Coliniaritate și dreapta, cu determinant (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un laborator, o probă de apă trece prin colorimetru, iar aparatul scoate un semnal cu atât mai mare cu cât proba este mai concentrată. Ca să poți citi apoi concentrația unei probe necunoscute, ai nevoie mai întâi de o curbă de etalonare: măsori câteva probe cu concentrații știute și verifici dacă perechile de numere obținute se așază pe aceeași dreaptă. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), matematica îți dă pentru întrebarea asta un răspuns care nu depinde nici de ochi, nici de riglă: un singur determinant. Tema încheie unitatea de matrice și determinanți, iar programa de examen a bacalaureatului M2 o cere explicit, ca aplicație a calculului matriceal în geometrie.

Lecția de astăzi nu aduce o noțiune nouă de geometrie: reperul cartezian, coordonatele, panta și ecuația unei drepte le-ai construit în clasa a IX-a. Ce se schimbă este unealta. Vei vedea cum același determinant de ordinul al treilea răspunde la două întrebări deodată — „cele trei puncte stau pe o dreaptă?" și „care este ecuația dreptei prin două puncte date?" — fără să ceară împărțiri și fără cazuri de discutat separat.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii determinantul a trei puncte din plan, cu coordonatele pe linii și cu o coloană de valori de $1$ , și să-l calculezi cu regula lui Sarrus.
Vei ști să decizi coliniaritatea prin anularea acestui determinant și să explici de ce criteriul nu are excepții.
Vei ști să scrii ecuația dreptei determinate de două puncte sub formă de determinant și să o aduci la forma $a x + b y + c = 0$ .
Vei ști să scurtezi calculul scăzând prima linie din celelalte două, ajungând la un determinant de ordinul al doilea.
Vei ști să determini un parametru pentru care trei puncte ajung pe aceeași dreaptă și să verifici răspunsul.
Vei ști să citești rezultatul într-un context de laborator, unde datele sunt măsurate și rotunjite, nu exacte.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că trei puncte stau pe aceeași dreaptă?

Colorimetrul din deschidere a dat, pentru trei probe-etalon, perechile din tabel: pe prima coloană concentrația, în miligrame pe litru, pe a doua semnalul aparatului, în milivolți.

concentrație (mg/L)	$2$	$5$	$8$
semnal (mV)	$34$	$85$	$136$

Le privim ca pe trei puncte din reperul cartezian: $A (2, 34)$ , $B (5, 85)$ , $C (8, 136)$ . Coliniaritatea este proprietatea unor puncte de a se afla pe una și aceeași dreaptă: trei puncte sunt coliniare când o singură dreaptă trece prin toate trei, iar dacă nicio dreaptă nu le adună, ele rămân necoliniare și devin vârfurile unui triunghi. Legea pe care se sprijină colorimetria spune că semnalul crește proporțional cu concentrația, deci cele trei puncte ar trebui să fie coliniare — și chiar sunt: de la o probă la alta concentrația crește cu $3$ , iar semnalul cu $51$ , de fiecare dată.

Verificarea aceasta merge doar pentru că punctele sunt așezate la intervale egale. Mutăm câte ceva și metoda se blochează: dacă una dintre concentrații e $4, 5$ sau dacă în locul unui semnal apare o necunoscută, comparația „cu cât crește" devine o socoteală cu fracții. Ne trebuie un criteriu care să funcționeze pe orice șase numere, fără împărțiri și fără discuții de caz. Determinantul construit în primele lecții ale unității ni-l dă.

2. Cum se scrie determinantul a trei puncte?

Așezăm coordonatele punctelor pe liniile unei matrice pătratice de ordinul al treilea și completăm coloana a treia cu valori de $1$ .

$Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111$

Coloana de $1$ nu e o podoabă și nici nu se poate înlocui: ea este cea care face din șase coordonate un singur număr cu sens geometric. Fără ea nici nu am avea o matrice pătratică, deci nu am avea ce determinant să calculăm.

Pe punctele din tabel, cu regula lui Sarrus deprinsă la determinanți de ordinul 2 și 3:

$Δ = 2583485136111 = 2 \cdot 85 + 34 \cdot 8 + 5 \cdot 136 - (8 \cdot 85 + 136 \cdot 2 + 34 \cdot 5) = 1122 - 1122 = 0$

Determinantul iese nul, iar asta nu e o coincidență. Să încercăm și cu o a patra măsurătoare, făcută la o concentrație mult mai mare: proba de $11$ mg/L a dat $180$ mV, deși linia ar fi cerut $187$ . Cu $A (2, 34)$ , $B (5, 85)$ și $D (11, 180)$ obținem $Δ = - 21$ , un număr mic, dar nenul. Punctele nu sunt coliniare: la concentrații mari, proporționalitatea dintre semnal și concentrație se pierde, iar curba de etalonare începe să se curbeze — un fapt bine știut în laborator, pe care determinantul îl pune în cifre.

3. De ce anularea determinantului înseamnă coliniaritate?

Răspunsul se vede după o singură prelucrare. Scădem prima linie din celelalte două — o transformare care, potrivit proprietăților determinanților, nu schimbă valoarea lui $Δ$ :

$Δ = x_{A} x_{B} - x_{A} x_{C} - x_{A} y_{A} y_{B} - y_{A} y_{C} - y_{A} 100 = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$

Ultima egalitate se obține dezvoltând după coloana a treia, în care au rămas doar un $1$ și două zerouri. Am ajuns astfel la un determinant de ordinul al doilea, construit din patru diferențe care au un înțeles limpede: $x_{B} - x_{A}$ și $y_{B} - y_{A}$ spun cu cât te deplasezi pe orizontală și pe verticală ca să ajungi din $A$ în $B$ , iar $x_{C} - x_{A}$ și $y_{C} - y_{A}$ spun același lucru pentru drumul din $A$ în $C$ .

Acum totul se citește dintr-o privire. Anularea lui $Δ$ înseamnă că cele două perechi de deplasări sunt proporționale, adică drumul spre $C$ are exact aceeași direcție cu drumul spre $B$ , doar că poate fi mai lung, mai scurt sau în sens invers. Două drumuri cu aceeași direcție, pornite din același punct, rămân pe aceeași dreaptă — deci $C$ se află pe dreapta $A B$ . Reciproc, dacă $C$ este pe dreapta $A B$ , deplasările sunt proporționale și cele două produse coincid.

Rămâne un caz de lămurit: dacă $A$ și $B$ sunt de fapt același punct, primele două linii ale determinantului devin identice, deci $Δ = 0$ — iar concluzia e tot adevărată, fiindcă prin două puncte confundate și un al treilea trece întotdeauna o dreaptă. Criteriul nu are așadar nicio portiță.

Criteriu. Punctele $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ și $C (x_{C}, y_{C})$ sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul $Δ$ format cu coordonatele lor și cu coloana de $1$ este nul.

Observă și ce câștigi față de comparația deplasărilor făcută „cu mâna" în prima secțiune: acolo împărțeai, iar o împărțire cere numitor nenul. Aici nu se împarte nicăieri, deci nu ai nimic de presupus despre punctele date.

4. Cum scrii ecuația dreptei determinate de două puncte?

Criteriul de mai sus se citește și invers, și tocmai de aici iese a doua aplicație. Fixăm două puncte distincte $A$ și $B$ și punem pe linia a treia un punct mobil $M (x, y)$ . Spune criteriul că $M$ se află pe dreapta $A B$ exact atunci când determinantul celor trei puncte se anulează — adică egalitatea de mai jos este chiar ecuația dreptei $A B$ :

$x_{A} x_{B} x y_{A} y_{B} y 111 = 0$

Aplicând aceeași scurtătură ca în secțiunea precedentă, ecuația capătă o formă pe care o poți scrie direct din enunț, fără să calculezi vreun determinant:

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) - (x - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) = 0$

Pe punctele din laborator, cu $A (2, 34)$ și $B (5, 85)$ : $3 (y - 34) - (x - 2) \cdot 51 = 0$ , adică $3 y - 102 - 51 x + 102 = 0$ , de unde $3 y = 51 x$ și, după simplificare, $y = 17 x$ . Dreapta trece prin origine, exact cum cere legea fizică din spatele măsurătorii: la concentrație zero, aparatul nu trebuie să dea semnal. Panta $17$ are și ea un nume în laborator — sensibilitatea aparatului, exprimată în milivolți pe fiecare miligram pe litru.

Desfacerea parantezelor în cazul general dă forma generală a dreptei, $a x + b y + c = 0$ , cu $a = y_{A} - y_{B}$ , $b = x_{B} - x_{A}$ și $c = x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A}$ . Nu-i nevoie să memorezi cele trei formule: e mai sigur să pornești de fiecare dată de la determinant și să desfaci parantezele. În schimb, memorează ultimul pas al rezolvării — înlocuiești pe rând ambele puncte în ecuația găsită. Dacă amândouă o verifică, dreapta e a lor; dacă doar unul o verifică, ai greșit un semn pe drum.

5. Ce se întâmplă la puncte așezate pe o verticală?

Ia punctele $P (- 7, 2)$ , $Q (- 7, - 5)$ și $R (- 7, 11)$ . Toate au aceeași abscisă, deci stau pe dreapta verticală $x = - 7$ și sunt, evident, coliniare. Determinantul lor confirmă fără niciun calcul: prima coloană este formată numai din $- 7$ , adică este coloana a treia înmulțită cu $- 7$ . Două coloane proporționale dau determinant nul, prin proprietatea demonstrată în unitatea de determinanți.

Cazul merită subliniat, pentru că e locul în care metodele deprinse în clasa a IX-a cer o verificare separată. Când verifici coliniaritatea a trei puncte comparând pantele, o abscisă repetată aduce un numitor nul, iar verticala trebuie tratată aparte; la fel se întâmplă și când încerci să scrii dreapta sub forma $y = m x + n$ , formă pe care o verticală pur și simplu nu o are. Determinantul nu mai cere acest caz separat, fiindcă în el nu se împarte niciodată.

Verifică și ecuația: pentru $P (- 7, 2)$ și $Q (- 7, - 5)$ formula din secțiunea $4$ dă $0 \cdot (y - 2) - (x + 7) (- 7) = 0$ , adică $7 x + 49 = 0$ , deci $x = - 7$ . Exact dreapta pe care o așteptam.

6. Cum determini parametrul pentru care punctele devin coliniare?

Este cerința cea mai des întâlnită pe această temă. Rețeta are trei mișcări: scrii determinantul cu parametrul înăuntru, îl aduci la forma cea mai simplă cu scurtătura scăderii liniilor, apoi pui condiția $Δ = 0$ și rezolvi.

Fie punctele $A (- 2, 1)$ , $B (1, m)$ și $C (4, 11)$ , unde $m$ este un număr real. Scurtătura dă

$Δ = (1 + 2) (11 - 1) - (4 + 2) (m - 1) = 30 - 6 m + 6 = 36 - 6 m$

iar condiția $Δ = 0$ devine $36 - 6 m = 0$ , deci $m = 6$ . Proba se face în două rânduri: cu $m = 6$ punctele sunt $A (- 2, 1)$ , $B (1, 6)$ , $C (4, 11)$ , iar deplasările din $A$ sunt $(3, 5)$ și $(6, 10)$ — a doua este dublul primei, deci punctele sunt coliniare.

Atenție la o capcană ascunsă în astfel de enunțuri: când parametrul apare în ambele coordonate, ecuația $Δ = 0$ poate fi de gradul al doilea, deci poate avea două soluții. Pe fiecare dintre ele se verifică dacă nu cumva două puncte ajung să coincidă: coliniaritatea rămâne adevărată și atunci, dar triunghiul nu mai există, așa că, dacă enunțul cere un triunghi, soluția aceea se aruncă și se spune de ce.

7. Ce faci când datele vin dintr-un experiment?

În laborator, cele șase numere nu sunt exacte: sunt măsurate, apoi rotunjite de aparat. Determinantul rămâne o unealtă bună, dar răspunsul lui se citește altfel. Dacă $Δ$ iese exact zero pe date rotunjite, nu ai dovedit că punctele sunt coliniare, ci doar că abaterea de la dreaptă este mai mică decât precizia aparatului. Și invers, un $Δ$ mic și nenul, ca acel $- 21$ din secțiunea $2$ , nu înseamnă neapărat că legea fizică e greșită: poate să vină dintr-o singură cifră citită cu o unitate în plus.

De aceea, într-un raport de laborator concluzia se formulează prudent — „datele sunt compatibile cu o dependență liniară" —, nu categoric. La examen situația e alta: coordonatele sunt numere exacte, iar întrebarea are un singur răspuns. Mărimea lui $∣ Δ ∣$ nu rămâne totuși fără sens nici acolo: ea măsoară cât de „gros" e triunghiul $A B C$ și este chiar dublul ariei lui, lucru pe care îl vei arăta în lecția despre aria triunghiului calculată cu un determinant.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Coliniare sau nu?

Stabiliți dacă punctele $A (- 4, - 1)$ , $B (0, 5)$ și $C (6, 14)$ sunt coliniare. Aceeași întrebare pentru $A$ , $B$ și $D (6, 15)$ .

Rezolvare. Folosim scurtătura, cu $A$ pe prima linie:

$Δ_{A B C} = (0 + 4) (14 + 1) - (6 + 4) (5 + 1) = 60 - 60 = 0$

Determinantul este nul, deci punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare. Pentru al doilea grup se schimbă un singur număr:

$Δ_{A B D} = (0 + 4) (15 + 1) - (6 + 4) (5 + 1) = 64 - 60 = 4$

Rezultatul nu e nul, deci punctele $A$ , $B$ , $D$ nu sunt coliniare și formează un triunghi. O unitate mutată pe verticală a fost de ajuns ca să scoată punctul de pe dreaptă.

Exemplul 2 — Ecuația dreptei prin două puncte

Scrieți ecuația dreptei determinate de punctele $M (- 2, 7)$ și $N (4, - 5)$ .

Rezolvare. Punem punctul mobil pe linia a treia și folosim forma scurtă a ecuației:

$(4 + 2) (y - 7) - (x + 2) (- 5 - 7) = 0$

adică $6 (y - 7) + 12 (x + 2) = 0$ . Desfacem: $6 y - 42 + 12 x + 24 = 0$ , deci $12 x + 6 y - 18 = 0$ . Împărțim prin $6$ și obținem $2 x + y - 3 = 0$ .

Proba. Pentru $M$ : $2 \cdot (- 2) + 7 - 3 = 0$ . Pentru $N$ : $2 \cdot 4 - 5 - 3 = 0$ . Amândouă se verifică, deci ecuația este corectă.

Exemplul 3 — Parametrul dintr-o condiție de coliniaritate

Determinați numărul real $m$ pentru care punctele $A (- 3, 2)$ , $B (m, 5)$ și $C (9, 11)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Cu scurtătura scăderii liniilor:

$Δ = (m + 3) (11 - 2) - (9 + 3) (5 - 2) = 9 m + 27 - 36 = 9 m - 9$

Condiția $Δ = 0$ dă $9 m = 9$ , deci $m = 1$ .

Proba. Punctele devin $A (- 3, 2)$ , $B (1, 5)$ , $C (9, 11)$ ; deplasările din $A$ sunt $(4, 3)$ și $(12, 9)$ , iar a doua este întreitul primei, deci punctele chiar sunt coliniare. Observă că valoarea găsită nu suprapune niciun punct peste altul, așa că cele trei rămân distincte.

Exemplul 4 — Citește graficul

În figura de mai jos, dreapta $d$ trece prin nodurile de coordonate $(- 3, - 2)$ și $(3, 2)$ ale rețelei. Scrieți ecuația dreptei $d$ și stabiliți care dintre punctele $E (6, 4)$ și $F (9, 5)$ îi aparține.

Rezolvare. Cu cele două noduri citite de pe figură, ecuația scrisă sub formă de determinant devine

$(3 + 3) (y + 2) - (x + 3) (2 + 2) = 0$

adică $6 y + 12 - 4 x - 12 = 0$ , deci $6 y - 4 x = 0$ și, după simplificare prin $2$ , $2 x - 3 y = 0$ .

Pentru $E (6, 4)$ : $2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 0$ , deci $E$ aparține dreptei. Pentru $F (9, 5)$ : $2 \cdot 9 - 3 \cdot 5 = 3 \neq = 0$ , deci $F$ nu îi aparține. Cu determinantul celor trei puncte s-ar fi obținut același verdict: pentru nodurile citite și $F$ iese $Δ = 6 \cdot 7 - 12 \cdot 4 = - 6$ , nenul.

Reține procedeul, fiindcă apare des la profilul științe ale naturii: o figură dă două puncte cu coordonate întregi, iar restul rezolvării nu mai are nevoie de desen.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev vrea să afle dacă punctele $A (1, - 3)$ , $B (5, 1)$ și $C (2, - 2)$ sunt coliniare. El scrie: „Dezvolt după prima linie și obțin $1 \cdot (1 + 2) + (- 3) \cdot (5 - 2) + (5 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1) = 3 - 9 - 12 = - 18$ , deci punctele nu sunt coliniare." Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Greșeala este de semn, la termenul din mijloc. Dezvoltarea unui determinant de ordinul al treilea după prima linie alternează semnele $+$ , $-$ , $+$ , deci al doilea termen se scade, nu se adună. Elevul a scris $+ (- 3) \cdot 3$ în loc de $- (- 3) \cdot 3$ , iar diferența dintre cele două este de $18$ — adică exact cât îi lipsea ca să ajungă la zero.

Cu semnele puse cum trebuie:

$Δ = 1 \cdot (1 + 2) - (- 3) \cdot (5 - 2) + (5 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1) = 3 + 9 - 12 = 0$

Punctele sunt deci coliniare. Scurtătura scăderii liniilor confirmă în două înmulțiri: $Δ = (5 - 1) (- 2 + 3) - (2 - 1) (1 + 3) = 4 - 4 = 0$ . Morala e practică: dacă rezultatul obținut prin dezvoltare nu se potrivește cu cel obținut prin scăderea liniilor, greșeala e aproape sigur un semn, iar a doua metodă are mai puține locuri în care poate fi pierdut.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, - 2)$ , $B (4, 4)$ și $D (6, 8)$ . a) Arătați că punctele $A$ , $B$ și $D$ sunt coliniare. b) Determinați ecuația dreptei $A B$ . c) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $m$ , punctele $A$ , $B$ și $C (m, 2 m)$ nu sunt coliniare.

Rezolvare.

a) Determinantul celor trei puncte, calculat cu scurtătura:

$Δ = (4 - 1) (8 + 2) - (6 - 1) (4 + 2) = 30 - 30 = 0$

Fiind nul, punctele $A$ , $B$ , $D$ sunt coliniare.

b) Cu punctul mobil pe linia a treia: $(4 - 1) (y + 2) - (x - 1) (4 + 2) = 0$ , adică $3 y + 6 - 6 x + 6 = 0$ . Împărțind prin $3$ și schimbând semnul, obținem $2 x - y - 4 = 0$ . Proba: pentru $A$ , $2 - (- 2) - 4 = 0$ ; pentru $B$ , $8 - 4 - 4 = 0$ .

c) Calculăm determinantul punctelor $A$ , $B$ și $C$ , lăsând parametrul înăuntru:

$Δ = (4 - 1) (2 m + 2) - (m - 1) (4 + 2) = 6 m + 6 - 6 m + 6 = 12$

Parametrul dispare, iar rezultatul este $12$ , un număr nenul pentru orice valoare a lui $m$ . Prin urmare punctele nu sunt niciodată coliniare. Explicația geometrică se vede din punctul b): $C$ se plimbă pe dreapta $y = 2 x$ , care are aceeași pantă cu $A B$ și, fiind diferită de ea, nu o întâlnește niciodată.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: la a) se verifică o proprietate pe date numerice, la b) se cere un rezultat exprimat printr-o ecuație, iar la c) se demonstrează o afirmație valabilă pentru orice valoare a unui parametru. La punctul c), scrie explicit că $Δ$ nu depinde de $m$ — este pasul care încheie demonstrația.

Să exersăm

Ordinea de redactare, la orice cerință de acest tip: scrii determinantul, îl aduci la forma scurtă, calculezi, tragi concluzia în cuvinte.

1. Stabilește dacă punctele $A (- 5, - 3)$ , $B (1, 9)$ și $C (4, 15)$ sunt coliniare.

2. Stabilește dacă punctele $P (- 2, 6)$ , $Q (3, - 4)$ și $R (7, - 12)$ sunt coliniare.

3. Scrie ecuația dreptei determinate de punctele $E (- 1, - 6)$ și $F (5, 12)$ .

4. Scrie ecuația dreptei determinate de punctele $G (- 4, 9)$ și $H (6, - 1)$ .

5. Arată, fără să dezvolți determinantul, că punctele $(3, - 6)$ , $(- 8, - 6)$ și $(12, - 6)$ sunt coliniare, și scrie ecuația dreptei lor.

6. Determină numărul real $m$ pentru care punctele $A (- 9, 4)$ , $B (- 3, m)$ și $C (5, 25)$ sunt coliniare.

7. Determină numerele reale $m$ pentru care punctele $A (1, - 2)$ , $B (m, 1)$ și $C (7, m)$ sunt coliniare.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Trei puncte distincte două câte două sunt întotdeauna vârfurile unui triunghi."

9. (Problemă aplicată.) Prospectul unui medicament dă doza, în miligrame, pentru mase corporale de $12$ kg, $20$ kg și $30$ kg: $96$ mg, $160$ mg și, respectiv, $240$ mg. Arată că cele trei perechi de numere sunt coliniare, scrie ecuația dreptei lor și află doza pentru un copil de $25$ kg.

10. Arată că punctele $A (- 6, 1)$ , $B (- 1, 11)$ și $C (2, 17)$ sunt coliniare și scrie ecuația dreptei pe care se află.

11. Determină numărul real $m$ pentru care punctul de coordonate $(m, - 7)$ aparține dreptei de ecuație $3 x - 2 y - 20 = 0$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $A (- 3, 8)$ , $B (2, 6)$ și $C (7, 4)$ . Arată că punctele sunt coliniare.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $M (- 1, 4)$ și $N (3, - 4)$ . Determină ecuația dreptei $M N$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numerele reale $m$ pentru care punctele $A (1, 1)$ , $B (4, m)$ și $C (m, 13)$ sunt coliniare.

15. Arată că punctele $(- 2, - 9)$ , $(0, - 3)$ și $(3, 6)$ sunt coliniare, apoi arată că punctul $(5, 13)$ nu se află pe dreapta lor.

16. Scrie ecuația dreptei care trece prin punctele de coordonate $(0, - 4)$ și $(7, 3)$ .

17. Determină numărul real $m$ pentru care punctele de coordonate $(- 4, m)$ , $(2, 3)$ și $(8, 12)$ sunt coliniare.

18. (Provocare.) Arată că, oricare ar fi numărul real $m$ , punctele $A (m, 2 m + 1)$ , $B (m + 2, 2 m + 5)$ și $C (m - 3, 2 m - 5)$ sunt coliniare, și determină ecuația dreptei pe care se află.

Răspunsuri și explicații

1. $Δ = (1 + 5) (15 + 3) - (4 + 5) (9 + 3) = 108 - 108 = 0$ , deci punctele sunt coliniare.

2. $Δ = (3 + 2) (- 12 - 6) - (7 + 2) (- 4 - 6) = - 90 + 90 = 0$ , deci punctele sunt coliniare.

3. $(5 + 1) (y + 6) - (x + 1) (12 + 6) = 0$ , adică $6 y + 36 - 18 x - 18 = 0$ ; împărțind prin $6$ , ecuația este $3 x - y - 3 = 0$ . Proba: pentru $E$ , $- 3 + 6 - 3 = 0$ ; pentru $F$ , $15 - 12 - 3 = 0$ .

4. $(6 + 4) (y - 9) - (x + 4) (- 1 - 9) = 0$ , adică $10 y - 90 + 10 x + 40 = 0$ ; împărțind prin $10$ , ecuația este $x + y - 5 = 0$ . Proba: $- 4 + 9 - 5 = 0$ și $6 - 1 - 5 = 0$ .

5. Coloana a doua e formată numai din $- 6$ , deci este coloana a treia înmulțită cu $- 6$ ; două coloane proporționale dau determinant nul. Dreapta lor este orizontala de ecuație $y = - 6$ .

6. $Δ = (- 3 + 9) (25 - 4) - (5 + 9) (m - 4) = 182 - 14 m$ , deci $m = 13$ ; proba: deplasările din $A$ , $(6, 9)$ și $(14, 21)$ , sunt proporționale.

7. $Δ = (m - 1) (m + 2) - (7 - 1) (1 + 2) = m^{2} + m - 20$ , deci $m = 4$ sau $m = - 5$ . Ambele valori sunt bune și niciuna nu suprapune două puncte: pentru $m = 4$ punctele sunt $(1, - 2)$ , $(4, 1)$ , $(7, 4)$ , iar pentru $m = - 5$ sunt $(1, - 2)$ , $(- 5, 1)$ , $(7, - 5)$ .

8. Fals. Trei puncte pot fi distincte și totuși coliniare, iar atunci nu închid nicio suprafață. Contraexemplu: punctele de la exercițiul $1$ sunt distincte două câte două, dar au $Δ = 0$ . Ca să existe triunghi, se cere $Δ \neq = 0$ .

9. Cu punctele $(12, 96)$ , $(20, 160)$ și $(30, 240)$ : $Δ = (20 - 12) (240 - 96) - (30 - 12) (160 - 96) = 1152 - 1152 = 0$ , deci sunt coliniare. Ecuația: $(20 - 12) (y - 96) - (x - 12) (160 - 96) = 0$ , adică $8 y - 768 - 64 x + 768 = 0$ , de unde $y = 8 x$ . Doza este așadar de $8$ mg pe kilogram, iar pentru $25$ kg iese $200$ mg. Rezultatul e credibil: doza crește proporțional cu masa corpului, iar dreapta trece prin origine, cum trebuie.

10. $Δ = (- 1 + 6) (17 - 1) - (2 + 6) (11 - 1) = 80 - 80 = 0$ , deci punctele sunt coliniare. Ecuația: $(- 1 + 6) (y - 1) - (x + 6) (11 - 1) = 0$ , adică $5 y - 5 - 10 x - 60 = 0$ ; împărțind prin $5$ , se obține $2 x - y + 13 = 0$ . Proba pe $C$ : $4 - 17 + 13 = 0$ .

11. Înlocuim: $3 m - 2 \cdot (- 7) - 20 = 0$ , adică $3 m + 14 - 20 = 0$ , deci $m = 2$ .

12. $Δ = (2 + 3) (4 - 8) - (7 + 3) (6 - 8) = - 20 + 20 = 0$ , deci punctele sunt coliniare.

13. $(3 + 1) (y - 4) - (x + 1) (- 4 - 4) = 0$ , adică $4 y - 16 + 8 x + 8 = 0$ ; împărțind prin $4$ , ecuația dreptei $M N$ este $2 x + y - 2 = 0$ . Proba: $- 2 + 4 - 2 = 0$ și $6 - 4 - 2 = 0$ .

14. $Δ = (4 - 1) (13 - 1) - (m - 1) (m - 1) = 36 - (m - 1)^{2}$ . Din $(m - 1)^{2} = 36$ rezultă $m - 1 = 6$ sau $m - 1 = - 6$ , deci $m = 7$ sau $m = - 5$ . Niciuna dintre valori nu suprapune două dintre puncte, deci amândouă sunt bune.

15. $Δ = (0 + 2) (6 + 9) - (3 + 2) (- 3 + 9) = 30 - 30 = 0$ , deci primele trei puncte sunt coliniare. Înlocuind al treilea punct cu $(5, 13)$ : $Δ = (0 + 2) (13 + 9) - (5 + 2) (- 3 + 9) = 44 - 42 = 2$ , nenul, deci punctul nu se află pe dreapta lor.

16. $(7 - 0) (y + 4) - (x - 0) (3 + 4) = 0$ , adică $7 y + 28 - 7 x = 0$ ; împărțind prin $7$ , ecuația este $x - y - 4 = 0$ . Proba: $0 + 4 - 4 = 0$ și $7 - 3 - 4 = 0$ .

17. $Δ = (2 + 4) (12 - m) - (8 + 4) (3 - m) = 72 - 6 m - 36 + 12 m = 36 + 6 m$ , deci $m = - 6$ .

18. Deplasările din $A$ sunt $(2, 4)$ spre $B$ și $(- 3, - 6)$ spre $C$ , iar determinantul lor este $Δ = 2 \cdot (- 6) - (- 3) \cdot 4 = - 12 + 12 = 0$ , indiferent de valoarea lui $m$ . Punctele sunt deci întotdeauna coliniare. Ecuația dreptei se scrie cu $A$ și $B$ : $2 (y - 2 m - 1) - (x - m) \cdot 4 = 0$ , adică $2 y - 4 m - 2 - 4 x + 4 m = 0$ , de unde $2 x - y + 1 = 0$ — o dreaptă care nu depinde nici ea de $m$ , pentru că toate cele trei puncte se plimbă pe ea.

De reținut

Determinantul a trei puncte se scrie cu coordonatele pe linii și cu o coloană de $1$ ; el este nul exact atunci când punctele se află pe aceeași dreaptă, fără nicio excepție și fără nicio condiție prealabilă asupra coordonatelor.
Scăzând prima linie din celelalte două, determinantul de ordinul al treilea devine unul de ordinul al doilea: $Δ = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ — două înmulțiri și o scădere, în loc de șase produse.
Ecuația dreptei prin două puncte se obține punând pe linia a treia punctul mobil $M (x, y)$ și egalând determinantul cu zero; rezolvarea se încheie întotdeauna cu înlocuirea ambelor puncte în ecuația găsită.
La problemele cu parametru, determinantul e de preferat oricărei metode care împarte: în el nu apare niciun numitor, așa că scapi de discuția pe cazuri.
Mărimea lui $∣ Δ ∣$ spune cât de departe cade al treilea punct de dreapta primelor două, iar zeroul se atinge fix în clipa în care punctul ajunge pe ea.

Greșeli frecvente

Aduni toate cele șase produse din regula lui Sarrus. Regula cere diferența a două grupe de câte trei produse, nu suma lor. Corect: scrii întâi cele trei produse de pe diagonalele descendente, apoi scazi cele trei de pe diagonalele ascendente; sau, și mai sigur, folosești scurtătura scăderii liniilor, care are doar două produse.
Amesteci liniile cu coloanele. Scrii pe prima linie toate abscisele, pe a doua toate ordonatele, dar lași coloana de $1$ acolo unde era. Corect: ori toate cele trei puncte pe linii, cu coloana de $1$ la sfârșit, ori toate pe coloane, cu o linie de $1$ dedesubt. Așezarea amestecată dă alt determinant, fără legătură cu punctele.
Decizi coliniaritatea pe date deja rotunjite. Un aparat care afișează două zecimale poate face $Δ$ să iasă zero pentru puncte care nu sunt chiar pe o dreaptă. Corect: la date experimentale spui că măsurătorile sunt compatibile cu o dependență liniară, nu că punctele „sunt coliniare"; certitudinea aceasta o ai doar cu numere exacte.
Crezi că trei puncte distincte formează automat un triunghi. Enunțurile care cer aria unui triunghi sau perimetrul lui presupun tacit că vârfurile nu sunt coliniare. Corect: verifici întâi $Δ \neq = 0$ și abia apoi continui; dacă $Δ = 0$ , scrii explicit că punctele sunt coliniare și că triunghiul nu există.
Găsești parametrul și te oprești acolo. O valoare obținută dintr-o ecuație rezolvată în grabă rămâne neverificată. Corect: înlocuiești valoarea găsită în coordonate și recalculezi determinantul; dacă nu iese zero, greșeala e la dezvoltare, iar dacă se întâmplă ca două puncte să se suprapună, spui ce înseamnă asta pentru cerință.

Aplică acasă

Cele două scări ale termometrului. Ia dintr-un tabel de conversie trei perechi de valori (grade Celsius, grade Fahrenheit) — de exemplu punctul de îngheț al apei, temperatura corpului și o temperatură de vară. Verifică prin determinant că cele trei puncte sunt coliniare, apoi scrie ecuația dreptei lor și compar-o cu formula de conversie pe care o găsești pe internet. Dacă ai nimerit peste o valoare rotunjită, determinantul nu va ieși fix zero: e chiar situația din secțiunea $7$ .
Scara din bloc. Măsoară cu o riglă înălțimea la care ajungi după $1$ , după $3$ și după $6$ trepte, socotind de la podea. Notează cele trei perechi (număr de trepte, înălțime în centimetri) și calculează determinantul. Scrie apoi ecuația dreptei și folosește-o ca să prezici înălțimea unui etaj întreg, știind câte trepte are; verifică predicția măsurând.
Eticheta unui aliment. Pe orice ambalaj scrie valoarea energetică la $100$ de grame și la o porție. Ia cele două perechi (grame, kilocalorii), scrie ecuația dreptei prin ele și calculează cu ea energia pentru o cantitate a treia, pe care o găsești tot pe etichetă sau o cântărești. Vei observa mici nepotriviri: producătorul rotunjește fiecare valoare separat, așa că punctele nu ies perfect coliniare.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, în unitatea „Matrice și determinanți", la rândul „Aplicații ale determinanților în geometrie: coliniaritatea a trei puncte; ecuația dreptei determinată de două puncte". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014) tot ca aplicație a calculului matriceal: „ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan". În modelul oficial al probei, Subiectul al II-lea începe cu o problemă de matrice și determinanți, iar una dintre cele șase cerințe scurte ale Subiectului I este de geometrie analitică plană; forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția nu predă geometrie nouă: coordonatele, panta și dreapta prin două puncte sunt materie de clasa a IX-a la acest profil. Ce se cere aici este mutarea aceleiași probleme pe un instrument algebric, iar câștigul se vede tocmai în cazurile în care metoda din clasa a IX-a se oprea — drepte verticale, coordonate cu parametru, date care nu se împart frumos.

Patru întrebări de control, de pus oral: „De ce apare în determinant o coloană numai cu valori de $1$ ?"; „Ce se schimbă în determinant dacă scriu punctele în altă ordine?"; „Cum arăt că un punct dat aparține unei drepte, dacă știu ecuația ei?"; „Ce înseamnă un determinant mic, dar nenul?". Semne că elevul a înțeles: începe rezolvarea scriind determinantul, nu comparând rapoarte; face proba înlocuind punctele în ecuația găsită; spune în cuvinte ce a obținut, nu doar cifra. Continuarea firească este lecția despre aria triunghiului calculată cu un determinant, care folosește exact același determinant, iar lecția care o precedă în traseu este cea despre inversa unei matrice, cu matricea adjunctă.

Întrebări frecvente

Ce diferă la coliniaritate între M2 și versiunea de la mate-info (M1)? Criteriul cu determinant este identic; diferă contextul. La științe ale naturii geometria analitică plană s-a făcut în clasa a IX-a; aici se reia doar unealta algebrică. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: condiția de coliniaritate a trei puncte stă într-un capitol despre drepte, alături de unghiul a două drepte și de distanța de la un punct la o dreaptă, teme străine programei de științe ale naturii.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2 aplicația determinanților în geometrie? În programa de examen pentru sesiunile 2027–2029, coliniaritatea, aria triunghiului și ecuația dreptei prin două puncte sunt trecute ca aplicații ale capitolului de calcul matriceal, iar Subiectul al II-lea al probei începe cu o problemă de matrice și determinanți. Subiectul I conține și el o cerință scurtă de geometrie analitică plană. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune.

Cum se scrie ecuația dreptei determinate de două puncte, cu un determinant? Pui pe primele două linii coordonatele celor două puncte cunoscute, pe linia a treia punctul mobil $M (x, y)$ , completezi coloana a treia cu valori de $1$ și egalezi determinantul cu zero. Desfăcând parantezele obții forma generală $a x + b y + c = 0$ . Metoda funcționează și pentru drepte verticale, unde forma cu pantă nu există.

Cum arăt că un punct aparține unei drepte scrise sub formă de ecuație? Înlocuiești coordonatele punctului în ecuație și verifici dacă egalitatea se confirmă. Dacă membrul stâng iese zero, punctul se află pe dreaptă; dacă iese orice alt număr, nu se află. Este exact ceea ce face și determinantul celor trei puncte, doar că acolo ecuația dreptei nu mai trebuie scrisă separat.

Pot să înlocuiesc determinantul de ordinul al treilea cu unul de ordinul al doilea? Da, și e recomandat. Scazi prima linie din celelalte două — o transformare care nu schimbă valoarea determinantului — și rămâi cu un determinant de ordinul al doilea, format din diferențele coordonatelor. Ai atunci doar două produse de calculat, iar șansa de a greși un semn scade mult față de regula lui Sarrus.

Ce legătură există între coliniaritate și aria unui triunghi? Același determinant măsoară amândouă. Valoarea lui absolută este dublul ariei triunghiului cu vârfurile în cele trei puncte, deci anularea lui înseamnă arie nulă, adică triunghi turtit pe o dreaptă. Din acest motiv, verificarea coliniarității este primul pas al oricărei probleme care cere aria unui triunghi dat prin coordonate.

Pot verifica dintr-un singur determinant dacă patru puncte sunt coliniare? Nu: un determinant se calculează numai pentru o matrice pătratică, iar patru puncte ar da patru linii și trei coloane. Procedezi altfel: alegi două puncte, scrii dreapta prin ele și verifici dacă celelalte două o satisfac. În spațiu întrebarea are însă un corespondent cu determinant de ordinul al patrulea — condiția ca patru puncte să fie coplanare —, temă a clasei a XII-a, tot la științe ale naturii.