\frac{1}{2}$. Tot greșit este să se afirme „$\ln x>0$" pe tot intervalul: pentru $x<1$, $\ln x<0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și primitive.

a) (5 p) Se înmulțește: $f(x)\sqrt{x^2+2}=\left(x^2+2\right)+x$, deci $${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+2}dx={\int }_0^1\left(x^2+2+x\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+2}dx=\frac{1}{3}+2+\frac{1}{2}=\frac{17}{6}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește $\sqrt{x^2+2}\cdot \sqrt{x^2+2}=\sqrt{x^2+2}$, uitând că produsul unui radical cu el însuși este radicandul.)

b) (5 p) Dacă $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f$, atunci derivata ei este chiar $f$; aducând la același numitor: $$F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+2}},\text{ unde }F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ este o primitiva˘ a funcției }f\text{(3 p)}.$$ Trinomul $x^2+x+2$ are $\Delta =1-8=-7<0$ și coeficientul lui $x^2$ pozitiv, deci $x^2+x+2>0$, pentru orice număr real $x$; atunci $F^{\prime }(x)>0$, pentru orice număr real $x$, de unde obținem că $F$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ (2 p).

(Nu e nevoie de o primitivă explicită: monotonia se citește din semnul lui $F^{\prime }=f$. Justificarea „$f>0$ pentru că $\sqrt{x^2+2}>0$" nu ajunge — concluzia e adevărată, dar al doilea termen, $\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$, este negativ pentru $x<0$. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f^{\prime }$ în loc de al lui $f$ (se confundă primitiva cu funcția); cum $f^{\prime }(-1)=-\frac{1}{3\sqrt{3}}<0$, se trage concluzia greșită că $F$ nu este crescătoare pe tot $\mathbb{R}$.)

c) (5 p) Se observă că $g(x)=\sqrt{x^2+2}$. Se integrează prin părți, cu $\sqrt{x^2+2}$ și $x^{\prime }=1$: $${\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^1{x}^{\prime }\sqrt{x^2+2}dx=x\sqrt{x^2+2}{|}_0^1-{\int }_0^{1}x\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}dx=\sqrt{3}-{\int }_0^1\left(\sqrt{x^2+2}-\frac{2}{\sqrt{x^2+2}}\right)dx,$$ deci integrala căutată apare și în membrul drept; trecând-o în stânga, $2{\int }_0^{1}g(x)dx=\sqrt{3}+2\ln \left(x+\sqrt{x^2+2}\right){|}_0^1$, adică $${\int }_0^{1}g(x)dx=\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln \left(1+\sqrt{3}\right)-\ln \sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\text{(3 p)}.$$ Din $\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln \frac{a+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ și injectivitatea logaritmului rezultă $a+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}$, de unde obținem $\mathbf{a}=1$, care convine (2 p).

(Detaliu: $\frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}=\frac{\left(x^2+2\right)-2}{\sqrt{x^2+2}}=\sqrt{x^2+2}-\frac{2}{\sqrt{x^2+2}}$. În baremul oficial, bara de evaluare ${|}_0^1$ este tipărită după toată paranteza $\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}+2\ln \left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\right)$; ea se aplică doar logaritmului — constanta $\sqrt{3}$ provine deja din $x\sqrt{x^2+2}{|}_0^1$. Baremul folosește direct o formulă din tabelul de primitive al programei vechi, $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2}}dx=\ln \left(x+\sqrt{x^2+2}\right)+\mathcal{C}$; în lecțiile de azi ea nu apare, așa că o verificăm prin derivare: ${\left(\ln \left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\right)}^{\prime }=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}$. Control numeric: $\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\approx 1,5245$, iar integrala lui $\sqrt{x^2+2}$ calculată numeric pe $[0,1]$ dă tot $1,5245$. Unde se greșește de obicei: după ce integrala reapare în membrul drept, se trece în stânga, dar se uită împărțirea la $2$; iese $\sqrt{3}+2\ln \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\approx 3,049$, dublul valorii corecte, și $a$ nu mai iese $1$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2021 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: proprietatea termenului din mijloc, $b_5^2=b_4{b}_6$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: o ecuație de gradul al doilea obținută din $f(m)=m$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: regula produsului la formarea numerelor pare de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: centrul cercului circumscris, prin distanțe egale — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: unghiul cu tangenta $1$ și $\sin 2x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, inversabilitate și egalitatea a două matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Lege de compoziție: calcul direct, o ecuație și compunerea cu $\sqrt{1-x^2}$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, ecuația tangentei și o inegalitate din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și primitive: formula Leibniz–Newton, semnul derivatei unei primitive și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2021. Subiectul I este format din calcule scurte; singura cerință de numărare, cea cu numerele pare de două cifre, cere atenție la cifra $0$, care poate fi cifra unităților, dar nu a zecilor. Subiectul al II-lea pune o matrice cu parametrul pe diagonală, inversabilă exact când $x^2-1\ne 0$, iar la subpunctul c) egalitatea a două matrice dă relațiile $a+b=1$ și $c=ab+1$. Legea de compoziție este definită pe intervalul $[-1,1]$ și are radicali: la subpunctul c) apare $\sqrt{x^2}=|x|$, iar faptul că $x\ge 0$ face modulul să dispară. Subiectul al III-lea cere la problema 1 o inegalitate obținută din monotonia funcției pe $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$; la problema 2, ultimul subpunct este cel mai lung: integrala lui $\sqrt{x^2+2}$ se calculează prin părți, iar integrala căutată apare din nou în membrul drept.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, mulțimea $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$, ecuația $y=(e+1)x-2$, $\frac{17}{6}$ și $a=1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației $x\circ x=0$ date fără să se verifice că aparțin mulțimii $M$; $\sqrt{x^2}$ înlocuit cu $x$ fără să se spună de ce; inegalitatea de la problema 9 afirmată fără monotonia funcției; monotonia primitivei afirmată fără semnul lui $F^{\prime }=f$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $b_n^2=b_{n-1}{b}_{n+1}$. Puteri: $100\cdot 10^{2x}=10^2\cdot 10^{2x}=10^{2x+2}$, iar $10^u=10^v⟺u=v$. Combinatorică: regula produsului — dacă o alegere se face în $p$ moduri și, pentru fiecare, a doua în $q$ moduri, perechea se face în $p\cdot q$ moduri. Cercul circumscris: centrul lui este punctul egal depărtat de cele trei vârfuri. Trigonometrie: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$.
• Matrice: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; două matrice sunt egale când au elementele corespunzătoare egale.
• Radicali: $\sqrt{x^2}=|x|$, iar $|x|=x$ pentru $x\ge 0$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; o primitivă $F$ are $F^{\prime }=f$, deci este crescătoare unde $f>0$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere și semne în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este o lege de compoziție pe mulțimea $M=[-1,1]$, nu compunerea funcțiilor. Litera $M$ denumește aici o mulțime de numere reale, nu o matrice.
• Litera $x$ este parametrul matricei $A(x)$ la cerința $7$, un element al mulțimii $M$ la cerința $8$ și variabila funcțiilor la cerințele $9$ și $10$. Tot așa, $a$ este un număr real oarecare la cerința $7$, subpunctul c), și parametrul căutat în $(0,+\infty )$ la cerința $10$, subpunctul c).
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2+x-4$ la cerința $2$, $f(x)=e^x+x\ln x-1$ la cerința $9$ și $f(x)=\sqrt{x^2+2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este punctul $A(-4,0)$ la cerința $5$ și matricea $A(x)$ la cerința $7$; $B$ și $C$ sunt puncte la cerința $5$, iar $b$ și $c$ sunt numere reale la cerința $7$, subpunctul c). La cerința $10$, $F$ este o primitivă a lui $f$, iar $g$ este o funcție nouă, definită la subpunctul c).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".