Cum calculez aria dintre parabola y=x²-4 și axa Ox?

Parabola taie axa în -2 și 2, iar între ele stă sub axă, deci aria este integrala opusului: ∫₋₂²(4-x²) dx=16- 16/3= 32/3. Rezultatul pozitiv arată că semnul a fost tratat corect.

Câte bucăți are aria pentru x²-5x+6 pe [0,4]?

Rădăcinile 2 și 3 sunt amândouă în interior, deci trei bucăți. Pe [0,2] se obține 14/3, pe [2,3], unde funcția e negativă, 1/6, iar pe [3,4] se obține 5/6. Aria totală este 17/3.

De ce aria poate fi diferită de integrală?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Aria față de axă

Integrala adună cu semn: porțiunile de sub axa $O x$ intră cu minus și le scad pe cele de deasupra. Aria nu scade nimic, deci se calculează cu modulul, $\int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ . Exemplu: pentru $f (x) = x - 2$ pe $[0, 3]$ , integrala este $\frac{9}{2} - 6 = - \frac{3}{2}$ . Aria cere tăierea în zeroul $2$ : pe $[0, 2]$ se integrează $2 - x$ și se obține $2$ , pe $[2, 3]$ se obține $\frac{1}{2}$ , deci aria este $\frac{5}{2}$ . Cele două numere coincid doar când funcția nu schimbă semnul.

„Cu cât s-a schimbat?” și „cât s-a mișcat, cu totul?” par o singură întrebare, însă dau valori deosebite de îndată ce curba traversează axa. Integrala numără cu semn, adunând ce stă sus și scăzând ce stă jos. Măsura suprafeței nu scade nimic, de unde și $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ .

Rostul modulului. Acolo unde valorile funcției nu depășesc zero, modulul e chiar opusul funcției, iar opusul unui număr negativ iese pozitiv; desenul spune același lucru, fiindcă răsturnarea unei porțiuni peste axă îi păstrează mărimea. Denumirea subgrafic rămâne pentru situația în care funcția nu coboară sub axă.

Ce se așterne pe foaie mai întâi. Intervalul și continuitatea; apoi ecuația $f (x) = 0$ , din care se păstrează doar rădăcinile dinăuntru — cele din afara intervalului nu produc nicio tăietură, iar una căzută fix pe un capăt nu desparte nimic. Urmează tabelul de semne, care arată câte integrale urmează și cu ce ordine a scăderilor. Primitiva se caută după aceea.

Verificarea. Toți termenii adunării ies pozitivi; unul negativ înseamnă un semn preluat greșit din tabel, nu o primitivă strâmbă. Într-un model de laborator, măsura suprafeței poartă unitatea dată de înmulțirea celor două unități de pe axe.

De reținut

aria: $\int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ ; integrala numără cu semn
se taie intervalul în zerourile interioare ale funcției
pe o bucată cu $f \leq 0$ , aria este $- \int f$

Greșeala tipică

Se calculează $\int_{0}^{3} (x - 2) d x = - \frac{3}{2}$ și se dă ca arie $\frac{3}{2}$ , adică doar modulul rezultatului; corect se taie în $2$ și se adună bucățile, $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 6 x - 30$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 3$ și $x = 8$ ?
- a) $39$
- b) $15$
- c) $12$
- d) $27$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $39$

Zeroul este $5$ , punct interior, deci calculul are două bucăți: $\int_{3}^{5} (30 - 6 x) d x = 12$ și $\int_{5}^{8} (6 x - 30) d x = 27$ , amândouă pozitive, cu suma $39$ . Varianta b) este integrala funcției, $- 12 + 27 = 15$ , adică bilanțul cu semn; c) și d) rețin numai câte o bucată. Control geometric: două triunghiuri, cu catetele $2$ și $12$ , respectiv $3$ și $18$ .
Care este aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 2 x^{2} - 18 x + 36$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 2$ și $x = 8$ ?
- a) $12$
- b) $15$
- c) $30$
- d) $\frac{38}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $30$

Rădăcinile sunt $3$ și $6$ , amândouă interioare, deci trei bucăți. Cu primitiva $P (x) = \frac{2 x ^{3}}{3} - 9 x^{2} + 36 x$ ies $\frac{11}{3}$ , $9$ și $\frac{52}{3}$ , toate pozitive, cu suma $30$ . Varianta a) este integrala, $\frac{11}{3} - 9 + \frac{52}{3} = 12$ ; b) uită coeficientul dominant $2$ și calculează aria lui $x^{2} - 9 x + 18$ ; d) se oprește la a doua rădăcină.
Care este aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 16 x + 55$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 6$ și $x = 10$ ?
- a) $\frac{92}{3}$
- b) $- \frac{92}{3}$
- c) $\frac{250}{3}$
- d) $114$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{92}{3}$

Rădăcinile sunt $5$ și $11$ , deci niciuna nu se află în interiorul intervalului: tot $[6, 10]$ stă între ele, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci $f (x) \leq 0$ acolo. Cu $P (x) = \frac{x ^{3}}{3} - 8 x^{2} + 55 x$ avem $P (6) = 114$ și $P (10) = \frac{250}{3}$ , iar aria este $- (P (10) - P (6)) = \frac{92}{3}$ . Varianta b) este integrala, care nu poate fi o arie; c) și d) rețin numai câte o valoare a primitivei.

Întrebări conexe

Cum calculez aria dintre parabola $y = x^{2} - 4$ și axa $O x$ ?

Parabola taie axa în $- 2$ și $2$ , iar între ele stă sub axă, deci aria este integrala opusului: $\int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$ . Rezultatul pozitiv arată că semnul a fost tratat corect.

Cum aflu aria dacă funcția este negativă pe tot intervalul?

Aria este opusul integralei. Pentru $f (x) = - x^{2} - 1$ pe $[0, 3]$ , integrala este $- (9 + 3) = - 12$ , deci aria regiunii dintre grafic, axa $O x$ și dreptele $x = 0$ , $x = 3$ este $12$ . Tabelul de semn arată de la început că nu e nevoie de nicio tăietură.

Ce arată aria de sub graficul puterii unui aparat?

Energia consumată. Dacă puterea crește după legea $P (t) = 6 t$ W, timp de $10$ s, energia este $\int_{0}^{10} 6 t d t = 3 t^{2}_{0}^{10} = 300$ J. Wații înmulțiți cu secunde dau jouli, deci unitatea iese direct din arie.

Câte bucăți are aria pentru $x^{2} - 5 x + 6$ pe $[0, 4]$ ?

Rădăcinile $2$ și $3$ sunt amândouă în interior, deci trei bucăți. Pe $[0, 2]$ se obține $\frac{14}{3}$ , pe $[2, 3]$ , unde funcția e negativă, $\frac{1}{6}$ , iar pe $[3, 4]$ se obține $\frac{5}{6}$ . Aria totală este $\frac{17}{3}$ .

Poate aria să fie nenulă dacă integrala este zero?

Da. $\int_{- 1}^{1} x d x = 0$ , fiindcă triunghiul de sub axă, de pe $[- 1, 0]$ , compensează exact triunghiul de deasupra. Aria însă adună cele două triunghiuri, fiecare cu aria $\frac{1}{2}$ , și este $1$ .

Oamenii mai întreabă și: diferența dintre arie și integrală · aria cu schimbare de semn · de ce aria nu coincide cu integrala · aria când graficul trece sub axă