Cât este (√2+1)⁴+(√2-1)⁴?

Adunând cele două dezvoltări, termenii cu puteri impare ale lui √2 se reduc, iar ceilalți se dublează: 2[(√2)⁴+6(√2)²+1]=2(4+12+1)=34. Rezultatul este natural, deși fiecare termen este irațional.

Cum calculez 99³ cu binomul lui Newton?

Scrii 99=100-1, un binom cu puteri ușor de calculat, și folosești coeficienții 1, 3, 3, 1, cu semnele alternând din cauza minusului: 99³=100³-3· 100²+3· 100-1=1 000 000-30 000+300-1=970 299. Fiecare termen se calculează în minte, fără înmulțiri lungi.

Cum dezvolt (2x+3)³?

Numești termenii binomului cu tot cu coeficient, a=2x și b=3, apoi folosești coeficienții 1, 3, 3, 1 ai liniei a treia: (2x)³+3(2x)²· 3+3· 2x· 9+27=8x³+36x²+54x+27. Verificare la x=1: 5³=125 și 8+36+54+27=125.

Cum aproximez 1,02 la puterea 10 cu binomul?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Binomul lui Newton

Scrii puterea ca binom, $1, 0 2^{10} = (1 + 0, 02)^{10}$ , și păstrezi doar primii termeni ai dezvoltării, fiindcă puterile lui $0, 02$ scad repede: $1 + 10 \cdot 0, 02 = 1, 2$ . Al treilea termen, $C_{10}^{2} \cdot 0, 0 2^{2} = 45 \cdot 0, 0004 = 0, 018$ , corectează estimarea la $1, 218$ . Valoarea exactă este $1, 21899 \dots$ , deci trei termeni dau o eroare sub $0, 001$ . Aproximarea $(1 + ε)^{n} \approx 1 + n ε$ merge bine doar când $n ε$ e mic.

Puterea $(a + b)^{n}$ se desface fără să înmulțești paranteză cu paranteză. Din fiecare dintre cele $n$ paranteze iei fie $a$ , fie $b$ ; produsele cu exact $k$ litere $b$ sunt toate egale cu $a^{n - k} b^{k}$ , iar numărul lor este $C_{n}^{k}$ , câte alegeri de paranteze ai.

Formula binomului lui Newton adună acești termeni: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$ . Sunt $n + 1$ termeni; exponentul lui $a$ scade, al lui $b$ crește, iar suma lor este mereu $n$ . Coeficienții se citesc de pe linia $n$ a triunghiului lui Pascal.

Când termenii binomului au coeficienți sau semne, îi numești cu totul, $a = 3 x$ , $b = - 2$ , și ridici la putere paranteza întreagă. La $(a - b)^{n}$ semnele alternează, începând cu plus. O dezvoltare se verifică prin suma exponenților și prin înlocuirea variabilei cu un număr comod. În fizică, $(1 + ε)^{n} \approx 1 + n ε$ pentru $ε$ mic; termenul cu $ε^{2}$ măsoară eroarea acestei estimări. Același tipar explică de ce volumul unui corp încălzit crește de aproape trei ori mai repede decât latura lui.

De reținut

$(1 + ε)^{n} \approx 1 + n ε$ pentru $ε$ mic
termenul următor, $C_{n}^{2} ε^{2}$ , arată mărimea erorii
coeficienții lui $(a + b)^{n}$ sunt linia $n$ a triunghiului lui Pascal

Greșeala tipică

Se folosește $1 + n ε$ și când $n ε$ nu e mic: $1, 1^{10}$ nu este aproximativ $2$ , ci $2, 59 \dots$ , pentru că termenii neglijați devin mari.

Exerciții din această mini-lecție

Câți termeni are dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ ?
- a) $n$
- b) $n + 1$
- c) $2 n$
- d) $n - 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $n + 1$

Exponentul lui $b$ ia valorile $0, 1, \dots, n$ , adică $n + 1$ valori.
Ce coeficient are termenul $a^{2} b^{3}$ în dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ ?
- a) $5$
- b) $10$
- c) $15$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

Alegi cele trei paranteze din care iei $b$ : $C_{5}^{3} = 10$ .
Care este dezvoltarea lui $(x - 7)^{3}$ ?
- a) $x^{3} - 21 x^{2} - 147 x - 343$
- b) $x^{3} - 7 x^{2} + 7 x - 343$
- c) $x^{3} - 21 x^{2} + 147 x - 343$
- d) $x^{3} + 21 x^{2} + 147 x + 343$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x^{3} - 21 x^{2} + 147 x - 343$

Cu $b = - 7$ și linia $1, 3, 3, 1$ : $x^{3} + 3 x^{2} (- 7) + 3 x \cdot 49 + (- 343)$ .

Întrebări conexe

Cu cât crește volumul unui cub dacă latura crește cu $0, 5%$ ?

Volumul devine $(1, 005)^{3} = 1 + 3 \cdot 0, 005 + 3 \cdot 0, 00 5^{2} + 0, 00 5^{3} = 1, 015075125$ din cel inițial. Creșterea este de aproximativ $1, 5%$ , adică de trei ori creșterea laturii, cum prevede aproximarea $1 + 3 ε$ ; restul termenilor adaugă sub $0, 01%$ .

Cum verific dezvoltarea lui $(x + 2)^{4}$ cu o valoare a lui $x$ ?

Dezvoltarea este $x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ . Pentru $x = - 1$ , stânga dă $(- 1 + 2)^{4} = 1$ , iar dreapta $1 - 8 + 24 - 32 + 16 = 1$ . O valoare care nu verifică arată sigur o greșeală; una care verifică nu e o demonstrație, dar prinde semnele greșite.

Cât este $(2 + 1)^{4} + (2 - 1)^{4}$ ?

Adunând cele două dezvoltări, termenii cu puteri impare ale lui $2$ se reduc, iar ceilalți se dublează: $2 [(2)^{4} + 6 (2)^{2} + 1] = 2 (4 + 12 + 1) = 34$ . Rezultatul este natural, deși fiecare termen este irațional.

Cum calculez $9 9^{3}$ cu binomul lui Newton?

Scrii $99 = 100 - 1$ , un binom cu puteri ușor de calculat, și folosești coeficienții $1$ , $3$ , $3$ , $1$ , cu semnele alternând din cauza minusului: $9 9^{3} = 10 0^{3} - 3 \cdot 10 0^{2} + 3 \cdot 100 - 1 = 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299$ . Fiecare termen se calculează în minte, fără înmulțiri lungi.

Cum dezvolt $(2 x + 3)^{3}$ ?

Numești termenii binomului cu tot cu coeficient, $a = 2 x$ și $b = 3$ , apoi folosești coeficienții $1$ , $3$ , $3$ , $1$ ai liniei a treia: $(2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 2 x \cdot 9 + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$ . Verificare la $x = 1$ : $5^{3} = 125$ și $8 + 36 + 54 + 27 = 125$ .

Oamenii mai întreabă și: aproximarea 1 plus x la puterea n · cum calculez o putere apropiată de 1 · binomul lui Newton pentru aproximări · 1,02 la puterea 10 fără calculator

Cum aproximez 1,02 la puterea 10 cu binomul?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cu cât crește volumul unui cub dacă latura crește cu 0,5%?

Cum verific dezvoltarea lui (x+2)4 cu o valoare a lui x?

Cât este (2​+1)4+(2​−1)4?

Cum calculez 993 cu binomul lui Newton?

Cum dezvolt (2x+3)3?

Continuă cu

Cu cât crește volumul unui cub dacă latura crește cu $0, 5%$ ?

Cum verific dezvoltarea lui $(x + 2)^{4}$ cu o valoare a lui $x$ ?

Cât este $(2 + 1)^{4} + (2 - 1)^{4}$ ?

Cum calculez $9 9^{3}$ cu binomul lui Newton?

Cum dezvolt $(2 x + 3)^{3}$ ?