Bac M2 2026, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2026 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $i(6-i)+3(3-2i)=10$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3x-2}=7^{-x}\cdot 49$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{2,3,4,5,8,9\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,2)$, $B(7,4)$ și $C$, astfel încât $A$ este mijlocul segmentului $BC$. Determinați lungimea segmentului $OC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=2$ și $BC=4$. Arătați că $AD=\sqrt{3}$, unde $AD$ este înălțime a triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(x)=\left(\begin{array}{cc}x-2& -1-x\\ 3x& x+4\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=18$.

b) (5 puncte) Arătați că matricea $B=4I_2-A(1)$ este inversa matricei $A(1)$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $12X-3A(1)\cdot X=A(5)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+2X^2+mX+4$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=2$, arătați că $f(-2)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $m=1$, determinați restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X+1$.

c) (5 puncte) Determinați rădăcinile polinomului $f$, știind că produsul a două dintre acestea este egal cu $1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x+2}{(x+1{)}^2}$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este concavă.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+4+e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-3x^2\right)dx=e+3$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\frac{x}{f(x)-e^x}dx=\frac{\ln 2}{3}$.

c) (5 puncte) Se consideră $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, o primitivă a funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f\left(x^2\right)-3x^4$. Știind că ${\int }_0^{1}G(x)dx=\frac{1-e}{2}$, arătați că $G(1)=2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea august-septembrie 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desfac parantezele: $$i(6-i)+3(3-2i)=6i-i^2+9-6i\text{(3 p)}.$$ Termenii $6i$ și $-6i$ se reduc, iar $-i^2=-(-1)=1$: $$i(6-i)+3(3-2i)=1+9=10\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $i\cdot i=i$ în loc de $i^2$, și rezultatul iese $9-i$, cu parte imaginară; sau se pierde minusul din fața lui $i^2$ și iese $-1+9=8$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, intersecția cu axa $Ox$.

Punctele graficului situate pe axa $Ox$ au ordonata $0$, deci $$f(x)=0,\text{ deci }{x}^2-4x=0\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun, $x(x-4)=0$, deci abscisele sunt $0$ și $4$ (2 p).

(Control: $f(0)=0$ și $f(4)=16-16=0$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația la $x$ și se pierde soluția $x=0$; sau se confundă intersecția cu $Ox$ ($f(x)=0$) cu intersecția cu $Oy$ ($x=0$).)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cum $49=7^2$, membrul drept este $7^{-x}\cdot 7^2=7^{-x+2}$, iar funcția exponențială este injectivă: $$7^{3x-2}=7^{-x+2},\text{ de unde obținem }3x-2=-x+2\text{(3 p)}.$$ $$4x=4,\text{ deci }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $x=1$, membrul stâng este $7^1=7$, iar cel drept $7^{-1}\cdot 49=7$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc exponenții în loc să se adune, $7^{-x}\cdot 7^2=7^{-2x}$, și iese $x=\frac{2}{5}$; sau se scrie $7^{-x-2}$ și iese $x=0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Un număr este impar când cifra unităților este impară; în $A$ cifrele impare sunt $3$, $5$ și $9$, deci cifra unităților se poate alege în $3$ moduri (2 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $5$ moduri — oricare dintre celelalte cinci cifre ale lui $A$, pentru că cifrele trebuie să fie distincte, iar $A$ nu conține cifra $0$ —, deci se pot forma $3\cdot 5=15$ numere (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se uită condiția „cifre distincte" și se numără $3\cdot 6=18$ numere, cu $33$, $55$ și $99$ printre ele; sau se uită condiția „impare" și se numără toate cele $6\cdot 5=30$ de numere cu cifre distincte.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, un capăt al segmentului din mijloc.

$A$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $$\frac{7+x_C}{2}=5,\frac{4+y_C}{2}=2,\text{ unde }{x}_C\text{ și }{y}_C\text{ sunt coordonatele punctului }C\text{(2 p)}.$$ De aici $x_C=3$, $y_C=0$, de unde obținem $OC=\sqrt{3^2+0^2}=3$ (3 p).

(Control: mijlocul lui $B(7,4)$ și $C(3,0)$ este $(5,2)$, chiar $A$. Unde se greșește de obicei: se ia $B$ drept mijloc, în loc de $A$, și iese $C(9,6)$; sau se calculează mijlocul lui $AB$ și se crede că acela este $C$.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană, înălțimea în triunghiul dreptunghic.

Cu teorema lui Pitagora, $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$. Aria triunghiului se scrie în două feluri — semiprodusul catetelor și semiprodusul dintre ipotenuză și înălțimea corespunzătoare ei: $$AC=2\sqrt{3},\frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=\frac{AD\cdot 4}{2}\text{(3 p)}.$$ $$AD=\frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{4},\text{ de unde obținem }\mathbf{AD}=\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Un al doilea drum: cu teorema catetei, $BD=\frac{A{B}^2}{BC}=1$, iar în triunghiul dreptunghic $ABD$, $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2=4-1=3$. Unde se greșește de obicei: se aplică teorema lui Pitagora ca și cum ipotenuza ar fi $AC$, $A{C}^2=4+16$, și iese $AD=\sqrt{5}$; sau se împarte la $2$ doar într-un membru al egalității ariilor.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 6& 6\end{array}\right)⟹\det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}0& -3\\ 6& 6\end{array}\right|=0\cdot 6-(-3)\cdot 6\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=0+18=18\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $-1-x$ pentru $x=2$ ca $-1$ sau ca $1$, uitând că se scade tot $x$: $-1-2=-3$; sau se adună produsul de pe diagonala secundară în loc să se scadă și iese $-18$.)

b) (5 p) Pentru $x=1$ și, apoi, scăzând din $4I_2$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& 5\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ -3& -1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Se calculează ambele produse: $$A(1)\cdot B=B\cdot A(1)=I_2,\text{ deci matricea }B\text{ este inversa matricei }A(1)\text{(3 p)}.$$

(Detaliul calculului: $A(1)\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-5+6& -2+2\\ 15-15& 6-5\end{array}\right)=I_2$, iar $B\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}-5+6& -10+10\\ 3-3& 6-5\end{array}\right)=I_2$. Pentru matrice pătrate, unul dintre cele două produse ar fi fost suficient; baremul le scrie pe amândouă. Unde se greșește de obicei: se scade $A(1)$ din $4$ pe toate pozițiile, nu doar pe diagonală — $4I_2$ are zerouri în afara diagonalei.)

c) (5 p) Se dă factor comun matricea $X$, la dreapta — ea stă în dreapta în ambii termeni: $$3(4I_2-A(1))\cdot X=A(5),A(5)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 15& 9\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Cum $4I_2-A(1)=B$ și, după subpunctul b), $(4I_2-A(1){)}^{-1}=A(1)$, înmulțim la stânga cu $A(1)$: $$(4I_2-A(1){)}^{-1}=A(1),\text{ de unde obținem }X=\frac{1}{3}A(1)\cdot A(5),\text{ deci }X=\left(\begin{array}{cc}-11& -4\\ 28& 9\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Detaliul ultimului calcul: $A(1)\cdot A(5)=\left(\begin{array}{cc}-33& -12\\ 84& 27\end{array}\right)$, iar împărțit la $3$ dă $X$. Control direct: $12X-3A(1)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 15& 9\end{array}\right)=A(5)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu inversa la dreapta, $X=\frac{1}{3}A(5)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}-7& -12\\ 4& 5\end{array}\right)$ — altă matrice, pentru că $A(1)$ și $A(5)$ nu comută; sau se uită factorul $\frac{1}{3}$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=2$: $$f=X^3+2X^2+2X+4⟹f(-2)=(-2{)}^3+2(-2{)}^2+2\cdot (-2)+4\text{(3 p)}.$$ $$f(-2)=-8+8-4+4=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(-2{)}^3=8$ și iese $8+8-4+4=16$, sau $(-2{)}^2=-4$ și iese $-8-8-4+4=-16$, nu $0$; corect, $(-2{)}^3=-8$ — puterea impară păstrează semnul —, iar $(-2{)}^2=4$, fără minus.)

b) (5 p) Pentru $m=1$, după teorema restului, restul împărțirii la $X+1=X-(-1)$ este $f(-1)$: $$f=X^3+2X^2+X+4⟹f(-1)=(-1{)}^3+2\cdot (-1{)}^2+(-1)+4\text{(3 p)}.$$ $$f(-1)=-1+2-1+4=4,\text{ deci restul ıˆmpa˘rțirii polinomului }f\text{ la }g\text{ este }4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)=8$, luând rădăcina lui $X+1$ drept $1$; sau se scrie $(-1{)}^2=-1$ și iese $0$.)

c) (5 p) Notăm rădăcinile cu $x_1$, $x_2$, $x_3$, cu $x_1{x}_2=1$. Relațiile lui Viète dau $x_1{x}_2{x}_3=-4$, deci $$x_1{x}_2=1\text{ și, cum }{x}_1{x}_2{x}_3=-4,\text{ obținem }{x}_3=-4\text{(2 p)}.$$ $$x_1+x_2+x_3=-2,\text{ deci }{x}_1+x_2=2,\text{ de unde obținem }{\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2=1\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile polinomului sunt $1$, $1$ și $-4$.

(Baremul trece direct de la $x_1+x_2=2$ și $x_1{x}_2=1$ la $x_1=x_2=1$: cele două numere sunt rădăcinile ecuației $t^2-2t+1=0$, adică $(t-1{)}^2=0$. Baremul nu calculează $m$, pentru că nu se cere; el există: $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=1-4-4=-7$, deci $m=-7$ și $f=(X-1{)}^2(X+4)$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=4$, cu semnul greșit, și iese $x_3=4$; sau se ia $x_1+x_2+x_3=2$ și iese $x_1+x_2=6$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, tangenta și concavitatea.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+3)(x+1)-\left(x^2+3x+1\right)\cdot 1}{(x+1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+5x+3-x^2-3x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x+2}{(x+1{)}^2},x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se schimbă doar primul semn la desfacerea parantezei $-\left(x^2+3x+1\right)$ și iese $x^2+8x+4$ la numărător; sau se inversează ordinea din numărătorul derivatei câtului.)

b) (5 p) Se calculează valoarea funcției și a derivatei în $0$: $$f(0)=1,f^{\prime }(0)=2\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $\mathbf{y}=2x+1$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se inversează rolurile, panta $f(0)=1$ și ordonata la origine $f^{\prime }(0)=2$, și iese $y=x+2$.)

c) (5 p) Scriind $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+1{)}^2}$ (numărătorul este $(x+1{)}^2+1$), derivata a doua este $$f^{\prime \prime }(x)={\left(\frac{x^2+2x+2}{(x+1{)}^2}\right)}^{\prime }=-\frac{2}{(x+1{)}^3},x\in (-1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Cum $x+1>0$ pe domeniu, $(x+1{)}^3>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)\le 0$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$, de unde rezultă că funcția $f$ este concavă (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se confundă criteriul — semnul lui $f^{\prime }$ dă monotonia, semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă convexitatea sau concavitatea; aici $f^{\prime }>0$, deci $f$ este și crescătoare, dar asta nu spune nimic despre concavitate. A doua capcană: $f^{\prime \prime }<0$ înseamnă concavă, nu convexă.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite, o primitivă și integrarea prin părți.

a) (5 p) Termenul $3x^2$ se reduce: $f(x)-3x^2=4+e^x$, deci $${\int }_0^1\left(f(x)-3x^2\right)dx={\int }_0^1\left(4+e^x\right)dx=4x{|}_0^1+e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1\left(f(x)-3x^2\right)dx=4+e-1=\mathbf{e}+3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită valoarea în capătul de jos, $e^0=1$, și iese $e+4$; sau se ia primitiva lui $4$ ca $0$, nu ca $4x$.)

b) (5 p) Cum $f(x)-e^x=3x^2+4$, iar ${\left(3x^2+4\right)}^{\prime }=6x$, integrandul este de forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu factorul $\frac{1}{6}$: $${\int }_0^2\frac{x}{f(x)-e^x}dx={\int }_0^2\frac{x}{3x^2+4}dx=\frac{1}{6}{\int }_0^2\frac{{\left(3x^2+4\right)}^{\prime }}{3x^2+4}dx=\frac{1}{6}\ln \left(3x^2+4\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{\ln 16}{6}-\frac{\ln 4}{6}=\frac{\ln 2}{3}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul ultimului calcul: $\frac{\ln 16-\ln 4}{6}=\frac{\ln 4}{6}=\frac{2\ln 2}{6}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,2]$ dă $0,231049$, iar $\frac{\ln 2}{3}\approx 0,231049$. Unde se greșește de obicei: se pune factorul $\frac{1}{3}$ în loc de $\frac{1}{6}$ — derivata lui $3x^2+4$ este $6x$, nu $3x$; sau se scrie $\ln 16-\ln 4=\ln 12$, scăzând argumentele în loc să le împarți.)

c) (5 p) Funcția $g$ se simplifică: $g(x)=f\left(x^2\right)-3x^4=3x^4+4+e^{x^2}-3x^4=4+e^{x^2}$. Primitiva $G$ nu se poate scrie explicit, dar nici nu e nevoie: scriem $G(x)=x^{\prime }\cdot G(x)$ și integrăm prin părți, cu $G^{\prime }=g$: $${\int }_0^{1}G(x)dx={\int }_0^1{x}^{\prime }G(x)dx=xG(x){|}_0^1-{\int }_0^{1}xg(x)dx=G(1)-{\int }_0^1\left(4x+x{e}^{x^2}\right)dx\text{(3 p)}.$$ Cum ${\left(e^{x^2}\right)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$, o primitivă a lui $x{e}^{x^2}$ este $\frac{1}{2}{e}^{x^2}$: $$=G(1)-2x^2{|}_0^1-\frac{1}{2}{e}^{x^2}{|}_0^1=G(1)-\frac{e+3}{2},\text{ deci }G(1)-\frac{e+3}{2}=\frac{1-e}{2},\text{ de unde obținem }\mathbf{G}(1)=2\text{(2 p)}.$$

(În termenul $xG(x){|}_0^1=1\cdot G(1)-0\cdot G(0)$ valoarea necunoscută $G(0)$ dispare, înmulțită cu $0$ — de aceea s-a ales $x^{\prime }$ ca factor. Detaliul: $2+\frac{e-1}{2}=\frac{e+3}{2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $xG(x){|}_0^1=G(1)-G(0)$; sau, în integrala rămasă, se scrie $g(x)$ în loc de $x\cdot g(x)$, iar ${\int }_0^1\left(4+e^{x^2}\right)dx$ nu se mai poate calcula prin formulele cunoscute.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2026 a examenului național de bacalaureat — Varianta 5, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din august-septembrie 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțire și reducere, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului cu axa $Ox$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: regula produsului, numere impare cu cifre distincte — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: un capăt de segment din mijloc și celălalt capăt, apoi o distanță — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: teorema lui Pitagora și înălțimea triunghiului dreptunghic, prin două scrieri ale ariei — gimnaziu, recapitulat în clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, inversa verificată prin produs, o ecuație matriceală — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, restul împărțirii la $X-a$ și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, ecuația tangentei, derivata a doua și concavitatea — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: formula Leibniz–Newton, forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, o primitivă dată doar prin derivata ei și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2026, în varianta de rezervă. Subiectul I este de calcul direct, cu două locuri unde se greșește din grabă: numărarea de la cerința 4 (cifrele trebuie să fie distincte și numărul impar, deci se alege întâi cifra unităților) și cerința 6, unde înălțimea nu se calculează dintr-un unghi, ci din aria scrisă în două feluri. La Subiectul al II-lea, ecuația matriceală de la problema 1 se reduce la subpunctul b): după factorul comun, apare exact matricea $B$, a cărei inversă este $A(1)$; la problema 2, relațiile lui Viète dau rădăcinile fără să se afle parametrul $m$. La Subiectul al III-lea, subpunctul c) al problemei 2 este cel mai neobișnuit: primitiva $G$ nu se poate scrie explicit (funcția $e^{x^2}$ nu are o primitivă exprimabilă prin funcțiile obișnuite), așa că $G(1)$ se află doar prin integrarea prin părți, scriind $G(x)$ ca $x^{\prime }\cdot G(x)$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\sqrt{3}$, o matrice cu elemente întregi, $e+3$ și $\frac{\ln 2}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, numărarea fără să se precizeze de ce cifra zecilor are cinci posibilități; la cerința 7, subpunctul c), împărțirea „la o matrice" în loc de înmulțirea cu inversa, la stânga; la cerința 9, subpunctul c), concavitatea afirmată fără semnul derivatei a doua; la cerința 10, subpunctul c), încercarea de a calcula explicit primitiva $G$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$. Intersecția cu $Ox$: abscisele sunt soluțiile ecuației $f(x)=0$. Exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$; $49=7^2$. Regula produsului: dacă o alegere se face în $p$ moduri și, pentru fiecare, alta în $q$ moduri, perechea se face în $p\cdot q$ moduri. Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele $\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$. Triunghiul dreptunghic în $A$: înălțimea $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}$, din aria scrisă în două feluri.
• Matrice: două matrice pătrate $P$ și $Q$ sunt inverse una alteia când $P\cdot Q=Q\cdot P=I_2$; din $P\cdot X=N$, cu $P$ inversabilă, $X=P^{-1}\cdot N$ — înmulțind la stânga.
• Polinoame: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=-b$ și $x_1{x}_2{x}_3=-d$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dacă $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ pe un interval, $f$ este concavă pe acel interval.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; dacă $G$ este o primitivă a lui $g$, atunci $G^{\prime }=g$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește patru obiecte diferite: mulțimea de cifre de la cerința $4$, punctul $A(5,2)$ de la cerința $5$, vârful triunghiului de la cerința $6$ și matricea $A(x)$ de la cerința $7$. Tot așa, $B$ este un punct la cerința $5$, un vârf la cerința $6$ și matricea $B=4I_2-A(1)$ la cerința $7$, iar $C$ este un punct la cerința $5$ și un vârf la cerința $6$. La cerința $6$, $D$ este piciorul înălțimii din $A$, pe latura $BC$.
• Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la cerința $2$, polinomul de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x+1}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=3x^2+4+e^x$ de la cerința $10$. Litera $g$ este polinomul $X+1$ la cerința $8$ și funcția $g(x)=f\left(x^2\right)-3x^4$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $7$, litera $x$ este parametrul real al matricei $A(x)$, iar necunoscuta ecuației este matricea $X$, scrisă cu majusculă; la cerința $8$, aceeași majusculă $X$ este nedeterminata polinomului. La cerința $10$, $e$ este baza logaritmului natural, iar $f\left(x^2\right)$ înseamnă funcția $f$ calculată în $x^2$, adică $3x^4+4+e^{x^2}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".