Exerciții rezolvate — Cercul (clasa a VI-a)

10 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Cercul", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un cerc are centrul $O$ și raza $r=6$ cm. Punctul $P$ se află la distanța $OP=4$ cm de centru. Unde se află punctul $P$ față de cerc?

   • a) $P$ este pe cerc
   • b) $P$ este în interiorul cercului
   • c) $P$ este în exteriorul cercului
   • d) Nu se poate preciza fără un desen
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $P$ este în interiorul cercului

   Comparăm distanța $OP$ cu raza $r$: $OP=4$ cm, iar $r=6$ cm. Cum $4<6$, adică $OP<r$, punctul $P$ se află la o distanță mai mică decât raza, deci este în interiorul cercului.

   Lecția: Cercul: definiție și elemente →

2. Un cerc are centrul $O$ și raza $r=9$ cm. O dreaptă $d$ se află la distanța $m=5$ cm de centru. Ce poziție are dreapta față de cerc și câte puncte comune au?

   • a) Exterioară, 0 puncte comune
   • b) Tangentă, 1 punct comun
   • c) Secantă, 2 puncte comune
   • d) Nu se poate determina fără desen
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Secantă, 2 puncte comune

   Comparăm $m$ cu $r$: $m=5$ și $r=9$, deci $m<r$. Conform criteriului, dreapta este secantă și taie cercul în 2 puncte, determinând o coardă.

   Lecția: Pozițiile unei drepte față de un cerc și ale a două cercuri →

3. Pe un cerc, $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}})=95°$, iar coarda $[AB]$ are lungimea $7$ cm. Ce poți afirma despre coarda $[CD]$?

   • a) $[CD]=7$ cm, pentru că arce congruente subîntind coarde congruente
   • b) $[CD]=95$ cm
   • c) Nu se poate determina lungimea lui $[CD]$
   • d) $[CD]$ este mai mare decât $7$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $[CD]=7$ cm, pentru că arce congruente subîntind coarde congruente

   Arcele $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ și $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ au aceeași măsură, deci sunt arce congruente. În același cerc, arce congruente subîntind coarde congruente: $[AB]\equiv [CD]$, deci $[CD]=7$ cm.

   Lecția: Unghiul la centru. Arce și coarde →

4. Care dintre următoarele afirmații despre elementele cercului este adevărată?

   • a) Există coarde mai lungi decât diametrul
   • b) Diametrul este o coardă care trece prin centrul cercului
   • c) Raza unește două puncte oarecare de pe cerc
   • d) Centrul face parte din mulțimea punctelor cercului
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Diametrul este o coardă care trece prin centrul cercului

   Diametrul este chiar coarda specială care trece prin centrul cercului, fiind format din două raze puse cap la cap. Afirmația (a) e falsă, deoarece coarda este cel mult egală cu diametrul; (c) e falsă, raza pleacă din centru spre un punct de pe cerc, nu unește două puncte de pe cerc; (d) e falsă, centrul este la distanța $0$ de el însuși, nu la distanța $r$, deci nu aparține cercului.

   Lecția: Cercul: definiție și elemente →

5. Două cercuri au razele $R=12$ cm și $r=5$ cm, iar distanța dintre centre este $d=6$ cm. Ce poziție au cele două cercuri?

   • a) Secante, 2 puncte comune
   • b) Tangente interior, 1 punct comun
   • c) Interioare, 0 puncte comune
   • d) Tangente exterior, 1 punct comun
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Interioare, 0 puncte comune

   Calculăm pragurile: $R+r=17$ cm și $R-r=7$ cm. Cum $d=6<7=R-r$, distanța dintre centre este mai mică decât diferența razelor, deci cercurile sunt interioare (cel mic complet în interiorul celui mare), cu 0 puncte comune.

   Lecția: Pozițiile unei drepte față de un cerc și ale a două cercuri →

6. Unghiul la centru $\widehat{AOB}=137°$. Cât măsoară arcul mic $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$?

   • a) $137°$
   • b) $223°$
   • c) $227°$
   • d) $147°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $137°$

   Regula de aur: arcul mic are aceeași măsură ca unghiul la centru corespunzător, deci $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=m(\widehat{AOB})=137°$. Varianta b) $223°$ este arcul mare ($360°-137°=223°$), nu cel mic — cea mai frecventă confuzie la acest tip de exercițiu; c) și d) provin din calcule greșite.

   Lecția: Unghiul la centru. Arce și coarde →

7. Un cerc are centrul $O$ și raza $r=8$ cm. Punctul $Q$ se află la distanța $OQ=11$ cm de centru. Unde se află punctul $Q$ față de cerc?

   • a) $Q$ este pe cerc
   • b) $Q$ este în interiorul cercului
   • c) $Q$ este în exteriorul cercului
   • d) Nu se poate preciza fără un desen
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $Q$ este în exteriorul cercului

   Comparăm distanța $OQ$ cu raza $r$: $OQ=11$ cm, iar $r=8$ cm. Cum $11>8$, adică $OQ>r$, punctul $Q$ se află la o distanță mai mare decât raza, deci este în exteriorul cercului.

   Lecția: Cercul: definiție și elemente →

8. Un cerc are centrul $O$ și raza $r=7$ cm. O dreaptă $d$ se află la distanța $m=11$ cm de centru. Ce poziție are dreapta față de cerc și câte puncte comune au?

   • a) Exterioară, 0 puncte comune
   • b) Tangentă, 1 punct comun
   • c) Secantă, 2 puncte comune
   • d) Nu se poate determina fără desen
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Exterioară, 0 puncte comune

   Comparăm $m$ cu $r$: $m=11$ și $r=7$, deci $m>r$. Conform criteriului, dreapta este exterioară cercului, cu 0 puncte comune.

   Lecția: Pozițiile unei drepte față de un cerc și ale a două cercuri →

9. Pe un cerc, coarda $[MN]$ este congruentă cu coarda $[PQ]$, iar $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}})=124°$. Cât măsoară $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{PQ}})$?

   • a) $124°$
   • b) $224°$
   • c) $184°$
   • d) $62°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $124°$

   Coarde congruente subîntind arce congruente (proprietatea inversă): din $[MN]\equiv [PQ]$ rezultă $\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{PQ}}$, deci $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{PQ}})=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}})=124°$.

   Lecția: Unghiul la centru. Arce și coarde →

10. Două cercuri au razele $R=10$ cm și $r=4$ cm, iar distanța dintre centre este $d=9$ cm. Ce poziție au cele două cercuri?

    • a) Secante, 2 puncte comune
    • b) Tangente exterior, 1 punct comun
    • c) Exterioare, 0 puncte comune
    • d) Interioare, 0 puncte comune
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Secante, 2 puncte comune

    Calculăm pragurile: $R+r=14$ cm și $R-r=6$ cm. Cum $6<9<14$, distanța dintre centre este cuprinsă strict între cele două praguri, deci cercurile sunt secante, cu 2 puncte comune.

    Lecția: Pozițiile unei drepte față de un cerc și ale a două cercuri →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.