Cum aflu aria unui patrulater din coordonate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Aria din coordonate

Tai patrulaterul convex cu o diagonală în două triunghiuri, calculezi aria fiecăruia ca jumătate din modulul determinantului și aduni. Pentru $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ , $C (7, 4)$ , $D (1, 5)$ diagonala $A C$ dă triunghiurile $A B C$ , cu determinantul $6 \cdot 4 - 7 \cdot 0 = 24$ și aria $12$ , și $A C D$ , cu determinantul $7 \cdot 5 - 1 \cdot 4 = 31$ și aria $15, 5$ . Aria patrulaterului este $27, 5$ . Vârfurile se iau în ordinea în care apar pe contur.

Același tablou care hotăra coliniaritatea spune, când nu se anulează, cât de mare este suprafața închisă: aria este jumătate din modulul lui. Nu se caută nicio înălțime, nu se măsoară nicio latură; cele șase coordonate sunt de ajuns.

Jumătatea nu cade din cer. Coborând din fiecare vârf o perpendiculară pe axa absciselor, sub laturi apar trapeze dreptunghice, iar adunarea a două dintre ele și scăderea celui de-al treilea lasă exact figura căutată; fiecare trapez își aduce în socoteală propria jumătate. Modulul, la rândul lui, vine din faptul că schimbarea a două rânduri schimbă semnul, iar rândurile sunt chiar ordinea în care au fost numite vârfurile — o suprafață nu poate depinde de cum botezi colțurile.

Un poligon convex se rupe în triunghiuri cu diagonalele duse dintr-un vârf, iar reluarea descompunerii din alt vârf este proba gratuită a rezultatului. La trecerea de la caroiaj la teren, factorul de scară intră la pătrat: o unitate de lungime care înseamnă $k$ metri face ca o unitate de suprafață să însemne $k^{2}$ metri pătrați.

Capcana. Când toate coordonatele sunt întregi, determinantul iese întreg, dar aria poate avea o jumătate exactă; ea nu se rotunjește. Iar o cerință care dă aria și caută un vârf are două răspunsuri, fiindcă modulul se desface în două ecuații.

De reținut

$S = \frac{1}{2} ∣Δ∣$ , unde $Δ$ este determinantul vârfurilor cu coloana de $1$
un poligon convex se împarte din diagonale în triunghiuri, iar ariile se adună
$Δ = 0$ înseamnă vârfuri coliniare, deci arie nulă

Greșeala tipică

Se iau vârfurile patrulaterului în altă ordine decât pe contur, de exemplu $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , iar diagonalele alese nu mai împart figura; ordinea de pe contur se stabilește dintr-o schiță.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează aria triunghiului cu vârfurile $A (- 9, - 4)$ , $B (5, - 6)$ și $C (9, - 5)$ .
- a) $22$
- b) $44$
- c) $11$
- d) $5, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $11$

Cu scurtătura scăderii rândurilor, $Δ = (5 + 9) (- 5 + 4) - (9 + 9) (- 6 + 4) = 14 \cdot (- 1) - 18 \cdot (- 2) = - 14 + 36 = 22$ . Aria este jumătate din modulul acestui număr, adică $S_{A B C} = 11$ . Varianta a) se oprește la determinant și uită jumătatea, b) îl dublează, iar d) mai împarte o dată la doi. Determinantul fiind nenul, punctele chiar închid o suprafață.
Calculează aria triunghiului cu vârfurile $A (- 5, 7)$ , $B (- 8, 9)$ și $C (- 9, 5)$ .
- a) $14$
- b) $7$
- c) $- 7$
- d) $3, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$

Diferențele pornite din $A$ sunt $- 3$ și $2$ spre $B$ , respectiv $- 4$ și $- 2$ spre $C$ , deci $Δ = (- 3) \cdot (- 2) - (- 4) \cdot 2 = 6 + 8 = 14$ , iar aria este $7$ . Varianta a) reține determinantul, d) împarte de două ori, iar c) este singura care merită o vorbă în plus: o arie negativă nu există, iar semnul determinantului spune doar în ce ordine au fost numite vârfurile.
Calculează aria patrulaterului convex cu vârfurile $A (- 9, - 3)$ , $B (- 5, - 9)$ , $C (- 4, - 1)$ și $D (- 6, 3)$ .
- a) $19$
- b) $62$
- c) $21$
- d) $31$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $31$

Diagonala $A C$ rupe patrulaterul în două triunghiuri. Pentru $A B C$ determinantul este $(- 5 + 9) (- 1 + 3) - (- 4 + 9) (- 9 + 3) = 8 + 30 = 38$ , deci aria $19$ ; pentru $A C D$ el este $(- 4 + 9) (3 + 3) - (- 6 + 9) (- 1 + 3) = 30 - 6 = 24$ , deci aria $12$ . Totalul este $31$ , iar cealaltă diagonală îl confirmă, cu $21$ și $10$ . Variantele a) și c) rețin câte un singur triunghi, iar b) dublează rezultatul, ca și cum jumătatea s-ar aplica o singură dată.

Întrebări conexe

Ce arată semnul determinantului din formula ariei?

Arată sensul în care ai parcurs vârfurile: pozitiv pentru sensul invers acelor de ceasornic, negativ pentru sensul acelor. Aria nu depinde de sens, de aceea se ia modulul. Pentru $A B C$ de mai sus determinantul este $24$ ; pentru $A C B$ ar fi $- 24$ , cu aceeași arie $12$ .

Cum verific aria unui patrulater cu cealaltă diagonală?

Împarți patrulaterul pe diagonala $B D$ și refaci calculul. Pentru același $A B C D$ , triunghiul $A B D$ are determinantul $30$ și aria $15$ , iar $B C D$ are determinantul $25$ și aria $12, 5$ . Suma, $27, 5$ , coincide cu rezultatul prin $A C$ , deci calculul este corect.

Cum aflu aria unui pentagon din coordonate?

Unești un vârf cu cele două vârfuri neînvecinate cu el și obții trei triunghiuri. Calculezi aria fiecăruia cu determinantul și aduni. La un pentagon convex orice vârf e potrivit; alegerea unui vârf cu coordonate simple, cum ar fi originea, scurtează calculele.

Ce arie are un triunghi al cărui determinant este zero?

Aria este $0$ : vârfurile sunt coliniare și nu închid nicio suprafață. De exemplu, $(1, 1)$ , $(3, 5)$ și $(4, 7)$ dau determinantul $2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 0$ , fiindcă toate stau pe dreapta $y = 2 x - 1$ . Un astfel de „triunghi” este un segment.

De ce contează convexitatea când tai un patrulater în triunghiuri?

La un patrulater convex ambele diagonale sunt în interior, deci oricare îl împarte în două triunghiuri. La unul concav, o diagonală iese în afară, iar suma celor două arii ar număra o zonă din exterior. Atunci se alege diagonala care rămâne în interior.

Oamenii mai întreabă și: aria unui patrulater cu determinant · aria patrulaterului din coordonatele vârfurilor · arie poligon din coordonate · aria unui patrulater convex cu determinanți