Calculează $$\lim\limits_{x\to9}\left(x-9\right)\cdot\dfrac{34}{x^2-81}$$.

$$0$$, fiindcă primul factor tinde la zero

limita nu se poate calcula, fiindcă al doilea factor nu are limită în $$9$$

Cât face +∞+∞ la limite?

Face +∞: operația este determinată. La fel, un număr plus +∞ dă +∞, iar (+∞)·(+∞) dă +∞. Nedeterminat este doar ce nu se poate decide fără alte calcule, cum ar fi (+∞)-(+∞).

Cum rezolv un caz ∞/∞ la un raport de polinoame?

Scoți factor comun puterea dominantă la numărător și la numitor. De exemplu, (6x²+x)/(3x²-2)= (x²(6+ 1/x))/(x²(3- 2/x²)), iar după simplificarea cu x² limita la +∞ este 6/3=2. Fracțiile rămase în paranteze tind la 0, deci contează doar coeficienții dominanți.

Ce sunt cazurile exceptate la limite?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Cazuri exceptate

Sunt operații cu limite al căror rezultat nu se poate afla doar din limitele termenilor. Programa de examen M2 lucrează cu $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ și $0 \cdot \infty$ . De exemplu, în $x \to 0$ și $\frac{x ^{2}}{x}$ , și $\frac{3 x}{x}$ sunt de tipul $\frac{0}{0}$ , dar prima are limita $0$ , iar a doua $3$ . De aceea expresia se transformă întâi, prin factor comun, simplificare sau amplificare, și abia apoi se trece la limită.

Două funcții combinate se tratează ca două numere — sumă, diferență, produs, cât —, atât timp cât operația dintre limitele lor chiar există; la cât se cere în plus ca numitorul să nu tindă la zero. Tabelul cu $\pm \infty$ nu cuprinde împărțirea la zero: dacă numitorul se stinge, iar numărătorul nu, verdictul îl dă semnul numitorului pe fiecare parte, iar uneori concluzia e chiar că limita lipsește.

Programa numește trei situații nehotărâte: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ și $0 \cdot \infty$ . Niciuna nu e un rezultat; sunt etichete de diagnostic, fiindcă din aceeași formă pot ieși un număr, zero sau un infinit. Unealta se alege după direcția în care pleacă argumentul: descompunere și simplificare dacă ținta e un număr, comparare de grade dacă ținta e un capăt. Produsul nehotărât se rescrie ca o singură fracție și se mută într-una dintre celelalte două forme.

Capcana. Diagnosticul se pune după calcul, nu înainte: întâi afli ce fac cele două părți, abia apoi le dai un nume — destule exerciții cu aspect greu se rezolvă dintr-o înlocuire. Și raportul a două infinituri nu se reduce la unu: simbolul nu e număr, iar răspunsul îl hotărăsc gradele.

De reținut

cazurile numite de programa M2: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ ; $\infty - \infty$ se reduce la ele
un caz exceptat se transformă algebric înainte de trecerea la limită
$\frac{a}{0}$ cu $a \neq = 0$ dă $\pm \infty$ , după semn, nu un caz exceptat

Greșeala tipică

Se scrie $\frac{0}{0} = 1$ sau $0 \cdot \infty = 0$ ca rezultat final; aceste forme nu au o valoare fixă, iar limita se află numai după transformarea expresiei.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $x \to 4 lim (x^{2} - 19) (5 x - 14)$ .
- a) $- 18$
- b) $18$
- c) $- 3$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 18$

Cele două paranteze sunt funcții polinomiale, deci limitele lor se obțin prin înlocuire: $16 - 19 = - 3$ și $20 - 14 = 6$ . Amândouă fiind numere finite, produsul are sens și nu apare niciun caz exceptat: limita este $(- 3) \cdot 6 = - 18$ . Varianta b) pierde semnul, iar c) și d) se opresc la câte un singur factor.
Calculează $x \to 13 lim \frac{x ^{2} - 169}{x ^{2} - 10 x - 39}$ .
- a) $1$
- b) $0$
- c) $\frac{8}{13}$
- d) $\frac{13}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{13}{8}$

Amândouă polinoamele se anulează în $13$ , deci obținem cazul exceptat $\frac{0}{0}$ . Numărătorul este $(x - 13) (x + 13)$ , iar numitorul are rădăcinile $13$ și $- 3$ , deci este $(x - 13) (x + 3)$ . Pentru orice $x \neq = 13$ fracția devine $\frac{x + 13}{x + 3}$ , iar înlocuind obținem $\frac{26}{16} = \frac{13}{8}$ . Varianta a) simplifică termen cu termen, b) lasă eticheta drept rezultat, iar c) inversează raportul.
Calculează $x \to 9 lim (x - 9) \cdot \frac{34}{x ^{2} - 81}$ .
- a) $0$ , fiindcă primul factor tinde la zero
- b) $\frac{17}{9}$
- c) $+ \infty$
- d) limita nu se poate calcula, fiindcă al doilea factor nu are limită în $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{17}{9}$

Primul factor tinde la $0$ , iar al doilea crește nemărginit în valoare absolută: avem cazul $0 \cdot \infty$ . Scriem produsul ca o singură fracție și simplificăm, folosind $x \neq = 9$ : $\frac{34 ( x - 9 )}{( x - 9 ) ( x + 9 )} = \frac{34}{x + 9}$ , iar înlocuind obținem $\frac{34}{18} = \frac{17}{9}$ . Varianta a) și c) citesc câte un factor ca și cum ar hotărî singur, iar d) uită că prelucrarea desființează problema: produsul are limită, deși al doilea factor nu are.

Întrebări conexe

De ce $\frac{1}{0}$ nu este caz exceptat la limite?

Când numărătorul tinde la un număr nenul și numitorul la $0$ , rezultatul este mereu infinit, cu semnul dat de semnele celor doi termeni. De exemplu, $\frac{x + 2}{x ^{2}}$ în $0$ : numărătorul tinde la $2$ , numitorul e pozitiv, deci limita este $+ \infty$ .

Cât face $+ \infty + \infty$ la limite?

Face $+ \infty$ : operația este determinată. La fel, un număr plus $+ \infty$ dă $+ \infty$ , iar $(+ \infty) \cdot (+ \infty)$ dă $+ \infty$ . Nedeterminat este doar ce nu se poate decide fără alte calcule, cum ar fi $(+ \infty) - (+ \infty)$ .

Cum rezolv un caz $\frac{\infty}{\infty}$ la un raport de polinoame?

Scoți factor comun puterea dominantă la numărător și la numitor. De exemplu, $\frac{6 x ^{2} + x}{3 x ^{2} - 2} = \frac{x ^{2} ( 6 + \frac{1}{x} )}{x ^{2} ( 3 - \frac{2}{x ^{2}} )}$ , iar după simplificarea cu $x^{2}$ limita la $+ \infty$ este $\frac{6}{3} = 2$ . Fracțiile rămase în paranteze tind la $0$ , deci contează doar coeficienții dominanți.

Este $\infty - \infty$ tot un caz exceptat?

Programa numește doar trei cazuri, dar și diferența $\infty - \infty$ este nehotărâtă, iar în practică se reduce la unul dintre ele. La radicali se folosește conjugata: $x^{2} + 4 x - x = \frac{4 x}{x ^{2} + 4 x + x}$ , care tinde la $2$ la $+ \infty$ . Alte diferențe de același tip pot da $0$ sau $+ \infty$ .

Ce dă $0$ supra $+ \infty$ la limite?

Dă $0$ și nu este caz exceptat: un numărător care se micșorează împărțit la un numitor care crește dă o fracție tot mai mică. De exemplu, $\frac{1/ x}{x} = \frac{1}{x ^{2}}$ tinde la $0$ la $+ \infty$ .

Oamenii mai întreabă și: cazuri de nedeterminare la limite · ce sunt nedeterminările · nedeterminarea zero supra zero și infinit supra infinit · operații nedeterminate cu limite

Ce sunt cazurile exceptate la limite?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

De ce 01​ nu este caz exceptat la limite?

Cât face +∞+∞ la limite?

Cum rezolv un caz ∞∞​ la un raport de polinoame?

Este ∞−∞ tot un caz exceptat?

Ce dă 0 supra +∞ la limite?

Continuă cu

De ce $\frac{1}{0}$ nu este caz exceptat la limite?

Cât face $+ \infty + \infty$ la limite?

Cum rezolv un caz $\frac{\infty}{\infty}$ la un raport de polinoame?

Este $\infty - \infty$ tot un caz exceptat?

Ce dă $0$ supra $+ \infty$ la limite?