C.m.m.d.c. și descompunerea în factori (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un laborator se urmăresc două mărimi care variază în timp — de pildă masa unui reactiv și masa unui produs de reacție — și fiecare e descrisă printr-un polinom. Întrebarea firească a experimentatorului nu e „cât face fiecare", ci „se anulează amândouă în același moment?". Aici, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), răspunsul se obține fără a rezolva vreuna dintre cele două ecuații: e de ajuns să scoți factorul pe care polinoamele îl au împreună. Uneltele se numesc cel mai mare divizor comun și algoritmul lui Euclid, iar tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Merită spus de la început pentru cine e scrisă lecția. Capitolul de polinoame peste un corp face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2: el stă în programa de examen din 2014, pe care o dau promoțiile examinate în 2027, 2028 și 2029, dar a fost scos din programa de clasa a XII-a aprobată prin OMEC 6930/2025. Dacă ești în una dintre cele trei promoții, materia de aici îți apare în subiecte; dacă ești după ele, polinoamele le-ai întâlnit deja mai devreme în liceu. Pe partea de calcul te sprijini pe clasa a IX-a: Teorema împărțirii cu rest la polinoame și Divizibilitatea polinoamelor și teorema lui Bézout.

Ce vei învăța

Vei ști să explici ce cerințe îndeplinește polinomul notat $cmmdc (f, g)$ și de ce i se impune coeficientul dominant $1$ .
Vei ști să duci până la capăt algoritmul lui Euclid pe grade mici, oprindu-te la primul rest nul și citind răspunsul din restul dinaintea lui.
Vei ști să simplifici un rest printr-un factor numeric comun, ca pașii următori să rămână cu coeficienți întregi.
Vei ști să descompui un polinom prin gruparea termenilor și să recunoști când un factor rămas nu se mai poate sparge cu numere reale.
Vei ști să citești rădăcinile comune a două polinoame din cel mai mare divizor comun al lor.
Vei ști să obții cel mai mic multiplu comun din produsul celor două polinoame și din cel mai mare divizor comun.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „cel mai mare divizor comun" la polinoame?

Pornește de la ce știi deja despre divizibilitate: polinomul $d$ divide polinomul $f$ dacă există un polinom $c$ astfel încât $f = d \cdot c$ ; se scrie $d ∣ f$ . Când un același polinom apare ca divizor în două locuri deodată, la $f$ și la $g$ , îi spunem divizor comun.

Cel mai mare divizor comun al polinoamelor nenule $f$ și $g$ este polinomul $cmmdc (f, g)$ care îndeplinește, în același timp, trei cerințe: (i) coeficientul lui dominant este $1$ ; (ii) el apare ca divizor și la $f$ , și la $g$ ; (iii) orice alt polinom cu proprietatea (ii) îl divide, la rândul lui. A treia cerință e cea care spune „cel mai mare": nu prin grad, ci prin bogăția factorilor.

Observă că definiția nu spune „cel de grad maxim". La polinoame peste $R$ cele două formulări duc, din fericire, la același rezultat, dar cea corectă este cea prin divizibilitate: ea rămâne valabilă și acolo unde gradul nu ajunge să deosebească.

Compară o clipă cu numerele întregi, fiindcă seamănă mai mult decât ai crede. Acolo, cel mai mare divizor comun al lui $24$ și $36$ este $12$ , iar el are două proprietăți: divide amândouă numerele și este divizibil cu orice alt divizor comun al lor ( $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ ). Singura deosebire e că la numere ambiguitatea se rezolvă prin semn — alegem varianta pozitivă —, iar la polinoame prin coeficientul dominant. Restul, inclusiv metoda de calcul, se transferă cuvânt cu cuvânt.

2. De ce se cere coeficientul dominant $1$ ?

Fiindcă altfel răspunsul n-ar fi unic. Dacă $d$ divide și pe $f$ , și pe $g$ , atunci orice multiplu al lui $d$ cu un număr nenul divide la fel de bine amândouă polinoamele: din $f = d \cdot c$ scoți $f = (- 4 d) \cdot (- \frac{1}{4} c)$ . Aceeași informație ar avea, atunci, o infinitate de scrieri: $- 4 X + 20$ , $2 X - 10$ , $X - 5$ descriu toate același divizor.

Convenția alege dintre ele reprezentantul cu coeficientul dominant $1$ — spunem că polinomul e monic. Aici, $X - 5$ . Gestul practic e simplu: după ce ai găsit un divizor comun, împarte-l la coeficientul lui dominant. Un răspuns nemonic la o cerință de c.m.m.d.c. este considerat incomplet.

3. De ce se pot înlocui $f$ și $g$ cu $g$ și restul?

Aici stă toată ideea algoritmului. Presupune că împarți pe $f$ la $g$ și obții câtul $q$ și restul $r$ , adică $f = g \cdot q + r$ . Atunci:

dacă un polinom $d$ divide pe $g$ și pe $r$ , el divide și pe $g \cdot q + r$ , adică pe $f$ ;
invers, dacă $d$ divide pe $f$ și pe $g$ , el divide și pe $f - g \cdot q$ , adică pe $r$ .

Perechea $(f, g)$ și perechea $(g, r)$ au, prin urmare, exact aceiași divizori comuni, deci și același c.m.m.d.c. Cum gradul restului e strict mai mic decât gradul lui $g$ , la fiecare pas problema se micșorează, iar șirul gradelor nu poate scădea la nesfârșit: după cel mult $grad g + 1$ împărțiri ajungi la restul nul.

Mai reține o consecință care ușurează calculul enorm: dacă înmulțești restul cu un număr $c \neq = 0$ , mulțimea divizorilor lui nu se schimbă, fiindcă $d ∣ r$ și $d ∣ c \cdot r$ sunt condiții echivalente. Deci un rest se poate simplifica prin factorul numeric comun al coeficienților lui înainte de pasul următor. Vei folosi regula la fiecare exercițiu: ea ține toate împărțirile în numere întregi.

4. Cum arată algoritmul lui Euclid pe un caz concret?

Ia $f = X^{3} + X^{2} - 30 X - 72$ și $g = X^{2} - 3 X - 28$ (obiectul acesta rămâne al secțiunii de față; în exemple și în exerciții vei lucra cu alte perechi).

Pasul 1. Împarți $f$ la $g$ :

$X^{3} + X^{2} - 30 X - 72 = (X^{2} - 3 X - 28) (X + 4) + (10 X + 40) .$

Restul $10 X + 40$ nu e nul, deci mergem mai departe. Îl simplificăm prin $10$ și rămâne $X + 4$ — după §3, divizorii nu s-au schimbat.

Pasul 2. Împarți acum pe $g$ la $X + 4$ :

$X^{2} - 3 X - 28 = (X + 4) (X - 7) + 0.$

Restul e nul, deci algoritmul se oprește. Răspunsul este ultimul rest nenul, făcut monic: $cmmdc (f, g) = X + 4$ .

Proba durează zece secunde: $X + 4$ divide pe $g$ (tocmai am văzut câtul $X - 7$ ) și divide pe $f$ , fiindcă $f = (X + 4) (X^{2} - 3 X - 18)$ . Verifică înmulțind: $(X + 4) (X^{2} - 3 X - 18) = X^{3} - 3 X^{2} - 18 X + 4 X^{2} - 12 X - 72 = X^{3} + X^{2} - 30 X - 72$ .

5. Cum se descompune un polinom prin gruparea termenilor?

Algoritmul lui Euclid găsește factorul comun a două polinoame. Descompunerea răspunde la altă întrebare: cum scriu un singur polinom ca produs? Cea mai ieftină metodă, când polinomul are patru termeni, e gruparea.

Ia $P = X^{3} - 7 X^{2} - 9 X + 63$ (și acesta e obiectul secțiunii). Grupează primii doi termeni și ultimii doi:

$X^{3} - 7 X^{2} - 9 X + 63 = X^{2} (X - 7) - 9 (X - 7) = (X - 7) (X^{2} - 9) .$

Trucul e să dai factor comun în fiecare grupă astfel încât paranteza rămasă să fie aceeași; dacă nu iese, schimbă ordinea termenilor sau grupele. La final, fiecare factor se sparge mai departe cât se poate: $X^{2} - 9 = (X - 3) (X + 3)$ , deci $P = (X - 7) (X - 3) (X + 3)$ .

Nu orice factor de gradul al doilea se mai sparge. Dacă rămâi cu $X^{2} + 3$ , calculul $X^{2} = - 3$ nu are soluție reală, deci peste numerele reale factorul rămâne așa cum e. Recunoașterea se face cu discriminantul: un trinom $X^{2} + b X + c$ se mai sparge în factori de gradul întâi cu coeficienți reali exact când $b^{2} - 4 c \geq 0$ .

Gruparea nu merge la orice polinom cu patru termeni, iar asta se vede repede. Încearcă pe $X^{3} + 5 X^{2} + 2 X + 7$ : prima grupă dă $X^{2} (X + 5)$ , a doua $2 X + 7$ , din care nu poți scoate $X + 5$ . Schimbi ordinea și grupezi altfel — $(X^{3} + 2 X) + (5 X^{2} + 7)$ — și obții $X (X^{2} + 2) + (5 X^{2} + 7)$ : iarăși paranteze diferite. Concluzia corectă nu este „polinomul nu se descompune", ci „gruparea nu e metoda potrivită aici"; rămâne să cauți o rădăcină, cum vei face la Rădăcinile raționale ale unei ecuații algebrice.

De ce merge, totuși, gruparea atât de des? Fiindcă un polinom de forma $X^{3} + a X^{2} + b X + ab$ are, prin construcție, rădăcina $- a$ : grupat, el devine $X^{2} (X + a) + b (X + a) = (X + a) (X^{2} + b)$ . Când vezi patru termeni în care raportul primilor doi coeficienți e același cu raportul ultimilor doi, ai aproape sigur un candidat pentru grupare.

6. Ce citești dintr-un c.m.m.d.c.?

Numerele care anulează deodată cele două polinoame sunt tocmai zerourile lui $cmmdc (f, g)$ — nici unul în plus, nici unul în minus. Într-un sens e limpede: dacă $d$ le divide pe amândouă, orice zero al lui $d$ le anulează pe amândouă. În celălalt sens, fie $a$ un număr care le anulează pe amândouă; prin teorema lui Bézout, $X - a$ apare ca divizor la fiecare, deci divide și c.m.m.d.c.-ul, adică $a$ e zero al acestuia.

Ai, astfel, o metodă de lucru pe care merită s-o reții ca rețetă: ca să afli momentele în care două mărimi se anulează simultan, nu rezolvi două ecuații, ci calculezi un c.m.m.d.c. și rezolvi una singură — de obicei de grad mult mai mic. Aplic-o în exercițiul 12: scrie cele două polinoame, pornește algoritmul, oprește-te la primul rest nul și abia atunci caută rădăcinile.

Atenție la o capcană de formulare, fiindcă e ușor de călcat. Enunțul „rădăcinile comune sunt rădăcinile c.m.m.d.c.-ului" spune ceva despre rădăcini, nu despre grad. Un c.m.m.d.c. de gradul al doilea poate avea două rădăcini reale, una singură sau niciuna — depinde de semnul discriminantului. Când răspunzi la o cerință de tipul „câte rădăcini reale comune au polinoamele?", ultimul pas nu e citirea gradului, ci rezolvarea efectivă a ecuației $cmmdc (f, g) = 0$ .

7. Ce este cel mai mic multiplu comun și cum se obține?

Simetric față de divizorul comun, un multiplu comun al lui $f$ și $g$ e un polinom pe care îl divid amândouă. Cel mai mic multiplu comun, notat $cmmmc (f, g)$ , e multiplul comun monic care divide orice alt multiplu comun. Legătura dintre cele două noțiuni e aceeași ca la numere:

$cmmdc (f, g) \cdot cmmmc (f, g) = f \cdot g (egalitate p \overset{a}{ˆ} n \overset{a}{˘} la un factor numeric) .$

Cu alte cuvinte: împarți produsul $f \cdot g$ la c.m.m.d.c. și faci rezultatul monic. Revenim la perechea din §4, acum cu celălalt calcul: acolo $f = (X + 4) (X - 6) (X + 3)$ și $g = (X + 4) (X - 7)$ , iar $cmmdc = X + 4$ , deci

$cmmmc (f, g) = (X + 4) (X - 6) (X + 3) (X - 7) = X^{4} - 6 X^{3} - 37 X^{2} + 138 X + 504.$

Se vede și direct de ce: multiplul comun cel mai economic ia fiecare factor o singură dată, dar pe toți. Factorul $X + 4$ , care apare în amândouă polinoamele, ar fi numărat de două ori în produsul $f \cdot g$ ; împărțirea la c.m.m.d.c. îl readuce la o singură apariție.

Precizarea „până la un factor numeric" din egalitate nu e un detaliu de stil. Dacă $f$ și $g$ nu sunt monice, produsul $f \cdot g$ poartă produsul coeficienților dominanți, în timp ce c.m.m.d.c.-ul și c.m.m.m.c.-ul sunt, prin convenție, monice. Practic, calculezi $\frac{f \cdot g}{cmmdc ( f , g )}$ și, la final, împarți rezultatul la coeficientul lui dominant — același gest ca la orice răspuns de felul acesta.

Intersecția: c.m.m.d.c.; reuniunea: c.m.m.m.c.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Pentru bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, la elementele de algebră, în capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", rândul „c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili". Lecția de față acoperă rândul acesta la nivelul cerut de profil: algoritmul lui Euclid pe polinoame de grad mic și descompunerea efectivă, prin grupare și prin rădăcini. Partea de studiu general — care polinoame nu se mai pot sparge peste un corp dat — rămâne temă de mate-info și nu se cere aici.

Merită spus și cum arată proba, din sursa cea mai apropiată: modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Materia de algebră a clasei a XII-a stă la Subiectul al II-lea, a cărui a doua problemă are trei cerințe legate. Cerințele din lecție sunt construite pe rândul de programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un c.m.m.d.c. de gradul întâi

Determină $cmmdc (X^{3} - 8 X^{2} + X + 42, X^{2} - 2 X - 35)$ .

Rezolvare. Prima împărțire:

$X^{3} - 8 X^{2} + X + 42 = (X^{2} - 2 X - 35) (X - 6) + (24 X - 168) .$

Restul $24 X - 168$ se simplifică prin $24$ și devine $X - 7$ . A doua împărțire:

$X^{2} - 2 X - 35 = (X - 7) (X + 5) + 0.$

Restul e nul, deci $cmmdc = X - 7$ , deja monic. Probă: $X^{3} - 8 X^{2} + X + 42 = (X - 7) (X^{2} - X - 6)$ , iar $X^{2} - 2 X - 35 = (X - 7) (X + 5)$ .

Exemplul 2 — Gradul al patrulea împărțit la gradul al treilea

Determină $cmmdc (X^{4} - X^{3} - 43 X^{2} - 23 X + 210, X^{3} - 10 X^{2} + 3 X + 126)$ .

Rezolvare. Gradele fiind $4$ și $3$ , câtul primei împărțiri are gradul întâi:

$X^{4} - X^{3} - 43 X^{2} - 23 X + 210 = (X^{3} - 10 X^{2} + 3 X + 126) (X + 9) + (44 X^{2} - 176 X - 924) .$

Restul se simplifică prin $44$ și devine $X^{2} - 4 X - 21$ . A doua împărțire:

$X^{3} - 10 X^{2} + 3 X + 126 = (X^{2} - 4 X - 21) (X - 6) + 0.$

Deci $cmmdc = X^{2} - 4 X - 21$ . Observă cât de mult a scurtat simplificarea: fără ea, a doua împărțire s-ar fi făcut cu fracții cu numitorul $44$ .

Exemplul 3 — O descompunere cu un factor care nu se mai sparge

Descompune în factori $X^{3} + 8 X^{2} + 3 X + 24$ .

Rezolvare. Grupăm primii doi termeni și ultimii doi:

$X^{3} + 8 X^{2} + 3 X + 24 = X^{2} (X + 8) + 3 (X + 8) = (X + 8) (X^{2} + 3) .$

Factorul $X^{2} + 3$ nu se mai descompune peste numerele reale: $X^{2} = - 3$ nu are soluție reală, iar discriminantul lui $X^{2} + 0 \cdot X + 3$ este $0 - 12 = - 12 < 0$ . Descompunerea completă peste $R$ este, așadar, $(X + 8) (X^{2} + 3)$ , iar singura rădăcină reală a polinomului este $- 8$ .

Exemplul 4 — Două mărimi care se anulează în același moment

Într-un vas, masa unui reactiv este $A (t) = t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 48$ grame, iar masa unui produs secundar este $B (t) = t^{2} - 15 t + 44$ grame, unde $t$ este timpul în ore, $t \in [0; 4]$ . Arată că există un moment în care amândouă se anulează și determină-l, fără să rezolvi vreuna dintre ecuații întreg.

Rezolvare. Aplicăm algoritmul lui Euclid:

$t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 48 = (t^{2} - 15 t + 44) (t + 7) + (65 t - 260) .$

Restul se simplifică prin $65$ și devine $t - 4$ . Apoi $t^{2} - 15 t + 44 = (t - 4) (t - 11) + 0$ , deci $cmmdc (A, B) = t - 4$ .

Singura rădăcină a c.m.m.d.c.-ului este $t = 4$ , iar ea este chiar capătul intervalului de valabilitate $[0; 4]$ . Deci la $t = 4$ ore amândouă masele sunt nule. Control: $A (4) = 64 - 128 + 16 + 48 = 0$ grame și $B (4) = 16 - 60 + 44 = 0$ grame. Înainte de acel moment amândouă masele rămân pozitive — la $t = 0$ pornesc de la $48$ , respectiv $44$ de grame —, iar imediat după el formulele ar da mase negative: de aceea modelul se declară valabil numai până la $t = 4$ . Rădăcina $t = 11$ a lui $B$ nu are sens aici, fiindcă iese din interval.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „ $X^{3} - 5 X^{2} - 34 X + 80$ împărțit la $X^{2} - 4 X - 32$ dă câtul $X - 1$ și restul $- 6 X + 48$ . Apoi $X^{2} - 4 X - 32$ împărțit la $- 6 X + 48$ dă rest $0$ . Ultimul rest este $0$ , deci $cmmdc = 0$ ." Găsește greșeala și dă răspunsul corect.

Rezolvare. Împărțirile sunt bune; greșită e citirea. Algoritmul se oprește când restul devine nul, iar răspunsul este restul dinaintea lui, nu restul nul. Aici ultimul rest nenul este $- 6 X + 48$ .

Mai rămâne un pas, tot uitat: răspunsul trebuie făcut monic. Simplificăm prin $- 6$ și obținem $X - 8$ , deci $cmmdc (X^{3} - 5 X^{2} - 34 X + 80, X^{2} - 4 X - 32) = X - 8$ . Cele două greșeli — oprirea la restul nul și uitarea normalizării — merg adesea împreună.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinoamele $f = X^{3} - 4 X^{2} - 17 X + 60$ și $g = X^{2} + 4 X - 45$ .

a) Determină restul împărțirii lui $f$ la $g$ . b) Determină $cmmdc (f, g)$ . c) Determină rădăcinile comune ale polinoamelor $f$ și $g$ .

Rezolvare. a) Câtul are gradul $1$ :

$X^{3} - 4 X^{2} - 17 X + 60 = (X^{2} + 4 X - 45) (X - 8) + (60 X - 300),$

deci restul este $60 X - 300$ .

b) Simplificăm restul prin $60$ și obținem $X - 5$ ; apoi $X^{2} + 4 X - 45 = (X - 5) (X + 9) + 0$ . Restul fiind nul, $cmmdc (f, g) = X - 5$ .

c) Rădăcinile comune sunt rădăcinile c.m.m.d.c.-ului, adică $X - 5 = 0$ , deci singura rădăcină comună este $5$ . Control: $f (5) = 125 - 100 - 85 + 60 = 0$ și $g (5) = 25 + 20 - 45 = 0$ .

Să exersăm

1. Determină $cmmdc (X^{3} - 6 X^{2} - 19 X + 24, X^{2} - 5 X - 24)$ și precizează câte împărțiri ai făcut.

2. Scrie forma monică a fiecăruia dintre polinoamele $- 4 X + 20$ , $3 X^{2} - 12$ și $- 2 X^{3} + 10 X$ .

3. Determină $cmmdc (X^{3} + 2 X^{2} - 71 X - 252, X^{2} + 4 X - 21)$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Algoritmul lui Euclid pornit de la perechea $(g, f)$ , cu $grad g < grad f$ , dă alt rezultat decât cel pornit de la $(f, g)$ ."

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{3} - 11 X^{2} + 10 X + 72$ și $g = X^{2} - 3 X - 54$ . a) Determină restul împărțirii lui $f$ la $g$ . b) Determină $cmmdc (f, g)$ . c) Precizează rădăcinile comune ale lui $f$ și $g$ .

6. Descompune în factori, prin gruparea termenilor, polinomul $X^{3} + 7 X^{2} - 4 X - 28$ .

7. Descompune în factori polinomul $X^{3} - 8 X^{2} - 9 X + 72$ și precizează rădăcinile lui reale.

8. Descompune în factori polinomul $2 X^{3} - 5 X^{2} - 18 X + 45$ .

9. Explică, în două-trei fraze, de ce algoritmul lui Euclid aplicat unui polinom de gradul al treilea și unuia de gradul al doilea nu poate avea mai mult de trei împărțiri.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{3} + 4 X^{2} + 5 X + 20$ și $g = X^{3} - 6 X^{2} + 5 X - 30$ . a) Determină restul împărțirii lui $f$ la $g$ . b) Determină $cmmdc (f, g)$ . c) Precizează câte rădăcini reale comune au cele două polinoame.

11. Arată că polinoamele $X^{3} + 6 X^{2} - 20 X + 33$ și $X^{2} + 7 X - 18$ sunt prime între ele.

12. (Problemă aplicată.) Concentrația unui reactiv este $c (t) = t^{3} - 11 t^{2} + 14 t + 80$ miligrame pe litru, iar a unui al doilea reactiv este $d (t) = t^{2} - 16 t + 55$ miligrame pe litru, pentru $t \in [0; 5]$ ore. Determină, folosind c.m.m.d.c., momentele din interval în care ambele concentrații sunt nule.

13. Determină $cmmmc (X^{2} - X - 42, X^{2} + 11 X + 30)$ , scriind întâi descompunerile.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{3} + 7 X^{2} - 20 X - 96$ și $g = X^{3} - 7 X^{2} - 6 X + 72$ . a) Determină restul împărțirii lui $f$ la $g$ . b) Determină $cmmdc (f, g)$ . c) Descompune $cmmdc (f, g)$ în factori de gradul întâi.

15. Descompune în factori polinomul $X^{4} + 2 X^{3} - 9 X^{2} - 18 X$ .

16. Descompune în factori polinomul $3 X^{3} - 4 X^{2} - 75 X + 100$ .

17. Descompune în factori polinomul $X^{3} - 6 X^{2} + 7 X - 42$ și explică de ce nu se poate merge mai departe peste numerele reale.

18. (Provocare.) Se consideră $f = X^{3} - 7 X^{2} - 66 X + 432$ și $g = X^{2} + 3 X - 54$ . a) Determină $cmmdc (f, g)$ . b) Determină $cmmmc (f, g)$ , scris ca produs de factori de gradul întâi.

Răspunsuri și explicații

1. $X^{3} - 6 X^{2} - 19 X + 24 = (X^{2} - 5 X - 24) (X - 1) + 0$ : o singură împărțire. Restul fiind nul de la început, $g$ divide $f$ , iar $cmmdc = X^{2} - 5 X - 24$ (deja monic).

2. Se împarte fiecare polinom la coeficientul lui dominant: $- 4 X + 20 \to X - 5$ ; $3 X^{2} - 12 \to X^{2} - 4$ ; $- 2 X^{3} + 10 X \to X^{3} - 5 X$ .

3. $X^{3} + 2 X^{2} - 71 X - 252 = (X^{2} + 4 X - 21) (X - 2) + (- 42 X - 294)$ ; restul simplificat prin $- 42$ dă $X + 7$ , iar $X^{2} + 4 X - 21 = (X + 7) (X - 3) + 0$ . Deci $cmmdc = X + 7$ .

4. Fals. Rezultatul e același, iar algoritmul pierde doar un pas. Împărțind pe $g$ la $f$ obții câtul $0$ și restul $g$ , fiindcă gradul lui $g$ este deja mai mic decât al lui $f$ ; perechea următoare devine $(f, g)$ , adică exact punctul din care ar fi pornit cealaltă variantă. Ordinea în care scrii cele două polinoame nu contează, nici pentru răspuns, nici pentru numărul de împărțiri cu adevărat făcute.

5. a) $X^{3} - 11 X^{2} + 10 X + 72 = (X^{2} - 3 X - 54) (X - 8) + (40 X - 360)$ — se verifică înmulțind înapoi; restul este $40 X - 360$ . b) Restul simplificat prin $40$ dă $X - 9$ ; apoi $X^{2} - 3 X - 54 = (X - 9) (X + 6) + 0$ , deci $cmmdc = X - 9$ . c) Singura rădăcină comună este $9$ .

6. $X^{2} (X + 7) - 4 (X + 7) = (X + 7) (X^{2} - 4) = (X + 7) (X - 2) (X + 2)$ .

7. $X^{2} (X - 8) - 9 (X - 8) = (X - 8) (X^{2} - 9) = (X - 8) (X - 3) (X + 3)$ . Rădăcinile reale sunt $8$ , $3$ și $- 3$ .

8. $X^{2} (2 X - 5) - 9 (2 X - 5) = (2 X - 5) (X^{2} - 9) = (2 X - 5) (X - 3) (X + 3)$ .

9. Prima împărțire dă un rest de grad cel mult $1$ , fiindcă restul are întotdeauna gradul strict mai mic decât împărțitorul, care aici e de gradul $2$ . De la un pas la altul gradul restului scade cu cel puțin $1$ , deci după prima împărțire pot urma cel mult două: una cu rest de gradul $0$ și una care se termină cu rest nul. În total cel mult trei împărțiri, adică $grad g + 1$ . Același raționament arată de ce algoritmul se termină întotdeauna: un șir strict descrescător de numere naturale nu poate fi infinit.

10. a) Gradele fiind egale, câtul este $1$ : $X^{3} + 4 X^{2} + 5 X + 20 = (X^{3} - 6 X^{2} + 5 X - 30) \cdot 1 + (10 X^{2} + 50)$ , deci restul este $10 X^{2} + 50$ . b) Restul simplificat prin $10$ dă $X^{2} + 5$ , iar $X^{3} - 6 X^{2} + 5 X - 30 = (X^{2} + 5) (X - 6) + 0$ ; deci $cmmdc = X^{2} + 5$ . c) Discriminantul lui $X^{2} + 5$ este $0 - 20 = - 20 < 0$ , deci c.m.m.d.c.-ul nu are rădăcini reale: cele două polinoame au zero rădăcini reale comune.

11. $X^{3} + 6 X^{2} - 20 X + 33 = (X^{2} + 7 X - 18) (X - 1) + (5 X + 15)$ ; restul simplificat prin $5$ dă $X + 3$ . Apoi $X^{2} + 7 X - 18 = (X + 3) (X + 4) + (- 30)$ , rest nenul constant; în fine, $X + 3 = (- 30) (- \frac{1}{30} X - \frac{1}{10}) + 0$ . Ultimul rest nenul este constanta $- 30$ , făcută monică $1$ : polinoamele sunt prime între ele.

12. $t^{3} - 11 t^{2} + 14 t + 80 = (t^{2} - 16 t + 55) (t + 5) + (39 t - 195)$ ; restul simplificat prin $39$ dă $t - 5$ , iar $t^{2} - 16 t + 55 = (t - 5) (t - 11) + 0$ . Deci $cmmdc (c, d) = t - 5$ , cu singura rădăcină $t = 5$ , adică chiar capătul intervalului $[0; 5]$ : la $t = 5$ ore ambele concentrații sunt nule. Control: $c (5) = 125 - 275 + 70 + 80 = 0$ miligrame pe litru și $d (5) = 25 - 80 + 55 = 0$ miligrame pe litru. Înainte de acel moment amândouă concentrațiile sunt pozitive — la $t = 0$ pornesc de la $80$ , respectiv $55$ de miligrame pe litru —, cum se cuvine unor concentrații. Cealaltă rădăcină a lui $d$ , $t = 11$ , este în afara intervalului de valabilitate.

13. $X^{2} - X - 42 = (X - 7) (X + 6)$ și $X^{2} + 11 X + 30 = (X + 6) (X + 5)$ , deci $cmmdc = X + 6$ și $cmmmc = (X - 7) (X + 6) (X + 5) = X^{3} + 4 X^{2} - 47 X - 210$ .

14. a) Gradele fiind egale, câtul este $1$ : $f = g \cdot 1 + (14 X^{2} - 14 X - 168)$ , deci restul este $14 X^{2} - 14 X - 168$ . b) Restul simplificat prin $14$ dă $X^{2} - X - 12$ , iar $X^{3} - 7 X^{2} - 6 X + 72 = (X^{2} - X - 12) (X - 6) + 0$ ; deci $cmmdc = X^{2} - X - 12$ . c) $X^{2} - X - 12 = (X - 4) (X + 3)$ .

15. Dăm întâi factor comun $X$ : $X (X^{3} + 2 X^{2} - 9 X - 18)$ , apoi grupăm în paranteză: $X^{2} (X + 2) - 9 (X + 2) = (X + 2) (X^{2} - 9)$ . În total, $X (X + 2) (X - 3) (X + 3)$ .

16. $X^{2} (3 X - 4) - 25 (3 X - 4) = (3 X - 4) (X^{2} - 25) = (3 X - 4) (X - 5) (X + 5)$ .

17. $X^{2} (X - 6) + 7 (X - 6) = (X - 6) (X^{2} + 7)$ . Factorul $X^{2} + 7$ are discriminantul $0 - 28 = - 28 < 0$ , deci nu se sparge în factori de gradul întâi cu coeficienți reali; singura rădăcină reală a polinomului este $6$ .

18. a) $X^{3} - 7 X^{2} - 66 X + 432 = (X^{2} + 3 X - 54) (X - 10) + (18 X - 108)$ ; restul simplificat prin $18$ dă $X - 6$ , iar $X^{2} + 3 X - 54 = (X - 6) (X + 9) + 0$ . Deci $cmmdc = X - 6$ . b) Din $f = (X - 6) (X - 9) (X + 8)$ și $g = (X - 6) (X + 9)$ obținem $cmmmc = (X - 6) (X - 9) (X + 8) (X + 9)$ .

De reținut

$cmmdc (f, g)$ e monic, apare ca divizor la amândouă polinoamele și e divizibil cu fiecare dintre ceilalți candidați; condiția „monic" îl face unic.
Egalitatea $f = g \cdot q + r$ mută întrebarea de la perechea $(f, g)$ la perechea $(g, r)$ fără nicio pierdere — acesta e motorul întregului algoritm.
Un rest poate fi înmulțit sau împărțit cu orice număr nenul înainte de pasul următor; folosește-o ca să scapi de fracții.
Calculul se încheie când apare restul zero, iar ce raportezi e restul dinaintea lui, adus la coeficient dominant $1$ .
Zerourile pe care cele două polinoame le au împreună se citesc din $cmmdc (f, g)$ ; pentru $cmmmc$ , împarți $f \cdot g$ la $cmmdc (f, g)$ și faci rezultatul monic.

Greșeli frecvente

Se dă ca răspuns restul nul. Algoritmul se oprește când restul devine zero, dar răspunsul este restul de la pasul dinainte. Verificarea de trei secunde: răspunsul trebuie să dividă amândouă polinoamele, iar $0$ nu divide nimic.
Se uită normalizarea. Un rest ca $24 X - 168$ sau $14 X^{2} - 14 X - 168$ nu e răspunsul final; se împarte la coeficientul dominant, respectiv la factorul numeric comun, și abia atunci se scrie.
Se grupează fără să iasă aceeași paranteză. La $X^{3} + 7 X^{2} - 4 X - 28$ , gruparea $(X^{3} - 4 X) + (7 X^{2} - 28)$ dă $X (X^{2} - 4) + 7 (X^{2} - 4)$ — merge. Gruparea $(X^{3} + 7 X^{2}) - (4 X + 28)$ dă tot $(X + 7)$ în ambele. Dacă parantezele ies diferite, ai grupat prost, nu polinomul e „nedescompunabil".
Se forțează descompunerea unui factor fără rădăcini reale. $X^{2} + 3$ și $X^{2} + 7$ rămân așa peste $R$ ; discriminantul negativ e argumentul, nu lipsa de idei.
Se confundă „divizor comun de grad mare" cu „c.m.m.d.c.". Un polinom de grad mare poate să nu dividă amândouă polinoamele. Întotdeauna se face proba: c.m.m.d.c.-ul trebuie să dea rest zero la împărțirea cu fiecare dintre cele două.

Aplică acasă

Alege două numere întregi de trei cifre și calculează-le cel mai mare divizor comun cu algoritmul lui Euclid, scriind fiecare împărțire. Apoi ia $f = X^{3} - 6 X^{2} - 19 X + 24$ și $g = X^{2} - 5 X - 24$ și numără câte împărțiri cere fiecare dintre cele două calcule. Notează în două rânduri ce e la fel și ce e diferit.
Scrie un polinom de gradul al treilea cu patru termeni care se descompune prin grupare și unul care nu se descompune prin grupare. Dă-le unui coleg și cere-i să decidă, în două minute, care e care.
Într-un tabel cu două coloane, notează pe o săptămână câte un calcul de c.m.m.d.c. pe zi: în stânga cele două polinoame, în dreapta răspunsul și proba (înmulțirea înapoi). La final, numără de câte ori ai uitat să faci răspunsul monic.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri deodată: dacă elevul execută corect o împărțire de polinoame, dacă citește corect ieșirea unui algoritm (se oprește unde trebuie și ia ce trebuie) și dacă înțelege ce răspunde c.m.m.d.c.-ul, adică legătura lui cu rădăcinile comune.

Întrebări de control: „De ce i se cere lui $cmmdc (f, g)$ coeficientul dominant $1$ ?", „Ce se schimbă dacă înmulțești un rest cu $- 3$ înainte de pasul următor?", „Cum găsești momentele în care două mărimi se anulează simultan, fără să rezolvi o ecuație de gradul al treilea?". Semne că a înțeles: face proba singur, prin înmulțire înapoi; nu se sperie de un rest cu coeficienți mari, fiindcă îl simplifică; spune, la un c.m.m.d.c. de gradul al doilea, câte rădăcini reale comune sunt, după semnul discriminantului.

Programa și examenul. Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureat M2 2027–2029: cel mai mare divizor comun, cel mai mic multiplu comun și descompunerea polinoamelor în factori sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la rândul citat în secțiunea 8, pe când programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu le mai cuprinde. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea. Pentru generația care intră pe programa nouă, polinoamele se studiază mai devreme în liceu, cu coeficienți reali, iar divizorul comun și multiplul comun a două polinoame nu mai apar la clasa a XII-a. Nici la proba MAT_P2 din 2030 tema nu figurează în programa de examen: pentru acea generație lecția rămâne lectură suplimentară, nu materie de probă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă notația $cmmdc (f, g)$ ? Desemnează polinomul monic care apare ca divizor la $f$ și la $g$ și pe care îl divide fiecare dintre ceilalți divizori pe care cele două îi împart. Se obține prin împărțiri succesive: $f$ la $g$ , apoi $g$ la rest, apoi restul la restul următor, până când un rest iese zero; ce ai avut înainte, adus monic, e răspunsul.

Cu ce diferă tema aceasta la M2 față de mate-info (M1)? La științe ale naturii lucrăm numai cu coeficienți reali și pe grade mici, iar descompunerea se face efectiv, prin grupare sau prin rădăcini. La mate-info se studiază, în plus, peste ce corp un polinom nu se mai poate sparge, cu criterii generale. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: c.m.m.d.c. al polinoamelor și algoritmul lui Euclid.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2? Materia de algebră a clasei a XII-a stă la Subiectul al II-lea. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, acest subiect are două probleme, fiecare cu trei cerințe legate. Formatul cerințelor legate se potrivește bine cu tema de față: un punct pentru împărțire, unul pentru factorul pe care polinoamele îl împart, unul pentru zerourile lor comune — exact lanțul din Exemplul 6.

Pot să sar peste algoritm dacă văd descompunerile? Da, și e chiar recomandat când ele se văd. Dacă $f = (X - 6) (X - 9) (X + 8)$ și $g = (X - 6) (X + 9)$ , c.m.m.d.c.-ul se citește direct: factorii comuni, luați o singură dată. Algoritmul e uneltea pentru cazurile în care descompunerile nu se văd — și el nu greșește niciodată, fiindcă nu ghicește.

De ce am voie să simplific un rest prin $10$ sau prin $- 6$ ? Fiindcă un polinom $d$ divide restul $r$ exact atunci când divide $c \cdot r$ , pentru orice număr $c \neq = 0$ . Mulțimea divizorilor comuni nu se schimbă, deci nici c.m.m.d.c.-ul. Practic, simplificarea ține toate împărțirile în numere întregi și scurtează calculul cu jumătate.

Ce fac dacă ultimul rest nenul este un număr? Îl faci monic, adică îl împarți la el însuși, și obții $1$ . Asta înseamnă că singurii divizori comuni ai celor două polinoame sunt constantele: polinoamele sunt prime între ele și nu au nicio rădăcină comună, oricare ar fi corpul în care le cauți.

Ce am făcut deja în clasa a IX-a și ce e nou aici? În clasa a IX-a ai împărțit polinoame cu rest și ai legat rădăcinile de divizibilitate prin teorema lui Bézout. Nou la clasa a XII-a este că împărțirea devine pas într-un algoritm care se repetă, cu un criteriu de oprire și cu un răspuns citit dintr-un rest anterior — plus noțiunile de divizor comun și multiplu comun, care în clasa a IX-a nu apar la polinoame.

Cum verific rapid că am dat răspunsul bun? Împarte fiecare dintre cele două polinoame la răspunsul tău: amândouă împărțirile trebuie să dea restul zero. Dacă una dă rest nenul, ai luat prea mult; dacă amândouă dau rest zero, dar câturile mai au un factor comun, ai luat prea puțin — atunci reia algoritmul de la ultimul pas.