Care este poziția dreptei $$y=x+1$$ față de parabola $$y=x^2+2x-1$$?

nu se poate stabili fără a desena graficul

Pentru ecuația $$2x^2+5x-3=0$$, care sunt suma $$S$$ și produsul $$P$$ al rădăcinilor?

$$S=-\dfrac{5}{2}$$, $$P=-\dfrac{3}{2}$$

$$S=\dfrac{5}{2}$$, $$P=-\dfrac{3}{2}$$

$$S=-\dfrac{5}{2}$$, $$P=\dfrac{3}{2}$$

$$S=\dfrac{5}{2}$$, $$P=\dfrac{3}{2}$$

Studiați semnul funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^2-3x-10$$, și determinați pentru ce valori ale lui $$x$$ avem $$f(x)<0$$.

$$x\in(-\infty,-2)\cup(5,\infty)$$

$$x\in(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$$

Sistemul $$\begin{cases}x^2+y^2=13\\xy=6\end{cases}$$ este:

atât sistem omogen, cât și sistem simetric

doar sistem omogen, nu și simetric

doar sistem simetric, nu și omogen

niciunul dintre cele două tipuri

Acasă · Exerciții rezolvate · clasa a IX-a · Exerciții rezolvate — Funcția de gradul al doilea (clasa a IX-a)

Exerciții rezolvate — Funcția de gradul al doilea (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Funcția de gradul al doilea", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

Care este poziția dreptei $y = x + 1$ față de parabola $y = x^{2} + 2 x - 1$ ?
- a) secantă
- b) tangentă
- c) exterioară
- d) nu se poate stabili fără a desena graficul
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) secantă

Ecuația de intersecție: $x^{2} + 2 x - 1 = x + 1$ , adică $x^{2} + x - 2 = 0$ , cu $Δ = 1 + 8 = 9 > 0$ . Cum discriminantul e strict pozitiv, dreapta este secantă, cu două puncte comune: rădăcinile sunt $x = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ , adică $1$ și $- 2$ , deci punctele $(1, 2)$ și $(- 2, - 1)$ .
Lecția: Dreaptă și parabolă: interpretarea geometrică a sistemelor →
Aplicând metoda formării pătratului perfect pentru ecuația $x^{2} + 8 x + 5 = 0$ , ce număr trebuie adăugat în ambii membri, după izolarea termenilor cu necunoscută, pentru a completa pătratul?
- a) $8$
- b) $16$
- c) $4$
- d) $64$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $16$

Izolăm: $x^{2} + 8 x = - 5$ . Regula generală spune să adaugi pătratul jumătății coeficientului lui $x$ : jumătatea lui $8$ este $4$ , iar $4^{2} = 16$ . Adunând $16$ în ambii membri obținem $x^{2} + 8 x + 16 = 11$ , adică $(x + 4)^{2} = 11$ — un pătrat perfect. Opțiunea a) confundă jumătatea cu numărul căutat; c) este chiar jumătatea, nu pătratul ei; d) ar corespunde pătratului lui $8$ , nu al jumătății lui.
Lecția: Ecuația de gradul al doilea: deducerea formulelor de rezolvare →
Care dintre următoarele patru funcții ESTE o funcție de gradul al doilea?
- a) $f (x) = (x - 2) (x + 2)$
- b) $g (x) = (x + 1)^{2} - x^{2}$
- c) $h (x) = 5$
- d) $p (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $f (x) = (x - 2) (x + 2)$

$f (x) = (x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4$ , deci $a = 1 \neq = 0$ : este de gradul al doilea. La $g$ , desfăcând, $(x + 1)^{2} - x^{2} = x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} = 2 x + 1$ — pătratele se anulează, $a = 0$ , deci $g$ este afină. $h$ este constantă (grad $0$ ), iar $p$ are gradul $3$ . Verdictul se dă întotdeauna după aducerea la forma generală, niciodată după prima impresie.
Lecția: Funcția de gradul al doilea f(x) = ax² + bx + c →
Rezolvați în $R$ inecuația $x^{2} - x - 12 \leq 0$ .
- a) $[- 3, 4]$
- b) $(- 3, 4)$
- c) $(- \infty, - 3] \cup [4, \infty)$
- d) $[- 3, 4)$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $[- 3, 4]$

$Δ = 1 + 48 = 49$ , iar rădăcinile sunt $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 7}{2}$ , adică $- 3$ și $4$ . Cum $a = 1 > 0$ , expresia e negativă între rădăcini, iar inegalitatea nestrictă $\leq$ include capetele. Deci $S = [- 3, 4]$ . Control: $x = 0$ dă $- 12 \leq 0$ ✓; $x = - 3$ dă $9 + 3 - 12 = 0 \leq 0$ ✓ (capăt inclus).
Lecția: Inecuații de gradul al doilea rezolvate grafic →
Determinați mulțimea valorilor funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ .
- a) $[2, \infty)$
- b) $(2, \infty)$
- c) $(- \infty, 2]$
- d) $[11, \infty)$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $[2, \infty)$

Avem $a = 1 > 0$ , deci funcția are minim. $x_{V} = - \frac{- 6}{2} = 3$ și $y_{V} = f (3) = 9 - 18 + 11 = 2$ . Deci $Im f = [2, \infty)$ , cu paranteză dreaptă, pentru că valoarea $2$ este efectiv atinsă în $x = 3$ . Varianta b) greșește tipul parantezei (ar însemna că $2$ nu se atinge niciodată); c) inversează direcția semidreptei, ceea ce s-ar întâmpla doar dacă $a < 0$ ; d) confundă ordonata vârfului cu termenul liber $c = 11$ .
Lecția: Mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea →
Suma a două numere reale este $24$ . Care este produsul maxim posibil?
- a) $144$
- b) $122$
- c) $288$
- d) $576$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $144$

Fie $x$ un număr, celălalt fiind $24 - x$ . Produsul este $P (x) = x (24 - x) = - x^{2} + 24 x$ , cu $a = - 1 < 0$ , deci are maxim. $x_{V} = - \frac{24}{- 2} = 12$ , iar $P (12) = 12 \cdot 12 = 144$ . Control: $11 \cdot 13 = 143 < 144$ ✓.
Lecția: Probleme de maxim și minim în context practic →
Pentru ecuația $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ , care sunt suma $S$ și produsul $P$ al rădăcinilor?
- a) $S = - \frac{5}{2}$ , $P = - \frac{3}{2}$
- b) $S = \frac{5}{2}$ , $P = - \frac{3}{2}$
- c) $S = - \frac{5}{2}$ , $P = \frac{3}{2}$
- d) $S = \frac{5}{2}$ , $P = \frac{3}{2}$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $S = - \frac{5}{2}$ , $P = - \frac{3}{2}$

Aici $a = 2$ , $b = 5$ , $c = - 3$ . Conform relațiilor lui Viète, $S = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{2}$ și $P = \frac{c}{a} = - \frac{3}{2}$ . Verificare: $Δ = 25 + 24 = 49 > 0$ , deci rădăcinile există: $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{4}$ , adică $\frac{1}{2}$ și $- 3$ . Suma: $\frac{1}{2} + (- 3) = - \frac{5}{2}$ ✓. Produsul: $\frac{1}{2} \cdot (- 3) = - \frac{3}{2}$ ✓. Opțiunile b), c), d) greșesc fie semnul lui $S$ (uitând minusul din $- b / a$ ), fie semnul lui $P$ .
Lecția: Relațiile lui Viète și aplicațiile lor →
Studiați semnul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 3 x - 10$ , și determinați pentru ce valori ale lui $x$ avem $f (x) < 0$ .
- a) $x \in (- 2, 5)$
- b) $x \in (- \infty, - 2) \cup (5, \infty)$
- c) $x \in (- \infty, - 2] \cup [5, \infty)$
- d) $x \in [- 2, 5]$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $x \in (- 2, 5)$

$Δ = 9 + 40 = 49 > 0$ , iar rădăcinile sunt $x_{1, 2} = \frac{3 \pm 7}{2}$ , adică $x_{1} = - 2$ și $x_{2} = 5$ . Cum $a = 1 > 0$ , funcția are semnul lui $a$ (plus) în afara rădăcinilor și semn contrar (minus) între ele. Deci $f (x) < 0$ pentru $x \in (- 2, 5)$ . Control: $f (0) = - 10 < 0$ ✓ ( $0$ e între rădăcini); $f (6) = 36 - 18 - 10 = 8 > 0$ ✓ ( $6$ e în afara rădăcinilor).
Lecția: Semnul funcției de gradul al doilea, citit pe grafic →
Sistemul ${x^{2} + y^{2} = 13 x y = 6$ este:
- a) doar sistem omogen, nu și simetric
- b) doar sistem simetric, nu și omogen
- c) atât sistem omogen, cât și sistem simetric
- d) niciunul dintre cele două tipuri
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) atât sistem omogen, cât și sistem simetric

Toți termenii care conțin necunoscutele au gradul $2$ ( $x^{2}$ , $y^{2}$ , $x y$ ), deci sistemul este omogen. În plus, schimbând între ele $x$ și $y$ , ambele ecuații rămân neschimbate, deci sistemul este și simetric. Rezolvat prin metoda simetrică: $s^{2} - 2 p = 13$ cu $p = 6$ dă $s^{2} = 25$ , deci $s = \pm 5$ ; pentru $s = 5$ obținem $(2, 3)$ și $(3, 2)$ , iar pentru $s = - 5$ obținem $(- 2, - 3)$ și $(- 3, - 2)$ — patru soluții în total, confirmate și pe drumul omogen.
Lecția: Sisteme cu ecuații de gradul al doilea: substituție, omogene, simetrice →
Determinați $n$ astfel încât dreapta $y = 3 x + n$ să fie tangentă parabolei $y = x^{2} + x + 1$ .
- a) $n = 0$
- b) $n = 1$
- c) $n = - 1$
- d) $n = 4$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $n = 0$

Ecuația de intersecție: $x^{2} + x + 1 = 3 x + n$ , adică $x^{2} - 2 x + (1 - n) = 0$ , cu $Δ = 4 - 4 (1 - n) = 4 n$ . Condiția de tangență este $Δ = 0$ , deci $4 n = 0$ și $n = 0$ . Pentru celelalte opțiuni, $Δ \neq = 0$ : la $n = 1$ , $Δ = 4 > 0$ (secantă); la $n = - 1$ , $Δ = - 4 < 0$ (exterioară); la $n = 4$ , $Δ = 16 > 0$ (secantă).
Lecția: Dreaptă și parabolă: interpretarea geometrică a sistemelor →
Ecuația incompletă $2 x^{2} + 8 = 0$ are, în $R$ :
- a) soluțiile ${- 2, 2}$
- b) soluțiile ${- 2, 2, 0}$
- c) soluția ${0}$
- d) nicio soluție reală
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) nicio soluție reală

Din $2 x^{2} + 8 = 0$ obținem $2 x^{2} = - 8$ , adică $x^{2} = - 4$ . Pătratul oricărui număr real este $\geq 0$ , deci nu există niciun $x$ real cu $x^{2} = - 4$ : ecuația nu are soluții reale. Este exact cazul $b = 0$ al ecuațiilor incomplete $a x^{2} + c = 0$ , cu $k = - c / a < 0$ . Opțiunile a) și b) ar fi corecte pentru $x^{2} = 4$ (adică pentru $2 x^{2} - 8 = 0$ ); c) ar corespunde lui $x^{2} = 0$ .
Lecția: Ecuația de gradul al doilea: deducerea formulelor de rezolvare →
Coeficienții $a$ , $b$ , $c$ ai funcției $f (x) = (2 x - 3) (x + 1)$ sunt:
- a) $a = 2, b = - 1, c = - 3$
- b) $a = 2, b = - 5, c = - 3$
- c) $a = 2, b = 1, c = 3$
- d) $a = - 1, b = 2, c = - 3$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $a = 2, b = - 1, c = - 3$

Desfacem paranteza: $(2 x - 3) (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 2 x^{2} - x - 3$ . Ordonat sub forma generală $a x^{2} + b x + c$ , obținem $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 3$ .
Lecția: Funcția de gradul al doilea f(x) = ax² + bx + c →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.

Exerciții rezolvate — Funcția de gradul al doilea (clasa a IX-a)

Continuă cu