Bac M2 2024, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2024 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\cdot (1,2+0,1)+0,4=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)-f(2)=a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_8\left(x^2-5x+5\right)={\log }_{8}x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,3,4,6,8\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,8)$, $B(4,2)$ și $C$, mijlocul segmentului $OA$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=8$ și $C=\frac{\pi }{4}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $32$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x-2& x-2\\ x-4& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (B(5))=12$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $(B(4)-B(2))\cdot A=aA$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det \left(A\cdot B(x)-4x{I}_2\right)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x(x-2)+y(y-2)$.

a) (5 puncte) Arătați că $3\circ 3=6$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $2\circ x=x^2+2$.

c) (5 puncte) Arătați că $x\circ y\ge -2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{x}-3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x\sqrt{x}+1}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(x^2+1\right)f(x)dx=6$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^{3}f(x)dx=2\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați $m\in (1,+\infty )$ pentru care ${\int }_1^m{\left(\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)}^{3}dx=6$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul numeric cu fracții zecimale.

Întâi paranteza, apoi înmulțirea, la urmă adunarea: $$2\cdot (1,2+0,1)+0,4=2\cdot 1,3+0,4=\text{(2 p)}$$ $$=2,6+0,4=3\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar primul termen din paranteză, $2\cdot 1,2+0,1+0,4=2,9$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se calculează cele două valori ale funcției: $$f(a)=2a+1,f(2)=5\text{(2 p)}.$$ $$2a+1-5=a,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=4\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $f(4)-f(2)=9-5=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(a)-f(2)=f(a-2)$, adică $2a-3=a$, și iese $a=3$ — funcția nu „trece" prin scădere.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția ${\log }_8$ este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$x^2-5x+5=x,\text{ de unde obținem }{x}^2-6x+5=0\text{(2 p)}.$$ $$\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=5,\text{ care convin}\text{(3 p)}.$$

(Condițiile de existență sunt $x>0$ și $x^2-5x+5>0$. Pentru $x=1$ argumentele sunt $1$ și $1$, pentru $x=5$ sunt $5$ și $5$ — toate pozitive. Verificarea condițiilor rămâne obligatorie în redactare, chiar dacă aici ambele soluții convin. Unde se greșește de obicei: la trecerea lui $x$ în membrul stâng se adună în loc să se scadă, $x^2-4x+5=0$, ecuație fără soluții reale ($\Delta =16-20=-4<0$) — și se ajunge, greșit, la concluzia că ecuația nu are soluții.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Un număr este impar când cifra unităților este impară; în $A$ cifrele impare sunt $1$ și $3$, deci cifra unităților se poate alege în $2$ moduri (2 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $4$ moduri (orice altă cifră din $A$, ca cifrele să fie distincte), deci se pot forma $2\cdot 4=8$ numere (3 p).

(Lista completă: $31,41,61,81,13,43,63,83$. Unde se greșește de obicei: se alege întâi cifra zecilor, în $5$ moduri, și se ajunge la $5\cdot 2=10$, uitând că cifrele trebuie să fie distincte; sau se numără toate cele $20$ de numere cu cifre distincte, fără condiția „impar".)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment.

Mijlocul segmentului $OA$, cu $O(0,0)$ și $A(0,8)$: $$C(0,4)\text{(2 p)}.$$ Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele $\left(\frac{4+0}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(2,3)$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se ia $C$ drept mijlocul lui $AB$, $(2,5)$, sau se calculează mijlocul ca diferență a coordonatelor.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană, triunghi dreptunghic isoscel.

În triunghiul dreptunghic în $A$, unghiul $C$ are $\frac{\pi }{4}$, deci și unghiul $B$ are $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$; triunghiul este isoscel, cu catetele egale: $$AC=8\text{(3 p)}.$$ $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{8\cdot 8}{2}=32\text{(2 p)}.$$

(Același rezultat se obține cu $\mathrm{tg}C=\frac{AB}{AC}=1$. Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $2$ și iese $64$; sau se ia $AB$ drept ipotenuză. În baremul oficial aria este notată ${\mathcal{A}}_{ABC}$; la noi, ${\mathcal{S}}_{ABC}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=5$: $$B(5)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& 5\end{array}\right)⟹\det (B(5))=\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& 5\end{array}\right|=3\cdot 5-3\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=15-3=12\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: elementul $x-4$ pentru $x=5$ este $1$, nu $-1$; cu $-1$ ar ieși $18$.)

b) (5 p) Se calculează diferența, apoi produsul cu $A$, în această ordine: $$B(4)-B(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right),(B(4)-B(2))\cdot A=\left(\begin{array}{cc}4& 12\\ 4& 12\end{array}\right)=4A\text{(3 p)}.$$ $$4A=aA,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=4\text{(2 p)}.$$

(Din $4A=aA$ rezultă $(4-a)A=O_2$, iar $A$ are elemente nenule, deci $a=4$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește în ordinea inversă, $A\cdot (B(4)-B(2))=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 8& 8\end{array}\right)$, care nu este un multiplu al lui $A$.)

c) (5 p) Se calculează produsul și se scade $4x{I}_2$: $$A\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}4x-14& 4x-2\\ 4x-14& 4x-2\end{array}\right),A\cdot B(x)-4x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}-14& 4x-2\\ 4x-14& -2\end{array}\right),$$ de unde obținem $\det \left(A\cdot B(x)-4x{I}_2\right)=-16x(x-4)$, pentru orice număr real $x$ (3 p). $$-16x(x-4)=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=4\text{(2 p)}.$$

(Detaliul determinantului: $(-14)(-2)-(4x-2)(4x-14)=28-\left(16x^2-64x+28\right)=-16x^2+64x$. Unde se greșește de obicei: se scade $4x$ din toate elementele, nu doar de pe diagonală — $4x{I}_2$ are zerouri în afara diagonalei.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=3$ și $y=3$: $$3\circ 3=3(3-2)+3(3-2)=\text{(3 p)}$$ $$=3+3=6\text{(2 p)}.$$

b) (5 p) Pentru $x=2$ în primul loc, $2(2-2)=0$: $$2\circ x=x^2-2x\text{ și obținem }-2x=2\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x^2-2x=x^2+2$ se reduce la $-2x=2$. Verificare: $2\circ (-1)=0+(-1)(-3)=3=(-1{)}^2+2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2\circ x=2x(x-2)$, înmulțind în loc să aduni cei doi termeni ai legii.)

c) (5 p) Se desfac parantezele și se completează pătratele: $$x\circ y=x^2-2x+y^2-2y=\text{(2 p)}$$ $$=x^2-2x+1+y^2-2y+1-2=(x-1{)}^2+(y-1{)}^2-2\ge -2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Un pătrat este mereu nenegativ, deci suma lor este cel puțin $0$; egalitatea are loc pentru $x=y=1$: $1\circ 1=-1-1=-2$. Unde se greșește de obicei: la completarea pătratelor se scade coeficientul lui $x$, $2$, în loc de $1^2=1$: $x^2-2x=(x-1{)}^2-2$, fals; atunci $x\circ y$ ar fi $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2-4$ și s-ar obține doar $x\circ y\ge -4$, nu $-2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, bijectivitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$ și ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{x\sqrt{x}+1}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x\sqrt{x}}{x^2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$, pierzând semnul, sau ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{2}{\sqrt{x}}$.)

b) (5 p) Se calculează valoarea și derivata în $1$: $$f(1)=-2,f^{\prime }(1)=2\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=2x-4\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(1)=2-1-3=-2$ și $f^{\prime }(1)=\frac{1+1}{1}=2$; atunci $y+2=2x-2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $y-2=2(x-1)$, cu semnul lui $f(1)$ pierdut, și iese $y=2x$.)

c) (5 p) Injectivitatea vine din monotonie: $f^{\prime }(x)>0$, pentru orice $x\in (0,+\infty )⟹f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, deci $f$ este injectivă (2 p).

Surjectivitatea: $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și $f$ este continuă, deci $f$ este surjectivă, de unde obținem că $f$ este bijectivă (3 p).

(Detaliul: pentru $x>0$, $x\sqrt{x}+1>0$ și $x^2>0$. Când $x\to 0$, $x>0$, termenul $-\frac{1}{x}\to -\infty$, iar când $x\to +\infty$, $2\sqrt{x}\to +\infty$ și $\frac{1}{x}\to 0$. O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre limitele ei la capete, deci imaginea este $\mathbb{R}$. Unde se greșește de obicei: se oprește demonstrația la „strict crescătoare" — monotonia dă doar injectivitatea.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Factorul $x^2+1$ se simplifică: $${\int }_1^2\left(x^2+1\right)f(x)dx={\int }_1^{2}4xdx=2x^2{|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=8-2=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $4x$ se scrie $4x^2$ și iese $12$.)

b) (5 p) Numărătorul $4x$ este dublul derivatei lui $x^2+1$: $${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3\frac{4x}{x^2+1}dx=2{\int }_2^3\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{x^2+1}dx=2\ln \left(x^2+1\right){|}_2^3=\text{(3 p)}$$ $$=2\ln 10-2\ln 5=2\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: integrala calculată numeric pe $[2,3]$ dă $1,386294$, iar $2\ln 2\approx 1,386294$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $4\ln \left(x^2+1\right)$ și iese $4\ln 2$.)

c) (5 p) Pentru $x>0$, $f\left(\sqrt{x}\right)=\frac{4\sqrt{x}}{x+1}$, deci $\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=\frac{4}{x+1}$ și $${\int }_1^m{\left(\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)}^{3}dx={\int }_1^m\frac{64}{(x+1{)}^3}dx=-\frac{32}{(x+1{)}^2}{|}_1^m=-\frac{32}{(m+1{)}^2}+8\text{(3 p)}.$$ $$-\frac{32}{(m+1{)}^2}+8=6\text{ și, cum }m\in (1,+\infty ),\text{ obținem }\mathbf{m}=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: ${\left(\sqrt{x}\right)}^2+1=x+1$; ecuația dă $(m+1{)}^2=16$, deci $m+1=4$ sau $m+1=-4$; $m=-5$ nu este în $(1,+\infty )$. Verificarea primitivei, prin derivare: ${\left(-32(x+1{)}^{-2}\right)}^{\prime }=64(x+1{)}^{-3}$. Control numeric: integrala pe $[1,3]$ dă $6$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $\sqrt{x}$ doar la numărătorul lui $f$ și rămâne $x^2+1$ la numitor; sau se uită cubul.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2024 a examenului național de bacalaureat — Varianta 8, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din iunie-iulie 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul numeric cu fracții zecimale: ordinea operațiilor, cu o paranteză — gimnaziu, recapitulat în clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri: egalarea argumentelor și verificarea condițiilor de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere impare de două cifre distincte, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment, folosit de două ori — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: triunghiul dreptunghic isoscel și aria lui — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, diferența și produsul unor matrice, un determinant cu parametru egal cu zero — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, o ecuație, o inegalitate prin formarea pătratelor — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei funcții cu radical, ecuația tangentei, bijectivitatea prin monotonie, continuitate și limite — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: simplificarea integrandului, o formulă $\frac{u^{\prime }}{u}$, o integrală cu parametru în capătul de sus — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2024. Subiectul I este format din șase cerințe directe: un calcul cu fracții zecimale, o ecuație cu valorile unei funcții de gradul întâi, o ecuație logaritmică cu aceeași bază, numărarea numerelor impare cu cifre distincte (cifra unităților se alege întâi), un mijloc de segment calculat de două ori și un triunghi dreptunghic care, cu unghiul $C$ de $\frac{\pi }{4}$, este isoscel. La Subiectul al II-lea, matricea $A$ are coloanele proporționale, iar la subpunctul c) determinantul lui $A\cdot B(x)-4x{I}_2$ se reduce la $-16x(x-4)$. Legea $x\circ y=x(x-2)+y(y-2)$ se scrie $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2-2$, de unde inegalitatea de la subpunctul c) este imediată. La Subiectul al III-lea, bijectivitatea funcției $2\sqrt{x}-\frac{1}{x}-3$ vine din monotonie strictă (injectivitate) și din continuitate plus limitele $-\infty$ și $+\infty$ la capete (surjectivitate). Problema 2 se încheie cu o integrală în care, după înlocuirea lui $x$ cu $\sqrt{x}$ în $f$, radicalii se simplifică și rămâne $\frac{64}{(x+1{)}^3}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $3$, $a=4$, $x\in \{1,5\}$, $8$ numere, $(2,3)$, $32$, $12$, $a=4$, $x\in \{0,4\}$, $6$, $x=-1$, $y=2x-4$, $6$, $2\ln 2$ și $m=3$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile date fără verificarea condițiilor de existență; la cerința 9, subpunctul c), bijectivitatea afirmată doar din monotonie, fără continuitate și limite; la cerința 10, subpunctul c), soluția $m=-5$ păstrată, deși enunțul cere $m\in (1,+\infty )$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u>0$, $v>0$. Regula produsului: dacă o alegere se face în $p$ moduri și, pentru fiecare, alta în $q$ moduri, sunt $p\cdot q$ posibilități. Mijlocul segmentului $[PQ]$: $\left(\frac{x_P+x_Q}{2},\frac{y_P+y_Q}{2}\right)$. Triunghi dreptunghic: aria este $\frac{c_1\cdot c_2}{2}$; un unghi ascuțit de $\frac{\pi }{4}$ îl face isoscel.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul de matrice nu este comutativ. Legi de compoziție: $x(x-2)=(x-1{)}^2-1$.
• Derivate: ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; o funcție continuă, strict monotonă, cu limitele $-\infty$ și $+\infty$ la capetele unui interval deschis, este bijectivă de pe acel interval pe $\mathbb{R}$.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{(x+1{)}^3}dx=-\frac{1}{2(x+1{)}^2}+\mathcal{C}$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=2x+1$ la cerința $2$, $f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{x}-3$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$ la cerința $10$. La cerința $10$, subpunctul c), $f\left(\sqrt{x}\right)$ înseamnă valoarea lui $f$ în punctul $\sqrt{x}$.
• Litera $A$ este o mulțime de cifre la cerința $4$, un punct la cerințele $5$ și $6$ (vârful unghiului drept) și o matrice la cerința $7$; litera $B$ este un punct la cerința $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și o matrice, $B(x)$, la cerința $7$; litera $C$ este mijlocul lui $OA$ la cerința $5$ și un vârf al triunghiului la cerința $6$. Litera $a$ este necunoscuta de la cerința $2$ și numărul real de la cerința $7$, subpunctul b).
• La cerința $6$, scrierea „$C=\frac{\pi }{4}$" din enunț înseamnă că unghiul $C$ al triunghiului are măsura $\frac{\pi }{4}$ (documentul oficial nu pune semn de unghi, nici în imagine, nici în text; l-am transcris exact).
• La cerința $8$, semnul $\circ$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor. Baremul oficial notează aria de la cerința $6$ cu ${\mathcal{A}}_{ABC}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".