Binomul lui Newton: pe scurt

Binomul lui Newton: pentru orice $a,b$ și $n\ge 1$ natural, $$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^n{b}^n.$$ Coeficienții sunt exact linia $n$ a triunghiului lui Pascal, pentru că, desfăcând cele $n$ paranteze $(a+b)(a+b)\cdots (a+b)$, termenul $a^{n-k}{b}^k$ apare de câte ori poți alege cele $k$ paranteze din care iei $b$ — adică de $C_n^k$ ori.

Structura: dezvoltarea are $n+1$ termeni, nu $n$; exponentul lui $a$ coboară de la $n$ la $0$, cel al lui $b$ urcă de la $0$ la $n$; în fiecare termen, suma exponenților este $n$. Programa de trunchi comun limitează exponentul la cel mult $5$: $(a+b{)}^1=a+b$, până la $(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$.

La $(a-b{)}^n$ nu există o formulă separată: scrii $a-b=a+(-b)$, iar semnele alternează, începând cu plus — ultimul termen e negativ la exponent impar, pozitiv la exponent par. Când $a$ sau $b$ au coeficienți (de exemplu $2x$), îi pui în paranteze și ridici la putere paranteza întreagă — greșeala clasică este să ridici la putere doar variabila. Verificarea rapidă: pentru $x=1$, suma tuturor termenilor trebuie să dea valoarea polinomului în $1$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care sunt coeficienții dezvoltării $(x+1{)}^3$?

   • a) $1,3,3,1$
   • b) $1,3,1$
   • c) $3,3$
   • d) $1,2,1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $1,3,3,1$

   Coeficienții dezvoltării lui $(a+b{)}^n$ sunt linia $n$ a triunghiului lui Pascal; pentru $n=3$, linia este $1,3,3,1$, deci $(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$.

2. Calculați suma coeficienților dezvoltării $(x+3{)}^4$.

   • a) $81$
   • b) $256$
   • c) $16$
   • d) $625$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $256$

   Suma coeficienților unui polinom se obține punând $x=1$: $(1+3{)}^4=4^4=256$.

3. Care este semnul ultimului termen al dezvoltării $(x-1{)}^5$?

   • a) depinde de $x$
   • b) pozitiv, $1$
   • c) negativ, $(-1{)}^5=-1$
   • d) nu există ultim termen
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) negativ, $(-1{)}^5=-1$

   La $(a-b{)}^n$ semnele alternează prin $(-1{)}^k$; ultimul termen corespunde lui $k=n=5$ (impar), deci semnul este negativ: $(-1{)}^5{b}^5=-1$.