Aranjamente: definiție și formulă

La finala de $100$ de metri aleargă opt sportivi. Se acordă trei medalii: aur, argint, bronz. Câte podiumuri diferite sunt posibile? Întrebarea pare să semene cu cele din lecțiile anterioare, dar are ceva nou. Nu așezăm în ordine toți cei opt sportivi — ne interesează doar primii trei. Și totuși ordinea contează enorm: „Ana aur, Bianca argint, Carla bronz" e cu totul altceva decât „Bianca aur, Ana argint, Carla bronz", deși e vorba de aceleași trei sportive.

Avem deci o situație intermediară între cele două extreme de până acum: luăm doar o parte dintre elemente, dar ordinea contează. Obiectul matematic care numără exact aceste situații se numește aranjament, iar lecția de față îi dă definiția, formula și, mai important, criteriul după care recunoști o problemă de aranjamente citind enunțul. Este una dintre cele mai utile noțiuni din combinatorică — apare la Bacalaureat aproape în fiecare an, sub forma numerelor cu cifre distincte, a clasamentelor sau a codurilor.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți definiția aranjamentelor de $n$ elemente luate câte $k$ și să explici de ce ordinea contează.
Vei ști să deduci formula $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ prin regula produsului, nu prin memorare.
Vei ști să scrii aranjamentele și cu factoriale: $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ , și să folosești forma cea mai comodă în funcție de problemă.
Vei ști să calculezi corect numărul de factori din produs — locul unde se greșește cel mai des.
Vei ști să recunoști cazurile particulare $A_{n}^{0} = 1$ , $A_{n}^{1} = n$ , $A_{n}^{n} = P_{n} = n!$ .
Vei ști să faci diferența dintre permutări și aranjamente și să prevezi în ce fel diferă amândouă de combinări.

Hai să descoperim împreună

1. O problemă care nu se rezolvă cu permutări

Reluăm finala celor opt sportivi. Numărăm podiumurile pas cu pas, cu regula produsului:

medalia de aur poate reveni oricăruia dintre cei $8$ sportivi — $8$ variante;
medalia de argint revine oricăruia dintre cei $7$ rămași — $7$ variante;
medalia de bronz revine oricăruia dintre cei $6$ rămași — $6$ variante.

Total: $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ de podiumuri posibile.

Observă cele două trăsături ale raționamentului. Întâi, elementele nu se repetă: același sportiv nu poate lua și aurul, și argintul. Apoi, ordinea contează: schimbând locurile între aur și argint obținem un alt podium. Și, spre deosebire de permutări, nu folosim toate elementele — cinci sportivi rămân în afara clasamentului.

Produsul $8 \cdot 7 \cdot 6$ nu este nici $8!$ , nici o fracție „frumoasă" — este un capăt de factorial, oprit după trei factori. Exact acest tip de produs primește acum un nume.

✏️Ilustrație: un podium cu trei trepte (1, 2, 3) și, în lateral, opt siluete de alergători numerotate; deasupra treptelor sunt scrise numerele 8, 7 și 6, cu semne de înmulțire între ele

2. Definiția aranjamentelor

Definiție. Fie $A$ o mulțime cu $n$ elemente și $k$ un număr natural, $0 \leq k \leq n$ . Se numește aranjament de $n$ elemente luate câte $k$ orice submulțime ordonată formată din $k$ elemente distincte ale mulțimii $A$ .

Numărul acestor aranjamente se notează $A_{n}^{k}$ (se citește „aranjamente de $n$ luate câte $k$ ").

Trei cuvinte din definiție merită subliniate:

submulțime — elementele se iau din mulțimea $A$ ;
ordonată — contează în ce ordine sunt scrise; $(a, b)$ și $(b, a)$ sunt aranjamente diferite;
distincte — un element nu poate fi folosit de două ori.

Exemplu concret. Fie $A = {a, b, c}$ , deci $n = 3$ , și $k = 2$ . Aranjamentele de $3$ luate câte $2$ sunt:

$(a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b),$

adică $6$ la număr, deci $A_{3}^{2} = 6$ . Le poți scrie efectiv pe caiet, în ordine alfabetică, ca să te convingi că nu ai uitat niciuna și că perechile „inversate" sunt numărate separat.

3. Formula, dedusă cu regula produsului

Teoremă. Pentru orice $n, k \in N$ cu $1 \leq k \leq n$ avem

$A_{n}^{k} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1) .$

Demonstrație. Construim un aranjament ocupând, pe rând, cele $k$ poziții:

pe prima poziție putem pune oricare dintre cele $n$ elemente — $n$ variante;
pe a doua poziție, oricare dintre cele $n - 1$ elemente rămase — $n - 1$ variante;
pe a treia poziție, $n - 2$ variante;
...
pe poziția $k$ , au fost deja folosite $k - 1$ elemente, deci rămân $n - (k - 1) = n - k + 1$ variante.

Alegerile sunt succesive și independente între ele, deci, prin regula produsului, numărul total este produsul de mai sus. $■$

Câți factori are produsul? Exact $k$ — câte poziții, atâția factori. Primul factor este $n$ , ultimul este $n - k + 1$ . Merită să reții asta ca pe o regulă de siguranță: dacă ai scris $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$ , ai patru factori pentru $k = 3$ , deci ai greșit. Corect: $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ .

Am verificat formula prin numărare brută, cu enumerarea efectivă a tuturor șirurilor de elemente distincte, pentru toate perechile $(n, k)$ cu $n \leq 8$ : în fiecare caz produsul de mai sus coincide cu numărul de aranjamente numărate unul câte unul.

4. Forma cu factoriale

Produsul $n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ este „începutul" lui $n!$ , oprit după $k$ factori. Îl putem scrie complet dacă înmulțim și împărțim cu ce lipsește:

$A_{n}^{k} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 ) \cdot ( n - k ) ( n - k - 1 ) \dots 2 \cdot 1}{( n - k ) ( n - k - 1 ) \dots 2 \cdot 1} = \frac{n !}{( n - k )!} .$

Formula cu factoriale:

$A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}, 0 \leq k \leq n .$

Pentru $k = 0$ formula dă $A_{n}^{0} = \frac{n !}{n !} = 1$ , ceea ce se potrivește cu bunul-simț: există exact un singur mod de a nu alege niciun element. Convenția $0! = 1$ , pe care ai întâlnit-o în Factorialul unui număr natural, face ca formula să funcționeze și la capătul celălalt, pentru $k = n$ .

Care formă e mai bună? Depinde de întrebare:

pentru calcule numerice folosește produsul: $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ se face din cap, în timp ce $\frac{10 !}{7 !}$ te tentează să calculezi $10!$ , ceea ce e o pierdere de timp;
pentru demonstrații și simplificări cu literă folosește factorialii, pentru că se reduc frumos.

5. Cazuri particulare de reținut

Caz	Valoare	De ce
$A_{n}^{0}$	$1$	un singur mod de a nu alege nimic
$A_{n}^{1}$	$n$	alegem un singur element, în $n$ moduri
$A_{n}^{2}$	$n (n - 1)$	două poziții, două variante succesive
$A_{n}^{n - 1}$	$n!$	$\frac{n !}{1 !} = n!$
$A_{n}^{n}$	$n! = P_{n}$	aranjăm toate elementele: sunt chiar permutările

Ultimele două rânduri ascund o observație elegantă: $A_{n}^{n - 1} = A_{n}^{n}$ . Într-adevăr, dacă ai ales și ordonat $n - 1$ elemente din $n$ , ultimul element este determinat — nu mai ai nicio libertate. Verificare numerică pentru $n = 5$ : $A_{5}^{4} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$ și $A_{5}^{5} = 5! = 120$ . ✓

Și rândul cel mai important: permutările sunt un caz particular de aranjamente, anume cazul $k = n$ . Formula $A_{n}^{n} = \frac{n !}{0 !} = n!$ regăsește exact rezultatul din Permutări: definiție și formulă.

6. Un tabel de valori și ce se vede în el

$n \ k$	$1$	$2$	$3$	$4$
$4$	$4$	$12$	$24$	$24$
$5$	$5$	$20$	$60$	$120$
$6$	$6$	$30$	$120$	$360$
$7$	$7$	$42$	$210$	$840$
$8$	$8$	$56$	$336$	$1680$

✏️Ilustrație: tabelul de mai sus redesenat ca o grilă colorată, cu intensitatea culorii crescând odată cu valoarea; pe linia lui n = 4, ultimele două celule (24 și 24) sunt încadrate, cu eticheta „Aₙⁿ⁻¹ = Aₙⁿ"

Trei lucruri de observat, toate verificate prin numărare brută:

Pe linie, valorile cresc repede: trecerea de la $A_{n}^{k - 1}$ la $A_{n}^{k}$ înseamnă înmulțirea cu $n - k + 1$ . De exemplu $A_{7}^{3} = A_{7}^{2} \cdot 5 = 42 \cdot 5 = 210$ .
Pe coloană, creșterea e mai blândă, dar constantă.
Pe linia lui $n = 4$ , ultimele două valori sunt egale ( $24$ și $24$ ) — exact proprietatea $A_{n}^{n - 1} = A_{n}^{n}$ .

7. Două relații utile

Din formula-produs se citesc imediat două legături, comode în exerciții:

$A_{n}^{k} = n \cdot A_{n - 1}^{k - 1} ș i A_{n}^{k} = (n - k + 1) \cdot A_{n}^{k - 1} .$

Prima se citește așa: fixăm ce element merge pe prima poziție ( $n$ posibilități), apoi completăm celelalte $k - 1$ poziții cu elemente din cele $n - 1$ rămase. Verificare: $A_{6}^{3} = 6 \cdot A_{5}^{2} = 6 \cdot 20 = 120$ ✓.

A doua spune că un aranjament de lungime $k$ se obține dintr-unul de lungime $k - 1$ adăugând un element pe ultima poziție, ales dintre cele $n - (k - 1)$ neutilizate. Verificare: $A_{7}^{4} = 4 \cdot A_{7}^{3} = 4 \cdot 210 = 840$ ✓.

Mai reține și o mică identitate care apare la exerciții: $A_{n}^{2} + A_{n}^{1} = n (n - 1) + n = n^{2}$ .

8. Unde ne aflăm: cele trei noțiuni de bază

Întrebare	Folosim toate elementele?	Contează ordinea?	Numărul
Permutări	da	da	$P_{n} = n!$
Aranjamente	nu, doar $k$	da	$A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$
Combinări	nu, doar $k$	nu	$C_{n}^{k}$ — vezi lecția Combinări: definiție și formulă

Aranjamentele stau, așadar, exact la mijloc. Iar întrebarea decisivă, care le separă de combinări, este mereu aceeași: dacă schimb între ele două dintre elementele alese, obțin altceva? Dacă da — aranjamente. Dacă nu — combinări, noțiunea din Combinări: definiție și formulă.

Exemplu de test rapid. „Din $10$ elevi se aleg $3$ pentru funcțiile de președinte, vicepreședinte și secretar" — schimbând doi elevi între funcții obținem altă situație, deci aranjamente: $A_{10}^{3} = 720$ . „Din $10$ elevi se aleg $3$ pentru a merge într-o excursie" — ordinea în care îi numim nu schimbă nimic, deci nu sunt aranjamente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule directe

Calculați $A_{5}^{2}$ , $A_{6}^{3}$ , $A_{9}^{4}$ și $A_{7}^{1}$ .

Rezolvare. Aplicăm formula-produs, cu grijă la numărul de factori:

$A_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20; A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120;$ $A_{9}^{4} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024; A_{7}^{1} = 7.$

Exemplul 2 — Trecerea la factoriale și înapoi

Scrieți $A_{8}^{3}$ sub formă de fracție cu factoriale și calculați valoarea. Apoi simplificați expresia $\frac{A _{n}^{3}}{A _{n}^{2}}$ , pentru $n \geq 3$ .

Rezolvare. $A_{8}^{3} = \frac{8 !}{( 8 - 3 )!} = \frac{8 !}{5 !} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .

Pentru raport, folosim tot forma-produs:

$\frac{A _{n}^{3}}{A _{n}^{2}} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{n ( n - 1 )} = n - 2.$

Verificare pentru $n = 8$ : $\frac{336}{56} = 6 = 8 - 2$ ✓.

Exemplul 3 — Podiumul

La un concurs participă $10$ elevi și se acordă premiile I, II și III. În câte moduri se poate alcătui lista premianților?

Rezolvare. Ordinea contează (premiul I nu e totuna cu premiul II) și niciun elev nu poate primi două premii, deci avem aranjamente de $10$ luate câte $3$ :

$A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720.$

Exemplul 4 — O ecuație cu aranjamente

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $A_{n}^{2} = 42$ .

Rezolvare. Condiția de existență: $n \geq 2$ . Scriem $A_{n}^{2} = n (n - 1)$ , deci ecuația devine

$n (n - 1) = 42 ⟺ n^{2} - n - 42 = 0.$

Discriminantul este $Δ = 1 + 168 = 169 = 1 3^{2}$ , deci $n_{1, 2} = \frac{1 \pm 13}{2}$ , adică $n_{1} = 7$ și $n_{2} = - 6$ . Cum $n$ trebuie să fie natural și cel puțin $2$ , rămâne $n = 7$ .

Verificare: $A_{7}^{2} = 7 \cdot 6 = 42$ ✓.

Exemplul 5 — Steagurile

Un steag se compune din trei benzi orizontale, colorate diferit, alese dintr-un set de $6$ culori. Câte steaguri diferite se pot confecționa?

Rezolvare. Culorile sunt distincte (benzile au culori diferite), iar ordinea benzilor contează — un steag roșu-galben-albastru nu e același cu albastru-galben-roșu. Deci

$A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 steaguri .$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Calculați $A_{5}^{2}$ . b) Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $A_{n}^{2} = 20$ . c) Determinați câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5}$ .

Rezolvare. a) $A_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20$ .

b) $n (n - 1) = 20 ⟺ n^{2} - n - 20 = 0$ , cu $Δ = 81$ , deci $n \in {5, - 4}$ . Convine doar $n = 5$ .

c) Cifrele trebuie să fie distincte, iar ordinea lor contează (numerele $123$ și $321$ sunt diferite). Mulțimea are $5$ elemente, iar noi alegem $3$ în ordine:

$A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 numere .$

Verificare prin enumerare: am generat efectiv toate șirurile de trei cifre distincte din ${1, 2, 3, 4, 5}$ și le-am numărat: exact $60$ . $■$

Să exersăm

Pentru fiecare exercițiu, scrie întâi de ce problema este de aranjamente (elementele nu se repetă, ordinea contează, nu le folosim pe toate) și abia apoi calculează.

1. Calculați $A_{4}^{2}$ , $A_{5}^{3}$ , $A_{6}^{2}$ și $A_{7}^{3}$ .

2. Calculați $A_{10}^{2}$ , $A_{10}^{3}$ și $A_{12}^{2}$ .

3. Scrieți $A_{9}^{4}$ ca produs de factori consecutivi și calculați valoarea.

4. Scrieți $A_{11}^{3}$ sub formă de fracție cu factoriale și apoi calculați-l.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $A_{n}^{n} = P_{n}$ pentru orice $n \geq 1$ ."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$ ."

7. Rezolvați în $N$ ecuația $A_{n}^{2} = 20$ .

8. Rezolvați în $N$ ecuația $A_{n}^{2} = 110$ .

9. La un concurs de atletism participă $8$ sportivi și se acordă trei medalii. Câte podiumuri diferite sunt posibile?

10. Un steag are trei benzi orizontale de culori diferite, alese din $5$ culori disponibile. Câte steaguri diferite se pot obține?

11. Câte numere de două cifre distincte se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ?

12. (Problemă aplicată.) O firmă are $10$ candidați și $5$ posturi diferite (director, contabil, inginer, secretar, șofer). În câte moduri poate ocupa toate cele cinci posturi, dacă fiecare candidat poate primi cel mult un post?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Calculați $A_{6}^{2}$ . b) Determinați $n \in N$ , $n \geq 2$ , pentru care $A_{n}^{2} = 12$ . c) Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ?

14. Simplificați $\frac{A _{n}^{2}}{A _{n}^{1}}$ , pentru $n \geq 2$ , și calculați valoarea expresiei pentru $n = 9$ .

15. Verificați numeric relația $A_{n}^{k} = n \cdot A_{n - 1}^{k - 1}$ pentru $n = 6$ și $k = 3$ .

16. Câte „cuvinte" de trei litere distincte se pot forma cu literele alfabetului latin (26 de litere), dacă nu ne interesează dacă au sens?

17. Comparați: a) în câte moduri se pot așeza $4$ persoane pe $4$ scaune; b) în câte moduri se pot așeza $4$ persoane, alese dintre $6$ , pe $4$ scaune. Explicați de ce al doilea număr este mai mare.

18. (Provocare.) Rezolvați în $N$ ecuația $A_{n + 1}^{2} - A_{n}^{2} = 10$ .

Răspunsuri și explicații

1. $A_{4}^{2} = 4 \cdot 3 = 12$ ; $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ ; $A_{6}^{2} = 6 \cdot 5 = 30$ ; $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ .

2. $A_{10}^{2} = 10 \cdot 9 = 90$ ; $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ ; $A_{12}^{2} = 12 \cdot 11 = 132$ .

3. $A_{9}^{4} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ (patru factori, pentru că $k = 4$ ).

4. $A_{11}^{3} = \frac{11 !}{8 !} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$ .

5. Adevărat. $A_{n}^{n} = \frac{n !}{( n - n )!} = \frac{n !}{0 !} = n!$ , iar $P_{n} = n!$ . Permutările sunt cazul $k = n$ al aranjamentelor: alegem toate elementele și le ordonăm.

6. Fals. Produsul trebuie să aibă exact $k = 3$ factori, deci $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ . Scrierea din enunț are patru factori și dă $840$ , care este de fapt $A_{7}^{4}$ .

7. $n (n - 1) = 20 ⟺ n^{2} - n - 20 = 0$ , $Δ = 81$ , $n \in {5, - 4}$ ; convine $n = 5$ . Verificare: $A_{5}^{2} = 20$ ✓.

8. $n (n - 1) = 110 ⟺ n^{2} - n - 110 = 0$ , $Δ = 441 = 2 1^{2}$ , $n = \frac{1 \pm 21}{2} \in {11, - 10}$ ; convine $n = 11$ . Verificare: $A_{11}^{2} = 11 \cdot 10 = 110$ ✓.

9. $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .

10. $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .

11. $A_{7}^{2} = 7 \cdot 6 = 42$ . (Atenție: mulțimea nu conține cifra $0$ , deci nu apare restricția privind prima cifră.)

12. Posturile sunt diferite, deci ordinea contează, iar un candidat nu poate ocupa două posturi: $A_{10}^{5} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$ .

13. a) $A_{6}^{2} = 30$ . b) $n (n - 1) = 12 ⟺ n^{2} - n - 12 = 0$ , $Δ = 49$ , $n \in {4, - 3}$ ; convine $n = 4$ . c) $A_{6}^{4} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ .

14. $\frac{A _{n}^{2}}{A _{n}^{1}} = \frac{n ( n - 1 )}{n} = n - 1$ . Pentru $n = 9$ : $\frac{72}{9} = 8 = 9 - 1$ ✓.

15. $A_{6}^{3} = 120$ , iar $6 \cdot A_{5}^{2} = 6 \cdot 20 = 120$ . Egalitate ✓. Interpretare: fixăm elementul de pe prima poziție (6 posibilități), apoi completăm celelalte două poziții din cele 5 elemente rămase.

16. $A_{26}^{3} = 26 \cdot 25 \cdot 24 = 15600$ .

17. a) $P_{4} = 4! = 24$ . b) $A_{6}^{4} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ . Al doilea număr e mai mare pentru că, pe lângă ordonarea celor patru persoane așezate, avem și libertatea de a alege care patru dintre cele șase se așază.

18. $A_{n + 1}^{2} = (n + 1) n$ și $A_{n}^{2} = n (n - 1)$ , deci

$(n + 1) n - n (n - 1) = n [(n + 1) - (n - 1)] = 2 n = 10 \Rightarrow n = 5.$

Condiția de existență cere $n \geq 2$ , deci soluția convine. Verificare: $A_{6}^{2} - A_{5}^{2} = 30 - 20 = 10$ ✓.

De reținut

Definiția: un aranjament de $n$ luate câte $k$ este o submulțime ordonată de $k$ elemente distincte; se folosesc doar $k$ dintre cele $n$ elemente, iar ordinea contează.
Formula-produs: $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ — exact $k$ factori, primul $n$ , ultimul $n - k + 1$ . Este forma cea mai rapidă la calcule numerice.
Formula cu factoriale: $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ , valabilă pentru $0 \leq k \leq n$ ; e forma potrivită la simplificări cu literă.
Cazuri particulare: $A_{n}^{0} = 1$ , $A_{n}^{1} = n$ , $A_{n}^{2} = n (n - 1)$ , $A_{n}^{n - 1} = A_{n}^{n} = n! = P_{n}$ .
Criteriul de recunoaștere: dacă schimbând între ele două dintre elementele alese obții altă situație, problema este de aranjamente.

Greșeli frecvente

Numărul greșit de factori. $A_{n}^{k}$ are exact $k$ factori. Scrierea $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$ e o greșeală clasică: sunt patru factori pentru $k = 3$ .
Calcularea factorialilor întregi. Pentru $A_{10}^{3}$ nu calcula $10!$ și $7!$ — scrie direct $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ . La numere mari, calculul factorialilor este și lung, și predispus la erori.
Confuzia cu permutările. Permutările ordonează toate elementele; aranjamentele doar $k$ dintre ele. Dacă enunțul spune „toți cei $n$ ", ai $P_{n}$ ; dacă spune „primii $k$ " sau „ $k$ dintre ei", ai $A_{n}^{k}$ .
Ignorarea condiției $k \leq n$ . Nu poți alege $5$ elemente distincte dintr-o mulțime cu $3$ elemente; expresia $A_{3}^{5}$ nu are sens.
Uitarea verificării la ecuații. După ce rezolvi $A_{n}^{2} = 42$ și obții $n = 7$ și $n = - 6$ , respinge explicit soluția negativă și verifică soluția rămasă în ecuația inițială. Baremul punctează acest pas.

Aplică acasă

Podiumul din clasă. Alege cinci colegi și scrie pe caiet toate podiumurile posibile (locul I, II, III) pentru primii trei. Ar trebui să obții $A_{5}^{3} = 60$ de variante. Ca să nu le scrii pe toate, numără-le doar pe cele care încep cu un anumit coleg — sunt $A_{4}^{2} = 12$ — și înmulțește cu $5$ .
Codul de la telefon. Dacă îți alegi un cod PIN de patru cifre distincte, câte coduri poți forma? ( $A_{10}^{4} = 5040$ .) Compară cu numărul total de coduri PIN de patru cifre, fără restricția de distincte ( $1 0^{4} = 10000$ ). Ce procent dintre coduri au toate cifrele diferite?
Playlistul scurt. Ai $12$ melodii preferate și vrei să faci un playlist de $3$ , în care ordinea contează. Câte playlisturi diferite poți face? Calculează, apoi verifică rezultatul și pe cale indirectă: alege întâi prima melodie, apoi a doua, apoi a treia.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a doua dintre cele trei noțiuni fundamentale de combinatorică din programa clasei a X-a. Elevul trebuie să poată face două lucruri: să deducă formula prin regula produsului (nu doar să o citeze) și să recunoască, din enunț, că problema este de aranjamente. Programa cere explicit utilizarea notațiilor matematice pentru permutări, aranjamente și combinări, precum și justificarea metodei alese în fiecare etapă a rezolvării.

Ce verificați în rezolvarea copilului: (1) scrie produsul cu numărul corect de factori; (2) nu calculează factoriali întregi acolo unde produsul e mai scurt; (3) la ecuații, pune condiția $n \geq k$ și respinge soluțiile negative; (4) explică în cuvinte de ce ordinea contează în problema dată. Întrebări bune de control: „De ce $A_{5}^{3}$ are trei factori, nu cinci?"; „Ce s-ar schimba în problema podiumului dacă premiile ar fi identice?"; „De ce $A_{n}^{n}$ este același lucru cu $P_{n}$ ?".

Semne că elevul a înțeles: poate transforma singur produsul în fracție cu factoriale și invers; verifică rezultatele mici prin enumerare pe caiet; nu aplică formula mecanic, ci o alege după ce a stabilit că ordinea contează. La Bacalaureat, aranjamentele apar mai ales la subiectul I, în subpuncte scurte: un calcul direct, o ecuație simplă de tipul $A_{n}^{2} = a$ și o problemă cu numere formate din cifre distincte.

Întrebări frecvente

Ce sunt aranjamentele în matematică? Aranjamentele de $n$ elemente luate câte $k$ sunt submulțimile ordonate formate din $k$ elemente distincte ale unei mulțimi cu $n$ elemente. Numărul lor se notează $A_{n}^{k}$ . Pe scurt: alegi $k$ obiecte din $n$ și le pui în ordine.

Care este formula aranjamentelor? $A_{n}^{k} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)$ , adică un produs de exact $k$ factori consecutivi descrescători începând cu $n$ . Echivalent, cu factoriale: $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ , pentru $0 \leq k \leq n$ .

Care este diferența dintre permutări și aranjamente? La permutări folosești toate cele $n$ elemente și le ordonezi ( $P_{n} = n!$ ). La aranjamente folosești doar $k$ dintre ele, tot în ordine ( $A_{n}^{k}$ ). Permutările sunt cazul particular $k = n$ : $A_{n}^{n} = n! = P_{n}$ .

Când folosesc aranjamente și când combinări? Pune-ți întrebarea: dacă schimb între ele două dintre elementele alese, obțin altceva? Dacă da (funcții diferite, locuri diferite pe podium, poziții diferite ale cifrelor), sunt aranjamente. Dacă nu (o echipă rămâne aceeași echipă), sunt combinări.

Câți factori are produsul din formula aranjamentelor? Exact $k$ , adică numărul de elemente alese. Primul factor este $n$ , iar ultimul este $n - k + 1$ . Este cea mai frecventă sursă de greșeli: verifică mereu numărând factorii pe care i-ai scris.

Cât este $A_{n}^{0}$ și de ce? $A_{n}^{0} = 1$ . Există un singur mod de a nu alege niciun element — „alegerea vidă". Formula confirmă: $\frac{n !}{( n - 0 )!} = \frac{n !}{n !} = 1$ .

Cum rezolv o ecuație de forma $A_{n}^{2} = a$ ? Scrii $A_{n}^{2} = n (n - 1)$ , obții ecuația de gradul al doilea $n^{2} - n - a = 0$ , o rezolvi și păstrezi doar soluțiile naturale cu $n \geq 2$ . La final verifici soluția în ecuația inițială.

De ce nu calculez factorialii întregi la $A_{10}^{3}$ ? Pentru că fracția $\frac{10 !}{7 !}$ se simplifică înainte de orice calcul: toți factorii de la $7$ în jos dispar și rămâne $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ . Calcularea lui $10! = 3628800$ ar fi timp pierdut și o sursă în plus de erori de aritmetică.