Operații cu limite și cazurile exceptate (M2, științe ale naturii)

Într-un vas de laborator sunt cinci litri de soluție de glucoză cu cincizeci de grame la litru, iar peste ea se toarnă, încet, o soluție mai slabă, cu douăzeci de grame la litru. Concentrația amestecului scade cu fiecare litru adăugat, iar întrebarea care îl interesează pe elevul de la profilul științe ale naturii este spre ce valoare se îndreaptă ea, dacă torni fără oprire. Răspunsul este limita unei funcții alcătuite din alte două — o sumă împărțită la o sumă. În clasa a XI-a, acesta este subiectul de astăzi, iar la Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) el apare la Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică.

Până acum ai calculat limite pentru funcțiile luate una câte una. De aici încolo funcțiile se combină, iar regula e simplă și are o singură portiță: limitele se adună, se înmulțesc și se împart ca niște numere obișnuite, dacă operația dintre ele are sens. Când nu are, apare ceea ce programa numește un caz exceptat — o situație în care rezultatul nu se poate citi din tabel, ci trebuie scos la iveală printr-o prelucrare. Programa de examen M2 numește trei asemenea situații, iar lecția aceasta te învață să le recunoști și să le desfaci.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli, pentru două funcții combinate prin adunare, înmulțire sau împărțire, ce rezultat dau limitele lor — verificând mai întâi că operația dintre ele are sens.
• Vei ști să folosești tabelul operațiilor cu $+\infty$ și $-\infty$ și să spui ce nu se află în el.
• Vei ști să tratezi cazul în care limita numitorului este $0$, hotărând răspunsul din semnul numitorului, cu limite laterale.
• Vei ști să recunoști cele trei cazuri exceptate cerute la M2 — $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$ — și să alegi prelucrarea potrivită fiecăruia.
• Vei ști să transformi un produs de tip $0\cdot \infty$ într-un raport, ca să-l poți duce la o formă cunoscută.
• Vei ști să redactezi rezolvarea în ordinea potrivită și să nu lași niciodată o nedeterminare pe post de răspuns.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se întâmplă cu limitele când aduni sau înmulțești două funcții?

Fie $f$ și $g$ două funcții care au limite în același punct $x_0$ (sau spre același capăt) și fie ${\ell }_1$ și ${\ell }_2$ limitele lor. Întrebarea firească este dacă limita funcției $f+g$ este ${\ell }_1+{\ell }_2$, iar răspunsul este „da, atunci când adunarea aceasta se poate face".

Teorema operațiilor cu limite este promisiunea că, dacă $f$ și $g$ au limite în $x_0$ și dacă operația dintre cele două limite are sens, atunci limita sumei, a diferenței, a produsului și a câtului se obține făcând acea operație cu limitele — la cât, cu condiția suplimentară ca limita numitorului să fie diferită de zero.

Când amândouă limitele sunt numere finite, nu există nicio rezervă: totul merge ca la aritmetica obișnuită. De pildă, pentru $x\to 2$,

$$\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2+3x-1\right)=4+6-1=9.$$

Aici funcția este o sumă de funcții ale căror limite se citesc prin înlocuire, iar rezultatul se obține adunându-le. Rezervele apar abia când una dintre limite este infinită sau când numitorul se apropie de zero — și tocmai despre ele este restul lecției.

2. Ce operații au sens cu $+\infty$ și $-\infty$?

Simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere reale, dar cu ele se pot face totuși unele operații, cu rezultat unic. Tabelul de mai jos este lista completă a celor care se folosesc la M2; el se citește ca un tabel de înmulțire, nu se demonstrează:

Un singur exemplu arată cum se folosește. Pentru $x\to +\infty$, numitorul $x+2$ tinde la $+\infty$, iar numărătorul este constant, deci rândul al patrulea dă direct rezultatul:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0.$$

Observă ce nu se află în tabel: nu apare nicăieri $\frac{a}{0}$ și nu apar nici diferența a două infinituri, nici produsul dintre zero și infinit, nici raportul a două infinituri. Absența lor nu e o scăpare: ele sunt exact situațiile în care rezultatul nu este unic, adică motivul pentru care există restul lecției.

3. Ce faci când numitorul tinde la zero?

Nicăieri, nici printre numerele reale, nici pe dreapta încheiată, nu există un rezultat al împărțirii la zero. Când limita numitorului este $0$, iar limita numărătorului este un număr nenul, rezultatul se decide din semnul numitorului, cercetat separat de fiecare parte a punctului. Pentru asta se folosesc notațiile de lucru $0^{+}$ („tinde la zero prin valori pozitive") și $0^{-}$ („prin valori negative"), fixate la limitele funcțiilor polinomiale și raționale, iar regula practică este $\frac{c}{0^{+}}=+\infty$ și $\frac{c}{0^{-}}=-\infty$, pentru $c>0$, cu semnele schimbate dacă $c<0$.

Să luăm $f(x)=\frac{4}{x-3}$ în punctul $3$. La dreapta lui $3$ numitorul este pozitiv și tot mai mic, la stânga este negativ și tot mai aproape de zero, deci

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{4}{x-3}=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }\frac{4}{x-3}=-\infty .$$

Cele două rezultate sunt diferite, așa că, potrivit criteriului învățat la limitele laterale și existența limitei, funcția nu are limită în punctul $3$. Răspunsul complet al unui asemenea exercițiu conține trei lucruri: cele două limite laterale, observația că diferă și concluzia. Dacă, dimpotrivă, numitorul păstrează același semn de o parte și de alta — cum se întâmplă la $\frac{7}{(x-3{)}^2}$ —, cele două limite coincid și funcția are limită infinită în acel punct.

4. Ce este un caz exceptat?

Am ajuns la miezul lecției. După ce $\frac{a}{0}$ a fost lămurit mai sus, rămân patru combinații pe care tabelul nu le acoperă, iar trei dintre ele sunt numite explicit de programa de examen pentru profilul științe ale naturii.

Un caz exceptat este o combinație de limite pentru care rezultatul nu se poate decide numai din valorile celor două limite: aceleași date de plecare pot duce la rezultate diferite, așa că expresia trebuie prelucrată înainte de a trece la limită. Cele trei cerute la M2 sunt $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$.

De ce „nu se poate decide" nu e o vorbă în vânt se vede imediat. Toate cele trei rapoarte de mai jos sunt de tipul $\frac{0}{0}$ în punctul $0$, și totuși:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x}{x}=5,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x}=0,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{x}{x^2}=+\infty .$$

Din aceeași „formă" au ieșit un număr, zero și infinit. Prin urmare scrierea $\frac{0}{0}$ nu este un rezultat, ci o etichetă de diagnostic: ea spune „nu am voie să înlocuiesc, trebuie să prelucrez".

O precizare de traseu, ca să știi exact ce citești. Lista completă a nedeterminărilor de la profilul matematică-informatică are șapte poziții; programa de examen M2 numește doar aceste trei. A patra situație pe care o vei întâlni totuși la M2 este diferența $\infty -\infty$: ea apare de fiecare dată când scazi două mărimi care cresc amândouă nemărginit, iar la M2 o vei întâlni la diferențe cu radicali, și se reduce la una dintre cele trei de mai sus. Ei îi este dedicată lecția următoare, nedeterminarea infinit minus infinit și amplificarea cu conjugata.

5. Cum scapi de $\frac{0}{0}$?

Într-un punct finit $x_0$, cazul $\frac{0}{0}$ apare pentru că amândoi termenii fracției se anulează în $x_0$. La funcțiile din programa de științe ale naturii — rapoarte de polinoame de grad cel mult $2$ — asta înseamnă un singur lucru: atât numărătorul, cât și numitorul se divid prin $x-x_0$. Rețeta are trei pași și se repetă identic:

1. constați cazul: calculezi limita numărătorului și limita numitorului și vezi că amândouă sunt $0$;
2. factorizezi cele două polinoame, scoțând la iveală factorul comun $x-x_0$, și simplifici prin el;
3. treci la limită în expresia rămasă, care se evaluează prin înlocuire.

Pe un exemplu:

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=4.$$

Simplificarea are voie să se facă pentru că, la limită, $x$ se apropie de $2$ fără să ia valoarea $2$; pe toate celelalte valori factorul $x-2$ este nenul, deci împărțirea prin el este legitimă. Acesta e argumentul care se scrie, măcar într-o propoziție.

6. Cum scapi de $\frac{\infty }{\infty }$?

Acest caz apare la $\pm \infty$, când și numărătorul, și numitorul cresc nemărginit. La un raport de polinoame el se rezolvă cu regula pe care ai fixat-o în lecția despre limitele funcțiilor polinomiale și raționale: rezultatul se citește comparând gradele, iar când gradele sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți. Aici folosim regula, nu o redemonstrăm:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+1}{x^2-5}=3.$$

Ce merită subliniat este granița dintre cele două rețete, pentru că aici se încurcă cei mai mulți: compararea gradelor decide limita numai la $\pm \infty$; într-un punct finit ea nu spune absolut nimic, iar acolo lucrează factorizarea. Înainte de orice calcul, întreabă-te unde merge variabila — spre un număr sau spre infinit —, pentru că răspunsul alege unealta.

7. Cum scapi de $0\cdot \infty$?

Al treilea caz exceptat este un produs în care un factor tinde la $0$, iar celălalt crește nemărginit. Ideea este să-l transformi în raport, coborând unul dintre factori la numitor, pentru că rapoartele le știi deja rezolva. Cel mai adesea produsul este deja scris cu o fracție, iar transformarea se face de la sine:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}\left(4x-7\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x-7}{x}=4.$$

Într-un punct finit lucrurile arată la fel. La $\left(x-2\right)\cdot \frac{5}{x^2-4}$, primul factor tinde la $0$, al doilea crește nemărginit, deci avem $0\cdot \infty$; scriem produsul ca o singură fracție, simplificăm prin $x-2$ și înlocuim:

$$\left(x-2\right)\cdot \frac{5}{x^2-4}=\frac{5(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{5}{x+2},\underset{x\to 2}{\lim }\left(x-2\right)\cdot \frac{5}{x^2-4}=\frac{5}{4}.$$

Reține tiparul: $0\cdot \infty$ nu se rezolvă niciodată pe loc, ci se mută într-unul dintre celelalte două cazuri, unde ai deja rețeta.

8. Cum scrii răspunsul care ia punctajul întreg

Ordinea de redactare este aceeași la toate cele trei cazuri:

1. calculul separat al limitei numărătorului și a numitorului (sau a celor doi factori), cu concluzia scrisă: „obținem cazul exceptat $\frac{0}{0}$";
2. prelucrarea, scrisă ca un șir de egalități valabile pentru orice $x$ diferit de punct — factorizare și simplificare, ori aducere la o singură fracție;
3. limita expresiei rămase, cu rezultat numeric, $+\infty$ sau $-\infty$; dacă limitele laterale diferă, concluzia că funcția nu are limită în acel punct.

Un răspuns care se oprește la „$\frac{0}{0}$" nu este un răspuns, pentru că nu e un rezultat; unul care sare pasul întâi lasă nescrisă tocmai constatarea cazului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O combinație în care înlocuirea merge

Calculați $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-4\right)\left(2x+5\right)$.

Rezolvare. Cele două paranteze sunt funcții polinomiale, deci limitele lor se obțin prin înlocuire: prima are limita $1-4=-3$, a doua are limita $-2+5=3$. Amândouă sunt numere finite, deci produsul lor are sens și teorema operațiilor se aplică fără rezerve:

$$\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-4\right)\left(2x+5\right)=(-3)\cdot 3=-9.$$

Merită observat de ce nu e nimic de prelucrat: niciun factor nu tinde la $0$ împreună cu creșterea celuilalt, deci nu apare niciun caz exceptat. Înainte de a începe un calcul complicat, verifică întotdeauna dacă nu cumva înlocuirea directă e suficientă.

Exemplul 2 — Amestecul a două soluții

Într-un vas se află $5$ litri de soluție de glucoză cu $50$ de grame la litru. Peste ea se toarnă $x$ litri dintr-o soluție mai slabă, cu $20$ de grame la litru, iar amestecarea este completă. Concentrația amestecului, în grame pe litru, este $c(x)=\frac{250+20x}{5+x}$, pentru $x\ge 0$. a) Calculați $c(5)$ și $c(45)$. b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }c(x)$ și interpretați chimic rezultatul.

Rezolvare. a) Numitorul nu se anulează în niciunul dintre cele două puncte, deci nu apare niciun caz exceptat și se înlocuiește direct:

$$c(5)=\frac{250+100}{5+5}=35,c(45)=\frac{250+900}{5+45}=23.$$

Adică $35$ de grame pe litru după cinci litri adăugați și $23$ după patruzeci și cinci.

b) Acum numărătorul și numitorul cresc amândouă nemărginit, deci avem cazul $\frac{\infty }{\infty }$. Gradele sunt egale, amândouă $1$, așa că limita este raportul coeficienților dominanți:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{250+20x}{5+x}=20.$$

Chimic: oricât de multă soluție slabă ai turna, concentrația amestecului coboară spre $20$ de grame pe litru — concentrația soluției pe care o torni — fără să ajungă vreodată la ea, pentru că în vas rămân mereu cele $250$ de grame de la început. Diferența se vede și algebric: $c(x)-20=\frac{150}{5+x}$, o mărime strict pozitivă care se stinge. Modelul presupune amestecare completă și o concentrație sub pragul de solubilitate.

Exemplul 3 — Numitor care își schimbă semnul

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{8\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{x-8}$. Studiați limita funcției în punctul $8$.

Rezolvare. Numărătorul are limita $3$, iar numitorul are limita $0$, deci raportul nu se încadrează în tabelul operațiilor: trebuie cercetat semnul numitorului. La dreapta lui $8$ avem $x-8>0$, la stânga $x-8<0$, prin urmare

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 8\\ x>8\end{array}}{\lim }\frac{3}{x-8}=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 8\\ x<8\end{array}}{\lim }\frac{3}{x-8}=-\infty .$$

Cele două limite laterale există, dar sunt diferite, deci funcția $f$ nu are limită în punctul $8$. Observă deosebirea față de o funcție ca $\frac{3}{(x-8{)}^2}$, la care numitorul rămâne pozitiv de amândouă părțile: acolo cele două limite laterale ar fi fost amândouă $+\infty$, iar funcția ar fi avut limită infinită în $8$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+7}{2x^2-1}$ și scrie: „Și numărătorul, și numitorul tind la $+\infty$, deci raportul este $\frac{\infty }{\infty }=1$." Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Greșeala este „simplificarea" celor două infinituri. Simbolul $\infty$ nu este număr, deci nu se simplifică nimic; scrierea $\frac{\infty }{\infty }$ este doar eticheta cazului exceptat, iar ea nu are valoare. Că rezultatul nu poate fi $1$ se vede pe cifre: pentru $x=10$ raportul valorează $\frac{107}{199}\approx 0,54$, iar pentru $x=100$ valorează $\frac{10007}{19999}\approx 0,50$ — se apropie vizibil de $0,5$, nu de $1$.

Calculul corect folosește regula gradelor: gradele sunt egale, amândouă $2$, deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{1}{2}$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+7}{2x^2-1}=\frac{1}{2}.$$

Reține proba: la orice caz exceptat, două valori numerice mari îți arată în trei secunde dacă rezultatul scris e plauzibil.

Exemplul 5 — Un produs de tip $0\cdot \infty$

Calculați $\underset{x\to 3}{\lim }\left(x-3\right)\cdot \frac{6}{x^2-9}$.

Rezolvare. Primul factor are limita $0$. Al doilea are numitorul care tinde la $0$ și numărătorul constant, deci crește nemărginit în valoare absolută: avem cazul exceptat $0\cdot \infty$.

Scriem produsul ca o singură fracție și simplificăm, folosind că $x\ne 3$ pe tot parcursul:

$$\left(x-3\right)\cdot \frac{6}{x^2-9}=\frac{6(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{6}{x+3}.$$

Expresia rămasă se evaluează prin înlocuire, pentru că numitorul ei nu se mai anulează în $3$:

$$\underset{x\to 3}{\lim }\left(x-3\right)\cdot \frac{6}{x^2-9}=\frac{6}{6}=1.$$

Observă că, deși al doilea factor nu are limită în $3$ (limitele lui laterale sunt $+\infty$ și $-\infty$), produsul are limită: prelucrarea a desființat problema, iar asta e tocmai natura unui caz exceptat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x-3$. a) Arătați că $f(1)=0$. b) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x^2-1}=2$. c) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x^2-1}$.

Rezolvare.

a) Înlocuim direct: $f(1)=1+2-3=0$.

b) Numărătorul are limita $f(1)=0$, iar numitorul are limita $1-1=0$, deci obținem cazul exceptat $\frac{0}{0}$. Amândouă polinoamele se divid prin $x-1$:

$$\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+3}{x+1}.$$

Ultima expresie are numitorul nenul în $1$, deci limita se obține prin înlocuire:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}=\frac{4}{2}=2.$$

c) De data aceasta variabila merge la $+\infty$, deci cazul este $\frac{\infty }{\infty }$ și se rezolvă prin compararea gradelor. Ele sunt egale, amândouă $2$, iar coeficienții dominanți sunt $1$ și $1$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}=1.$$

De la examen la lecție. Cerințele au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: „Arătați că…" la primele două puncte și „Calculați…" la al treilea. Aceeași funcție a fost folosită în două puncte cu cerințe diferite, iar aceasta este structura obișnuită a unei probleme de la Subiectul al III-lea. Observă și că același raport a dat două rezultate diferite, $2$ și $1$: limita depinde de punctul spre care merge variabila, nu doar de formulă.

Să exersăm

Ordinea de redactare: limitele celor doi termeni, numele cazului exceptat, prelucrarea, limita finală.

1. Calculează $\underset{x\to -3}{\lim }\left(x^2-5x+2\right)$.

2. Calculează $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+7\right)\left(4x-3\right)$.

3. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{11}{2x-13}$.

4. Pentru $f(x)=\frac{-5}{x+6}$, calculează cele două limite laterale în punctul $-6$ și spune dacă funcția are limită acolo.

5. Arată că $\underset{x\to -11}{\lim }\frac{x^2-121}{x+11}=-22$, precizând mai întâi ce caz exceptat apare.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă limita numitorului este $0$, atunci funcția nu are limită în acel punct."

7. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{7x^2-4}{2x^2+9}$.

8. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x}\left(2x+11\right)$ și spune ce caz exceptat ai ridicat.

9. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^2+x}{x}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-x}{5x^2+3}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-7x+6$. Arată că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=-5$.

13. Fără să faci calculul până la capăt, spune ce caz exceptat apare la $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2+2}$ și ce unealtă îl ridică.

14. (Problemă aplicată.) Într-un vas se află $20$ de grame de sare dizolvate în $x$ litri de apă, iar concentrația este $c(x)=\frac{20}{x}$, în grame pe litru. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }c(x)$ și limita concentrației când $x$ se apropie de $0$; explică ce înseamnă fiecare rezultat și pe ce interval are sens modelul.

15. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{7}{x^2+1}$.

16. Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x^2+x-2}$.

17. Calculează $\underset{x\to -7}{\lim }\left(x+7\right)\cdot \frac{8}{x^2-49}$.

18. (Provocare.) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{7x}{x}$, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3}{x^2}$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{x^2}{x^3}$, apoi scrie într-o propoziție de ce aceste trei rezultate justifică numele de „caz exceptat".

Răspunsuri și explicații

1. Funcția este polinomială, deci limita se obține prin înlocuire: $\underset{x\to -3}{\lim }\left(x^2-5x+2\right)=9+15+2=26$.

2. Limitele factorilor sunt $11$ și $-11$, amândouă finite, deci produsul are sens: $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+7\right)\left(4x-3\right)=-121$.

3. Numitorul tinde la $+\infty$, numărătorul e constant, deci rândul al patrulea din tabel dă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{11}{2x-13}=0$.

4. Numărătorul are limita $-5$, numitorul limita $0$, deci se cercetează semnul numitorului; fiindcă numărătorul este negativ, rezultatele ies pe dos față de regula scrisă pentru $c>0$: $\underset{\begin{array}{c}x\to -6\\ x>-6\end{array}}{\lim }\frac{-5}{x+6}=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to -6\\ x<-6\end{array}}{\lim }\frac{-5}{x+6}=+\infty$. Fiind diferite, funcția nu are limită în punctul $-6$.

5. Amândoi termenii se anulează în $-11$, deci cazul este $\frac{0}{0}$. Factorizăm și simplificăm: $\frac{x^2-121}{x+11}=\frac{(x+11)(x-11)}{x+11}=x-11$, iar $\underset{x\to -11}{\lim }\frac{x^2-121}{x+11}=-22$.

6. Fals. Cu numitorul tinzând la $0$ sunt posibile trei situații: cazul exceptat $\frac{0}{0}$, care poate da o limită finită, ca la exercițiul 5; un numitor cu semn constant, ca la $\frac{7}{(x-3{)}^2}$, unde limita este $+\infty$; și un numitor care schimbă semnul, ca la exercițiul 4, unde într-adevăr nu există limită. Numai al treilea caz confirmă afirmația.

7. Cazul este $\frac{\infty }{\infty }$, gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{7x^2-4}{2x^2+9}=\frac{7}{2}$.

8. Primul factor tinde la $0$, al doilea la $+\infty$, deci cazul este $0\cdot \infty$. Scriem produsul ca fracție: $\frac{3}{x}\left(2x+11\right)=\frac{6x+33}{x}$, iar prin compararea gradelor $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x+33}{x}=6$.

9. Cazul este $\frac{0}{0}$. Factorizăm numărătorul: $\frac{3x^2+x}{x}=\frac{x(3x+1)}{x}=3x+1$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^2+x}{x}=1$.

10. Amândouă polinoamele se anulează în $3$, deci cazul este $\frac{0}{0}$. Avem $\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}=\frac{x+3}{x+1}$, iar prin înlocuire $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

11. Cazul este $\frac{\infty }{\infty }$, cu grade egale, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-x}{5x^2+3}=\frac{2}{5}$.

12. Avem $f(1)=1-7+6=0$, deci cazul este $\frac{0}{0}$. Factorizăm: $\frac{x^2-7x+6}{x-1}=\frac{(x-1)(x-6)}{x-1}=x-6$, iar $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-7x+6}{x-1}=-5$.

13. Cazul este $\frac{\infty }{\infty }$, iar unealta este compararea gradelor. Gradul numitorului este mai mare, deci limita este $0$; formal, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2+2}=0$.

14. Când $x$ crește nemărginit, numărătorul rămâne constant, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{20}{x}=0$: oricât de diluată, soluția nu ajunge niciodată apă curată, dar concentrația coboară sub orice prag. Când $x$ se apropie de $0$ prin valori pozitive, $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{20}{x}=+\infty$: cu foarte puțină apă, concentrația crește peste orice valoare. Modelul are sens numai pentru $x>0$ și numai cât timp sarea chiar se dizolvă — peste pragul de solubilitate, o parte rămâne pe fundul vasului.

15. Numitorul tinde la $+\infty$, numărătorul e constant, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{7}{x^2+1}=0$.

16. Cazul este $\frac{0}{0}$; avem $\frac{x^2-1}{x^2+x-2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{x+1}{x+2}$, deci $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x^2+x-2}=\frac{2}{3}$.

17. Cazul este $0\cdot \infty$. Scriem produsul ca o singură fracție: $\left(x+7\right)\cdot \frac{8}{x^2-49}=\frac{8(x+7)}{(x+7)(x-7)}=\frac{8}{x-7}$, deci $\underset{x\to -7}{\lim }\left(x+7\right)\cdot \frac{8}{x^2-49}=-\frac{4}{7}$. Semnul minus vine din numitorul $-14$, nu din vreo schimbare de regulă.

18. Simplificând, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{7x}{x}=7$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }x=0$. La a treia, $\frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$, iar la stânga lui zero numitorul este negativ și tot mai aproape de zero, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{x^2}{x^3}=-\infty$; discuția de semn e obligatorie aici, altfel rezultatul iese cu semn greșit. Din aceeași formă $\frac{0}{0}$ au ieșit un număr nenul, zero și un infinit negativ: forma nu determină rezultatul, deci ea nu poate fi un răspuns, ci doar un semnal că expresia trebuie prelucrată — exact înțelesul cuvântului „exceptat".

De reținut

• Limitele se adună, se scad, se înmulțesc și se împart ca numerele, dar numai atunci când operația dintre ele are sens; la cât se adaugă condiția ca limita numitorului să fie nenulă.
• Tabelul operațiilor cu $\pm \infty$ nu conține $\frac{a}{0}$: când numitorul tinde la zero, iar numărătorul nu, răspunsul se decide din semnul numitorului, cu limite laterale, și poate fi „funcția nu are limită".
• Cele trei cazuri exceptate cerute la profilul științe ale naturii sunt $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$; ele sunt etichete de diagnostic, nu rezultate.
• Unealta se alege după punctul spre care merge variabila: factorizare și simplificare într-un punct finit, compararea gradelor la $\pm \infty$; produsul $0\cdot \infty$ se scrie mai întâi ca o singură fracție.
• Rezolvarea care ia punctajul are trei părți scrise pe hârtie: limitele celor doi termeni cu numele cazului, prelucrarea ca șir de egalități și limita finală cu rezultat.

Greșeli frecvente

• Scrii „caz exceptat" fără să fi calculat cele două limite. Nedeterminarea se constată, nu se presupune: întâi afli limita numărătorului și pe cea a numitorului, abia apoi îi dai un nume. Multe exerciții care par complicate se rezolvă prin simplă înlocuire.
• Simplifici fracția termen cu termen. În $\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}$ nu se taie $x^2$ de sus cu $x^2$ de jos; se descompun amândouă polinoamele în factori și se simplifică prin paranteza întreagă $x-3$.
• Crezi că $\frac{\infty }{\infty }$ înseamnă $1$, „fiindcă sus și jos e același infinit". Simbolul $\infty$ nu este număr și nu se simplifică; rezultatul depinde de grade și poate fi orice — la $\frac{x+1}{x^2+2}$ este $0$, la $\frac{2x^2-x}{5x^2+3}$ este $\frac{2}{5}$.
• Lași nedeterminarea pe post de răspuns. „$\frac{0}{0}$" nu se trece în caseta de rezultat; un răspuns complet conține un număr, $+\infty$, $-\infty$ sau propoziția „funcția nu are limită în acel punct".
• Folosești compararea gradelor într-un punct finit. Regula gradelor decide limita numai la $\pm \infty$; într-un punct finit ea nu spune nimic, iar acolo lucrează factorizarea urmată de simplificare.

Aplică acasă

1. Tabelul amestecului. Calculează $c(x)=\frac{250+20x}{5+x}$ pentru $x=5$, $x=45$, $x=95$ și $x=495$ de litri, scrie valorile într-un tabel și compară-le cu limita găsită în Exemplul 2. Determină apoi, rezolvând inecuația $\frac{150}{5+x}<1$, de la ce volum adăugat concentrația se apropie de $20$ de grame pe litru cu mai puțin de o unitate.

2. Paharul care se diluează. Dizolvă o linguriță rasă de sare (circa $6$ grame) într-un pahar cu $200$ de mililitri de apă și calculează concentrația. Adaugă apoi apă din $100$ în $100$ de mililitri, recalculând de fiecare dată concentrația cu formula $c(V)=\frac{6}{V}$, cu $V$ în litri. Notează momentul în care gustul sărat nu se mai simte și compară-l cu limita $0$: modelul matematic continuă, percepția se oprește.

3. Cele trei etichete. Scrie pe șase bilețele limitele $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x-5}{x^2-5x}$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+1}{x-6}$, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{5x}$, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+3}{x-9}$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x}\left(x+8\right)$ și $\underset{x\to 3}{\lim }\left(x^2-x\right)$, apoi așază fiecare bilețel într-una din patru cutii: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\cdot \infty$ sau „nimic de prelucrat". Nu calcula nimic — sortarea se face doar din limitele celor doi termeni, iar exercițiul e reușit dacă poți spune, pentru fiecare bilețel, de ce l-ai pus acolo.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la unitatea XI.2 „Limite de funcții și continuitate", în conținutul „Calculul limitelor: limitele funcțiilor studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) numește explicit „cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții" și le enumeră pe cele trei tratate aici; ele apar la Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune.

Lecția verifică patru lucruri: (1) că elevul calculează limitele celor doi termeni înainte de a decide dacă are sau nu un caz exceptat; (2) că alege unealta după punctul spre care merge variabila, nu după cum arată formula; (3) că tratează separat limitele laterale acolo unde numitorul își schimbă semnul; (4) că nu lasă niciodată o nedeterminare drept răspuns. Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce limită are numărătorul și ce limită are numitorul?"; „Variabila merge spre un număr sau spre infinit — și ce unealtă alegi de aceea?"; „De ce ai voie să simplifici prin $x-x_0$?"; „Ce înseamnă, în cuvinte, că un caz este exceptat?". Semne că a înțeles: scrie numele cazului înainte de prelucrare, justifică simplificarea prin faptul că $x\ne x_0$ și verifică rezultatul pe două valori numerice. Pasul dinaintea acestei lecții a fost cel despre limitele funcțiilor exponențială și logaritmică la M2, iar continuarea firească este lecția despre diferența a două mărimi care cresc amândouă nemărginit.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă lista cazurilor exceptate la M2 față de mate-info (M1)? La matematică-informatică se studiază toate cele șapte nedeterminări, împreună cu limitele fundamentale care le ridică. Programa de examen pentru științe ale naturii numește trei — $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$ —, iar prelucrările cerute sunt cele elementare. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: operațiile cu limite de funcții tratează și restul listei.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2 o limită cu caz exceptat? La Subiectul al III-lea, care cuprinde două probleme de analiză matematică a câte trei cerințe de câte cinci puncte. Cerințele au forma „Arătați că limita… este…" sau „Calculați limita…", iar prelucrarea așteptată este factorizarea într-un punct finit, respectiv compararea gradelor la infinit.

Câte cazuri exceptate trebuie să știu la profilul științe ale naturii? Trei, pentru că exact atâtea numește programa de examen: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$. La ele se adaugă, în practică, diferența $\infty -\infty$, care apare la expresii cu radicali și se reduce tot la unul dintre cele trei; ea este tema lecției următoare din unitate. Celelalte poziții ale listei de șapte a profilului matematică-informatică nu intră în programa de examen pentru științe ale naturii, așa că nu le înveți acum.

Cum recunosc un caz exceptat înainte să încep calculul? Calculează separat limita fiecărei părți — numărător și numitor, sau cei doi factori — și așază rezultatele unul lângă altul. Dacă perechea obținută se găsește în tabelul operațiilor, ai răspunsul. Dacă nu se găsește, ai un caz exceptat, iar numele lui se citește chiar din perechea de limite.

De ce nu se poate simplifica $\frac{\infty }{\infty }$ cu $1$? Pentru că $\infty$ nu este un număr, ci un simbol care descrie o comportare; două funcții pot crește amândouă nemărginit, dar cu viteze foarte diferite. Rapoartele $\frac{x+1}{x^2+2}$ și $\frac{2x^2-x}{5x^2+3}$ au aceeași etichetă și limite diferite, $0$ și $\frac{2}{5}$. Simplificarea se face între numere, iar aici nu ai numere, ci două creșteri; rezultatul îl decide compararea gradelor, nu ștergerea unui simbol cu celălalt.

Ce fac concret cu un produs de tipul $0\cdot \infty$? Îl scrii ca o singură fracție, coborând la numitor factorul care crește nemărginit sau aducând ambele părți la același numitor. Obții astfel $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, adică o formă pentru care ai deja rețetă. Produsul nu se rezolvă niciodată pe loc, ci se mută într-un caz cunoscut.

Ce înseamnă, într-o problemă de laborator, o limită infinită? Că mărimea depășește orice valoare pe care ți-o poți propune, atât timp cât modelul rămâne valabil. La concentrația $\frac{20}{x}$, limita $+\infty$ când volumul se apropie de zero spune că soluția devine oricât de concentrată — dar numai până la pragul de solubilitate, dincolo de care sarea nu se mai dizolvă și modelul se oprește.