Se consideră funcția $$f:\mathbb{R}\setminus\{-9\}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{4x+7}{x+9}$$. Care afirmație este completă și corectă?

$$x=-9$$ este asimptotă verticală bilaterală, cu $$l_s=+\infty$$ și $$l_d=-\infty$$

$$x=-9$$ este asimptotă verticală bilaterală, cu $$l_s=-\infty$$ și $$l_d=+\infty$$

$$y=-9$$ este asimptotă verticală bilaterală

$$x=-9$$ nu este asimptotă, fiindcă numărătorul nu se anulează acolo

Determină asimptotele graficului funcției $$f:(11,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\log_4(x-11)$$.

$$x=11$$ asimptotă verticală la dreapta; nu există asimptotă orizontală

$$x=11$$ asimptotă verticală bilaterală și $$y=0$$ asimptotă orizontală

$$y=11$$ asimptotă orizontală

graficul nu are nicio asimptotă, fiindcă logaritmul crește nemărginit

Unde caut asimptotele verticale?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Asimptote

Le cauți în punctele finite care lipsesc din domeniu sau în capetele finite deschise ale lui. În fiecare astfel de punct calculezi limitele laterale; dacă măcar una este $+ \infty$ sau $- \infty$ , dreapta $x = a$ este asimptotă verticală. De exemplu, $f (x) = \frac{x + 1}{x ^{2} - 9}$ are candidații $3$ și $- 3$ ; în ambele numărătorul tinde la un număr nenul, iar numitorul la $0$ , deci $x = 3$ și $x = - 3$ sunt asimptote verticale.

O dreaptă merită numele de asimptotă dacă graficul ajunge oricât de aproape de ea, până sub orice abatere ai cere. Cea verticală poartă ecuația $x = a$ și se hotărăște prin laterale într-un punct finit; cea orizontală poartă ecuația $y = ℓ$ , cu $ℓ$ număr, și se hotărăște prin limita spre un capăt. Capetele se tratează pe rând, iar răspunsurile lor pot să nu semene.

Pașii nu se schimbă. Mai întâi domeniul, desfăcut în intervale: el dă lista valorilor de cercetat, adică marginile finite care îi lipsesc și locurile unde expresia își pierde sensul. Apoi, pentru fiecare valoare din listă, cele două laterale, cu semnul luat separat de o parte și de alta; una singură infinită ajunge. La urmă, cele două capete ale axei. Pentru un raport de polinoame, dreapta orizontală se citește pe grade: mai mic sus dă $y = 0$ , grade la fel dau raportul coeficienților conducători, mai mare sus nu dă nimic orizontal.

Capcana. O valoare lipsă din domeniu e doar propunere: dacă fracția se reduce și limita iese finită, ai o gaură, nu o dreaptă — se reduce întâi, se hotărăște după. Iar răspunsul se dă ca ecuație, cu felul dreptei spus.

De reținut

asimptotă verticală $x = a$ : cel puțin o limită laterală în $a$ este $\pm \infty$
candidații sunt punctele finite excluse din domeniu și capetele finite deschise
asimptotă orizontală $y = ℓ$ : limita la $+ \infty$ sau la $- \infty$ este numărul $ℓ$

Greșeala tipică

Se declară asimptotă verticală orice punct în care numitorul se anulează; dacă și numărătorul se anulează acolo, după simplificare limita poate fi finită, iar atunci nu există asimptotă.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f (x) = \frac{26 x - 5}{2 x + 11}$ . Care este ecuația asimptotei orizontale la graficul ei?
- a) $x = 13$
- b) $y = - \frac{5}{11}$
- c) $y = 13$
- d) $y = \frac{2}{26}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = 13$

Gradele sunt egale, deci limita la amândouă capetele este raportul coeficienților dominanți, $\frac{26}{2} = 13$ , iar dreapta are ecuația $y = 13$ . Varianta a) scrie ecuația pe axa greșită: $x = 13$ descrie o dreaptă verticală. Varianta b) împarte termenii liberi, iar d) inversează raportul.
Se consideră funcția $f : R ∖ {- 9} \to R$ , $f (x) = \frac{4 x + 7}{x + 9}$ . Care afirmație este completă și corectă?
- a) $x = - 9$ este asimptotă verticală bilaterală, cu $l_{s} = - \infty$ și $l_{d} = + \infty$
- b) $y = - 9$ este asimptotă verticală bilaterală
- c) $x = - 9$ este asimptotă verticală bilaterală, cu $l_{s} = + \infty$ și $l_{d} = - \infty$
- d) $x = - 9$ nu este asimptotă, fiindcă numărătorul nu se anulează acolo
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = - 9$ este asimptotă verticală bilaterală, cu $l_{s} = + \infty$ și $l_{d} = - \infty$

Numărătorul tinde în $- 9$ la $- 36 + 7 = - 29$ , număr negativ, iar numitorul la zero. Pentru $x < - 9$ numitorul e negativ, deci raportul a două cantități negative este pozitiv și $l_{s} = + \infty$ ; pentru $x > - 9$ numitorul e pozitiv, deci $l_{d} = - \infty$ . Varianta a) uită semnul numărătorului și răstoarnă ordinea, b) scrie ecuația pe axa greșită, iar d) confundă condiția de asimptotă cu cea de gaură.
Determină asimptotele graficului funcției $f : (11, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{4} (x - 11)$ .
- a) $x = 11$ asimptotă verticală bilaterală și $y = 0$ asimptotă orizontală
- b) $y = 11$ asimptotă orizontală
- c) graficul nu are nicio asimptotă, fiindcă logaritmul crește nemărginit
- d) $x = 11$ asimptotă verticală la dreapta; nu există asimptotă orizontală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x = 11$ asimptotă verticală la dreapta; nu există asimptotă orizontală

Domeniul are un singur capăt finit, $11$ , și acela deschis. Când $x \to 11$ cu $x > 11$ , argumentul $x - 11$ tinde la zero prin valori pozitive, iar baza fiind supraunitară logaritmul scade nemărginit: limita este $- \infty$ , deci $x = 11$ este asimptotă verticală la dreapta. Spre $+ \infty$ logaritmul crește nemărginit, deci nu există asimptotă orizontală. Varianta a) cere o limită la stânga care nu are obiect, b) scrie ecuația pe axa greșită, iar c) uită capătul finit al domeniului.

Întrebări conexe

Cum aflu asimptota orizontală a unei funcții raționale?

Calculezi limita la $+ \infty$ și la $- \infty$ . Pentru $f (x) = \frac{6 x + 5}{2 x - 1}$ gradele sunt egale, deci limita este $\frac{6}{2} = 3$ la ambele capete, iar $y = 3$ este asimptotă orizontală spre ambele capete. Dacă limita ar fi infinită, nu ar exista asimptotă orizontală.

Poate o funcție să aibă asimptote orizontale diferite la cele două capete?

Da. Funcția $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ tinde la $1$ la $+ \infty$ și la $- 1$ la $- \infty$ , deci are asimptotele $y = 1$ spre dreapta și $y = - 1$ spre stânga. De aceea capetele se calculează separat.

Are funcția logaritm asimptotă verticală?

Da. Pentru $f (x) = lo g_{2} x$ , domeniul este $(0, + \infty)$ , iar limita la dreapta în $0$ este $- \infty$ . Dreapta $x = 0$ , adică axa $O y$ , este asimptotă verticală la dreapta; la stânga nu există valori ale funcției.

Are asimptotă verticală funcția $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 4}$ ?

Nu: numitorul $x^{2} + 4$ nu se anulează pe $R$ , deci domeniul nu are puncte excluse. Are în schimb asimptota orizontală $y = 1$ , fiindcă gradele sunt egale și coeficienții dominanți sunt ambii $1$ .

Ce asimptotă orizontală are funcția $5 + 3^{- x}$ ?

La $+ \infty$ , $3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ tinde la $0$ , deci funcția tinde la $5$ , iar $y = 5$ este asimptotă orizontală spre dreapta. La $- \infty$ , $3^{- x}$ crește nemărginit, deci spre stânga nu există asimptotă orizontală.

Oamenii mai întreabă și: cum aflu asimptotele verticale · asimptota verticală cum se determină · unde are o funcție asimptote verticale · candidați la asimptotă verticală