Se știe că $$f(x)=\dfrac{2x^2-3x+41}{x-5}=2x+7+\dfrac{76}{x-5}$$. De care parte a asimptotei oblice se află graficul funcției pentru $$x<5$$?

sub asimptotă, fiindcă restul împărțit la $$x-5$$ este negativ

deasupra asimptotei, fiindcă restul $$76$$ este pozitiv

pe asimptotă, fiindcă diferența tinde la zero

nu se poate spune fără să calculăm cele două limite ale algoritmului

Cum se calculează asimptota oblică?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Asimptota oblică

Dreapta $y = m x + n$ se află din două limite, în această ordine: $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ , care trebuie să fie un număr nenul, apoi $n = lim (f (x) - m x)$ , care trebuie să fie finit. Pentru $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 3 x + 1}{x - 1}$ la $+ \infty$ : $m = 2$ , iar $f (x) - 2 x = \frac{5 x + 1}{x - 1}$ , deci $n = 5$ și asimptota este $y = 2 x + 5$ . Proba: $2 x^{2} + 3 x + 1 = (x - 1) (2 x + 5) + 6$ .

Dreapta înclinată $y = m x + n$ se numește asimptotă spre un capăt dacă diferența $f (x) - m x - n$ dispare acolo, panta $m$ fiind un număr diferit de zero — altminteri am descrie o dreaptă orizontală, care are alt nume. Ea nu se citește dintr-o singură limită, ci se construiește din două, luate într-o ordine pe care n-o poți schimba: întâi raportul $\frac{f ( x )}{x}$ , apoi diferența $f (x) - m x$ , fiindcă a doua o cere pe prima. La al doilea pas scăderea se aduce sub aceeași linie de fracție, altfel apare o formă nehotărâtă degeaba.

Pentru rapoarte de polinoame există o scurtătură: împărțirea cu rest. Scrisă ca „cât plus rest supra numitor", funcția își arată dreapta în cât, iar semnul restului spune dacă graficul trece pe deasupra sau pe dedesubt. Situația apare exact când numărătorul întrece numitorul cu un grad.

Capcana. Trei rezultate opresc căutarea din primul pas: raportul crește nemărginit, adică funcția urcă prea repede; raportul se stinge, adică urcă prea încet, ca la un radical; sau limita la capăt e finită, adică dreapta e deja orizontală. Răspunsul se scrie ca ecuație întreagă, nu ca pantă singură.

De reținut

$m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ , finit și nenul
$n = x \to \pm \infty lim (f (x) - m x)$ , finit
la o funcție rațională, câtul împărțirii cu rest dă direct $y = m x + n$

Greșeala tipică

Se ia asimptota oblică drept $y = m x$ , fără a calcula $n$ ; ordonata la origine lipsește doar când a doua limită iese chiar $0$ .

Exerciții din această mini-lecție

La care dintre funcțiile de mai jos graficul are asimptotă oblică spre $+ \infty$ ?
- a) $f (x) = \frac{x ^{2} + 5}{x ^{3} - 1}$
- b) $f (x) = \frac{6 x ^{2} - x + 2}{x + 9}$
- c) $f (x) = \frac{4 x - 1}{x + 9}$
- d) $f (x) = 7 x + 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) = \frac{6 x ^{2} - x + 2}{x + 9}$

Dreapta înclinată apare la un raport de polinoame exact când gradul numărătorului este cu unu mai mare decât al numitorului — singurul caz de acest fel este al doilea, cu gradele $2$ și $1$ . La prima funcție gradul de sus e mai mic, deci există asimptotă orizontală $y = 0$ ; la a treia gradele sunt egale, deci asimptota orizontală este $y = 4$ ; la a patra $\frac{7 x + 2}{x}$ tinde la $0$ , deci panta este nulă și nu există nicio dreaptă.
Se consideră funcția $f : R ∖ {4} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 9 x - 7}{x - 4}$ . Care este ecuația asimptotei oblice la graficul ei?
- a) $y = x$
- b) $y = x + 9$
- c) $y = x + 13$
- d) $y = x + 45$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = x + 13$

Împărțim cu rest: $x^{2} + 9 x - 7 = (x - 4) (x + 13) + 45$ , deci $f (x) = x + 13 + \frac{45}{x - 4}$ . Fracția se stinge la ambele capete, deci $f (x) - (x + 13) \to 0$ și dreapta este $y = x + 13$ . Proba împărțirii: $(x - 4) (x + 13) = x^{2} + 9 x - 52$ , iar $- 52 + 45 = - 7$ . Varianta a) se oprește după pantă, b) citește coeficienții numărătorului, iar d) confundă restul cu ordonata la origine.
Se știe că $f (x) = \frac{2 x ^{2} - 3 x + 41}{x - 5} = 2 x + 7 + \frac{76}{x - 5}$ . De care parte a asimptotei oblice se află graficul funcției pentru $x < 5$ ?
- a) deasupra asimptotei, fiindcă restul $76$ este pozitiv
- b) sub asimptotă, fiindcă restul împărțit la $x - 5$ este negativ
- c) pe asimptotă, fiindcă diferența tinde la zero
- d) nu se poate spune fără să calculăm cele două limite ale algoritmului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) sub asimptotă, fiindcă restul împărțit la $x - 5$ este negativ

Diferența dintre funcție și dreaptă este chiar $f (x) - (2 x + 7) = \frac{76}{x - 5}$ . Pentru $x < 5$ numitorul este negativ, iar numărătorul pozitiv, deci fracția este negativă și graficul se află sub dreapta $y = 2 x + 7$ . Varianta a) se uită numai la rest, uitând semnul numitorului, c) confundă apropierea cu atingerea, iar d) cere un calcul deja făcut de scrierea din enunț.

Întrebări conexe

Poate o funcție să aibă asimptotă orizontală și oblică spre același capăt?

Nu. Asimptota orizontală cere ca $f (x)$ să tindă la un număr, iar atunci $\frac{f ( x )}{x}$ tinde la $0$ , deci panta oblicei ar fi $0$ . Spre un capăt există cel mult una dintre ele; spre celălalt capăt poate exista cealaltă.

Ce grade trebuie să aibă o funcție rațională ca să aibă asimptotă oblică?

Gradul numărătorului trebuie să fie cu $1$ mai mare decât al numitorului. La M2 cazul tipic este numărătorul de gradul $2$ și numitorul de gradul $1$ , ca la $\frac{x ^{2} - 4 x + 1}{x + 2}$ . La grade egale apare asimptotă orizontală, nu oblică.

Poate graficul să intersecteze asimptota oblică?

Da, asimptota descrie doar ce se întâmplă spre capăt. Pentru $f (x) = x + \frac{x}{x ^{2} + 1}$ , diferența $f (x) - x = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ tinde la $0$ , deci $y = x$ este asimptotă oblică, dar în $x = 0$ diferența este $0$ , iar graficul trece prin originea, aflată pe asimptotă.

Cum aflu asimptota oblică a funcției $x^{2} + 4 x$ ?

La $+ \infty$ : $m = lim \frac{x ^{2} + 4 x}{x} = 1$ și $n = lim (x^{2} + 4 x - x) = 2$ , prin conjugată, deci $y = x + 2$ . La $- \infty$ radicalul se comportă ca $- x$ , iar calculul dă $m = - 1$ , $n = - 2$ , adică $y = - x - 2$ . Cele două capete au aici asimptote diferite, deci se studiază separat.

De ce se calculează întâi panta și apoi ordonata la origine?

Formula lui $n$ , adică $lim (f (x) - m x)$ , conține panta. Fără $m$ corect, diferența nu se stabilizează. Dacă $m$ iese $0$ sau infinit, algoritmul se oprește: nu există asimptotă oblică spre acel capăt.

Oamenii mai întreabă și: asimptota oblică formula · cum aflu asimptota oblică · panta asimptotei oblice · calculul asimptotei oblice m și n