Aria subgraficului, cu schimbare de semn (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un strat de zăpadă crește câteva zile și apoi se topește. Un colector solar primește căldură la prânz și cedează căldură seara. În amândouă cazurile, la sfârșit poți pune două întrebări care par una singură, dar nu sunt: „cu cât s-a schimbat mărimea?" și „cât s-a mișcat ea, în total?". Primul număr face scăderi, al doilea nu. Aceeași deosebire apare, în clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2), de îndată ce graficul unei funcții trece dintr-o parte în alta a axei $O x$ : integrala răspunde la prima întrebare, aria la a doua, iar cele două numere nu coincid. La Bacalaureatul M2 deosebirea aceasta se cere în problema de analiză a Subiectului al III-lea.

Tema este în programa de examen aflată în vigoare pentru sesiunile 2027, 2028 și 2029 — cea din 2014 — la capitolul „Aplicații ale integralei definite", cu rândul de conținut „Aria unei suprafețe plane"; la Bacalaureatul M2 ea apare în problema de analiză a Subiectului al III-lea. Pentru generația care va da proba MAT_P2 din 2030 tema rămâne, în domeniul Analiză matematică, sub forma „aria delimitată de graficul unei funcții continue și axa $O x$ ". Este, așadar, una dintre puținele lecții ale capitolului bune pentru amândouă generațiile.

Ce vei învăța

Vei ști să deosebești aria de integrală și să spui, înainte de orice calcul, dacă ele coincid sau nu.
Vei ști să tratezi bucata pe care graficul coboară sub axă, schimbând semnul integralei.
Vei ști să alcătuiești tabelul de semn înaintea primei integrale și să citești din el câte integrale vei scrie.
Vei ști să afli aria regiunii mărginite de un grafic, de axa $O x$ și de două drepte verticale date.
Vei ști să reții numai zerourile din interiorul intervalului și să explici de ce celelalte nu taie nimic.
Vei ști să citești rezultatul într-un model din științe, cu unitatea de măsură potrivită.

Hai să descoperim împreună

1. Ce arie are regiunea dintre un grafic și axa $O x$ ?

La integrala definită ca arie de sub grafic s-a stabilit cazul cel mai simplu, acela în care funcția nu coboară niciodată sub axă: aria subgraficului — numele și rezultatul sunt de acolo — coincide cu $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ , iar formula Leibniz-Newton o reduce la o scădere între valorile unei primitive. Aici pornim din locul unde se oprea lecția aceea.

Regiunea dintre un grafic și axă este, pentru o funcție $f$ continuă pe intervalul $[a, b]$ , mulțimea punctelor cuprinse între graficul lui $f$ și axa $O x$ , pe fâșia tăiată de verticalele $x = a$ și $x = b$ , oricare ar fi partea axei pe care se așază fiecare bucată a ei. Aria acestei regiuni se scrie

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x .$

Două lucruri s-au schimbat. Numele subgrafic nu se mai potrivește: el înseamnă „ce se află sub grafic și deasupra axei" și are sens numai pentru funcții pozitive, iar aici graficul are voie să traverseze axa. Regiunea se numește atunci în cuvinte, exact cum o numește și programa. Al doilea: sub semnul integralei nu mai stă $f$ , ci modulul lui — și tocmai modulul face toată deosebirea.

2. De ce nu este aria egală cu integrala?

Fiindcă integrala ține o socoteală cu semn. Ce se află deasupra axei se adună, ce se află dedesubt se scade, iar la sfârșit rămâne diferența. Aria nu scade nimic: fiecare bucată intră în total cu cât măsoară ea.

Ia funcția $f (x) = 5 x - 35$ pe intervalul $[4, 9]$ . Ea se anulează în $x = 7$ , este negativă înainte și pozitivă după. Integrala ei este

$\int_{4}^{9} (5 x - 35) d x = (\frac{5 x ^{2}}{2} - 35 x)_{4}^{9} = (\frac{405}{2} - 315) - (40 - 140) = - \frac{225}{2} + 100 = - \frac{25}{2} .$

Regiunea, în schimb, este formată din două triunghiuri dreptunghice. Primul are catetele $3$ și $∣ f (4)∣ = 15$ , deci aria $\frac{45}{2}$ ; al doilea are catetele $2$ și $f (9) = 10$ , deci aria $10$ . Împreună dau $\frac{65}{2}$ . Nici măcar semnul nu se potrivește cu al integralei, darămite valoarea: $- \frac{25}{2}$ și $\frac{65}{2}$ sunt două numere diferite, obținute din aceeași funcție pe același interval, pentru că răspund la două întrebări diferite.

Rezultatul $- \frac{25}{2}$ nu este însă o greșeală: bucata de sub axă, $\frac{45}{2}$ , o întrece pe cea de deasupra, $10$ , iar diferența lor, cu semnul celei mai mari, este exact integrala.

3. Ce se întâmplă pe bucata în care graficul stă sub axă?

Aici totul se reduce la o observație despre modul. Pe o porțiune pe care $f (x) \leq 0$ avem $∣ f (x)∣ = - f (x)$ , deci

$S = \int_{u}^{v} (- f (x)) d x = - \int_{u}^{v} f (x) d x .$

Cum integrala unei funcții negative iese negativă, opusul ei iese pozitiv: minusul scris în față nu este o scăpare, ci chiar pasul care întoarce socoteala în măsură. Se vede și pe desen: graficul lui $- f$ este oglinda graficului lui $f$ față de axa $O x$ , iar o oglindire nu schimbă mărimea unei suprafețe.

Merită văzut și cazul de margine: dacă $f$ este funcția nulă pe $[a, b]$ , graficul ei este axa, regiunea se strânge într-un segment și aria iese $0$ . Este singura situație în care aria unei asemenea regiuni poate fi nulă: modulul fiind o funcție continuă și pozitivă, integrala lui se anulează numai când funcția însăși este identic nulă.

4. Tabelul de semn — ce scrii înainte de orice integrală

Ca să desfaci modulul ai nevoie să știi unde este $f$ pozitivă și unde negativă, iar instrumentul pentru asta l-ai construit deja la semnul unei funcții continue. Formatul este cel de acolo, neschimbat: antetul este rândul lui $x$ , sub el un singur rând cu expresia, $0$ în fiecare zerou și semnul pe fiecare interval dintre ele.

Ia funcția $f (x) = x^{2} - 10 x + 16$ pe intervalul $[1, 9]$ . Ecuația $x^{2} - 10 x + 16 = 0$ are soluțiile $2$ și $8$ , amândouă în interiorul intervalului, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele:

$x$	$1$		$2$		$8$		$9$
$x^{2} - 10 x + 16$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$

Tabelul îți spune, dintr-o privire, două lucruri pe care nu le-ai fi știut altfel: câte integrale vei scrie — trei, una pentru fiecare bucată — și în ce ordine se scad termenii în fiecare dintre ele. Abia acum are rost să deschizi calculul; dacă începi cu integrala, scrii o singură expresie pentru trei bucăți diferite și rezultatul nu mai are cum să iasă.

5. Cele patru întrebări de pe foaie

Tot ce urmează în lecție încape într-o listă scurtă, pe care merită s-o copiezi pe caiet. Sunt cele patru întrebări de pe foaie, numele sub care le vor cita exercițiile și testele:

Pe ce interval lucrez și este funcția continuă acolo? Capetele vin din enunț — din dreptele verticale sau din domeniul funcției — și se scriu de la stânga la dreapta, cel mai mic întâi.
Unde se anulează funcția? Rezolvi $f (x) = 0$ și reții numai soluțiile aflate strict între capete. O rădăcină din afară nu produce nicio tăietură, iar una care cade chiar într-un capăt nu desparte nimic.
Ce semn are pe fiecare bucată? Alcătuiești tabelul de semn, în formatul de mai sus.
Ce integrală scriu pe fiecare bucată? Iei $f$ acolo unde tabelul arată $+$ și $- f$ acolo unde arată $-$ , calculezi fiecare integrală cu formula Leibniz-Newton și aduni rezultatele.

Controlul de la final este cel mai ieftin din tot capitolul: fiecare termen al sumei trebuie să iasă pozitiv. Dacă unul iese negativ, nu ai greșit calculul primitivei, ci ai citit invers un semn din tabel. Iar dacă rezultatul final iese negativ, el nu poate fi o arie.

Tehnica de rupere a intervalului o ai deja de la integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul; acolo era o metodă de calcul, aici primește un înțeles geometric.

6. Ce măsoară aria când axele poartă mărimi fizice?

Când pe axa verticală stă o rată de variație și pe cea orizontală timpul, aria are unitatea produsului celor două, iar cele două numere din lecție capătă nume diferite.

Pe un versant, grosimea stratului de zăpadă se schimbă cu rata $r (t) = 8 - 2 t$ , măsurată în centimetri pe zi, unde $t$ este numărul de zile scurse de la începutul observației, $t \in [0, 7]$ . Rata este pozitivă în primele patru zile — ninge — și negativă în următoarele trei, când stratul se topește.

$\int_{0}^{4} (8 - 2 t) d t = (8 t - t^{2})_{0}^{4} = 32 - 16 = 16, \int_{4}^{7} (2 t - 8) d t = (t^{2} - 8 t)_{4}^{7} = (49 - 56) - (16 - 32) = 9.$

Stratul crește deci cu $16$ centimetri și scade apoi cu $9$ centimetri. Aria regiunii dintre graficul lui $r$ și axa timpului este $16 + 9 = 25$ de centimetri: atât s-a mișcat grosimea stratului, în total. Integrala este $16 - 9 = 7$ centimetri: cu atât este stratul mai gros la sfârșitul celor șapte zile decât la început. Modelul are sens atâta vreme cât la începutul topirii stratul măsoară cel puțin $9$ centimetri; altfel zăpada se termină înainte de a șaptea zi și formula nu mai descrie nimic.

7. Ce nu intră în lecția aceasta

Trei delimitări, ca să știi unde te uiți când tipul problemei este altul.

Regiunea mărginită de două grafice. Când marginea de jos nu este axa, ci un al doilea grafic, formula se schimbă și o găsești la aria dintre două curbe. Lecția aceasta este cazul particular în care al doilea grafic este chiar axa.

Regiunea mărginită de axa $O y$ . Programa de la științe ale naturii cere aria „delimitată de graficul unei funcții continue și axa $O x$ " — numai atât. Inversarea rolurilor variabilelor și integrarea după $y$ nu intră nici în programa clasei, nici în cea de examen, deci nu o vei întâlni în subiecte.

Corpurile obținute prin rotație. Ce se întâmplă când regiunea se rotește în jurul axei $O x$ este subiectul lecției despre volumul unui corp de rotație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Funcția păstrează semnul, dar este negativă

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f : [3, 6] \to R$ , $f (x) = x^{2} - 9 x + 14$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 3$ și $x = 6$ .

Rezolvare. Rădăcinile sunt $2$ și $7$ , iar niciuna nu se află în interiorul intervalului $[3, 6]$ : prima este în stânga lui, a doua în dreapta. Prin urmare nu există nicio tăietură, iar funcția păstrează semnul; cum tot intervalul $[3, 6]$ se află între rădăcini, iar coeficientul dominant este pozitiv, avem $f (x) \leq 0$ pe el. Atunci

$S = - \int_{3}^{6} (x^{2} - 9 x + 14) d x = - (\frac{x ^{3}}{3} - \frac{9 x ^{2}}{2} + 14 x)_{3}^{6} = - (- 6 - \frac{21}{2}) = \frac{33}{2} .$

Aici aria și integrala sunt egale în modul, pentru că semnul nu se schimbă.

Exemplul 2 — O dreaptă care traversează axa, cu control geometric

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 3 x - 15$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 2$ și $x = 7$ .

Rezolvare. Ecuația $3 x - 15 = 0$ dă $x = 5$ , punct interior. Funcția este negativă înainte și pozitivă după, deci

$S = \int_{2}^{5} (15 - 3 x) d x + \int_{5}^{7} (3 x - 15) d x = \frac{27}{2} + 6 = \frac{39}{2} .$

Control: prima bucată este un triunghi cu catetele $3$ și $∣ f (2)∣ = 9$ , deci are aria $\frac{27}{2}$ ; a doua este un triunghi cu catetele $2$ și $f (7) = 6$ , deci are aria $6$ . Amândoi termenii au ieșit pozitivi. Integrala funcției pe același interval este $- \frac{27}{2} + 6 = - \frac{15}{2}$ .

Exemplul 3 — Două tăieturi în interiorul intervalului

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 15 x + 50$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 4$ și $x = 11$ .

Rezolvare. Rădăcinile sunt $5$ și $10$ , amândouă interioare.

$x$	$4$		$5$		$10$		$11$
$x^{2} - 15 x + 50$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$

Trei bucăți, deci trei integrale. Cu primitiva $F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{15 x ^{2}}{2} + 50 x$ obținem

$S = \frac{17}{6} + \frac{125}{6} + \frac{17}{6} = \frac{53}{2} .$

Integrala funcției pe $[4, 11]$ este $\frac{17}{6} - \frac{125}{6} + \frac{17}{6} = - \frac{91}{6}$ . Observă că bucățile de la margini au ieșit egale — și rădăcinile, și capetele intervalului sunt așezate simetric față de mijlocul intervalului. Este o proprietate a acestui obiect, nu o regulă: la alte funcții ele ies diferite.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 2 x^{2} - 10 x + 12$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 1$ și $x = 4$ . El scrie direct $S = \int_{1}^{4} (2 x^{2} - 10 x + 12) d x = 3$ și se oprește. Unde a greșit și cât este aria?

Rezolvare. Numărul $3$ este pozitiv, deci greșeala nu se vede din semn — și tocmai asta o face periculoasă. Rădăcinile sunt $2$ și $3$ , amândouă în interiorul intervalului, deci funcția își schimbă semnul de două ori, iar aria cere trei integrale:

$S = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{11}{3} .$

Elevul a calculat corect, dar altceva: $3$ este integrala funcției, adică bilanțul cu semn $\frac{5}{3} - \frac{1}{3} + \frac{5}{3}$ . Aria este $\frac{11}{3}$ . Singurul lucru care le desparte este tabelul de semn, sărit.

Exemplul 5 — Când funcția nu este dată

Despre o funcție $f$ , continuă pe $[1, 9]$ , se știe că $f (x) \leq 0$ pentru orice $x \in [1, 4]$ , că $f (x) \geq 0$ pentru orice $x \in [4, 9]$ și că $\int_{1}^{4} f (x) d x = - 7$ , iar $\int_{4}^{9} f (x) d x = 12$ . Calculează aria regiunii mărginite de graficul lui $f$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 1$ și $x = 9$ , precum și $\int_{1}^{9} f (x) d x$ .

Rezolvare. Pe prima bucată funcția este negativă, deci contribuția ei la arie este $- (- 7) = 7$ ; pe a doua este pozitivă, deci contribuția este $12$ . Aria este $7 + 12 = 19$ . Integrala, prin aditivitate în raport cu intervalul, este $- 7 + 12 = 5$ . Se vede aici, fără nicio primitivă, că aria este cel puțin la fel de mare ca modulul integralei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} - 27 x + 54$ .

a) Arată că graficul funcției taie axa $O x$ în punctele de abscise $3$ și $6$ .

b) Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 3$ și $x = 6$ .

c) Arată că aria de la punctul b) este mai mare decât aria regiunii mărginite de graficul funcției $f$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 6$ și $x = 7$ .

Rezolvare. a) Din $3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$ , adică $x^{2} - 9 x + 18 = 0$ , obținem $Δ = 81 - 72 = 9$ , deci $x_{1} = 3$ și $x_{2} = 6$ . Verificare: $27 - 81 + 54 = 0$ și $108 - 162 + 54 = 0$ .

b) Între rădăcini funcția este negativă și nu se anulează în interiorul intervalului, deci aria se scrie dintr-o singură bucată, cu semnul schimbat. Cu $F (x) = x^{3} - \frac{27 x ^{2}}{2} + 54 x$ avem $F (6) = 54$ și $F (3) = \frac{135}{2}$ , deci

$S = - (F (6) - F (3)) = \frac{27}{2} .$

c) Pe $[6, 7]$ funcția este pozitivă, fiindcă $6$ este rădăcina din dreapta, iar $F (7) = \frac{119}{2}$ . Aria este $F (7) - F (6) = \frac{11}{2}$ . Cum $\frac{27}{2} > \frac{11}{2}$ , prima regiune este mai mare. Rezultatul se potrivește cu desenul: ea se întinde pe trei unități, a doua pe una singură.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu parcurge, în ordine, cele patru întrebări de pe foaie, și verifică la final că toți termenii sumei au ieșit pozitivi.

1. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 4 x - 24$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 3$ și $x = 8$ , apoi verifică rezultatul cu formula ariei triunghiului.

2. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 11 x + 24$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 2$ și $x = 4$ .

3. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 7 x - 21$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 1$ și $x = 4$ .

4. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 8 x + 7$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 3$ .

5. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 2 x^{2} - 16 x + 24$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 3$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă o funcție continuă se anulează exact o dată în interiorul intervalului de integrare, atunci cele două bucăți ale regiunii dintre graficul ei și axa $O x$ au arii egale.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 14 x + 45$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 4$ și $x = 7$ .

8. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 15 x + 56$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 6$ și $x = 10$ .

9. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} + x - 20$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 2$ și $x = 6$ , și spune câte dintre rădăcinile funcției au produs o tăietură.

10. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 13 x + 36$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 2$ și $x = 6$ .

11. (Problemă aplicată.) Într-o instalație casnică cu panouri fotovoltaice, puterea netă la bornele acumulatorului este $p (t) = t^{2} - 12 t + 35$ , măsurată în kilowați, unde $t$ este timpul în ore scurs de la ora $6$ , iar $t \in [4, 9]$ . Valorile pozitive înseamnă că acumulatorul se încarcă, cele negative că se descarcă, pentru că în acele ore consumul casei depășește producția. Calculează energia totală care trece prin acumulator și energia rămasă în el, cu unitatea de măsură.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 10$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 4$ .

13. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 16 x + 60$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 5$ și $x = 9$ .

14. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = 8 x - 24$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 1$ și $x = 4$ .

15. Despre o funcție $h$ , continuă pe $[0, 6]$ , se știe că se anulează numai în $x = 2$ , că $\int_{0}^{2} h (x) d x = 9$ și că $\int_{0}^{6} h (x) d x = - 5$ . Calculează aria regiunii mărginite de graficul lui $h$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 6$ ; spune apoi ce s-ar schimba în formulă dacă marginea de jos a regiunii n-ar mai fi axa, ci graficul unei alte funcții continue.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f (x) = x^{2} - 17 x + 66$ . a) Arată că graficul ei taie axa $O x$ în punctele de abscise $6$ și $11$ . b) Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției, de axa $O x$ și de dreptele $x = 5$ și $x = 8$ .

17. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = - x^{2} + 11 x - 24$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 2$ și $x = 7$ .

18. (Provocare.) Determină numărul real $b > 5$ pentru care aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x - 5$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ și $x = b$ este egală cu $25$ .

Răspunsuri și explicații

1. Zeroul este $6$ , interior. $\int_{3}^{6} (24 - 4 x) d x + \int_{6}^{8} (4 x - 24) d x = 18 + 8 = 26$ . Control: triunghi cu catetele $3$ și $12$ , deci $18$ ; triunghi cu catetele $2$ și $8$ , deci $8$ . Integrala funcției este $- 18 + 8 = - 10$ , alt număr.

2. Rădăcinile sunt $3$ și $8$ ; numai $3$ este în $[2, 4]$ . $\int_{2}^{3} (x^{2} - 11 x + 24) d x + \int_{3}^{4} (- x^{2} + 11 x - 24) d x = \frac{17}{6} + \frac{13}{6} = 5$ .

3. Zeroul este $3$ . $\int_{1}^{3} (21 - 7 x) d x + \int_{3}^{4} (7 x - 21) d x = 14 + \frac{7}{2} = \frac{35}{2}$ .

4. Rădăcinile sunt $1$ și $7$ ; numai $1$ este în $[0, 3]$ . $\frac{10}{3} + \frac{28}{3} = \frac{38}{3}$ .

5. Rădăcinile sunt $2$ și $6$ ; numai $2$ este în $[0, 3]$ . $\frac{64}{3} + \frac{10}{3} = \frac{74}{3}$ .

6. Fals. Contraexemplu: $f (x) = 6 x - 27$ pe $[1, 6]$ se anulează numai în $\frac{9}{2}$ , punct interior, iar bucățile sunt două triunghiuri dreptunghice — unul cu catetele $\frac{7}{2}$ și $21$ , celălalt cu catetele $\frac{3}{2}$ și $9$ —, deci au ariile $\frac{147}{4}$ și $\frac{27}{4}$ . Ele ies egale doar când zeroul cade chiar la mijlocul intervalului: aceeași funcție pe $[1, 8]$ dă două bucăți de câte $\frac{147}{4}$ .

7. Rădăcinile sunt $5$ și $9$ ; numai $5$ este în $[4, 7]$ . $\frac{7}{3} + \frac{16}{3} = \frac{23}{3}$ . Integrala funcției este $\frac{7}{3} - \frac{16}{3} = - 3$ .

8. Rădăcinile sunt $7$ și $8$ , amândouă interioare, deci trei bucăți: $\frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{14}{3} = \frac{17}{3}$ .

9. Rădăcinile sunt $- 5$ și $4$ , dar numai $4$ se află în $[2, 6]$ , deci o singură tăietură. $\frac{46}{3} + \frac{62}{3} = 36$ . Rădăcina $- 5$ este în afara intervalului și nu desparte nimic.

10. Rădăcinile sunt $4$ și $9$ ; numai $4$ este interior. $\frac{38}{3} + \frac{22}{3} = 20$ .

11. Rădăcinile lui $t^{2} - 12 t + 35$ sunt $5$ și $7$ , amândouă în $[4, 9]$ . Bucățile dau $\frac{4}{3}$ , $\frac{4}{3}$ și $\frac{20}{3}$ . Energia totală care trece prin acumulator este $\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{28}{3}$ kilowatt-ore, iar energia rămasă în el este $\frac{4}{3} - \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{20}{3}$ kilowatt-ore. Unitatea este produsul unităților de pe cele două axe, kilowatt ori oră, nu kilowattul de pe verticală.

12. Rădăcinile sunt $1$ și $5$ ; numai $1$ este în $[0, 4]$ . $\frac{14}{3} + 18 = \frac{68}{3}$ .

13. Rădăcinile sunt $6$ și $10$ ; numai $6$ este în $[5, 9]$ . $\frac{7}{3} + 9 = \frac{34}{3}$ .

14. Zeroul este $3$ . $16 + 4 = 20$ . Integrala funcției este $- 16 + 4 = - 12$ .

15. Prin aditivitate, $\int_{2}^{6} h (x) d x = - 5 - 9 = - 14$ . Funcția se anulează numai în $2$ , deci păstrează semnul pe fiecare dintre cele două bucăți: pozitivă pe prima, unde integrala este $9$ , negativă pe a doua, unde integrala este $- 14$ . Aria este $9 + 14 = 23$ . Dacă marginea de jos ar fi graficul unei funcții $g$ , sub integrală n-ar mai sta modulul lui $h$ , ci modulul diferenței $h - g$ — axa $O x$ este chiar graficul funcției nule, iar cazul general este subiectul lecției următoare.

16. a) $Δ = 289 - 264 = 25$ , deci $x_{1} = 6$ și $x_{2} = 11$ ; verificare: $36 - 102 + 66 = 0$ și $121 - 187 + 66 = 0$ . b) Numai $6$ este în $[5, 8]$ , iar funcția este pozitivă înainte și negativă după: $\frac{17}{6} + \frac{22}{3} = \frac{61}{6}$ .

17. Coeficientul dominant este negativ, deci trinomul este negativ în afara rădăcinilor $3$ și $8$ și pozitiv între ele. Pe $[2, 7]$ singura tăietură este $3$ : $\frac{17}{6} + \frac{56}{3} = \frac{43}{2}$ . Dacă citești semnele ca la un trinom cu coeficientul dominant pozitiv, tabelul iese oglindit și amândoi termenii ies negativi.

18. Zeroul este $5$ , iar pe $[0, 5]$ funcția este negativă. Prima bucată dă $\int_{0}^{5} (5 - x) d x = \frac{25}{2}$ , iar a doua $\int_{5}^{b} (x - 5) d x = \frac{( b - 5 ) ^{2}}{2}$ . Ecuația $\frac{25}{2} + \frac{( b - 5 ) ^{2}}{2} = 25$ devine $(b - 5)^{2} = 25$ , cu soluțiile $10$ și $0$ ; condiția $b > 5$ lasă $b = 10$ .

De reținut

Aria regiunii dintre graficul unei funcții continue și axa $O x$ , pe $[a, b]$ , este $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ ; ea coincide cu $\int_{a}^{b} f (x) d x$ numai când funcția păstrează semnul pe tot intervalul.
Numele subgrafic rămâne rezervat cazului $f \geq 0$ ; când funcția coboară sub axă, regiunea se descrie în cuvinte: graficul, axa $O x$ și cele două drepte verticale.
Pe o bucată pe care $f \leq 0$ , aria este $- \int f$ , adică opusul unui număr negativ — un număr pozitiv.
Cele patru întrebări de pe foaie: intervalul și continuitatea, zerourile din interior, tabelul de semn, suma de integrale. Tabelul se scrie înaintea primei integrale, nu după.
Controlul final: fiecare termen al sumei este pozitiv, iar aria este cel puțin la fel de mare ca modulul integralei.

Greșeli frecvente

Pui modulul pe rezultat, nu pe integrand. Scrii $\int_{a}^{b} f (x) d x$ în loc de $\int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ și obții un număr prea mic: primul face compensările și abia apoi ia modulul, al doilea nu compensează nimic. Cele două coincid doar când funcția păstrează semnul.
Alcătuiești tabelul de semn al derivatei, nu al funcției. Reflexul din clasa a XI-a, unde tabelul de variație începea cu $f^{'}$ , este puternic. Aici nu te interesează unde crește funcția, ci unde este ea pozitivă, deci rândul de sub antet poartă expresia lui $f$ .
Citești semnele fără să te uiți la coeficientul dominant. La un trinom cu coeficient dominant negativ, semnele sunt exact pe dos față de tiparul obișnuit, iar tabelul iese oglindit. Semnul că ai greșit apare imediat: toți termenii sumei ies negativi.
Crezi că bucățile de la margini sunt întotdeauna egale. Când cele două rădăcini sunt simetrice față de mijlocul intervalului, ariile marginale chiar ies egale — dar este o proprietate a acelui obiect, nu o regulă. Calculează-le pe amândouă.
Dai rezultatul unui model în unitatea de pe axa verticală. Dacă pe verticală stau centimetri pe zi, aria nu se măsoară în centimetri pe zi, ci în centimetri: unitatea ariei este întotdeauna produsul unităților de pe cele două axe.

Aplică acasă

Proba cu foarfeca. Pe hârtie milimetrică, desenează graficul funcției de gradul al doilea care îți place, alege un interval pe care ea traversează axa și decupează separat bucata de deasupra axei și pe cea de dedesubt. Numără pătrățelele fiecăreia, adună-le și compară suma cu aria calculată; apoi scade-le și compară diferența cu integrala.
Șapte zile de măsurători. Notează, o săptămână, valoarea unei mărimi care urcă și coboară — nivelul apei dintr-un vas lăsat afară, temperatura la aceeași oră, numărul de pagini citite. Calculează variațiile de la o zi la alta, desenează-le ca o rată și estimează, prin trapeze, cât s-a mișcat mărimea în total și cu cât s-a schimbat net.
Vânătoarea de greșeli. Ia trei rezolvări de arii, ale tale sau ale unui coleg, și verifică numai două lucruri: dacă toate tăieturile sunt strict în interiorul intervalului și dacă fiecare termen al sumei a ieșit pozitiv. Notează care dintre cele două controale a prins mai multe greșeli.

Pentru părinți și profesori

Lecția tranșează cea mai costisitoare confuzie a capitolului de integrale: aria nu este integrala, decât dacă funcția păstrează semnul pe tot intervalul. Elevul are deja toate instrumentele — tabelul de semn din clasa a XI-a, aditivitatea în raport cu intervalul și formula Leibniz-Newton —, iar ce se adaugă aici este ordinea în care le folosește.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea cazului în care cele două numere coincid; (2) calculul ariei când funcția este negativă pe tot intervalul; (3) alcătuirea tabelului de semn înaintea primei integrale; (4) reținerea numai a zerourilor din interiorul intervalului; (5) citirea rezultatului într-un model din științe, cu unitatea potrivită.

Întrebări bune de control: „Ce scrii pe foaie înainte de prima integrală?", „De ce nu taie intervalul o rădăcină din afara lui?", „Poate ieși negativ un termen al sumei?". Semn că a înțeles: începe orice problemă de arie prin ecuația $f (x) = 0$ , nu prin căutarea primitivei, și verifică la final semnul fiecărei bucăți.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținutul „aria delimitată de graficul unei funcții continue și axa $O x$ ". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare: programa de examen, cea din 2014, conține capitolul „Aplicații ale integralei definite" cu rândul „Aria unei suprafețe plane". În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de analiză de clasa a XII-a se află în problema a doua a Subiectului al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

De ce se cere tabelul de semn înainte de calcul, dacă semnul se vede pe desen?

Pentru că desenul rămâne pe ciornă, iar la o funcție de gradul al doilea cu rădăcini apropiate ochiul greșește ușor. Tabelul este singura formă scrisă care arată câte integrale urmează și în ce ordine se scad termenii în fiecare. Scris după calcul, el nu mai verifică nimic: ai ales deja semnele.

Câte integrale scriu dacă funcția de gradul al doilea are ambele rădăcini în interval?

Trei. Cele două rădăcini taie intervalul în trei bucăți, iar pe fiecare funcția are un semn constant: plus, minus, plus, dacă este pozitiv coeficientul dominant. Dacă numai o rădăcină cade în interiorul intervalului, scrii două integrale; dacă niciuna, scrii una singură, cu semnul citit din poziția intervalului față de rădăcini.

Ce fac dacă rădăcinile ecuației $f (x) = 0$ nu sunt numere întregi?

Nimic diferit: ele rămân capete de bucată și intră ca atare în limitele de integrare. Calculul devine mai greu, dar procedeul este același. Dacă îți ies fracții complicate acolo unde te așteptai la numere mici, verifică întâi discriminantul: o greșeală de semn în el schimbă complet rădăcinile.

La ce folosește ipoteza de continuitate din enunț?

Pentru că formula se sprijină pe două lucruri care cad fără continuitate: existența primitivei, de care are nevoie formula Leibniz-Newton, și faptul că funcția nu poate trece de la valori pozitive la valori negative fără să se anuleze. A doua proprietate este exact ce garantează că zerourile ecuației $f (x) = 0$ sunt singurele locuri în care se schimbă semnul.

Poate fi aria egală cu integrala chiar dacă funcția se anulează în interiorul intervalului?

Da. Contează schimbarea de semn, nu anularea. Dacă funcția se anulează într-un punct interior fără să treacă de cealaltă parte a axei — cum se întâmplă la un trinom cu rădăcină dublă — semnul rămâne același pe tot intervalul, iar cele două numere coincid.

Prin ce se deosebește lecția de la științe ale naturii (M2) de cea de la mate-info (M1)?

La M2 ambele margini ale regiunii sunt simple: graficul unei funcții de gradul I sau al doilea și axa $O x$ . La mate-info se adaugă ariile mărginite de cerc și de celelalte curbe din capitolul de conice, precum și integrarea după variabila $y$ — niciuna nu este în programa de la științe. Pentru comparație, aceeași temă la mate-info (M1).

La ce subiect apare aria unei suprafețe plane la Bacalaureatul M2?

Pentru sesiunile 2027–2029, programa de examen o așază la „Aplicații ale integralei definite", iar în modelul oficial publicat pentru proba actuală cerințele de analiză de clasa a XII-a se află în problema a doua a Subiectului al III-lea, alături de primitive și de integrale. Din 2030, la proba MAT_P2, tema rămâne în domeniul Analiză matematică.