Cum descompun X³-2X²-9X+18 prin grupare?

Grupezi primii doi termeni și ultimii doi: X²(X-2)-9(X-2)=(X-2)(X²-9), apoi diferența de pătrate: (X-2)(X-3)(X+3). Rădăcinile sunt 2, 3 și -3, ceea ce se poate verifica prin înlocuire.

Este X²+1 ireductibil peste ℝ?

Da. Un polinom de gradul al doilea se descompune peste ℝ doar dacă are o rădăcină reală, iar x²+1 este cel puțin 1 pentru orice x real. Peste ℂ însă X²+1=(X-i)(X+i).

Cum aflu rădăcinile comune a două polinoame?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · C.m.m.d.c. și descompunerea

Un număr este rădăcină pentru ambele polinoame exact când anulează și c.m.m.d.c. al lor, pe care îl dă algoritmul lui Euclid. Exemplu: $f = X^{2} - 5 X + 6$ și $g = X^{2} - 4$ . Scăzând, $f - g = - 5 X + 10 = - 5 (X - 2)$ , iar $g$ se împarte exact la $X - 2$ , cu câtul $X + 2$ . Deci c.m.m.d.c. este $X - 2$ , iar singura rădăcină comună este $2$ . Verificare: $f (2) = 4 - 10 + 6 = 0$ și $g (2) = 0$ , în timp ce $f (- 2) = 20$ .

Ce e $cmmdc (f, g)$ . Polinomul monic care e divizor la amândouă și care se lasă divizat de oricare alt divizor comun al lor. Condiția „coeficient dominant $1$ ” e cea care îl face unic: fără ea, $- 4 X + 20$ , $2 X - 10$ și $X - 5$ ar descrie același divizor.

Motorul algoritmului. Din $f = g \cdot q + r$ rezultă că perechile $(f, g)$ și $(g, r)$ au exact aceiași divizori comuni; cum gradul restului scade strict, după un număr finit de împărțiri apare restul nul. Răspunsul e restul dinaintea lui, adus monic. Înainte de pasul următor, restul se poate simplifica printr-un factor numeric oarecare, nenul, ceea ce ține toate împărțirile în numere întregi.

Descompunerea. La patru termeni încerci gruparea: scoți un factor din fiecare pereche de termeni, țintind ca paranteza rămasă să iasă aceeași de amândouă părțile. Dacă parantezele ies diferite, ai grupat prost sau metoda nu e potrivită — nu că polinomul n-ar avea factori. Un trinom $X^{2} + b X + c$ se mai sparge peste numerele reale exact când $b^{2} - 4 c \geq 0$ .

Ce citești. Valorile care le sting pe amândouă odată se află printre zerourile celui mai mare divizor comun — și acolo se află toate, niciuna în plus.

De reținut

rădăcinile comune ale lui $f$ și $g$ sunt rădăcinile lui $cmmdc (f, g)$
c.m.m.d.c. se scrie monic, cu coeficientul dominant $1$
la gruparea termenilor se caută o paranteză comună

Greșeala tipică

Se dă ca răspuns ultimul rest nenul, $- 5 X + 10$ , fără a-l aduce la forma monică; c.m.m.d.c. are coeficientul dominant $1$ , deci este $X - 2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Forma monică a polinomului $- 5 X^{2} + 45 X - 70$ din $R [X]$ este:
- a) $X^{2} - 9 X + 14$
- b) $X^{2} + 9 X - 14$
- c) $X^{2} - 9 X - 14$
- d) $5 X^{2} - 45 X + 70$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $X^{2} - 9 X + 14$

Se împarte polinomul la coeficientul lui dominant, adică la $- 5$ : $\frac{- 5 X ^{2}}{- 5} = X^{2}$ , $\frac{45 X}{- 5} = - 9 X$ și $\frac{- 70}{- 5} = 14$ . Rezultatul este $X^{2} - 9 X + 14$ , cu coeficientul dominant $1$ . Variantele b) și c) împart doar o parte dintre coeficienți la $- 5$ , lăsând un semn greșit, iar d) schimbă numai semnele, deci coeficientul dominant rămâne diferit de $1$ .
Restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 4 X^{2} - 7 X + 10$ la $g = X^{2} + 2 X - 35$ este:
- a) $- 40 X + 200$
- b) $40 X - 200$
- c) $40 X + 200$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $40 X - 200$

Prima rundă: $X^{3} : X^{2} = X$ , iar $X (X^{2} + 2 X - 35) = X^{3} + 2 X^{2} - 35 X$ ; scăzând rămâne $- 6 X^{2} + 28 X + 10$ . A doua rundă: $- 6 X^{2} : X^{2} = - 6$ , iar $- 6 (X^{2} + 2 X - 35) = - 6 X^{2} - 12 X + 210$ ; scăzând rămâne $40 X - 200$ , de gradul $1$ , deci mai mic decât gradul $2$ al împărțitorului. Câtul este $X - 6$ .
Prin gruparea termenilor, polinomul $P = X^{3} + 6 X^{2} - 5 X - 30$ se scrie:
- a) $(X - 6) (X^{2} + 5)$
- b) $(X + 6) (X^{2} - 5)$
- c) $(X + 6) (X^{2} + 5)$
- d) $(X^{2} + 6) (X - 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(X + 6) (X^{2} - 5)$

Grupăm primii doi termeni și ultimii doi: $X^{2} (X + 6) - 5 (X + 6) = (X + 6) (X^{2} - 5)$ ; paranteza rămasă e aceeași în amândouă grupele, deci gruparea a reușit. Control prin desfacere: $(X + 6) (X^{2} - 5) = X^{3} - 5 X + 6 X^{2} - 30$ . Factorul $X^{2} - 5$ se mai sparge peste numerele reale, fiindcă $X^{2} = 5$ are soluții.

Întrebări conexe

Cum descompun $X^{3} - 2 X^{2} - 9 X + 18$ prin grupare?

Grupezi primii doi termeni și ultimii doi: $X^{2} (X - 2) - 9 (X - 2) = (X - 2) (X^{2} - 9)$ , apoi diferența de pătrate: $(X - 2) (X - 3) (X + 3)$ . Rădăcinile sunt $2$ , $3$ și $- 3$ , ceea ce se poate verifica prin înlocuire.

Ce este c.m.m.m.c. a două polinoame?

Este polinomul monic de grad minim care se divide cu amândouă. Pentru $(X - 1) (X - 2)$ și $(X - 2) (X + 3)$ , factorul comun se ia o singură dată: c.m.m.m.c. este $(X - 1) (X - 2) (X + 3)$ .

Ce înseamnă că două polinoame au c.m.m.d.c. egal cu $1$ ?

Că nu au niciun divizor comun neconstant, deci nici rădăcini comune. De exemplu, $X + 1$ și $X - 1$ au c.m.m.d.c. egal cu $1$ : primul se anulează doar în $- 1$ , al doilea doar în $1$ .

Este $X^{2} + 1$ ireductibil peste $R$ ?

Da. Un polinom de gradul al doilea se descompune peste $R$ doar dacă are o rădăcină reală, iar $x^{2} + 1$ este cel puțin $1$ pentru orice $x$ real. Peste $C$ însă $X^{2} + 1 = (X - i) (X + i)$ .

Cum descompun $X^{4} - 1$ în factori ireductibili peste $R$ ?

Folosești de două ori diferența de pătrate: $X^{4} - 1 = (X^{2} - 1) (X^{2} + 1) = (X - 1) (X + 1) (X^{2} + 1)$ . Ultimul factor nu mai are rădăcini reale, deci descompunerea peste $R$ s-a încheiat. Factorul $X^{2} + 1$ se descompune doar peste $C$ , în $(X - i) (X + i)$ .

Oamenii mai întreabă și: rădăcini comune a două polinoame · c.m.m.d.c. și rădăcinile comune · polinoame cu o rădăcină comună · algoritmul lui Euclid pentru rădăcini comune

Cum aflu rădăcinile comune a două polinoame?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum descompun X3−2X2−9X+18 prin grupare?

Ce este c.m.m.m.c. a două polinoame?

Ce înseamnă că două polinoame au c.m.m.d.c. egal cu 1?

Este X2+1 ireductibil peste R?

Cum descompun X4−1 în factori ireductibili peste R?

Continuă cu

Cum descompun $X^{3} - 2 X^{2} - 9 X + 18$ prin grupare?

Ce înseamnă că două polinoame au c.m.m.d.c. egal cu $1$ ?

Este $X^{2} + 1$ ireductibil peste $R$ ?

Cum descompun $X^{4} - 1$ în factori ireductibili peste $R$ ?