Aria triunghiului calculată cu un determinant (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O scurgere de motorină a pătat solul într-o zonă de pe malul unui râu, iar echipa care intervine a marcat conturul petei cu trei țăruși. Are, prin urmare, trei perechi de coordonate măsurate în metri față de un colț al parcelei — și are nevoie, cât mai repede, de suprafața zonei, pentru că de ea depinde cantitatea de substanță absorbantă care trebuie adusă. Nimeni nu se apucă să caute unde cade înălțimea triunghiului. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), răspunsul se scoate dintr-un singur determinant, același pe care l-ai folosit la coliniaritate, iar tema este cerută explicit de programa de examen a bacalaureatului M2 ca aplicație a calculului matriceal în geometrie.

Lecția pornește de unde s-a oprit cea precedentă. Acolo ai aflat că determinantul a trei puncte se anulează exact când punctele stau pe o dreaptă; aici vei vedea ce spune el când nu se anulează. Vei obține formula ariei, o vei verifica pe triunghiuri la care aria se poate afla și altfel, apoi o vei folosi la poligoane și la date măsurate în teren.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi aria unui triunghi cunoscând numai coordonatele celor trei vârfuri, fără să afli nicio lungime și nicio înălțime.
Vei ști de unde vine jumătatea din formulă și de ce apare modulul.
Vei ști să verifici rezultatul pe triunghiuri cu o latură paralelă cu o axă și să recunoști când verificarea nu e posibilă.
Vei ști să citești semnul determinantului ca pe o informație despre ordinea în care ai numit vârfurile.
Vei ști să afli aria unui poligon convex descompunându-l în triunghiuri și să controlezi rezultatul cu o a doua descompunere.
Vei ști să treci de la aria din unitățile reperului la metri pătrați și să o folosești într-un calcul de densitate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este aria unui triunghi dat prin coordonate?

Pentru pata de motorină din deschidere, țărușii au coordonatele $A (0, 0)$ , $B (30, 10)$ și $C (10, 30)$ , măsurate în metri. Cu determinantul introdus în lecția despre coliniaritate și ecuația dreptei, scrise cu determinant obținem, prin scăderea primei linii din celelalte două:

$Δ = (30 - 0) (30 - 0) - (10 - 0) (10 - 0) = 900 - 100 = 800$

Numărul acesta nu este nul, deci punctele nu sunt coliniare și chiar închid o suprafață. Iar suprafața se citește direct din el.

Aria unui triunghi este, atunci când vârfurile sunt date prin coordonate, jumătate din modulul determinantului format cu cele trei perechi de coordonate așezate pe linii și cu o coloană de valori de $1$ :

$S_{A B C} = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣, Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111$

Pata de motorină are așadar $400$ de metri pătrați. Formula nu cere nimic în plus: nici lungimi de laturi, nici unghiuri, nici desen — doar cele șase numere măsurate în teren.

2. De unde vine formula?

Ca să vedem de ce apare jumătatea, luăm un triunghi concret, $P (2, 1)$ , $Q (10, 3)$ , $R (6, 9)$ , și îi calculăm aria în singurul fel care nu cere nicio formulă nouă: cu trapeze.

Coborâm din fiecare vârf câte o perpendiculară pe axa absciselor. Sub fiecare latură se formează un trapez dreptunghic, ale cărui baze sunt chiar ordonatele capetelor, iar înălțimea este diferența absciselor lor:

sub latura $P R$ , între $x = 2$ și $x = 6$ : aria $\frac{( 1 + 9 ) \cdot 4}{2} = 20$ ;
sub latura $R Q$ , între $x = 6$ și $x = 10$ : aria $\frac{( 9 + 3 ) \cdot 4}{2} = 24$ ;
sub latura $P Q$ , între $x = 2$ și $x = 10$ : aria $\frac{( 1 + 3 ) \cdot 8}{2} = 16$ .

Primele două trapeze acoperă împreună tot ce se află sub linia frântă $P \to R \to Q$ , adică triunghiul plus trapezul de sub $P Q$ . Scăzându-l pe acesta din urmă rămâne exact triunghiul: $S_{P QR} = 20 + 24 - 16 = 28$ .

Refacem acum același calcul cu litere. Ariile celor trei trapeze sunt $\frac{1}{2} (y_{P} + y_{R}) (x_{R} - x_{P})$ , $\frac{1}{2} (y_{R} + y_{Q}) (x_{Q} - x_{R})$ și $\frac{1}{2} (y_{P} + y_{Q}) (x_{Q} - x_{P})$ ; adunând primele două și scăzând-o pe a treia, toate produsele de forma $x_{i} y_{i}$ se reduc, iar ce rămâne este jumătate din $(x_{Q} - x_{P}) (y_{R} - y_{P}) - (x_{R} - x_{P}) (y_{Q} - y_{P})$ — adică jumătate din determinantul celor trei puncte. Aici este originea jumătății: fiecare trapez a adus-o cu el, din formula ariei trapezului.

Verificăm pe cifre: $Δ = (10 - 2) (9 - 1) - (6 - 2) (3 - 1) = 64 - 8 = 56$ , iar jumătatea lui este $28$ — cât am obținut prin decupaje. Calculul cu trapeze a folosit o așezare anume a vârfurilor, cu $R$ deasupra laturii $P Q$ ; la altă așezare se schimbă rolurile trapezelor, iar determinantul își schimbă cel mult semnul, cum vei vedea în secțiunea $4$ — de aceea formula finală are modul și e valabilă pentru orice triunghi.

3. Cum se calculează practic și cum se verifică rezultatul?

În practică nu se scrie niciodată determinantul de ordinul al treilea în întregime. Scurtătura din lecția precedentă — scăderea primei linii din celelalte două — îl reduce la un determinant de ordinul al doilea, deci la două produse:

$Δ = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$

Ordinea de redactare rămâne aceeași la orice problemă: calculezi $Δ$ , constați că nu e nul, scrii aria ca jumătate din modulul lui.

Rezultatul se poate controla ori de câte ori una dintre laturi este paralelă cu o axă, pentru că atunci baza și înălțimea se citesc direct din coordonate. La triunghiul $A (- 2, 3)$ , $B (10, 3)$ , $C (4, 12)$ , latura $A B$ este orizontală și are lungimea $12$ , iar înălțimea din $C$ este diferența ordonatelor, $9$ ; aria iese $54$ , exact cât dă și determinantul. Când nicio latură nu e paralelă cu axele, verificarea se face altfel: afli lungimile celor trei laturi cu formula distanței și aplici formula lui Heron. E un drum mai lung și cu radicali, dar independent, deci bun ca probă.

4. Ce spune semnul determinantului?

Determinantul își schimbă semnul când se schimbă între ele două linii — proprietate stabilită în lecțiile de determinanți. Pentru trei puncte, schimbarea a două linii înseamnă schimbarea ordinii în care le-am numit. Rezultă că $Δ$ poate ieși și pozitiv, și negativ, după cum parcurgem vârfurile în sensul acelor de ceasornic sau invers.

Aria, în schimb, nu poate depinde de felul în care botezăm vârfurile: ea este o mărime a figurii, nu a notației. De aceea formula are modul. Concret, pentru triunghiul din secțiunea $2$ luat în ordinea $P$ , $R$ , $Q$ obținem $Δ = - 56$ , iar aria rămâne $28$ .

Semnul nu e totuși o informație inutilă: programele care lucrează cu hărți îl folosesc ca să știe pe ce parte a unei laturi se află al treilea vârf. La examen însă el se pierde în modul, iar dacă răspunsul tău la o cerință de arie iese negativ, nu ai găsit o arie negativă — ai uitat modulul.

5. Cum calculezi aria unui poligon din coordonate?

Alegi un vârf al poligonului convex și duci din el toate diagonalele: un patrulater se rupe astfel în două triunghiuri, un pentagon în trei, iar un poligon cu $n$ laturi în $n - 2$ . Ariile lor se calculează fiecare cu determinantul și se adună.

Metoda are un control gratuit: reiei descompunerea pornind din alt vârf și compari totalurile. La un poligon convex ele nu au voie să difere, iar când totuși diferă, greșeala se localizează repede — ea stă într-un triunghi care apare doar în una dintre cele două descompuneri.

Condiția de convexitate nu e o formalitate. La un poligon cu un unghi intrat, o diagonală dusă dintr-un vârf nepotrivit iese în afara figurii, iar suma ariilor nu mai are legătură cu suprafața căutată. Înainte de a descompune, așază punctele pe o schiță — sau, dacă lucrezi doar cu cifrele, verifică prin determinanți că, parcurgând vârfurile în ordine, semnul nu se schimbă de la un colț la altul. Aceeași grijă o cere și munca în teren, unde un contur măsurat cu aparatul poate avea un colț intrat fără ca nimeni să-l observe. Formula ariei descompuse este cerută, la profilul științe ale naturii, exact pentru astfel de situații practice, iar la M2 tema stă în programa clasei a IX-a; pentru varianta cu lungimi și unghiuri, vezi lecția de clasa a X-a de la mate-info: aria suprafețelor poligonale prin descompunere.

6. Cum treci de la unitățile reperului la metri pătrați?

Rareori coordonatele sunt măsurate direct în metri. Pe o schiță de teren, o unitate a rețelei poate însemna $5$ metri; pe o hartă, $100$ . Trecerea se face cu grijă, pentru că aria nu se scalează la fel ca lungimea: dacă o unitate de lungime înseamnă $k$ metri, atunci o unitate pătrată înseamnă $k^{2}$ metri pătrați. Un triunghi de arie $18$ pe o schiță cu unitatea de $5$ metri are, în realitate, $18 \cdot 25 = 450$ de metri pătrați, nu $90$ .

Odată aria exprimată în unități reale, ea devine numitorul oricărui calcul de densitate. Într-un releveu de vegetație, de exemplu, se numără indivizii dintr-o suprafață delimitată și se împarte la aria ei: dacă în triunghiul de $450$ de metri pătrați s-au numărat $1350$ de plante, densitatea este de $3$ plante pe metru pătrat. Aceeași socoteală se face pentru o populație de insecte, pentru depunerea unui poluant sau pentru cantitatea de îngrășământ dintr-o parcelă — de fiecare dată, aria se calculează o singură dată, din coordonate, și apoi se împarte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aria dintr-un singur determinant

Calculați aria triunghiului cu vârfurile $A (- 4, 2)$ , $B (6, 0)$ și $C (2, 8)$ .

Rezolvare. Cu scurtătura scăderii liniilor:

$Δ = (6 + 4) (8 - 2) - (2 + 4) (0 - 2) = 60 + 12 = 72$

Determinantul nu este nul, deci punctele formează un triunghi, iar aria lui este $S_{A B C} = \frac{72}{2} = 36$ .

Exemplul 2 — Rezultatul, verificat cu baza și înălțimea

Calculați aria triunghiului $A (- 8, - 3)$ , $B (- 8, 7)$ , $C (1, 2)$ și verificați rezultatul pe altă cale.

Rezolvare. $Δ = (- 8 + 8) (2 + 3) - (1 + 8) (7 + 3) = 0 - 90 = - 90$ , deci $S_{A B C} = \frac{∣ - 90 ∣}{2} = 45$ .

Verificarea. Punctele $A$ și $B$ au aceeași abscisă, deci latura $A B$ este paralelă cu axa ordonatelor și are lungimea $7 - (- 3) = 10$ . Înălțimea din $C$ pe această latură este diferența absciselor, $1 - (- 8) = 9$ . Aria iese $\frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ , aceeași valoare. Observă două lucruri: primul termen al determinantului a fost nul tocmai pentru că $x_{B} - x_{A} = 0$ , adică pentru că latura era verticală; iar determinantul a ieșit negativ fără ca aria să fie negativă — modulul din formulă e pus acolo exact pentru asta.

Exemplul 3 — Citește graficul

În figura de mai jos, vârfurile triunghiului $P QR$ cad pe noduri ale rețelei. Citiți coordonatele și calculați aria triunghiului.

Rezolvare. Nodurile citite de pe figură sunt $P (1, 1)$ , $Q (7, 3)$ și $R (3, 7)$ . Atunci

$Δ = (7 - 1) (7 - 1) - (3 - 1) (3 - 1) = 36 - 4 = 32$

deci aria este $S_{P QR} = 16$ .

Merită observat ce nu s-a cerut aici: nicio latură nu e paralelă cu axele, deci baza și înălțimea nu se pot citi de pe desen. Determinantul le ocolește pe amândouă. Iar un control se poate face și prin numărare: triunghiul se încadrează într-un pătrat de latură $6$ , adică de arie $36$ , iar din el lipsesc trei colțuri de arii $6$ , $8$ și $6$ ; rămân tot $16$ .

Exemplul 4 — Aria unui patrulater

Calculați aria patrulaterului convex cu vârfurile $A (- 1, - 2)$ , $B (7, 0)$ , $C (9, 6)$ , $D (1, 8)$ , folosind pe rând ambele diagonale.

Rezolvare. Pe diagonala $A C$ . Pentru triunghiul $A B C$ : $Δ = (7 + 1) (6 + 2) - (9 + 1) (0 + 2) = 64 - 20 = 44$ , deci aria lui este $22$ . Pentru triunghiul $A C D$ : $Δ = (9 + 1) (8 + 2) - (1 + 1) (6 + 2) = 100 - 16 = 84$ , deci aria lui este $42$ . Totalul este $64$ .

Pe diagonala $B D$ . Pentru triunghiul $A B D$ : $Δ = (7 + 1) (8 + 2) - (1 + 1) (0 + 2) = 80 - 4 = 76$ , arie $38$ . Pentru triunghiul $B C D$ : $Δ = (9 - 7) (8 - 0) - (1 - 7) (6 - 0) = 16 + 36 = 52$ , arie $26$ . Totalul este tot $64$ .

Cele două descompuneri dau același număr, ceea ce e o dovadă serioasă că socoteala e corectă: o greșeală ar fi trebuit să apară de două ori, în exact același fel.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează aria triunghiului $A (- 5, 4)$ , $B (1, - 8)$ , $C (3, 6)$ și scrie: „ $Δ = (1 - 5) (6 - 4) - (3 - 5) (- 8 - 4) = - 8 - 24 = - 32$ , deci aria este $16$ ." Găsiți greșeala și calculați corect.

Rezolvare. Greșeala este la scăderea absciselor. Abscisa lui $A$ este $- 5$ , deci $x_{B} - x_{A} = 1 - (- 5) = 6$ , nu $1 - 5$ ; la fel, $x_{C} - x_{A} = 3 - (- 5) = 8$ , nu $3 - 5$ . Elevul a scăpat semnul minus al lui $x_{A}$ și a scăzut, în loc să adune.

Cu scăderile făcute cum trebuie:

$Δ = (1 + 5) (6 - 4) - (3 + 5) (- 8 - 4) = 12 + 96 = 108$

deci aria este $S_{A B C} = 54$ , de peste trei ori mai mare decât răspunsul greșit. Reține proba care prinde astfel de alunecări: dacă încadrezi mintal triunghiul într-un dreptunghi cu laturile paralele cu axele — aici unul de laturi $8$ și $14$ , deci de arie $112$ —, aria triunghiului trebuie să fie mai mică decât aceasta, dar comparabilă cu ea; un rezultat de $16$ era vizibil prea mic.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 2, - 1)$ , $B (4, 3)$ și $C (0, 9)$ . a) Arătați că punctele $A$ , $B$ și $C$ nu sunt coliniare. b) Calculați aria triunghiului $A B C$ . c) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $m$ , triunghiul cu vârfurile $A$ , $B$ și $D (3 m, 2 m + 9)$ are aceeași arie ca triunghiul $A B C$ .

Rezolvare.

a) $Δ = (4 + 2) (9 + 1) - (0 + 2) (3 + 1) = 60 - 8 = 52$ . Fiind nenul, punctele nu sunt coliniare.

b) Aria este jumătate din modulul determinantului: $S_{A B C} = \frac{52}{2} = 26$ .

c) Calculăm determinantul punctelor $A$ , $B$ și $D$ , lăsând parametrul înăuntru:

$Δ = (4 + 2) (2 m + 9 + 1) - (3 m + 2) (3 + 1) = 12 m + 60 - 12 m - 8 = 52$

Rezultatul nu depinde de $m$ , deci aria triunghiului $A B D$ este tot $26$ , adică exact aria triunghiului $A B C$ . Explicația geometrică: punctul $D$ se plimbă pe o dreaptă paralelă cu $A B$ , iar un vârf mutat paralel cu baza păstrează înălțimea, deci și aria. Pentru $m = 0$ se obține chiar $D = C$ .

De la examen la lecție. Forma cerințelor urmează modelul oficial al probei M_șt-nat: o verificare pe date numerice, un rezultat de calculat și o demonstrație valabilă pentru orice valoare a unui parametru. La punctul c) trebuie scris explicit că $Δ$ nu depinde de $m$ ; nu e de ajuns să arăți calculul.

Să exersăm

Ordinea de redactare, la orice cerință de acest tip: scrii determinantul cu scurtătura, verifici că nu e nul, apoi scrii aria ca jumătate din modulul lui.

1. Calculează aria triunghiului $A (0, 0)$ , $B (9, 2)$ , $C (3, 8)$ .

2. Calculează aria triunghiului $A (- 3, - 2)$ , $B (5, - 2)$ , $C (1, 6)$ și verifică rezultatul cu baza și înălțimea.

3. Calculează aria triunghiului cu vârfurile de coordonate $(2, - 3)$ , $(10, 1)$ și $(6, 11)$ .

4. Calculează aria triunghiului $P (- 6, 4)$ , $Q (2, - 4)$ , $R (8, 10)$ .

5. Arată că punctele de coordonate $(1, 5)$ , $(4, 11)$ și $(7, 17)$ nu determină un triunghi.

6. Calculează aria triunghiului $O (0, 0)$ , $A (7, - 2)$ , $B (3, 9)$ .

7. Calculează aria triunghiului $A (- 1, 2)$ , $B (11, 2)$ , $C (11, 7)$ și verifică rezultatul socotind catetele.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate cele șase coordonate ale vârfurilor sunt numere întregi, atunci aria triunghiului este un număr întreg."

9. (Problemă aplicată.) O placă triunghiulară de tablă are colțurile, în metri, la $(0, 0)$ , $(4, 0)$ și $(1, 3)$ . Calculează aria plăcii, apoi masa ei, știind că tabla folosită cântărește $7, 85$ kg pe metru pătrat.

10. Calculează aria patrulaterului convex cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (10, 2)$ , $C (12, 10)$ , $D (2, 12)$ , folosind pe rând ambele diagonale.

11. Calculează aria triunghiului cu vârfurile de coordonate $(- 4, - 5)$ , $(6, - 1)$ și $(0, 7)$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $A (1, 3)$ , $B (5, 1)$ și $C (3, 9)$ . Calculează aria triunghiului $A B C$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $A (- 1, 0)$ , $B (3, 8)$ și $C (m, 2)$ , unde $m$ este număr real. Determină valorile lui $m$ pentru care aria triunghiului $A B C$ este egală cu $12$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $A (- 7, 1)$ , $B (1, 5)$ și $C (- 3, 11)$ . Arată că punctele nu sunt coliniare și calculează aria triunghiului $A B C$ .

15. Determină numărul real pozitiv $m$ pentru care triunghiul cu vârfurile $O (0, 0)$ , $A (m, 0)$ și $B (0, m + 3)$ are aria egală cu $20$ .

16. Un triunghi are vârfurile $A (2, - 5)$ , $B (8, - 5)$ și $C (m, 1)$ , unde $m$ este un număr real. Arată că aria lui nu depinde de $m$ .

17. Calculează aria triunghiului cu vârfurile de coordonate $(- 9, 3)$ , $(- 1, - 5)$ și $(5, 7)$ .

18. (Provocare.) Se consideră pentagonul convex cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (12, 0)$ , $C (16, 6)$ , $D (8, 14)$ , $E (- 2, 8)$ . Calculează-i aria descompunându-l în triunghiuri mai întâi din vârful $A$ , apoi din vârful $C$ , și compară cele două rezultate.

Răspunsuri și explicații

1. $Δ = 9 \cdot 8 - 3 \cdot 2 = 66$ , deci aria este $33$ .

2. $Δ = (5 + 3) (6 + 2) - (1 + 3) (- 2 + 2) = 64$ , deci aria este $32$ . Verificare: latura $A B$ este orizontală, de lungime $8$ , iar înălțimea din $C$ este $6 - (- 2) = 8$ ; aria iese $\frac{8 \cdot 8}{2} = 32$ .

3. $Δ = (10 - 2) (11 + 3) - (6 - 2) (1 + 3) = 112 - 16 = 96$ , deci aria este $48$ .

4. $Δ = (2 + 6) (10 - 4) - (8 + 6) (- 4 - 4) = 48 + 112 = 160$ , deci aria este $80$ .

5. $Δ = (4 - 1) (17 - 5) - (7 - 1) (11 - 5) = 36 - 36 = 0$ . Determinantul fiind nul, cele trei puncte sunt coliniare, aria este zero și triunghiul nu există.

6. $Δ = 7 \cdot 9 - 3 \cdot (- 2) = 69$ , deci aria este $34, 5$ .

7. $Δ = (11 + 1) (7 - 2) - (11 + 1) (2 - 2) = 60$ , deci aria este $30$ . Verificare: unghiul din $B$ este drept, fiindcă $A B$ este orizontală, iar $B C$ verticală; catetele au lungimile $12$ și $5$ , deci aria este $\frac{12 \cdot 5}{2} = 30$ .

8. Fals. Determinantul iese, într-adevăr, număr întreg, dar aria este jumătate din el, deci poate fi și un număr cu o jumătate. Contraexemplu: triunghiul de la exercițiul $6$ , cu toate coordonatele întregi, are aria $34, 5$ . Regula practică: aria e întreagă exact când determinantul e par.

9. $Δ = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 0 = 12$ , deci aria plăcii este de $6$ metri pătrați. Masa este $6 \cdot 7, 85 = 47, 1$ kilograme. Rezultatul e credibil pentru o tablă subțire de această mărime și arată de ce placa se transportă în două persoane.

10. Pe diagonala $A C$ : pentru $A B C$ , $Δ = 10 \cdot 10 - 12 \cdot 2 = 76$ , arie $38$ ; pentru $A C D$ , $Δ = 12 \cdot 12 - 2 \cdot 10 = 124$ , arie $62$ ; totalul este $100$ . Pe diagonala $B D$ : pentru $A B D$ , $Δ = 10 \cdot 12 - 2 \cdot 2 = 116$ , arie $58$ ; pentru $B C D$ , $Δ = (12 - 10) (12 - 2) - (2 - 10) (10 - 2) = 20 + 64 = 84$ , arie $42$ ; totalul este tot $100$ .

11. $Δ = (6 + 4) (7 + 5) - (0 + 4) (- 1 + 5) = 120 - 16 = 104$ , deci aria este $52$ .

12. $Δ = (5 - 1) (9 - 3) - (3 - 1) (1 - 3) = 24 + 4 = 28$ , deci aria triunghiului $A B C$ este $14$ .

13. $Δ = (3 + 1) (2 - 0) - (m + 1) (8 - 0) = 8 - 8 m - 8 = - 8 m$ . Condiția devine $\frac{∣ - 8 m ∣}{2} = 12$ , adică $∣ m ∣ = 3$ , deci $m = 3$ sau $m = - 3$ . Ambele valori sunt bune; modulul dă întotdeauna două cazuri, iar niciunul nu se aruncă fără motiv.

14. $Δ = (1 + 7) (11 - 1) - (- 3 + 7) (5 - 1) = 80 - 16 = 64$ , nenul, deci punctele nu sunt coliniare; aria triunghiului $A B C$ este $32$ .

15. $Δ = m (m + 3) - 0 = m^{2} + 3 m$ , deci aria este $\frac{m ^{2} + 3 m}{2}$ pentru $m > 0$ . Din $m^{2} + 3 m = 40$ obținem $m^{2} + 3 m - 40 = 0$ , cu soluțiile $5$ și $- 8$ ; condiția $m > 0$ lasă $m = 5$ .

16. $Δ = (8 - 2) (1 + 5) - (m - 2) (- 5 + 5) = 36 - 0 = 36$ , indiferent de $m$ , deci aria este $18$ în toate cazurile. Geometric: latura $A B$ este orizontală, iar vârful al treilea se plimbă pe dreapta $y = 1$ , care e paralelă cu ea, deci înălțimea rămâne aceeași.

17. $Δ = (- 1 + 9) (7 - 3) - (5 + 9) (- 5 - 3) = 32 + 112 = 144$ , deci aria este $72$ .

18. Din vârful $A$ : pentru $A B C$ , $Δ = 12 \cdot 6 - 16 \cdot 0 = 72$ , arie $36$ ; pentru $A C D$ , $Δ = 16 \cdot 14 - 8 \cdot 6 = 176$ , arie $88$ ; pentru $A D E$ , $Δ = 8 \cdot 8 - (- 2) \cdot 14 = 92$ , arie $46$ ; totalul este $170$ . Din vârful $C$ : pentru $C D E$ , $Δ = (8 - 16) (8 - 6) - (- 2 - 16) (14 - 6) = - 16 + 144 = 128$ , arie $64$ ; pentru $C E A$ , $Δ = (- 2 - 16) (0 - 6) - (0 - 16) (8 - 6) = 108 + 32 = 140$ , arie $70$ ; pentru $C A B$ , $Δ = (0 - 16) (0 - 6) - (12 - 16) (0 - 6) = 96 - 24 = 72$ , arie $36$ ; totalul este tot $170$ . Cele două descompuneri coincid, cum era de așteptat la un poligon convex.

De reținut

Aria triunghiului cu vârfurile date prin coordonate este jumătate din modulul determinantului format cu cele trei perechi de coordonate și cu o coloană de valori de $1$ .
Determinantul se calculează în două produse, scăzând prima linie din celelalte două: $Δ = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ .
Modulul este obligatoriu, pentru că semnul lui $Δ$ spune doar în ce ordine ai numit vârfurile, nu ceva despre figură; o arie negativă nu există.
Un poligon convex se descompune în triunghiuri cu diagonalele dintr-un vârf, iar a doua descompunere, pornită din alt vârf, este proba gratuită a calculului.
La trecerea de la unitățile reperului la metri, aria se înmulțește cu pătratul factorului de scară, nu cu factorul însuși.

Greșeli frecvente

Scazi greșit când o coordonată este negativă. Pentru $x_{A} = - 5$ se scrie $x_{B} - x_{A} = 1 - 5$ . Corect: scăderea unui număr negativ adună, deci $1 - (- 5) = 6$ . Greșeala trece neobservată pentru că rezultatul rămâne un număr rezonabil; proba e încadrarea triunghiului în cel mai mic dreptunghi cu laturi paralele cu axele, a cărui arie trebuie să fie mai mare.
Rotunjești aria la un număr întreg. Un determinant impar dă o arie cu o jumătate exactă, iar jumătatea aceea nu e o eroare de calcul. Corect: lași răspunsul $34, 5$ așa cum iese; el este exact, nu aproximativ.
Cauți un determinant cu patru linii pentru un patrulater. Formula are trei linii pentru că se referă la trei puncte. Corect: descompui poligonul în triunghiuri și aduni ariile; un determinant se calculează numai pentru o matrice pătratică.
Citești baza și înălțimea de pe desen. Când nicio latură nu e paralelă cu axele, înălțimea nu cade pe un nod al rețelei, iar valoarea „măsurată" cu ochiul e aproximativă. Corect: folosești determinantul, care nu are nevoie de desen, și păstrezi citirea de pe figură doar pentru coordonatele vârfurilor.
Reții o singură soluție la problemele inverse. Din $∣ Δ ∣ = 2 S$ ies două ecuații, deci de regulă două răspunsuri. Corect: le scrii pe amândouă și elimini una numai dacă enunțul o interzice explicit, de pildă printr-o condiție de semn.

Aplică acasă

Aria unei frunze. Așază o frunză pe o foaie cu pătrățele și marchează cinci-șase puncte de pe conturul ei, alese astfel încât poligonul obținut să urmeze cât mai bine forma. Citește coordonatele, descompune poligonul în triunghiuri dintr-un vârf și adună ariile. Verifică apoi numărând pătrățelele acoperite de frunză; diferența dintre cele două rezultate îți arată cât pierzi înlocuind un contur curb cu unul poligonal.
Semnul de circulație triunghiular. Fotografiază un semn de circulație triunghiular din fața blocului, cu telefonul ținut drept, și măsoară pe fotografie coordonatele celor trei colțuri față de un colț ales ca origine, în milimetri. Calculează aria cu determinantul, apoi verific-o cu baza și înălțimea, măsurate tot pe fotografie. Cele două valori ar trebui să difere cu mai puțin de câteva procente.
Densitatea dintr-o parcelă. Înfige trei bețe în iarbă, la câțiva metri unul de altul, și măsoară cu pasul coordonatele lor față de un colț ales ca origine. Calculează aria triunghiului în metri pătrați, numără apoi câte fire de trifoi, câte pietre sau câte mușuroaie sunt înăuntru și împarte la arie. Ai obținut o densitate — mărimea cu care lucrează orice studiu de teren.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, în unitatea „Matrice și determinanți", la rândul „Aplicații ale determinanților în geometrie: calculul ariei unui triunghi". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014) ca aplicație a calculului matriceal: „ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan". În modelul oficial al probei, Subiectul al II-lea începe cu o problemă de matrice și determinanți, iar una dintre cele șase cerințe scurte ale Subiectului I este de geometrie analitică plană; forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția are un scop practic declarat: elevul de la acest profil va calcula arii din coordonate în laborator, pe hărți și în lucrările de teren, nu doar la examen. De aceea insistă pe două lucruri pe care programa le cere explicit — contextele practice și trecerea corectă la unitățile reale — și lasă deoparte distanța dintre un punct și o dreaptă, temă a traseului de matematică-informatică.

Patru întrebări de control, de pus oral: „De ce are formula modul?"; „De unde vine jumătatea?"; „Cum verifici singur rezultatul, fără să refaci același calcul?"; „O unitate a rețelei înseamnă $5$ metri — cu cât se înmulțește aria?". Semne că elevul a înțeles: verifică întâi că determinantul nu e nul; scrie aria ca jumătate din modul, nu ca jumătate din determinant; folosește a doua diagonală ca probă la poligoane. Lecția care o precedă în traseu este cea despre coliniaritate și ecuația dreptei, scrise cu determinant, iar cu ea se încheie unitatea de matrice și determinanți; urmează analiza matematică, deschisă de lecția despre intervale, mărginire și vecinătăți.

Întrebări frecvente

Ce diferă la aria triunghiului cu determinant, față de versiunea de la mate-info (M1)? Formula este aceeași, dar contextul și continuarea diferă. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: aria unui triunghi cu ajutorul determinantului stă într-un capitol despre drepte în planul cartezian și duce mai departe, spre distanța dintre un punct și o dreaptă, temă care nu intră în programa profilului științe ale naturii. Aici lecția închide unitatea de determinanți și merge spre aplicații practice: poligoane, unități reale, densități.

La ce subiect apare aria triunghiului cu determinant la bacalaureatul M2? În programa de examen pentru sesiunile 2027–2029, aria triunghiului este trecută printre aplicațiile capitolului de calcul matriceal, iar Subiectul al II-lea al probei începe cu o problemă de matrice și determinanți. Subiectul I conține și el o cerință scurtă de geometrie analitică plană. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune.

De ce iese aria uneori cu o jumătate, deși toate coordonatele sunt numere întregi? Pentru că determinantul, care este într-adevăr un număr întreg când coordonatele sunt întregi, se împarte la doi. Dacă el este par, aria iese întreagă; dacă este impar, aria are o jumătate exactă. Valoarea aceasta nu este o aproximare și nu se rotunjește: un triunghi poate avea foarte bine aria de $34, 5$ unități pătrate.

Cum calculez aria când o latură este paralelă cu una dintre axe? Poți folosi tot determinantul, iar calculul se scurtează singur, pentru că unul dintre cele două produse se anulează. Ai însă și o cale independentă: lungimea laturii paralele este diferența coordonatelor care se schimbă, înălțimea este diferența celorlalte, iar aria este jumătate din produsul lor. Cele două rezultate trebuie să coincidă, deci a doua cale e cea mai bună probă.

Cum trec de la aria calculată în unitățile reperului la metri pătrați? Înmulțești cu pătratul factorului de scară. Dacă o unitate de lungime înseamnă $k$ metri, o unitate pătrată înseamnă $k^{2}$ metri pătrați, deci o arie de $S$ unități pătrate devine $S \cdot k^{2}$ metri pătrați. Este locul în care se greșește cel mai des, pentru că tentația e să înmulțești cu $k$ .

De ce o problemă care dă aria și cere un vârf are două răspunsuri? Pentru că aria se calculează dintr-un modul, iar o egalitate cu modul se desface în două ecuații. Geometric, cele două răspunsuri corespund celor două drepte paralele cu latura fixă, aflate de o parte și de alta a ei, pe care al treilea vârf dă aria cerută. Dacă enunțul nu impune o condiție suplimentară, ambele valori se scriu în răspuns.

Cum folosesc aria calculată din coordonate într-un calcul de densitate? Aria este numitorul: împarți la ea numărul de indivizi, masa sau cantitatea măsurate înăuntru. Ai grijă mai întâi la unități — dacă vârfurile au fost citite pe o schiță, treci aria la metri pătrați înmulțind cu pătratul factorului de scară, și abia apoi împarți. Un triunghi de $450$ de metri pătrați în care s-au numărat $1350$ de plante dă o densitate de $3$ plante pe metru pătrat.