Exerciții rezolvate — Figuri geometrice: recunoaștere și extindere (clasa a V-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Figuri geometrice: recunoaștere și extindere", clasa a V-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care dintre următoarele segmente se numește diametru al unui cerc?

   • a) Segmentul care unește centrul cu un punct de pe cerc
   • b) Segmentul care unește două puncte de pe cerc, fără să treacă prin centru
   • c) Segmentul care unește două puncte de pe cerc și trece prin centru
   • d) Segmentul care unește centrul cu un punct din afara cercului
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Segmentul care unește două puncte de pe cerc și trece prin centru

   Diametrul unește două puncte de pe cerc și trece obligatoriu prin centru. Varianta (a) descrie raza, iar (b) descrie o coardă obișnuită (nu diametru), fiindcă nu trece prin centru.

   Lecția: Cercul: centru, rază, diametru (intuitiv) →

2. Se desenează un cub și, alături, un paralelipiped dreptunghic (o cutie de pantofi). Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?

   • a) Cubul are mai multe vârfuri decât paralelipipedul dreptunghic.
   • b) Ambele corpuri au 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri, dar numai la cub toate cele 12 muchii sunt egale.
   • c) Paralelipipedul dreptunghic are doar 10 muchii.
   • d) La cub, fețele sunt dreptunghiuri de mărimi diferite.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Ambele corpuri au 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri, dar numai la cub toate cele 12 muchii sunt egale.

   Cubul și paralelipipedul dreptunghic au exact aceleași numere: 6 fețe, 12 muchii, 8 vârfuri. Diferența nu e la câte elemente au, ci la forma fețelor: la cub toate cele 6 fețe sunt pătrate egale și toate cele 12 muchii sunt egale între ele; la paralelipipedul dreptunghic fețele sunt dreptunghiuri (în 3 perechi egale), iar muchiile pot avea trei lungimi diferite. Deci (b) este singura afirmație corectă.

   Lecția: Corpuri geometrice: cubul și paralelipipedul dreptunghic →

3. În dreptunghiul $ABCD$ se știe că $AB=9$ cm și $BC=4$ cm. Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

   • a) Toate cele patru laturi ale dreptunghiului sunt egale.
   • b) $CD=9$ cm și $DA=4$ cm.
   • c) Dreptunghiul $ABCD$ are 4 axe de simetrie.
   • d) Diagonalele dreptunghiului $ABCD$ sunt axe de simetrie.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $CD=9$ cm și $DA=4$ cm.

   Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, nu toate. Latura $CD$ este opusă lui $AB$, deci $CD=AB=9$ cm, iar $DA$ este opusă lui $BC$, deci $DA=BC=4$ cm. Fiindcă laturile nu sunt toate egale, figura are doar 2 axe de simetrie, iar diagonalele NU sunt axe (colțurile nu s-ar suprapune la pliere).

   Lecția: Pătratul și dreptunghiul: proprietăți și axe de simetrie →

4. Un patrulater KLMN are ambele perechi de laturi opuse paralele, toate cele patru unghiuri de $90°$, iar laturile lui măsoară $10\text{ cm}$ și $7\text{ cm}$. Ce patrulater este KLMN?

   • a) Trapez
   • b) Dreptunghi
   • c) Romb
   • d) Pătrat
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Dreptunghi

   Are 2 perechi de laturi paralele (familia paralelogramului) și toate unghiurile drepte, dar laturile nu sunt toate egale ($10\text{ cm}\ne 7\text{ cm}$) — nu poate fi pătrat. Rămâne dreptunghi.

   Lecția: Patrulatere: recunoaștere și proprietăți (intuitiv) →

5. Câte axe de simetrie are un romb care nu este pătrat (are toate laturile egale, dar unghiurile nu sunt de $90°$)?

   • a) 0
   • b) 1
   • c) 2
   • d) 4
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) 2

   O dreaptă este axă de simetrie dacă este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului care unește fiecare punct cu „oglinda" lui. La romb, fiecare diagonală este perpendiculară pe cealaltă diagonală și trece exact prin mijlocul ei: îndoind rombul pe o diagonală, cele două vârfuri de la capetele celeilalte diagonale cad exact unul peste celălalt, deci jumătățile se suprapun perfect. Așadar ambele diagonale sunt axe de simetrie. (Atenție: nu e suficient ca o dreaptă să taie figura în două triunghiuri congruente — la dreptunghi diagonala face același lucru, dar NU este axă de simetrie, tocmai pentru că nu e perpendiculară pe cealaltă diagonală prin mijlocul ei.) Rombul (care nu e pătrat) nu are alte axe, pentru că unghiurile lui nu sunt toate de $90°$ ca la pătrat, deci dreptele prin mijloacele laturilor nu mai sunt axe. Răspuns: 2 axe.

   Lecția: Simetrie și figuri congruente în jurul nostru (extindere) →

6. Un triunghi $XYZ$ are laturile $XY=6$ cm, $YZ=10$ cm și $ZX=6$ cm. Ce fel de triunghi este după laturi?

   • a) Echilateral
   • b) Isoscel
   • c) Scalen
   • d) Obtuzunghic
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Isoscel

   Comparăm laturile: $XY=ZX=6$ cm (două laturi egale), iar $YZ=10$ cm este diferită. Cu exact două laturi egale, triunghiul este isoscel. Varianta (d) nu poate fi corectă aici, pentru că „obtuzunghic” este o clasificare după unghiuri, nu după laturi.

   Lecția: Triunghiul: elemente și clasificare (intuitiv) →

7. Cercul $C_1$ are raza de $17\text{ cm}$, iar cercul $C_2$ are diametrul de $32\text{ cm}$. Care cerc este mai mare?

   • a) Cercul $C_1$
   • b) Cercul $C_2$
   • c) Sunt egale
   • d) Nu se poate determina
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Cercul $C_1$

   Aducem la aceeași mărime: diametrul lui $C_1$ este $d_1=2\times 17=34\text{ cm}$. Comparăm diametrele: $d_1=34\text{ cm}$ și $d_2=32\text{ cm}$. Cum $34>32$, cercul $C_1$ este mai mare.

   Lecția: Cercul: centru, rază, diametru (intuitiv) →

8. Corpul $MNPQRSTU$ este un cub, cu vârfurile $M,N,P,Q$ pe fața de jos, iar $R,S,T,U$ exact deasupra lor ($R$ deasupra lui $M$, $S$ deasupra lui $N$, $T$ deasupra lui $P$, $U$ deasupra lui $Q$). Cum se numește corect fața de sus a cubului?

   • a) $MNPQ$
   • b) $RSTU$
   • c) $MRSN$
   • d) $QRST$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $RSTU$

   O față se numește prin cele 4 vârfuri de pe conturul ei, luate în ordine. Fața de sus are vârfurile $R,S,T,U$ (așezate exact deasupra lui $M,N,P,Q$), deci se numește fața $RSTU$. Varianta $MNPQ$ este fața de jos, nu de sus; $MRSN$ este o față laterală (cea care conține muchia $MN$), deci nici ea nu este fața de sus; iar la (d), vârfurile $Q,R,S,T$ nu se află toate pe conturul aceleiași fețe, așa că $QRST$ nu denumește nicio față a cubului.

   Lecția: Corpuri geometrice: cubul și paralelipipedul dreptunghic →

9. În dreptunghiul $MNPQ$ se știe că $MN=15$ cm și $NP=6$ cm. Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

   • a) Toate cele patru laturi ale dreptunghiului sunt egale.
   • b) $PQ=15$ cm și $QM=6$ cm.
   • c) Dreptunghiul $MNPQ$ are 4 axe de simetrie.
   • d) Diagonalele dreptunghiului $MNPQ$ sunt axe de simetrie.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $PQ=15$ cm și $QM=6$ cm.

   Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, nu toate. Latura $PQ$ este opusă lui $MN$, deci $PQ=MN=15$ cm, iar $QM$ este opusă lui $NP$, deci $QM=NP=6$ cm. Fiindcă laturile nu sunt toate egale, figura are doar 2 axe de simetrie, iar diagonalele NU sunt axe.

   Lecția: Pătratul și dreptunghiul: proprietăți și axe de simetrie →

10. Despre un patrulater știm că diagonalele lui se înjumătățesc, sunt egale între ele, dar nu sunt perpendiculare. Ce patrulater poate fi?

    • a) Trapez
    • b) Romb
    • c) Dreptunghi
    • d) Pătrat
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) Dreptunghi

    Diagonalele care se înjumătățesc arată familia paralelogramului. Diagonalele egale duc spre dreptunghi sau pătrat, dar la pătrat diagonalele sunt și perpendiculare — cum aici NU sunt perpendiculare, rămâne dreptunghiul.

    Lecția: Patrulatere: recunoaștere și proprietăți (intuitiv) →

11. Ana are două dreptunghiuri: primul are lungimea $9$ cm și lățimea $5$ cm; al doilea are lungimea $5$ cm și lățimea $9$ cm, fiind același dreptunghi rotit cu $90°$. Sunt cele două dreptunghiuri congruente?

    • a) Da, pentru că au aceeași formă și aceeași mărime, doar sunt rotite
    • b) Nu, pentru că lungimea și lățimea sunt schimbate între ele
    • c) Nu, pentru că un dreptunghi rotit devine altă figură
    • d) Nu se poate ști fără să măsurăm unghiurile
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Da, pentru că au aceeași formă și aceeași mărime, doar sunt rotite

    Rotirea unei figuri schimbă doar poziția ei, nu forma și nici mărimea. Ambele dreptunghiuri au aceleași două lungimi de laturi ($9$ cm și $5$ cm), deci se pot suprapune perfect prin rotire. Sunt congruente.

    Lecția: Simetrie și figuri congruente în jurul nostru (extindere) →

12. Se pot uni într-un triunghi trei bețe de $4$ cm, $7$ cm și $13$ cm?

    • a) Da, pentru că $13<4+7$
    • b) Nu, pentru că $13>4+7$
    • c) Da, pentru că toate laturile sunt diferite
    • d) Nu, pentru că laturile nu sunt egale
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Nu, pentru că $13>4+7$

    Regula de construcție: latura cea mai lungă trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două. Aici $4+7=11$ cm, iar $13>11$, deci bețele scurte nu ajung să se întâlnească peste cel lung. Triunghiul nu se poate construi.

    Lecția: Triunghiul: elemente și clasificare (intuitiv) →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.