Exerciții rezolvate — Progresii geometrice (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Progresii geometrice", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un produs costă $500$ de lei. Se scumpește cu $20\%$, apoi noul preț se ieftinește cu $20\%$. Cât costă la final?

   • a) $480$ lei
   • b) $490$ lei
   • c) $500$ lei
   • d) $520$ lei
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $480$ lei

   După scumpire: $500\cdot 1,2=600$ de lei. După ieftinire: $600\cdot 0,8=480$ de lei. Cele două procente sunt egale, dar se aplică la baze diferite, așa că prețul final este mai mic decât cel de pornire.

   Lecția: Creștere și descreștere procentuală repetată →

2. O sumă de $2000$ de lei este depusă cu dobândă compusă de $10\%$ pe an. Ce sumă va fi în cont după $2$ ani?

   • a) $2400$ lei
   • b) $2410$ lei
   • c) $2420$ lei
   • d) $2440$ lei
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $2420$ lei

   $2000\cdot 1,1^2=2000\cdot 1,21=2420$ de lei. Pas cu pas: după primul an $2200$, iar în al doilea an dobânda se calculează la $2200$, deci este $220$ de lei. Cu dobândă simplă ar fi ieșit $2400$.

   Lecția: Dobânda compusă și dinamica populației →

3. Care dintre următoarele șiruri este progresie geometrică?

   • a) $2,5,8,11$
   • b) $1,3,9,27$
   • c) $2,4,6,12$
   • d) $5,10,15,20$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $1,3,9,27$

   La $1,3,9,27$ fiecare termen este de $3$ ori mai mare decât cel dinainte, deci $q=3$. Șirurile $2,5,8,11$ și $5,10,15,20$ sunt aritmetice, iar la $2,4,6,12$ rapoartele sunt $2$, $1,5$ și $2$ — nu toate egale.

   Lecția: Progresia geometrică și rația ei →

4. Șirul $3,6,12,24,48$ este:

   • a) progresie aritmetică cu $r=3$
   • b) progresie geometrică cu $q=2$
   • c) progresie aritmetică cu $r=2$
   • d) nici aritmetică, nici geometrică
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) progresie geometrică cu $q=2$

   Diferențele sunt $3,6,12,24$ — nu sunt egale, deci nu e aritmetică. Rapoartele sunt $\frac{6}{3}=\frac{12}{6}=\frac{24}{12}=\frac{48}{24}=2$ — toate egale, deci este progresie geometrică cu $q=2$.

   Lecția: Aritmetică sau geometrică? Cum alegi modelul potrivit →

5. Cât este suma primilor $5$ termeni ai progresiei geometrice $2,6,18,\dots$?

   • a) $162$
   • b) $242$
   • c) $486$
   • d) $728$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $242$

   Avem $b_1=2$ și $q=3$, deci $S_5=2\cdot \frac{3^5-1}{3-1}=2\cdot \frac{242}{2}=242$. Verificare: $2+6+18+54+162=242$. Rezultatul $728$ este suma primilor șase termeni.

   Lecția: Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice →

6. O progresie geometrică are $b_1=2$ și $q=3$. Cât este $b_6$?

   • a) $162$
   • b) $216$
   • c) $486$
   • d) $1458$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $486$

   $b_6=2\cdot 3^{6-1}=2\cdot 3^5=2\cdot 243=486$. Cine folosește exponentul $6$ obține $1458$, adică $b_7$; iar $162$ este $b_5=2\cdot 81$.

   Lecția: Termenul general al unei progresii geometrice →

7. Două reduceri succesive de câte $10\%$ echivalează cu o singură reducere de:

   • a) $18\%$
   • b) $19\%$
   • c) $20\%$
   • d) $21\%$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $19\%$

   Factorii se înmulțesc: $0,9\cdot 0,9=0,81$, deci prețul final este $81\%$ din cel inițial, adică s-a redus cu $19\%$. Adunarea procentelor ar fi dat $20\%$ — greșit, pentru că a doua reducere se aplică la un preț deja micșorat.

   Lecția: Creștere și descreștere procentuală repetată →

8. Cu ce număr se înmulțește suma din cont, de la un an la altul, la o dobândă compusă de $7\%$ pe an?

   • a) $0,07$
   • b) $0,93$
   • c) $1,07$
   • d) $7$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $1,07$

   Suma veche rămâne întreagă și i se adaugă $7\%$, deci factorul este $1+\frac{7}{100}=1,07$. Numărul $0,93$ ar corespunde unei scăderi cu $7\%$.

   Lecția: Dobânda compusă și dinamica populației →

9. Cât este rația progresiei geometrice $162,54,18,6,\dots$?

   • a) $-3$
   • b) $3$
   • c) $\frac{1}{3}$
   • d) $\frac{1}{6}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{1}{3}$

   Rația se obține împărțind un termen la cel dinaintea lui: $\frac{54}{162}=\frac{1}{3}$. Șirul scade, deci rația trebuie să fie subunitară — $3$ ar fi ieșit dacă împărțeam invers.

   Lecția: Progresia geometrică și rația ei →

10. Care dintre afirmațiile de mai jos descrie o progresie geometrică?

    • a) «Prețul crește cu $30$ de lei în fiecare lună.»
    • b) «Prețul crește cu $3\%$ în fiecare lună.»
    • c) «Temperatura scade cu $2$ grade pe oră.»
    • d) «La fiecare rând se adaugă $4$ scaune.»
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) «Prețul crește cu $3\%$ în fiecare lună.»

    Doar creșterea procentuală se traduce printr-o înmulțire cu același factor ($1,03$ în fiecare lună). Celelalte trei adaugă sau scad o cantitate fixă, deci sunt progresii aritmetice.

    Lecția: Aritmetică sau geometrică? Cum alegi modelul potrivit →

11. Cât este suma $1+2+4+8+\dots +512$?

    • a) $511$
    • b) $1022$
    • c) $1023$
    • d) $1024$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $1023$

    Termenii sunt $2^0,2^1,\dots ,2^9$, deci sunt $10$ termeni, cu $b_1=1$ și $q=2$. Suma: $S_{10}=\frac{2^{10}-1}{2-1}=1024-1=1023$. Rezultatul $511$ ar fi suma până la $256$.

    Lecția: Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice →

12. Într-o progresie geometrică, $b_1=4$ și $q=\frac{1}{2}$. Cât este $b_5$?

    • a) $\frac{1}{4}$
    • b) $\frac{1}{2}$
    • c) $\frac{1}{8}$
    • d) $2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{1}{4}$

    $b_5=4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$. Se vede și pas cu pas: $4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}$. Răspunsul $\frac{1}{2}$ este $b_4$.

    Lecția: Termenul general al unei progresii geometrice →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.