Asimptota oblică: când există și cum se află (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un bazin de laborator, masa unei culturi de alge crește zi după zi. La început creșterea e înceată, apoi se așază: după prima săptămână, cultura câștigă aproape aceeași cantitate în fiecare zi. Dacă desenezi măsurătorile, punctele nu se apropie de o dreaptă orizontală, pentru că masa nu se oprește nicăieri; ele se așază, în schimb, de-a lungul unei drepte înclinate. Dreapta aceea se numește asimptotă oblică și este tema lecției de față, la clasa a XI-a, profilul științe ale naturii (M2). Programa de bacalaureat M2 pentru sesiunile 2027–2029 cere explicit asimptotele oblice, iar conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea.

Spre deosebire de dreptele din lecția anterioară, asimptota oblică nu se citește dintr-o singură limită: ea se construiește, cu două limite calculate în ordine fixă, panta întâi și ordonata la origine după. Lecția îți dă algoritmul, îți arată scurtătura care merge la funcțiile raționale — împărțirea cu rest — și, la fel de important, îți arată cele trei situații în care asimptota oblică pur și simplu nu există, ca să nu pierzi minute căutând o dreaptă care nu e acolo.

Ce vei învăța

Vei ști să spui ce este asimptota oblică și de ce panta ei trebuie să fie un număr nenul.
Vei ști să calculezi panta $m$ și ordonata $n$ , în această ordine, cu cele două limite ale algoritmului.
Vei ști să obții aceeași dreaptă mult mai repede, prin împărțirea cu rest, la funcțiile raționale cu numărătorul de grad $2$ și numitorul de grad $1$ .
Vei ști să recunoști din prima cele trei situații fără asimptotă oblică: pantă infinită, pantă nulă și ordonată infinită.
Vei ști să citești dintr-un tabel apropierea graficului de o dreaptă înclinată, calculând diferențele.
Vei ști să traduci panta în limbajul unei probleme aplicate: ritmul spre care se îndreaptă o creștere sau ritmul cu care urcă un cost mediu la producții mari.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este asimptota oblică?

Revenim la cultura de alge. Masa ei, în grame, după $t$ zile, se potrivește cu legea $m (t) = \frac{2 t ^{2} + 5 t}{t + 1}$ , valabilă pe primele două săptămâni de măsurători:

$t$ (zile)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$m (t)$ (g)	$0$	$3, 5$	$6$	$8, 25$	$10, 4$
$2 t + 3$	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$

A doua linie a tabelului pare scoasă din pălărie, dar apropierea o justifică: dreapta stă deasupra curbei cu $3$ ; $1, 5$ ; $1$ ; $0, 75$ ; $0, 6$ . Distanțele acestea se micșorează, iar la ziua a noua ar fi doar $0, 3$ . Graficul masei se apropie tot mai mult de dreapta de ecuație $y = 2 t + 3$ , rămânând sub ea.

Asimptota oblică este o dreaptă înclinată, de ecuație $y = m x + n$ , cu panta $m$ un număr real nenul, pe care graficul o urmărește tot mai fidel spre un capăt al axei: condiția riguroasă e ca diferența $f (x) - m x - n$ să se stingă, adică să tindă la zero, când $x \to + \infty$ (respectiv $x \to - \infty$ , pentru capătul celălalt).

De ce se cere panta nenulă? Pentru că, la $m = 0$ , ecuația ar deveni $y = n$ și am vorbi de fapt despre dreapta orizontală din lecția trecută. Numele sunt împărțite între ele, iar un capăt al axei nu poate avea două asimptote deodată: ori graficul se așază la o înălțime fixă, ori urcă (sau coboară) de-a lungul unei pante.

Pentru modelul algelor, diferența se calculează exact: $m (t) - (2 t + 3) = - \frac{3}{t + 1}$ , care tinde la zero. Traducerea biologică a pantei este directă: după perioada de început, cultura câștigă aproximativ $2$ grame pe zi.

2. Cum se calculează panta și ordonata?

Algoritmul are doi pași, în ordine obligatorie. Pentru capătul $+ \infty$ :

$m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}, n = x \to + \infty lim (f (x) - m x) .$

Dacă $m$ este finită și nenulă, iar apoi $n$ este finită, dreapta $y = m x + n$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ . Dacă vreuna dintre condiții cade, asimptotă oblică spre acel capăt nu există. Pentru capătul $- \infty$ se repetă aceleași două limite, cu $x \to - \infty$ .

Ordinea nu e o preferință de stil: expresia din a doua limită îl conține pe $m$ , deci $n$ nu poate fi scris înainte ca panta să fie cunoscută. În plus, primul pas lucrează ca un filtru — dacă panta iese infinită sau nulă, studiul se oprește acolo, iar răspunsul este „nu există asimptotă oblică".

Un exemplu, pas cu pas, pentru $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 3}$ :

$m = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x ( x - 3 )} = 1, n = x \to + \infty lim (\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 3} - x) = x \to + \infty lim \frac{5 x - 3}{x - 3} = 5.$

La pasul al doilea, scăderea s-a făcut sub aceeași linie de fracție: $x^{2} + 2 x - 3 - x (x - 3) = 5 x - 3$ . Fără acest calcul ai rămâne cu o nedeterminare de tipul $\infty - \infty$ , imposibil de citit. Ambele limite sunt finite, iar $m \neq = 0$ , deci dreapta $y = x + 5$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ ; aceleași calcule la $- \infty$ dau aceeași dreaptă.

3. Cum se obține mai repede, prin împărțire cu rest?

La funcțiile raționale, algoritmul are o scurtătură care economisește jumătate din timpul de lucru. Împarți numărătorul la numitor, folosind teorema împărțirii cu rest de la împărțirea polinoamelor, și rescrii funcția sub forma „cât plus rest supra numitor". Pentru funcția de mai sus, $x^{2} + 2 x - 3 = (x - 3) (x + 5) + 12$ , deci

$f (x) = x + 5 + \frac{12}{x - 3} .$

Fracția rămasă tinde la zero la ambele capete, deci diferența $f (x) - (x + 5)$ tinde la zero: câtul împărțirii este chiar ecuația asimptotei oblice. Regula de recunoaștere se citește pe grade: o funcție rațională are asimptotă oblică exact când gradul numărătorului este cu unu mai mare decât gradul numitorului — la profilul științe ale naturii, un numărător de gradul al doilea peste un numitor de gradul întâi.

Scrierea aceasta spune și de care parte a dreptei stă graficul. Pentru $x > 3$ fracția $\frac{12}{x - 3}$ este pozitivă, deci graficul merge pe deasupra asimptotei; pentru $x < 3$ este negativă, deci pe dedesubt. La modelul algelor, restul era $- 3$ , negativ, și de aceea curba rămâne sub dreaptă tot timpul.

4. Când nu există asimptotă oblică?

Trei situații, pe care le recunoști înainte de a începe calculul.

Panta iese infinită. Așa se întâmplă la funcțiile polinomiale de gradul al doilea: pentru $f (x) = 3 x^{2} - x$ , raportul $\frac{f ( x )}{x} = 3 x - 1$ crește nemărginit. Graficul urcă mult prea repede ca să urmărească o dreaptă.

Panta iese nulă. Pentru $f (x) = x$ , raportul $\frac{x}{x} = \frac{1}{x}$ tinde la zero. Funcția crește nemărginit, dar din ce în ce mai lent, deci nu are nici asimptotă orizontală, nici oblică — creșterea ei nu seamănă cu nicio dreaptă.

Există deja o asimptotă orizontală. Dacă limita funcției la un capăt este finită, graficul se așază pe o dreaptă orizontală și nu mai are cum să urmeze una înclinată. Pentru $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ limita este $3$ , deci acolo se termină discuția: asimptota este $y = 3$ , orizontală, iar de căutat o pantă nu mai are rost.

De aceea, la un exercițiu care cere „toate asimptotele", ordinea de lucru rentabilă este: domeniul, apoi limitele la capete. Limită finită înseamnă asimptotă orizontală; limită infinită înseamnă că merită calculată panta.

5. Cum se citește apropierea de o dreaptă înclinată?

Nu din valorile funcției, care cresc nemărginit și nu seamănă cu nimic, ci din diferențe. Dacă bănuiești dreapta $y = m x + n$ , calculezi $f (x) - m x - n$ pentru valori din ce în ce mai mari ale lui $x$ și urmărești dacă rezultatele se sting. Într-un tabel al modelului de la începutul lecției, diferențele $- 3$ ; $- 1, 5$ ; $- 1$ ; $- 0, 75$ ; $- 0, 6$ scad în valoare absolută și confirmă bănuiala.

Pe un grafic trasat cu o aplicație digitală, semnul e altul: mărești fereastra de vizualizare, de la $[- 10, 10]$ la $[- 200, 200]$ , și curba devine tot mai greu de deosebit de dreaptă. Amândouă sunt indicii, nu justificări — la examen, dreapta se obține din cele două limite sau din împărțirea cu rest.

6. Cum se redactează răspunsul?

În patru rânduri, exact în ordinea în care se construiește: limita care dă panta, cu valoarea ei; limita care dă ordonata, cu valoarea ei; ecuația dreptei; capătul spre care este asimptotă. „Dreapta $y = x + 5$ este asimptotă oblică la graficul funcției $f$ , spre $- \infty$ și spre $+ \infty$ " este un răspuns complet.

Două formulări de evitat: „asimptota funcției" (asimptota este a graficului, nu a funcției) și „asimptota este $x + 5$ " (o asimptotă este o dreaptă, deci se scrie ca ecuație, $y = x + 5$ ). Când ai folosit împărțirea cu rest, scrie și egalitatea $f (x) = x + 5 + \frac{12}{x - 3}$ : ea justifică singură răspunsul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Modelul unei creșteri, citit din tabel

Masa unei culturi de alge, în grame, după $t$ zile, este $m (t) = \frac{2 t ^{2} + 5 t}{t + 1}$ , $t \geq 0$ . a) Arătați că $m (t) = 2 t + 3 - \frac{3}{t + 1}$ . b) Determinați dreapta de care se apropie graficul și interpretați panta ei.

Rezolvare. a) Împărțim cu rest: $2 t^{2} + 5 t = (t + 1) (2 t + 3) - 3$ , deoarece $(t + 1) (2 t + 3) = 2 t^{2} + 5 t + 3$ . Împărțind la $t + 1$ se obține scrierea cerută.

b) Fracția $\frac{3}{t + 1}$ tinde la zero, deci $m (t) - (2 t + 3) \to 0$ : dreapta $y = 2 t + 3$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ . Panta $2$ se citește în unitățile problemei — grame pe zi —, deci cultura ajunge să câștige aproximativ $2$ grame în fiecare zi. Diferența fiind negativă, masa măsurată rămâne mereu puțin sub valoarea citită pe dreaptă.

Exemplul 2 — Cu cele două limite

Determinați asimptota oblică a graficului funcției $f (x) = \frac{2 x ^{2} + x + 1}{x - 1}$ .

Rezolvare. Panta: $m = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + x + 1}{x ( x - 1 )} = 2$ , număr finit și nenul, deci trecem la pasul al doilea.

Ordonata: aducem la același numitor înainte de a lua limita:

$f (x) - 2 x = \frac{2 x ^{2} + x + 1 - 2 x ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{3 x + 1}{x - 1} ⟶ 3.$

Ambele limite sunt finite, deci dreapta $y = 2 x + 3$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ . Calculele la $- \infty$ sunt identice și dau aceeași dreaptă.

Exemplul 3 — Aceeași funcție, prin împărțire cu rest

Regăsiți rezultatul Exemplului 2 folosind împărțirea cu rest și stabiliți poziția graficului față de asimptotă.

Rezolvare. Împărțim $2 x^{2} + x + 1$ la $x - 1$ : câtul este $2 x + 3$ , iar restul $4$ , pentru că $(x - 1) (2 x + 3) = 2 x^{2} + x - 3$ . Prin urmare

$f (x) = 2 x + 3 + \frac{4}{x - 1} .$

Câtul dă direct ecuația asimptotei, $y = 2 x + 3$ , ca în Exemplul 2, dar cu un singur calcul în loc de două limite. În plus, semnul restului spune poziția: pentru $x > 1$ fracția este pozitivă și graficul stă deasupra dreptei, iar pentru $x < 1$ este negativă și graficul stă dedesubt.

Exemplul 4 — Trei funcții fără asimptotă oblică

Arătați că niciuna dintre funcțiile $f (x) = 7 x^{2} - 3 x$ , $g : [- 4, + \infty) \to R$ , $g (x) = 5 x + 4$ , și $h (x) = \frac{5 x + 2}{2 x - 1}$ nu are asimptotă oblică spre $+ \infty$ .

Rezolvare. Pentru $f$ : $\frac{f ( x )}{x} = 7 x - 3 \to + \infty$ , deci panta nu este un număr real și studiul se oprește.

Pentru $g$ : $\frac{5 x + 4}{x} = 5 \frac{1}{x} + \frac{4}{x ^{2}} \to 0$ , deci panta este nulă. Cum $5 x + 4 \to + \infty$ , graficul nu are nici asimptotă orizontală: spre $+ \infty$ nu există nicio dreaptă pe care să se așeze.

Pentru $h$ : gradele sunt egale, deci $x \to + \infty lim h (x) = \frac{5}{2}$ . Există asimptotă orizontală, $y = \frac{5}{2}$ , iar cele două feluri se exclud reciproc spre același capăt.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Pentru $f (x) = \frac{x ^{2} - 5}{2 x + 1}$ am obținut $m = \frac{1}{2}$ , deci asimptota oblică este $y = \frac{x}{2}$ . Pentru $g (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}$ am obținut $m = x \to + \infty lim \frac{g ( x )}{x} = 0$ , deci asimptota oblică este $y = 0$ ." Corectați ambele afirmații.

Rezolvare. La prima funcție, panta este într-adevăr $\frac{1}{2}$ , dar calculul s-a oprit la jumătate: mai trebuie ordonata la origine, iar ea se obține din a doua limită, cu scăderea făcută sub aceeași linie de fracție:

$f (x) - \frac{x}{2} = \frac{2 ( x ^{2} - 5 ) - x ( 2 x + 1 )}{2 ( 2 x + 1 )} = \frac{- x - 10}{4 x + 2} ⟶ - \frac{1}{4} .$

Răspunsul corect este $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$ : o dreaptă paralelă cu cea scrisă de elev, dar coborâtă cu un sfert de unitate. Aici împărțirea cu rest ar da coeficienți fracționari, deci metoda celor două limite este cea comodă.

La a doua funcție, greșeala e de nume. O pantă nulă exclude asimptota oblică, nu o produce; iar dreapta $y = 0$ este orizontală, nu înclinată. Aici gradele numărătorului și numitorului sunt egale, deci $x \to + \infty lim g (x) = 1$ și graficul are asimptota orizontală $y = 1$ . Concluzia corectă: graficul lui $g$ nu are asimptotă oblică.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R ∖ {1} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + x + 2}{x - 1}$ . a) Arătați că $f (x) = x + 2 + \frac{4}{x - 1}$ , pentru orice $x \in R ∖ {1}$ . b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$ spre $+ \infty$ . c) Arătați că $f (x) > x + 2$ , pentru orice $x > 1$ .

Rezolvare.

a) Aducem membrul drept la același numitor: $x + 2 + \frac{4}{x - 1} = \frac{( x + 2 ) ( x - 1 ) + 4}{x - 1} = \frac{x ^{2} + x + 2}{x - 1} = f (x)$ .

b) Din scrierea de la a), $f (x) - (x + 2) = \frac{4}{x - 1} \to 0$ când $x \to + \infty$ , deci dreapta $y = x + 2$ este asimptotă oblică. (Cu algoritmul: $m = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + x + 2}{x ( x - 1 )} = 1$ și $n = x \to + \infty lim \frac{2 x + 2}{x - 1} = 2$ , aceleași valori.)

c) Pentru $x > 1$ avem $x - 1 > 0$ , deci $\frac{4}{x - 1} > 0$ și, din egalitatea de la a), $f (x) > x + 2$ .

De la examen la lecție. Cerința a) nu este o formalitate: scrierea pe care o obții acolo rezolvă și punctul b), și punctul c), fără niciun calcul nou. În modelul oficial al probei M_șt-nat, fiecare problemă a Subiectului al III-lea are trei subpuncte de câte cinci puncte; aici, primul dintre ele le poartă pe celelalte două.

Să exersăm

Ordinea de lucru: gradele (sau limita la capăt), apoi panta, apoi ordonata — sau, la funcțiile raționale, direct împărțirea cu rest.

1. Determină asimptota oblică a graficului funcției $f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$ , folosind împărțirea cu rest.

2. Determină asimptota oblică a graficului funcției $f (x) = \frac{3 x ^{2} - 2 x + 4}{x - 2}$ .

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ , atunci graficul funcției $f$ poate avea asimptotă oblică spre $+ \infty$ ."

4. Arată că graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x^{2} + 4 x$ , nu are asimptotă oblică spre $+ \infty$ .

5. Arată că graficul funcției $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 5 x + 4$ , nu are asimptotă oblică spre $+ \infty$ , deși valorile funcției cresc nemărginit.

6. Determină asimptota oblică a graficului funcției $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x + 1}$ și precizează restul împărțirii.

7. (Problemă aplicată.) Costul mediu pe bucată, în lei, la o producție de $q$ bucăți, este $A (q) = \frac{4 q ^{2} + 30 q + 120}{q}$ , $q > 0$ . Determină dreapta de care se apropie graficul costului mediu și explică ce reprezintă panta ei.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă graficul funcției $f$ are asimptota oblică $y = 2 x + 3$ spre $+ \infty$ , atunci $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ ."

9. Determină toate asimptotele graficului funcției $f (x) = \frac{2 x ^{2} - 3}{x + 2}$ .

10. Determină numărul real $a$ pentru care graficul funcției $f (x) = \frac{a x ^{2} + x + 3}{x + 1}$ are asimptotă oblică de pantă $2$ , apoi scrie ecuația acelei asimptote.

11. Pentru o funcție $f$ s-au calculat diferențele $f (10) - 28 = 0, 2$ , $f (100) - 298 = 0, 02$ și $f (1000) - 2998 = 0, 002$ . Ce dreaptă bănuiești și cum o confirmi, știind că $f (x) = \frac{3 x ^{2} - 2 x + 2}{x}$ ?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R ∖ {2} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 2}$ . Arată că $f (x) = x + 2 + \frac{7}{x - 2}$ și scrie ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R ∖ {- 3} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + x}{x + 3}$ . Determină ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 8}{x}$ . Determină ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$ .

15. Determină toate asimptotele graficului funcției $f (x) = \frac{x ^{2} - 2 x + 5}{x - 3}$ .

16. Pentru funcția de la exercițiul 1, arată că graficul se află sub asimptota oblică pentru orice $x > - 2$ .

17. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care dreapta $y = x - 3$ este asimptotă oblică la graficul funcției $f (x) = \frac{x ^{2} + a x + b}{x + 1}$ , știind că graficul trece prin punctul $A (0, - 4)$ .

18. (Provocare.) Se consideră funcția $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x + m}{x - 1}$ , unde $m$ este un număr real. Arată că dreapta $y = x + 3$ este asimptotă oblică la graficul funcției, oricare ar fi $m$ , apoi determină valoarea lui $m$ pentru care dreapta $x = 1$ nu este asimptotă verticală și explică ce se întâmplă atunci cu graficul.

Răspunsuri și explicații

1. $x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2)^{2} - 3$ , deci $f (x) = x + 2 - \frac{3}{x + 2}$ și asimptota oblică este $y = x + 2$ , spre ambele capete.

2. $3 x^{2} - 2 x + 4 = (x - 2) (3 x + 4) + 12$ , deci $f (x) = 3 x + 4 + \frac{12}{x - 2}$ și asimptota oblică este $y = 3 x + 4$ .

3. Fals. Definiția cere $m \neq = 0$ . O pantă nulă înseamnă că graficul crește mai încet decât orice dreaptă înclinată; atunci fie există asimptotă orizontală, fie nu există niciuna, ca la funcția radical.

4. $\frac{f ( x )}{x} = \frac{5 x ^{2} + 4 x}{x} = 5 x + 4$ , iar limita acestei expresii la $+ \infty$ este $+ \infty$ . Panta nefiind un număr real, asimptota oblică nu există.

5. Pentru $x > 0$ avem $\frac{5 x + 4}{x} = \frac{5 x + 4}{x ^{2}} = \frac{5}{x} + \frac{4}{x ^{2}} \to 0$ , deci $m = 0$ și condiția $m \neq = 0$ nu este îndeplinită. Creșterea nemărginită nu garantează o dreaptă: și sub radical expresia crește liniar, dar rădăcina ei crește din ce în ce mai încet.

6. $x^{2} - 9 = (x + 1) (x - 1) - 8$ , deci $f (x) = x - 1 - \frac{8}{x + 1}$ : asimptota oblică este $y = x - 1$ , iar restul împărțirii este $- 8$ .

7. $A (q) = 4 q + 30 + \frac{120}{q}$ , deci dreapta $y = 4 q + 30$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ : la producții mari, cheltuiala fixă de $120$ de lei se împrăștie pe tot mai multe bucăți, iar graficul costului mediu se lipește de dreaptă. Panta $4$ se citește în lei pe bucată și arată cu cât urcă media la fiecare bucată în plus, atunci când producția e mare: de la $100$ la $200$ de bucăți, costul mediu crește de la $431, 2$ la $830, 6$ lei, adică, în medie, cu $3, 994$ lei pe fiecare bucată adăugată. Ea nu este cât costă bucata următoare: costul total al celor $q$ bucăți este $C (q) = q \cdot A (q) = 4 q^{2} + 30 q + 120$ , iar bucata a $(q + 1)$ -a costă $C (q + 1) - C (q) = 8 q + 34$ lei — $74$ de lei la o producție de $5$ bucăți și $434$ de lei la o producție de $50$ de bucăți.

8. Adevărat. Din definiție, $f (x) = 2 x + 3 + ε (x)$ , unde $ε (x) \to 0$ . Cum $2 x + 3 \to + \infty$ , suma tinde tot la $+ \infty$ .

9. $D = R ∖ {- 2}$ . Numărătorul tinde în $- 2$ la $5 \neq = 0$ , deci $x = - 2$ este asimptotă verticală bilaterală. Din $2 x^{2} - 3 = (x + 2) (2 x - 4) + 5$ rezultă $f (x) = 2 x - 4 + \frac{5}{x + 2}$ , deci $y = 2 x - 4$ este asimptotă oblică spre ambele capete.

10. Panta este $m = x \to + \infty lim \frac{a x ^{2} + x + 3}{x ( x + 1 )} = a$ , deci $a = 2$ . Atunci $2 x^{2} + x + 3 = (x + 1) (2 x - 1) + 4$ , adică $f (x) = 2 x - 1 + \frac{4}{x + 1}$ , iar asimptota oblică este $y = 2 x - 1$ .

11. Valorile scăzute sunt $3 \cdot 10 - 2 = 28$ , $3 \cdot 100 - 2 = 298$ și $3 \cdot 1000 - 2 = 2998$ , deci se bănuiește dreapta $y = 3 x - 2$ , iar diferențele se împart la $10$ la fiecare pas. Confirmarea: $f (x) = 3 x - 2 + \frac{2}{x}$ , iar $\frac{2}{x} \to 0$ .

12. $(x + 2) (x - 2) + 7 = x^{2} - 4 + 7 = x^{2} + 3$ , deci împărțind la $x - 2$ se obține scrierea cerută. Fracția $\frac{7}{x - 2}$ tinde la zero, deci asimptota oblică este $y = x + 2$ .

13. $x^{2} + x = (x + 3) (x - 2) + 6$ , deci $f (x) = x - 2 + \frac{6}{x + 3}$ și asimptota oblică este $y = x - 2$ .

14. $f (x) = x + 4 + \frac{8}{x}$ , deci asimptota oblică este $y = x + 4$ , spre $- \infty$ și spre $+ \infty$ .

15. $D = R ∖ {3}$ , iar numărătorul tinde în $3$ la $8 \neq = 0$ : $x = 3$ este asimptotă verticală bilaterală. Din $x^{2} - 2 x + 5 = (x - 3) (x + 1) + 8$ rezultă $f (x) = x + 1 + \frac{8}{x - 3}$ , deci asimptota oblică este $y = x + 1$ .

16. Din răspunsul 1, $f (x) - (x + 2) = - \frac{3}{x + 2}$ . Pentru $x > - 2$ numitorul este pozitiv, deci diferența este negativă: graficul rămâne sub asimptotă.

17. Din $f (0) = b$ și condiția $f (0) = - 4$ rezultă $b = - 4$ . Împărțind $x^{2} + a x - 4$ la $x + 1$ , câtul este $x + (a - 1)$ ; pentru a obține $x - 3$ trebuie $a = - 2$ . Verificare: $x^{2} - 2 x - 4 = (x + 1) (x - 3) - 1$ , deci $f (x) = x - 3 - \frac{1}{x + 1}$ , cu asimptota oblică $y = x - 3$ .

18. Din $x^{2} + 2 x + m = (x - 1) (x + 3) + (m + 3)$ rezultă $f (x) = x + 3 + \frac{m + 3}{x - 1}$ ; fracția tinde la zero indiferent de $m$ , deci $y = x + 3$ este asimptotă oblică în toate cazurile. Dreapta $x = 1$ nu este asimptotă verticală doar când restul se anulează, adică pentru $m = - 3$ : atunci $x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)$ , fracția se simplifică, iar graficul devine dreapta $y = x + 3$ din care lipsește punctul de abscisă $1$ .

De reținut

Asimptota oblică spre un capăt este dreapta $y = m x + n$ cu $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ finită și nenulă și $n = lim (f (x) - m x)$ finită, limitele fiind luate spre acel capăt.
Ordinea este obligatorie: mai întâi panta, apoi ordonata, pentru că a doua limită îl folosește pe $m$ . La calculul lui $n$ , scăderea se face sub aceeași linie de fracție, altfel apare nedeterminarea $\infty - \infty$ .
La o funcție rațională, dreapta înclinată apare exact în cazul „numărător cu un grad peste numitor", iar ecuația ei este câtul împărțirii cu rest — la M2, un numărător de gradul al doilea peste un numitor de gradul întâi.
Trei situații închid discuția: pantă infinită (funcția crește prea repede), pantă nulă (crește prea încet) și limită finită la capăt (există deja asimptotă orizontală).
Semnul restului arată poziția graficului față de dreaptă, iar panta se citește în unitățile problemei: grame pe zi, lei pe bucată, metri pe secundă.

Greșeli frecvente

Te oprești după pantă. „ $m = 2$ , deci asimptota este $y = 2 x$ " este un răspuns pe jumătate: fără ordonata la origine ai altă dreaptă, paralelă cu cea adevărată. Algoritmul are doi pași, iar amândoi se scriu.
Calculezi $n$ fără să aduci la același numitor. Scrisă ca diferență de două expresii care cresc nemărginit, limita pare $\infty - \infty$ și pare că „nu se poate calcula". Adu totul sub aceeași linie de fracție și nedeterminarea dispare.
Confunzi restul cu ordonata la origine. În $f (x) = 2 x + 3 + \frac{4}{x - 1}$ , asimptota este $y = 2 x + 3$ ; numărul $4$ este restul împărțirii și spune doar de care parte a dreptei stă graficul.
Împarți polinoamele fără probă. O greșeală la împărțire strică toată dreapta. Proba durează zece secunde: numitorul înmulțit cu câtul, plus restul, trebuie să dea exact numărătorul.
Crezi că orice funcție care crește nemărginit urmărește o dreaptă. Funcția $3 x^{2} - x$ crește mult prea repede, iar $x$ mult prea încet; niciuna nu are asimptotă la capete, deși amândouă tind la $+ \infty$ .

Aplică acasă

Două ferestre pe ecran. Într-o aplicație de grafice, trasează funcția $f (x) = \frac{2 x ^{2} + x + 1}{x - 1}$ și dreapta $y = 2 x + 3$ . Privește-le întâi pe intervalul $[- 10, 10]$ , apoi pe $[- 200, 200]$ . Notează de la ce mărime a ferestrei nu le mai poți deosebi cu ochiul și explică observația cu ajutorul restului împărțirii.
Fabrica de asimptote. Pornește invers: alege întâi dreapta, de pildă $y = 3 x - 2$ , apoi un numitor, de pildă $x + 4$ , și un rest, de pildă $5$ . Scrie $f (x) = 3 x - 2 + \frac{5}{x + 4}$ și adu totul la același numitor: ai construit o funcție rațională a cărei asimptotă oblică o cunoșteai dinainte. Dă unui coleg numai forma de fracție și cere-i panta și ordonata; verificați împreună, prin împărțire cu rest. Repetă cu o dreaptă cu panta negativă.
Cu cât greșești dacă folosești dreapta? Pentru funcția $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 3}$ calculează, cu un calculator de buzunar, valorile exacte în $x = 4$ , $10$ , $50$ și $200$ , apoi valorile citite pe dreapta $y = x + 5$ în aceleași puncte. Scrie de fiecare dată eroarea ca procent din valoarea exactă și spune la care dintre cele patru valori ale lui $x$ ea coboară sub o zecime de procent.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.2 „Limite de funcții și continuitate", prin conținutul „Calculul limitelor: limitele funcțiilor studiate; studiul algebric și grafic al asimptotelor". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă (OMEN 4430/2014) cere explicit „Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice"; conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea. În modelul oficial al probei M_șt-nat, prima problemă a Subiectului al III-lea cere o derivată, o limită și o inegalitate, fără cerință despre asimptote — lecția pregătește pentru ce cere programa de examen, nu promite o cerință anume. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Ce verifică lecția: (1) enunțul definiției cu condiția ca panta să fie nenulă; (2) aplicarea algoritmului în ordinea corectă; (3) aducerea la același numitor la a doua limită; (4) împărțirea cu rest, cu probă; (5) recunoașterea celor trei situații în care dreapta nu există; (6) redactarea răspunsului ca ecuație de dreaptă, cu capetele precizate.

Întrebări de control: „De ce nu poți scrie ordonata înaintea pantei?"; „Ce se întâmplă când panta iese zero?"; „Ce grade au numărătorul și numitorul într-un caz cu dreaptă înclinată?"; „Ce citești din semnul restului?". Semne că elevul a înțeles: pornește de la limita funcției la capăt și abia apoi trece la pantă; scrie negru pe alb că panta e diferită de zero; face proba împărțirii înainte de a formula răspunsul.

Dificultatea tipică nu stă în formule, ci în verificările dintre pași, pe care elevii le omit chiar când rețin perfect cele două limite. Exercițiile 3, 5 și 10 sunt construite pe aceste omisiuni și merită reluate la un interval de câteva zile. Continuarea firească pe traseul de științe ale naturii este continuitatea unei funcții, iar versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții tratează aceeași dreaptă în clasa a XII-a, cu o listă mai largă de funcții.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă la M2 față de mate-info (M1) la asimptota oblică? Anul și lista de funcții. La științe ale naturii asimptota oblică se studiază în clasa a XI-a, imediat după limite, în special pe funcții raționale cu numărătorul de gradul al doilea și numitorul de gradul întâi. La mate-info ea apare în clasa a XII-a, ca pas al reprezentării grafice complete, și se aplică și funcțiilor cu radicali sau cu exponențiale, unde cele două capete pot da drepte diferite.

La ce subiect apare asimptota oblică la bacalaureatul M2? Ea face parte din conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a, care se dă la Subiectul al III-lea al probei M_șt-nat. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cere asimptotele verticale, orizontale și oblice ale funcțiilor studiate. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial de subiect.

Ce fac dacă panta îmi iese zero? Te oprești: asimptotă oblică nu există, pentru că definiția cere $m \neq = 0$ . Calculezi în schimb limita funcției la acel capăt. Dacă iese finită, graficul are asimptotă orizontală; dacă iese infinită, ca la funcția radical, graficul nu se apropie de nicio dreaptă spre acel capăt.

Împărțirea cu rest sau cele două limite — ce metodă aleg? La funcțiile raționale, împărțirea cu rest este mai rapidă și dă, în plus, poziția graficului față de dreaptă. Cele două limite rămân metoda generală, singura care funcționează la funcții care nu sunt fracții de polinoame. La examen sunt acceptate amândouă, cu condiția ca pașii să fie scriși.

Ce înseamnă panta asimptotei oblice într-o problemă aplicată? Ritmul spre care se îndreaptă procesul, exprimat în unitățile problemei: grame pe zi la o cultură care crește, lei pe bucată la un cost mediu, metri pe secundă la o deplasare. Ordonata la origine arată decalajul constant față de acest ritm, iar restul împărțirii arată dacă valorile reale rămân deasupra sau sub dreaptă.

Poate o funcție să nu aibă nicio asimptotă spre $+ \infty$ ? Da, și se întâmplă des. Funcțiile polinomiale de gradul al doilea cresc prea repede pentru orice dreaptă, iar funcția radical crește prea încet ca să aibă pantă. În ambele cazuri, răspunsul corect la examen este „graficul nu are asimptotă spre $+ \infty$ ", însoțit de limita care o dovedește.

Cum scriu răspunsul ca să iau punctajul întreg? Cu toți pașii pe hârtie: limita care dă panta și valoarea ei, limita care dă ordonata și valoarea ei, apoi ecuația dreptei și capătul. Dacă ai lucrat cu împărțirea, scrie egalitatea obținută, de forma „cât plus rest supra numitor". Un răspuns care conține doar dreapta, fără calcule, primește foarte puține puncte.