Se consideră punctele $$A(1,-8)$$, $$B(5,-3)$$ și $$C(13,7)$$. Ce se obține și ce urmează de aici?

$$\Delta=0$$, deci punctele sunt coliniare

$$\Delta=0$$, deci punctele sunt vârfurile unui triunghi

$$\Delta=10$$, deci punctele sunt coliniare

$$\Delta=10$$, deci punctele nu sunt coliniare

Când stau trei măsurători pe aceeași dreaptă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Coliniaritate și dreapta

Când determinantul format cu coordonatele lor și o coloană de $1$ este $0$ . Dacă o probă are temperatura $20$ °C la $t = 0$ min, $26$ °C la $t = 2$ min și $35$ °C la $t = 5$ min, punctele sunt $(0, 20)$ , $(2, 26)$ , $(5, 35)$ . Scăzând prima linie din celelalte, determinantul devine $2 \cdot 15 - 5 \cdot 6 = 0$ , deci punctele sunt coliniare: temperatura crește uniform, cu $3$ °C pe minut. Un determinant nenul ar arăta că încălzirea nu este uniformă.

Șase coordonate se strâng într-un singur număr dacă se așază pe rândurile unui tablou pătratic, completat cu o coloană de valori $1$ . Coloana aceea nu e podoabă: fără ea nici nu ar exista un tablou pătratic din care să se scoată un determinant.

Anularea numărului obținut înseamnă exact că punctele stau pe aceeași dreaptă. Motivul se vede după o singură prelucrare: scăzând primul rând din celelalte două, rămâne un determinant de ordinul al doilea, alcătuit din patru diferențe de coordonate, adică din cele două deplasări pornite din același punct. Anularea lui spune că deplasările au aceeași direcție, iar o direcție comună ține punctele pe o singură dreaptă. Criteriul nu are nicio portiță, nici măcar atunci când două dintre puncte se confundă.

Citit invers, el dă și ecuația dreptei: se lasă pe ultimul rând un punct mobil, se egalează cu zero și se desfac parantezele. Metoda nu împarte nicăieri, deci merge și acolo unde scrierea cu pantă nu există, adică pe verticale.

Capcana. Rezolvarea nu se încheie cu valoarea găsită, ci cu verificarea ei: punctele se pun înapoi în ecuație, iar parametrul aflat se pune înapoi în coordonate. Iar pe date măsurate, un număr foarte mic nu dovedește coliniaritatea — el spune doar că abaterea este sub precizia aparatului.

De reținut

$A$ , $B$ , $C$ coliniare $⟺$ determinantul cu coordonatele și o coloană de $1$ este $0$
scăzând prima linie, rămâne $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$
puncte coliniare pe un grafic timp–mărime înseamnă variație uniformă

Greșeala tipică

Se scade prima linie doar din a doua, iar a treia rămâne neschimbată; pentru reducerea la ordinul $2$ trebuie scăzută din amândouă.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră punctele $A (1, - 8)$ , $B (5, - 3)$ și $C (13, 7)$ . Ce se obține și ce urmează de aici?
- a) $Δ = 0$ , deci punctele sunt coliniare
- b) $Δ = 0$ , deci punctele sunt vârfurile unui triunghi
- c) $Δ = 10$ , deci punctele sunt coliniare
- d) $Δ = 10$ , deci punctele nu sunt coliniare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $Δ = 0$ , deci punctele sunt coliniare

Cu scurtătura scăderii rândurilor, $Δ = (5 - 1) (7 - (- 8)) - (13 - 1) (- 3 - (- 8)) = 4 \cdot 15 - 12 \cdot 5 = 60 - 60 = 0$ . Un determinant nul înseamnă coliniaritate, deci varianta a) leagă corect numărul de concluzie. Varianta b) are numărul bun și concluzia răsturnată: dacă cele trei puncte ar închide un triunghi, determinantul ar fi nenul. Variantele c) și d) pornesc de la o valoare care nu iese din calcul.
Determină ecuația dreptei care trece prin punctele $M (- 8, 8)$ și $N (- 4, 10)$ .
- a) $x - 2 y - 24 = 0$
- b) $2 x - y + 24 = 0$
- c) $x + 2 y - 8 = 0$
- d) $x - 2 y + 24 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x - 2 y + 24 = 0$

Se pune pe ultimul rând punctul mobil și se egalează determinantul cu zero: $(- 4 + 8) (y - 8) - (x + 8) (10 - 8) = 0$ , adică $4 y - 32 - 2 x - 16 = 0$ . Împărțind prin $- 2$ rămâne $x - 2 y + 24 = 0$ . Verificarea se face pe amândouă punctele: $- 8 - 16 + 24 = 0$ și $- 4 - 20 + 24 = 0$ . Celelalte trei variante cad chiar la prima înlocuire, fiindcă o dreaptă prin două puncte date este una singură.
Determină numărul real $m$ pentru care punctele $A (8, 1)$ , $B (14, 13)$ și $C (2, m)$ sunt coliniare.
- a) $11$
- b) $- 7$
- c) $- 11$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 11$

Cu primul punct pe primul rând, $Δ = (14 - 8) (m - 1) - (2 - 8) (13 - 1) = 6 m - 6 + 72 = 6 m + 66$ . Condiția $Δ = 0$ dă $6 m = - 66$ , deci $m = - 11$ . Proba: punctele devin $A (8, 1)$ , $B (14, 13)$ și $C (2, - 11)$ , iar deplasările pornite din $A$ sunt $(6, 12)$ și $(- 6, - 12)$ , una opusa celeilalte, deci de aceeași direcție. Varianta a) pierde semnul, b) și d) nu anulează determinantul.

Întrebări conexe

Ce viteză arată trei puncte coliniare pe graficul poziției?

O viteză constantă, egală cu panta dreptei. Pentru pozițiile $(0, 4)$ , $(3, 13)$ și $(6, 22)$ , cu timpul în secunde și poziția în metri, determinantul este $3 \cdot 18 - 6 \cdot 9 = 0$ , deci mișcarea e uniformă, cu viteza $\frac{13 - 4}{3} = 3$ m/s.

De ce apare o coloană de 1 în determinantul coliniarității?

Ca să existe un tablou pătratic: trei puncte au șase coordonate, adică trei linii cu câte două numere. Coloana de $1$ completează ordinul $3$ și permite scăderea liniilor, care lasă un determinant de ordinul $2$ cu diferențele coordonatelor.

Pot fi coliniare trei puncte cu aceeași abscisă?

Da, stau pe dreapta verticală $x = c$ . Pentru $(2, 1)$ , $(2, 5)$ , $(2, - 3)$ prima coloană a determinantului este de două ori coloana de $1$ , deci determinantul este $0$ . O astfel de dreaptă nu are pantă, dar criteriul cu determinant funcționează fără excepție.

Cum arăt că toate punctele de forma (n, 2n+1) sunt coliniare?

Iei trei puncte oarecare, de exemplu pentru $n = 1, 2, 3$ : $(1, 3)$ , $(2, 5)$ , $(3, 7)$ ; determinantul redus este $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$ . În general, toate verifică $y = 2 x + 1$ , deci stau pe aceeași dreaptă. Pentru un $n$ oarecare, determinantul se calculează cu literele și iese identic $0$ .

Ce arată determinantul nenul a trei măsurători?

Că punctele formează un triunghi, deci dependența nu este exact liniară. Jumătate din modulul determinantului este aria acelui triunghi; o valoare mică față de scala datelor arată o abatere mică de la dreaptă, cum apare des din erorile de măsurare.

Oamenii mai întreabă și: puncte coliniare dintr-un tabel de măsurători · trei puncte pe aceeași dreaptă cu determinant · verificare dependență liniară cu determinant · date experimentale coliniare