Asimptote verticale și orizontale (M2, științe ale naturii)

Lași o ceașcă de ceai fierbinte pe masă și, din zece în zece minute, îi măsori temperatura. Ceaiul se răcește repede la început, apoi tot mai încet, iar după o oră termometrul aproape că nu mai coboară: s-a oprit lângă temperatura camerei, fără să o atingă vreodată exact. Pe graficul măsurătorilor se ghicește o dreaptă orizontală de care curba se lipește tot mai mult. Dreapta aceea are un nume — asimptotă — și este subiectul lecției de față, la clasa a XI-a, profilul științe ale naturii (M2). Tema face parte din programa de bacalaureat M2 pentru sesiunile 2027–2029, unde conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea.

Lecția face două lucruri. Întâi, îți dă o unealtă de calcul: cu limitele din lecțiile anterioare afli ce drepte urmărește graficul unei funcții — cele verticale, în punctele în care funcția „explodează", și cele orizontale, la capetele axei. Apoi îți dă o unealtă de citire: dintr-un tabel de măsurători sau de pe un grafic trasat cu o aplicație recunoști aceleași drepte fără să ai formula funcției. La profilul științe ale naturii a doua unealtă cântărește cât prima, pentru că datele unui laborator vin ca măsurători, nu ca expresii algebrice.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce înseamnă că o dreaptă este asimptotă la graficul unei funcții și ce limită se calculează pentru fiecare fel de asimptotă.
• Vei ști să alcătuiești lista candidaților la asimptotă verticală, pornind de la domeniul de definiție, și să dai verdictul cu limitele laterale.
• Vei ști să determini asimptota orizontală la fiecare capăt al axei, separat, inclusiv la funcțiile exponențiale și logaritmice din programa de științe ale naturii.
• Vei ști să scrii răspunsul în forma lui corectă: ca ecuație de dreaptă, cu precizarea capătului sau a părții, nu ca simplă valoare a unei limite.
• Vei ști să citești asimptotele de pe un grafic sau dintr-un tabel de măsurători, fără să ai formula funcției — cerința pe care programa de științe o pune explicit.
• Vei ști să traduci rezultatul în limbajul problemei: o temperatură de echilibru, o viteză maximă de reacție, o mărime care crește nemărginit lângă o valoare critică.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, o asimptotă?

Temperatura ceaiului, în grade Celsius, după $t$ minute, se potrivește bine cu legea $T(t)=20+48\cdot 2^{-t/10}$, unde $20$ este temperatura camerei:

Diferența față de $20$ se înjumătățește la fiecare zece minute: $48$, apoi $24$, $12$, $6$, $3$. Nu ajunge niciodată la zero, dar se apropie oricât de mult — exact ce spune limita $\underset{t\to +\infty }{\lim }T(t)=20$. Pe grafic, curba se lipește de dreapta de ecuație $y=20$.

O asimptotă este o dreaptă de care graficul unei funcții se lipește tot mai strâns: distanța de la punctele graficului până la ea coboară sub orice prag, în timp ce punctul aleargă fie spre un capăt al axei, fie spre o valoare lângă care funcția crește ori scade nemărginit. Nu se cere ca graficul să ocolească dreapta; se cere doar ca depărtarea să devină neglijabilă.

Lecția de față are de-a face cu două feluri de asimptote. Cele verticale au ecuația $x=a$ și se caută în puncte finite, acolo unde funcția o ia razna. Cele orizontale au ecuația $y=\ell$ și se caută la capetele axei, spre $-\infty$ și spre $+\infty$. Un al treilea fel, asimptota oblică, apare când graficul urmărește o dreaptă înclinată; ea are propria ei lecție, imediat după aceasta.

2. Cum se recunoaște o asimptotă orizontală?

Definiția se citește direct din limită. Dreapta $y=\ell$, cu $\ell$ număr real, este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, și este asimptotă orizontală spre $-\infty$ dacă $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\ell$. Cele două capete se studiază separat, pentru că răspunsurile pot să difere; dacă limita iese infinită sau nu există, spre acel capăt nu există asimptotă orizontală. Condiția ușor de sărit: capătul trebuie să existe în domeniu — o funcție care trăiește numai pe $(0,+\infty )$ nu are ce căuta spre $-\infty$.

Limitele de care ai nevoie sunt cele deja calculate în lecțiile de până acum — ale funcțiilor raționale, exponențiale și logaritmice, iar când apare o diferență de expresii care cresc amândouă nemărginit, tehnica din lecția despre nedeterminarea infinit minus infinit.

La funcțiile raționale — raportul a două funcții polinomiale, cu grad cel mult $2$ la profilul științe ale naturii — răspunsul se citește pe grade. Dacă gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, limita este $0$ la ambele capete și asimptota este axa $Ox$, de ecuație $y=0$. Dacă gradele sunt egale, limita este raportul coeficienților termenilor dominanți. Dacă gradul numărătorului este mai mare, limita este infinită și asimptotă orizontală nu există.

La funcția exponențială povestea e asimetrică. Pentru $f(x)=5-2^x$, spre $-\infty$ puterea $2^x$ se stinge, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=5$ și dreapta $y=5$ este asimptotă orizontală numai spre acel capăt; spre $+\infty$ funcția coboară nemărginit. Cum $2^x>0$ oricare ar fi $x$, avem $f(x)<5$ peste tot: graficul rămâne sub asimptotă.

3. Unde se caută asimptotele verticale?

Aici se schimbă și locul, și limita. Dreapta $x=a$, cu $a$ număr real, este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ dacă măcar una dintre cele două limite laterale calculate în $a$ iese $+\infty$ ori $-\infty$. Infinită doar la stânga: asimptota e la stânga. Infinită doar la dreapta: asimptota e la dreapta. Infinite amândouă: asimptota e bilaterală, iar de dreaptă se lipesc două ramuri.

Candidații nu se caută la întâmplare. Ei se citesc din domeniu: fiecare capăt finit rămas în afara lui, plus valorile în care expresia își pierde sensul — la funcțiile din programa de științe ale naturii, zerourile numitorului și marginea domeniului unui logaritm. Într-un punct în care funcția se comportă normal, limita e chiar valoarea funcției, deci finită. De aceea prima linie a oricărei rezolvări e domeniul, scris ca reuniune de intervale.

Un model din fizică arată cât de concret e fenomenul. O lentilă convergentă cu distanța focală de $15$ cm formează, pentru un obiect aflat la $x$ centimetri de ea, o imagine la distanța $y(x)=\frac{15x}{x-15}$ centimetri, formulă venită din relația $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$, cu sens pentru $x>15$:

Cu cât apropii obiectul de focar, cu atât imaginea fuge mai departe: $\underset{\begin{array}{c}x\to 15\\ x>15\end{array}}{\lim }y(x)=+\infty$, fiindcă numărătorul tinde la $225$, iar numitorul la zero prin valori pozitive. Dreapta $x=15$ este asimptotă verticală la dreapta, iar traducerea ei fizică e că un obiect așezat exact în focar nu mai dă imagine. La celălalt capăt, $\underset{x\to +\infty }{\lim }y(x)=15$: obiectele îndepărtate își formează imaginea practic în planul focal, deci $y=15$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Semnul limitei laterale nu se ghicește, se citește din semnul numitorului pe fiecare parte. Când numitorul trece prin zero schimbându-și semnul, cele două limite laterale au semne contrare, iar graficul urcă de o parte a dreptei și coboară de cealaltă.

4. De ce nu orice punct lipsă din domeniu dă o asimptotă verticală?

Pentru că lipsa din domeniu face candidatul, iar limita dă verdictul. Funcția $f(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$ are domeniul $\mathbb{R}\setminus \{0,5\}$: doi candidați care se poartă complet diferit. Descompunerea arată de ce:

$$\frac{x^2-25}{x^2-5x}=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x},x\ne 0,x\ne 5.$$

În punctul $5$, expresia simplificată dă $\frac{10}{5}=2$: limita e finită, graficul are acolo doar o „gaură", iar $x=5$ nu este asimptotă. În punctul $0$, numărătorul tinde la $5$, iar numitorul la zero: limita la stânga este $-\infty$, cea la dreapta $+\infty$, deci $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală. Morala încape într-o propoziție: la o funcție rațională, simplifici întâi, decizi după. La capete, forma $\frac{x+5}{x}$ are grade egale, deci $y=1$ este asimptotă orizontală.

5. Cum se citesc asimptotele de pe un grafic?

Programa de științe ale naturii cere „studiul algebric și grafic" al asimptotelor, iar în laborator asta e situația obișnuită: un grafic trasat de aparat și nicio formulă. Citirea are două indicii. O ramură care urcă sau coboară aproape vertical, lipindu-se de o linie, arată o asimptotă verticală: notezi abscisa ei și scrii $x=a$. O ramură care se aplatizează spre marginea desenului arată o asimptotă orizontală: notezi înălțimea la care se așază și scrii $y=\ell$.

Același lucru se citește dintr-un tabel cu valori depărtate: trei valori care se apropie de $3$ din ce în ce mai strâns — $2,909$, apoi $2,990$, apoi $2,999$ — sunt un indiciu serios că spre $+\infty$ există asimptota $y=3$. Indiciu, nu demonstrație. Ordinea corectă rămâne aceeași: bănuiala vine din desen sau din tabel, certitudinea vine din limită.

6. Care este schema de lucru, pas cu pas?

Ordinea de mai jos se respectă la fiecare exercițiu, fiindcă fiecare pas folosește rezultatul celui dinainte:

1. Domeniul, scris ca reuniune de intervale: din el ies candidații la asimptotă verticală și tot din el afli ce capete ale axei au rost studiate.
2. Asimptotele verticale: pentru fiecare candidat, cele două limite laterale, cu semnul stabilit pe fiecare parte. Reții candidații cu măcar o limită infinită și precizezi felul asimptotei.
3. Capetele axei: limitele spre $-\infty$ și spre $+\infty$, calculate separat. Fiecare limită finită dă o asimptotă orizontală spre capătul respectiv.

Răspunsul se scrie ca listă de drepte cu ecuațiile lor, nu ca enumerare de limite: „graficul are asimptota verticală $x=-2$, bilaterală, și asimptota orizontală $y=4$ spre ambele capete" e un răspuns complet, „limita este $4$" nu.

Rămâne un caz deschis, pe care îl lămurește lecția următoare: când limita la un capăt iese infinită, graficul poate totuși urmări o dreaptă înclinată, numită asimptotă oblică. Până acolo, reține că „nu are asimptotă orizontală spre $+\infty$" nu înseamnă „nu are nicio asimptotă spre $+\infty$".

7. Ce spune o asimptotă despre un proces din științe?

Aproape întotdeauna, o valoare pe care sistemul o urmărește fără să o atingă. Asimptota orizontală a curbei de răcire este temperatura mediului; într-o reacție catalizată de o enzimă, viteza crește odată cu concentrația substratului, dar se plafonează, iar dreapta orizontală este viteza maximă.

Asimptotele verticale marchează, dimpotrivă, o valoare critică a variabilei, lângă care mărimea măsurată scapă de sub control: obiectul așezat în focarul lentilei sau volumul unui gaz împins spre zero la temperatură constantă. Matematica spune „nemărginit", fizica spune „aici modelul nu mai are sens". Concluzia unei probleme aplicate se scrie cu unitatea de măsură a mărimii, nu doar cu ecuația dreptei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește asimptotele dintr-un tabel de măsurători

Un senzor înregistrează mărimea $y$ pentru mai multe valori ale mărimii $x$ și dă tabelul de mai jos. Ce drepte se bănuiesc din el?

Rezolvare. Două lucruri sar în ochi. În jurul lui $x=3$ valorile o iau razna și își schimbă semnul: $-118$ la stânga, $122$ la dreapta — semnătura unei asimptote verticale bilaterale, de ecuație $x=3$. La capetele tabelului, valorile se strâng în jurul lui $2$ — $1,88$ la stânga, $2,12$ la dreapta —, deci se bănuiește asimptota orizontală $y=2$.

Tabelul provine din funcția $f(x)=\frac{2x+6}{x-3}$, iar calculul confirmă bănuiala: gradele sunt egale, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=2$, iar în $x=3$ numărătorul tinde la $12$, deci limitele laterale sunt infinite. Tabelul dă ipoteza, limita dă certitudinea.

Exemplul 2 — Funcție rațională cu ambele feluri de asimptote

Determinați asimptotele verticale și orizontale ale graficului funcției $f(x)=\frac{4x-1}{x+2}$, precizând felul fiecăreia.

Rezolvare. Domeniul: $D=(-\infty ,-2)\cup (-2,+\infty )$, cu un singur candidat: $-2$.

Vertical: numărătorul tinde la $4\cdot (-2)-1=-9$, iar numitorul la zero. La stânga lui $-2$ avem $x+2<0$, deci raportul este pozitiv; la dreapta, $x+2>0$, deci raportul este negativ:

$$\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x<-2\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty .$$

Dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală.

Orizontal: gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{4}{1}=4$, la ambele capete. Dreapta $y=4$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$.

Un amănunt util: din scrierea $f(x)=4-\frac{9}{x+2}$ se vede că $f(x)$ nu poate fi niciodată egal cu $4$, deci graficul nu își intersectează asimptota orizontală.

Exemplul 3 — Când numitorul are două zerouri

Determinați asimptotele graficului funcției $f(x)=\frac{2x-1}{x^2-4x+3}$.

Rezolvare. $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{1,3\}$, cu doi candidați; numărătorul nu se anulează în ei ($1$, respectiv $5$), deci fracția nu se simplifică.

În vecinătatea lui $1$, factorul $x-3$ este negativ, iar numărătorul pozitiv; semnul raportului îl dă factorul $x-1$: la stânga limita este $+\infty$, la dreapta $-\infty$. În vecinătatea lui $3$, factorul $x-1$ este pozitiv, deci semnul îl dă $x-3$: la stânga limita este $-\infty$, la dreapta $+\infty$. Dreptele $x=1$ și $x=3$ sunt asimptote verticale bilaterale.

La capete, gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$: dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre ambele capete.

Exemplul 4 — Logaritm și exponențială

a) Determinați asimptotele graficului funcției $f:(-4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (x+4)$. b) Determinați asimptotele graficului funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=5-2^x$.

Rezolvare. a) Domeniul are un singur capăt finit și deschis, $-4$, deci un singur candidat. Când $x\to -4$, $x>-4$, argumentul $x+4$ tinde la zero prin valori pozitive, iar logaritmul scade nemărginit: limita este $-\infty$, deci $x=-4$ este asimptotă verticală la dreapta. Spre $+\infty$ logaritmul crește nemărginit, deci nu există asimptotă orizontală.

b) Domeniul este $\mathbb{R}$, fără capete finite, deci nu există candidați la asimptotă verticală. Spre $-\infty$, $2^x\to 0$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=5$: dreapta $y=5$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$. Spre $+\infty$, $g(x)\to -\infty$ și nu există asimptotă. Iată de ce cele două limite se calculează separat: aceeași funcție are asimptotă într-o parte și niciuna în cealaltă.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev studiază funcția $f(x)=\frac{3x+6}{x-2}$ și scrie: „Numitorul se anulează în $2$, deci avem asimptota verticală $y=2$. Limita la infinit este $3$, deci avem asimptota orizontală $x=3$. Cum numărătorul $3x+6=3(x+2)$ se anulează în $-2$, graficul are acolo o gaură." Găsiți toate greșelile și scrieți răspunsul corect.

Rezolvare. Sunt trei greșeli, fiecare evitabilă printr-o verificare de o secundă.

Prima: ecuațiile sunt scrise pe axa greșită. O dreaptă verticală are ecuația de forma $x=a$, una orizontală de forma $y=\ell$. Corect este $x=2$ pentru cea verticală și $y=3$ pentru cea orizontală.

A doua: zeroul numărătorului nu produce nicio gaură. Gaura apare doar când numărătorul și numitorul se anulează în același punct, adică atunci când fracția se simplifică. Aici $-2$ este un punct obișnuit al domeniului, în care $f(-2)=0$: graficul taie axa $Ox$.

A treia, cea mai gravă: elevul a declarat asimptota verticală fără să calculeze nicio limită laterală. Numărătorul tinde în $2$ la $12>0$, deci limita la stânga este $-\infty$, iar cea la dreapta $+\infty$. Răspunsul corect: $x=2$ este asimptotă verticală bilaterală, iar $y=3$ este asimptotă orizontală spre ambele capete.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{6\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-7}{x-6}$. a) Arătați că $f(x)=2+\frac{5}{x-6}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{6\}$. b) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $f$. c) Arătați că graficul funcției $f$ nu intersectează asimptota lui orizontală.

Rezolvare.

a) Aducem membrul drept la același numitor: $2+\frac{5}{x-6}=\frac{2(x-6)+5}{x-6}=\frac{2x-7}{x-6}=f(x)$, pentru orice $x\ne 6$.

b) Singurul candidat la asimptotă verticală este $6$. Numărătorul tinde acolo la $5>0$, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 6\\ x<6\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 6\\ x>6\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$: dreapta $x=6$ este asimptotă verticală bilaterală. La capete folosim scrierea de la a): fracția $\frac{5}{x-6}$ tinde la zero, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=2$ și dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre ambele capete.

c) Un punct comun ar însemna $\frac{5}{x-6}=0$, imposibil, fiindcă numărătorul este $5\ne 0$. Graficul nu atinge dreapta $y=2$, deși se apropie oricât de mult de ea.

De la examen la lecție. Forma cu trei cerințe legate între ele — o scriere echivalentă, apoi ceva calculat cu ajutorul ei, apoi o afirmație de demonstrat — este forma în care sunt construite problemele din modelul oficial al probei M_șt-nat. Scrierea de la a) transformă limita de la b) într-o citire imediată și rezolvă punctul c) fără niciun calcul în plus.

Să exersăm

Ordinea de lucru rămâne aceeași: domeniul, asimptotele verticale cu limite laterale, apoi capetele axei.

1. Scrie domeniul funcției $f(x)=\frac{x+1}{x-5}$ și determină ecuația asimptotei verticale, precizând felul ei.

2. Determină asimptota orizontală a graficului funcției $f(x)=\frac{3x-2}{x+4}$ și verifică dacă graficul are și asimptotă verticală.

3. Arată că graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-2}{x^2+1}$, nu are nicio asimptotă verticală și scrie ecuația asimptotei lui orizontale.

4. Determină asimptotele graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x^2+1}{x^2+3}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=4$, atunci graficul funcției $f$ nu poate intersecta dreapta $y=4$."

6. Determină asimptota verticală a graficului funcției $f:(-5,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_2(x+5)$, și precizează felul ei.

7. Determină asimptotele graficului funcției $f(x)=\frac{x+2}{(x-3{)}^2}$ și compară semnele celor două limite laterale.

8. (Problemă aplicată.) Viteza unei reacții catalizate de o enzimă, în micromoli pe litru și pe minut, depinde de concentrația $S$ a substratului, în milimoli pe litru, după legea $v(S)=\frac{18S}{S+6}$, $S\ge 0$. Calculează $v(6)$, scrie ecuația asimptotei orizontale și explică ce înseamnă ea pentru reacție.

9. Arată că dreapta $x=7$ nu este asimptotă verticală la graficul funcției $f(x)=\frac{x^2-3x-28}{x-7}$ și spune ce se întâmplă, de fapt, în punctul $7$.

10. Determină asimptotele orizontale ale graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^{-x}+2$, precizând capătul pentru fiecare.

11. Determină toate asimptotele graficului funcției $f(x)=\frac{2x+5}{x^2-x-12}$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)=5$, atunci dreapta $x=2$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$."

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+6}{x-3}$. Determină ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției $f$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x}{x+1}$. Arată că dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x^2+1}{(x-2{)}^2}$. Determină ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $f$.

16. Un tabel dă valorile unei funcții: $f(10)\approx 7,333$, $f(100)\approx 7,030$, $f(1000)\approx 7,003$, $f(-10)\approx 6,727$, $f(-100)\approx 6,970$. Ce asimptotă bănuiești și cum ai confirma-o, știind că $f(x)=\frac{7x-4}{x-1}$?

17. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care graficul funcției $f(x)=\frac{ax+1}{x-b}$ are asimptota verticală $x=3$ și asimptota orizontală $y=-2$.

18. (Provocare.) Se consideră funcția $f(x)=\frac{x^2+3x}{x^2-4}$. Determină toate asimptotele graficului ei și arată că graficul își intersectează asimptota orizontală într-un singur punct, ale cărui coordonate le vei calcula.

Răspunsuri și explicații

1. $D=\mathbb{R}\setminus \{5\}$. În $5$ numărătorul tinde la $6>0$, deci limita la stânga este $-\infty$, cea la dreapta $+\infty$: $x=5$ este asimptotă verticală bilaterală.

2. Gradele sunt egale, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=3$ și $y=3$ este asimptotă orizontală spre ambele capete. Numitorul se anulează în $-4$, unde numărătorul tinde la $-14\ne 0$: $x=-4$ este asimptotă verticală bilaterală.

3. Numitorul $x^2+1$ este strict pozitiv, deci $D=\mathbb{R}$ și nu există candidați la asimptotă verticală. Gradul numărătorului e mai mic, deci limita la ambele capete este $0$: $y=0$ este asimptotă orizontală.

4. Numitorul nu se anulează niciodată, deci nu există asimptote verticale. Gradele fiind egale, $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=5$: $y=5$ este asimptotă orizontală spre ambele capete.

5. Fals. Definiția cere doar ca distanța la dreaptă să tindă la zero. Contraexemplu: $f(x)=\frac{4x^2-x}{x^2+1}$ are limita $4$ la $+\infty$, iar ecuația $f(x)=4$ devine $-x=4$: graficul taie dreapta $y=4$ în punctul de abscisă $-4$.

6. Singurul candidat este capătul finit și deschis $-5$: argumentul tinde acolo la zero prin valori pozitive, deci $f(x)\to -\infty$ și $x=-5$ este asimptotă verticală la dreapta.

7. $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Numărătorul tinde în $3$ la $5>0$, iar numitorul este un pătrat, deci pozitiv de ambele părți: amândouă limitele laterale sunt $+\infty$, asimptota $x=3$ e bilaterală, cu ramurile în aceeași direcție. Gradele dau $y=0$ ca asimptotă orizontală.

8. $v(6)=\frac{108}{12}=9$ micromoli pe litru și pe minut, adică jumătate din $18$. Gradele fiind egale, $\underset{S\to +\infty }{\lim }v(S)=18$, deci $v=18$ este asimptotă orizontală: viteza maximă a reacției, de care viteza se apropie oricât la concentrații mari, fără să o atingă. La $6$ milimoli pe litru se obține jumătate din ea.

9. Numărătorul se anulează și el în $7$: $x^2-3x-28=(x-7)(x+4)$, deci $f(x)=x+4$ pentru $x\ne 7$ și $\underset{x\to 7}{\lim }f(x)=11$. Limita fiind finită, $x=7$ nu e asimptotă: graficul are acolo doar o gaură.

10. Spre $+\infty$, $3^{-x}\to 0$, deci limita este $2$ și $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. Spre $-\infty$, $3^{-x}\to +\infty$, deci nu există asimptotă orizontală la acel capăt.

11. $x^2-x-12=(x-4)(x+3)$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-3,4\}$. Numărătorul nu se anulează în ele ($-1$, respectiv $13$), deci $x=-3$ și $x=4$ sunt asimptote verticale bilaterale, iar gradele dau asimptota orizontală $y=0$.

12. Adevărat. Definiția cere ca măcar una dintre limitele laterale să fie infinită, iar aici cea la stânga este $+\infty$: asimptota există și este la stânga.

13. Gradele sunt egale, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\frac{1}{1}=1$: dreapta $y=1$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$.

14. În $-1$ numărătorul tinde la $-5$, iar numitorul la zero. La stânga, $x+1<0$, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x<-1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$; cum o limită laterală infinită este suficientă, dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală (la dreapta limita este $-\infty$, deci asimptota e bilaterală).

15. Numărătorul tinde în $2$ la $13>0$, iar numitorul, fiind un pătrat, tinde la zero prin valori pozitive: ambele limite laterale sunt $+\infty$, deci $x=2$ este asimptotă verticală bilaterală. Gradele sunt egale, cu coeficienți dominanți $3$ și $1$, deci $y=3$ este asimptotă orizontală.

16. Valorile se apropie de $7$ din ambele părți — pe deasupra pentru $x>1$, pe dedesubt pentru $x<1$ —, deci se bănuiește asimptota $y=7$. Confirmarea vine din limită: gradele sunt egale, iar raportul coeficienților dominanți este $\frac{7}{1}=7$. Tabelul singur nu e o justificare.

17. Asimptota verticală apare unde se anulează numitorul, deci $b=3$; gradele fiind egale, limita la infinit este $a$, deci $a=-2$. Verificare: la $f(x)=\frac{-2x+1}{x-3}$ numărătorul tinde în $3$ la $-5\ne 0$, deci asimptota verticală chiar există.

18. $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, iar numărătorul nu se anulează în $\pm 2$ (valorile sunt $10$ și $-2$), deci $x=-2$ și $x=2$ sunt asimptote verticale bilaterale; gradele fiind egale, $y=1$ este asimptotă orizontală. Intersecția: $x^2+3x=x^2-4$ dă $3x=-4$, adică $x=-\frac{4}{3}$, valoare din domeniu. Punctul este $\left(-\frac{4}{3},1\right)$ și e singurul, ecuația obținută fiind de gradul întâi.

De reținut

• Asimptota verticală are ecuația $x=a$ și se decide cu limite laterale într-un punct finit; asimptota orizontală are ecuația $y=\ell$ și se decide cu limita la un capăt al axei.
• Candidații la asimptotă verticală ies din domeniu: marginile lui finite care nu-i aparțin și valorile în care expresia își pierde sensul; domeniul se scrie înaintea oricărui calcul de limită.
• Un punct lipsă din domeniu e doar candidat: dacă fracția se simplifică și limita iese finită, acolo e o gaură, nu o asimptotă — se simplifică întâi, se decide după.
• Cele două capete ale axei se studiază separat și pot da răspunsuri diferite: funcția $5-2^x$ are asimptota $y=5$ spre $-\infty$ și niciuna spre $+\infty$.
• Răspunsul care ia punctajul întreg este o ecuație de dreaptă, însoțită de felul asimptotei — bilaterală, la stânga, la dreapta, spre $+\infty$ sau spre $-\infty$ —, nu o valoare de limită lăsată singură pe hârtie.

Greșeli frecvente

• Scrii ecuația pe axa greșită. O asimptotă verticală este $x=a$, una orizontală este $y=\ell$. Un răspuns de forma „asimptota orizontală $x=3$" descrie o dreaptă verticală și este greșit, chiar dacă limita a fost calculată corect.
• Citești limita la infinit de pe termenii liberi. La $\frac{4x-1}{x+2}$ limita nu este $-\frac{1}{2}$, ci raportul coeficienților dominanți, adică $4$: la infinit se compară gradele, nu se înlocuiește nimic.
• Începi cu limitele, fără să scrii domeniul. Fără el ajungi să cauți asimptote verticale în puncte în care funcția e perfect definită sau să studiezi capătul $-\infty$ la o funcție care trăiește numai pe $(0,+\infty )$.
• Dai același semn ambelor limite laterale. Semnul se stabilește pe fiecare parte, din semnul numitorului: la $\frac{2x-1}{x^2-4x+3}$, în jurul lui $1$ produsul de la numitor își schimbă semnul, deci limitele laterale sunt $+\infty$ și $-\infty$, nu amândouă $+\infty$.
• Confunzi creșterea lentă cu apropierea de o dreaptă. Funcția logaritmică crește foarte încet, dar crește nemărginit: graficul ei nu are nicio asimptotă orizontală. „Aproape plat pe desen" nu este un argument matematic; argumentul este limita.

Aplică acasă

1. Ceașca de ceai. Măsoară temperatura unei băuturi fierbinți din cinci în cinci minute, o jumătate de oră, și notează și temperatura camerei. Desenează punctele și trasează cu linie întreruptă dreapta temperaturii camerei. Scrie ecuația ei sub forma $y=\ell$ și explică de ce curba se apropie de dreaptă fără să o atingă.

2. Lentila și imaginea care fuge. Află distanța focală a unei lupe, proiectând pe o foaie imaginea unui obiect îndepărtat. Apoi apropie treptat un obiect mic de lentilă și urmărește unde se formează imaginea clară. Notează ce se întâmplă lângă focar și scrie, pentru lentila ta, ecuația asimptotei verticale.

3. Două drepte pe ecran. Într-o aplicație de grafice (GeoGebra, Desmos), scrie funcția $f(x)=\frac{2x+6}{x-1}$ și trasează separat asimptotele calculate de tine. Modifică apoi coeficientul $2$ de la numărător și notează ce dreaptă se mișcă și care rămâne pe loc; explică rezultatul cu regula gradelor.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.2 „Limite de funcții și continuitate", prin conținutul „Calculul limitelor: limitele funcțiilor studiate; studiul algebric și grafic al asimptotelor". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă (OMEN 4430/2014) cere explicit „Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice"; conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea. În modelul oficial al probei M_șt-nat, prima problemă a Subiectului al III-lea cere o derivată, o limită și o inegalitate — o cerință despre asimptote nu apare acolo, deci lecția nu promite că vine sigur, ci pregătește pentru ce cere programa de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Ce verifică lecția: (1) domeniul scris înaintea oricărui calcul; (2) lista valorilor de cercetat; (3) cele două limite laterale, fiecare cu semnul ei; (4) despărțirea cazului „dreaptă verticală" de cazul „punct lipsă"; (5) răspunsul redactat ca ecuație de dreaptă, cu felul ei; (6) citirea asimptotelor de pe un grafic sau dintr-un tabel, cerință proprie profilului științe ale naturii.

Întrebări de control: „De unde ai scos lista de valori pe care le cercetezi?"; „Ce semn are numitorul de o parte și de alta a acelei valori?"; „Se poate simplifica expresia și, dacă da, ce se schimbă pe desen?"; „De ce nu ajunge o singură limită la capetele axei?". Semne că elevul a înțeles: începe cu domeniul, rostește cuvântul „candidat" înainte de „asimptotă" și adaugă din proprie inițiativă felul dreptei găsite.

Instrumentele digitale ajută la pasul de citire grafică, pe care programa îl cere, dar nu înlocuiesc calculul limitei: ecranul arată o tendință, rezolvarea cere o justificare. Continuarea firească pe traseul de științe ale naturii este asimptota oblică, cu panta și ordonata ei; versiunea pentru mate-info (M1) a părții despre asimptota verticală și asimptota orizontală, în traseul de mate-info tratează aceleași drepte în clasa a XII-a, cu funcții mai variate. Legătura cu materia anterioară se face prin lecția despre rata creșterii și a descreșterii unei mărimi.

Întrebări frecvente

Prin ce se deosebesc asimptotele la M2 față de mate-info (M1)? Prin locul din traseu și prin întinderea temei. La științe ale naturii asimptotele se studiază în clasa a XI-a, imediat după limite, pe funcții raționale simple, exponențiale și logaritmice, cu accent pe citirea grafică. La mate-info ele apar în clasa a XII-a, ca prim pas al reprezentării grafice complete, pe o listă mult mai largă de funcții, inclusiv cu radicali și cu module.

La ce subiect apare asimptota la bacalaureatul M2? Asimptotele fac parte din conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a, iar acesta se dă la Subiectul al III-lea al probei M_șt-nat. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cere explicit asimptotele verticale, orizontale și oblice ale funcțiilor studiate. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial de subiect, nu se presupune.

Care este diferența dintre asimptota verticală și cea orizontală? Se caută în locuri diferite și se scriu diferit. Cea verticală, de ecuație $x=a$, se caută într-un punct finit și se decide cu limitele laterale; cea orizontală, de ecuație $y=\ell$, se caută la un capăt al axei și se decide cu limita la $-\infty$ sau la $+\infty$. Prima arată unde explodează funcția, a doua arată spre ce valoare se așază.

Cum se scrie răspunsul complet la cerința „determinați asimptotele"? Ca listă de drepte, fiecare cu ecuația și cu felul ei: „dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală, iar dreapta $y=4$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$". O valoare de limită lăsată singură pe hârtie nu este un răspuns, iar pașii se scriu toți: domeniul, limitele calculate și, abia la urmă, ecuațiile dreptelor.

Poate graficul să atingă o asimptotă orizontală? Da. Definiția cere doar ca distanța până la dreaptă să tindă la zero, nu ca graficul să o ocolească. Funcția $\frac{4x^2-x}{x^2+1}$ are asimptota $y=4$ și o intersectează în punctul de abscisă $-4$. Sunt însă și cazuri în care intersecția este imposibilă, iar acest lucru se verifică rezolvând ecuația $f(x)=\ell$.

Cum recunosc o asimptotă pe graficul trasat de o aplicație? După două semne. O ramură care urcă sau coboară aproape vertical, lipindu-se de o linie, arată o asimptotă verticală, iar abscisa ei dă ecuația $x=a$. O ramură care se aplatizează spre marginea desenului arată o asimptotă orizontală, iar înălțimea la care se așază dă ecuația $y=\ell$. Desenul dă bănuiala; limita o confirmă.

Ce înseamnă o asimptotă într-o problemă de fizică sau de biologie? De obicei o valoare-limită pe care procesul o urmărește fără să o atingă: temperatura mediului la răcirea unui corp, viteza maximă a unei reacții catalizate, concentrația zero a unui medicament eliminat. O asimptotă verticală arată, dimpotrivă, o valoare critică a variabilei, lângă care mărimea crește nemărginit și modelul își pierde sensul fizic.