Combinări complementare

Într-o clasă cu $30$ de elevi, dirigintele trebuie să aleagă $28$ care merg în excursie. În câte moduri poate face selecția? Aplicând definiția combinărilor, răspunsul este $C_{30}^{28}$ — și, dacă te apuci să calculezi produsul de $28$ de factori de la numărător și $28!$ la numitor, îți trebuie o pagină întreagă și multă răbdare.

Dar oprește-te o clipă și privește problema din partea cealaltă. A alege $28$ de elevi din $30$ înseamnă, de fapt, a alege cei $2$ elevi care rămân acasă. Iar asta se numără instantaneu: $C_{30}^{2} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 435$ . Cele două numărători descriu exact aceleași selecții, deci trebuie să dea același rezultat — și chiar dau. Lecția de față transformă această observație de bun-simț într-o formulă, îi dă două demonstrații și arată cât de mult scurtează ea calculele și rezolvarea ecuațiilor.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți formula combinărilor complementare: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ .
Vei ști să o demonstrezi în două feluri: prin calcul cu formula factorialilor și printr-un raționament de numărare („cine rămâne afară").
Vei ști să o folosești ca să scurtezi calculele atunci când $k$ este aproape de $n$ .
Vei ști să rezolvi ecuații de tipul $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ , cu cele două familii de soluții.
Vei ști să recunoști simetria din tabelul combinărilor și să o legi de forma triunghiului lui Pascal.
Vei ști să verifici relația prin enumerarea efectivă a submulțimilor, pe cazuri mici.

Hai să descoperim împreună

1. Observația de pornire

Reluăm exemplul din deschidere, dar pe numere mici, ca să putem verifica totul pe caiet. Fie mulțimea $M = {a, b, c, d}$ , cu $n = 4$ elemente. Numărăm:

submulțimile cu $3$ elemente: ${a, b, c}$ , ${a, b, d}$ , ${a, c, d}$ , ${b, c, d}$ — sunt $4$ , deci $C_{4}^{3} = 4$ ;
submulțimile cu $1$ element: ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ , ${d}$ — sunt tot $4$ , deci $C_{4}^{1} = 4$ .

Nu e o coincidență, și se vede de ce dacă le așezăm față în față:

${a, b, c} \leftrightarrow {d}, {a, b, d} \leftrightarrow {c}, {a, c, d} \leftrightarrow {b}, {b, c, d} \leftrightarrow {a} .$

Fiecărei submulțimi cu $3$ elemente îi corespunde exact una cu $1$ element — cea formată din elementele rămase. Corespondența funcționează perfect în ambele sensuri, deci cele două familii au același număr de membri.

✏️Ilustrație: un dreptunghi care reprezintă mulțimea M, împărțit în două zone colorate diferit, una etichetată „cele k alese" și cealaltă „cele n − k rămase", cu o săgeată dublă între ele și textul „o alegere = o împărțire în două"

2. Formula combinărilor complementare

Teoremă. Pentru orice $n, k \in N$ cu $0 \leq k \leq n$ :

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Prima demonstrație (prin calcul). Aplicăm formula stabilită în Combinări: definiție și formulă, înlocuind $k$ cu $n - k$ :

$C_{n}^{n - k} = \frac{n !}{( n - k )! \cdot [ n - ( n - k ) ] !} = \frac{n !}{( n - k )! \cdot k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = C_{n}^{k} .$

Cele două fracții sunt identice: la numitor apar aceiași doi factoriali, doar în altă ordine, iar înmulțirea este comutativă. $■$

A doua demonstrație (prin numărare). Această demonstrație e mai scurtă de citit și mult mai ușor de reținut. Fie $M$ o mulțime cu $n$ elemente. Oricărei submulțimi $S \subset M$ cu $k$ elemente îi asociem complementara ei, adică submulțimea elementelor din $M$ care nu sunt în $S$ . Aceasta are $n - k$ elemente.

Corespondența $S \mapsto M ∖ S$ leagă fiecare submulțime cu $k$ elemente de exact una cu $n - k$ elemente, iar procedeul invers (luarea complementarei încă o dată) readuce submulțimea de la care am plecat. Prin urmare, cele două familii de submulțimi au același număr de elemente:

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} . ■$

De aici vine și numele: cele două combinări se numesc complementare pentru că numerele de sus sunt fixate, iar cele de jos se completează până la $n$ : $k + (n - k) = n$ .

Am verificat egalitatea prin enumerarea efectivă a tuturor submulțimilor, pentru toate perechile $(n, k)$ cu $n \leq 8$ : în fiecare caz, numărul submulțimilor cu $k$ elemente coincide cu numărul celor cu $n - k$ elemente.

3. La ce folosește: calculele scurte

Aceasta e utilitatea imediată. Când $k$ este mai mare decât jumătate din $n$ , înlocuiește-l cu $n - k$ și calculul devine de câteva ori mai scurt.

Ce ni se cere	Cu formula complementară	Rezultat
$C_{100}^{98}$	$C_{100}^{2} = \frac{100 \cdot 99}{2}$	$4950$
$C_{20}^{17}$	$C_{20}^{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6}$	$1140$
$C_{50}^{48}$	$C_{50}^{2} = \frac{50 \cdot 49}{2}$	$1225$
$C_{40}^{38}$	$C_{40}^{2} = \frac{40 \cdot 39}{2}$	$780$
$C_{15}^{13}$	$C_{15}^{2} = \frac{15 \cdot 14}{2}$	$105$

Compară efortul: $C_{100}^{98}$ scris direct înseamnă un produs de $98$ de factori împărțit la $98!$ ; scris complementar, o înmulțire și o împărțire. Toate valorile din tabel au fost verificate numeric.

Regula practică: dacă $k > \frac{n}{2}$ , treci la $n - k$ . Niciodată invers.

Scurtătura funcționează la fel de bine și în enunțuri obișnuite de la clasă. Dintr-un grup de $25$ de elevi se aleg $23$ pentru cor. În câte moduri? Numărăm cei doi care nu intră în cor: $C_{25}^{23} = C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300$ . Dintr-o listă de $60$ de cărți se lasă deoparte $58$ pentru donație — în câte moduri? Tot atât de simplu: $C_{60}^{58} = C_{60}^{2} = \frac{60 \cdot 59}{2} = 1770$ . Ambele valori au fost verificate numeric.

Observă că, în fiecare dintre aceste enunțuri, numărul mic ( $2$ ) apare de la sine, dacă citești problema „din partea cealaltă": nu „cine intră", ci „cine rămâne afară". Acesta e reflexul pe care merită să ți-l formezi.

4. Cazuri particulare care ies din formulă

Formula complementară explică, dintr-o singură lovitură, mai multe egalități pe care le-ai întâlnit deja:

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ — „nu alegi pe nimeni" e același lucru cu „lași afară pe toți";
$C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$ — a alege un element e același lucru cu a alege pe cine rămâne afară;
$C_{n}^{2} = C_{n}^{n - 2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

Al doilea rând merită reținut ca atare: $C_{n}^{n - 1} = n$ . Îl vei folosi des în ecuații — de exemplu, din $C_{n}^{n - 1} = 12$ rezultă imediat $n = 12$ .

5. Ecuații cu combinări: atenție la DOUĂ familii de soluții

Aici formula complementară nu doar scurtează, ci schimbă răspunsul. Fie ecuația

$C_{n}^{a} = C_{n}^{b} .$

Dacă am ști doar că funcția „crește", am concluziona $a = b$ . Dar combinările nu cresc pe toată linia: cresc până la mijloc, apoi scad simetric. De aceea egalitatea are două cauze posibile:

$a = b sau a + b = n .$

Exemplu. Rezolvăm $C_{12}^{x} = C_{12}^{5}$ , cu $x \in {0, 1, \dots, 12}$ .

prima familie: $x = 5$ ;
a doua familie: $x + 5 = 12 \Rightarrow x = 7$ .

Deci $x \in {5, 7}$ . Verificare numerică: $C_{12}^{5} = 792$ și $C_{12}^{7} = 792$ ✓ — și, într-adevăr, am confirmat că nu mai există alt $x$ între $0$ și $12$ cu această proprietate.

Greșeala clasică la Bacalaureat este să dai un singur răspuns, $x = 5$ , și să pierzi jumătate din punctaj. Scrie întotdeauna ambele cazuri, apoi verifică pentru fiecare dacă respectă condițiile ( $0 \leq x \leq n$ , $x$ natural).

Al doilea exemplu, mai fin. Rezolvăm $C_{10}^{3 x} = C_{10}^{x + 4}$ în $N$ .

Cazul 1: $3 x = x + 4 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ . Verificăm condițiile: $3 x = 6 \leq 10$ și $x + 4 = 6 \leq 10$ ✓.
Cazul 2: $3 x + (x + 4) = 10 \Rightarrow 4 x = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ , care nu este număr natural, deci se respinge.

Soluția este $x = 2$ , iar egalitatea devine $C_{10}^{6} = C_{10}^{6} = 210$ ✓.

6. Simetria din tabel

Formula complementară este exact ceea ce vezi cu ochiul liber într-un tabel de combinări: fiecare linie se citește la fel de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga.

$n$	$C_{n}^{0}$	$C_{n}^{1}$	$C_{n}^{2}$	$C_{n}^{3}$	$C_{n}^{4}$	$C_{n}^{5}$	$C_{n}^{6}$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
$6$	$1$	$6$	$15$	$20$	$15$	$6$	$1$

✏️Ilustrație: linia n = 6 scrisă orizontal — 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 — cu arce colorate care unesc perechile egale (1–1, 6–6, 15–15) peste termenul central 20, și o linie punctată verticală prin 20

Pe linia lui $n = 6$ : $C_{6}^{1} = C_{6}^{5} = 6$ și $C_{6}^{2} = C_{6}^{4} = 15$ , iar la mijloc stă singurul termen fără pereche, $C_{6}^{3} = 20$ .

Reține și consecința: când $n$ este par, linia are un singur termen central; când $n$ este impar, termenii centrali sunt doi și egali — de exemplu $C_{7}^{3} = C_{7}^{4} = 35$ . Această simetrie este trăsătura cea mai vizibilă a triunghiului lui Pascal, pe care îl vei construi în curând.

Simetria are și o consecință utilă pentru comparații rapide: pe fiecare linie, valorile cresc pe măsură ce ne apropiem de mijloc și scad simetric după el. Așa poți decide care dintre două combinări e mai mare fără să le calculezi: $C_{20}^{17}$ înseamnă $C_{20}^{3}$ , iar $3$ e mai departe de mijlocul liniei decât $4$ , deci $C_{20}^{17} < C_{20}^{4}$ . (Verificare: $1140 < 4845$ .)

7. O legătură frumoasă: combinări și suma lui Gauss

Merită să vezi și o consecință elegantă a formulei $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , folosită complementar. Pentru orice $n \geq 1$ :

$C_{n + 1}^{2} = \frac{( n + 1 ) n}{2} = 1 + 2 + \dots + n .$

Adică numărul perechilor care se pot forma dintre $n + 1$ obiecte este exact suma lui Gauss până la $n$ . Interpretarea: numerotează obiectele de la $1$ la $n + 1$ ; perechile în care al doilea element este $2$ sunt $1$ ; cele în care al doilea element este $3$ sunt $2$ ; …; cele în care al doilea element este $n + 1$ sunt $n$ . Adunând, obții $1 + 2 + \dots + n$ .

Verificare numerică: $C_{101}^{99} = C_{101}^{2} = 5050$ , exact cât $1 + 2 + \dots + 100$ . Ai calculat această sumă și în clasa a IX-a, la progresii aritmetice; acum o regăsești pe alt drum.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule scurtate

Calculați $C_{100}^{98}$ , $C_{20}^{17}$ și $C_{50}^{48}$ .

Rezolvare. Aplicăm $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ pentru fiecare:

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950;$ $C_{20}^{17} = C_{20}^{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140;$ $C_{50}^{48} = C_{50}^{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225.$

Exemplul 2 — Verificarea formulei pe un caz mic

Verificați, prin scrierea efectivă a submulțimilor, că $C_{5}^{3} = C_{5}^{2}$ .

Rezolvare. Fie $M = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Submulțimile cu $2$ elemente sunt ${1, 2}$ , ${1, 3}$ , ${1, 4}$ , ${1, 5}$ , ${2, 3}$ , ${2, 4}$ , ${2, 5}$ , ${3, 4}$ , ${3, 5}$ , ${4, 5}$ — adică $10$ .

Submulțimile cu $3$ elemente se obțin luând complementarele celor de mai sus: complementara lui ${1, 2}$ este ${3, 4, 5}$ , a lui ${1, 3}$ este ${2, 4, 5}$ și așa mai departe. Corespondența e una-la-una, deci sunt tot $10$ .

Într-adevăr, $C_{5}^{2} = C_{5}^{3} = 10$ ✓.

Exemplul 3 — Problema excursiei

Într-o clasă cu $30$ de elevi se aleg $28$ care merg în excursie. În câte moduri?

Rezolvare. În loc să numărăm cei $28$ care pleacă, numărăm cei $2$ care rămân:

$C_{30}^{28} = C_{30}^{2} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 435.$

Exemplul 4 — Ecuație cu două soluții

Rezolvați ecuația $C_{12}^{x} = C_{12}^{5}$ , unde $x \in N$ , $x \leq 12$ .

Rezolvare. Egalitatea a două combinări cu același număr de sus se poate produce în două feluri:

$x = 5$ ;
$x + 5 = 12 \Rightarrow x = 7$ .

Ambele valori respectă condiția $0 \leq x \leq 12$ , deci $x \in {5, 7}$ .

Verificare: $C_{12}^{5} = 792$ și $C_{12}^{7} = C_{12}^{12 - 7} = C_{12}^{5} = 792$ ✓.

Exemplul 5 — Ecuație cu necunoscuta în ambii indici

Rezolvați în $N$ ecuația $C_{10}^{3 x} = C_{10}^{x + 4}$ .

Rezolvare. Condițiile de existență: $3 x \leq 10$ și $x + 4 \leq 10$ , deci $x \leq 3$ .

Cazul 1: $3 x = x + 4 \Rightarrow x = 2$ . Verifică ambele condiții ✓.

Cazul 2: $3 x + x + 4 = 10 \Rightarrow 4 x = 6 \Rightarrow x = 1, 5 \in / N$ , se respinge.

Soluția: $x = 2$ , caz în care ecuația devine $C_{10}^{6} = C_{10}^{6} = 210$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Calculați $C_{9}^{7}$ . b) Determinați numărul natural $n$ pentru care $C_{n}^{n - 1} = 12$ . c) Determinați numărul submulțimilor cu $16$ elemente ale unei mulțimi cu $18$ elemente.

Rezolvare. a) $C_{9}^{7} = C_{9}^{9 - 7} = C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ .

b) Din formula complementară, $C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{1} = n$ . Ecuația devine $n = 12$ .

c) Numărul cerut este $C_{18}^{16} = C_{18}^{2} = \frac{18 \cdot 17}{2} = 153$ .

Observație de metodă: la toate trei subpunctele, formula complementară a transformat un calcul lung într-unul de o linie. Baremul acceptă și calculul direct, dar timpul de examen nu. $■$

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, întreabă-te dacă numărul de jos e mai mare decât jumătate din cel de sus. Dacă da, treci la complementar.

1. Verificați prin calcul direct că $C_{7}^{2} = C_{7}^{5}$ .

2. Calculați $C_{100}^{98}$ .

3. Calculați $C_{20}^{17}$ .

4. Calculați $C_{50}^{48}$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ pentru orice numere naturale $n$ și $k$ cu $0 \leq k \leq n$ ."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $C_{10}^{3} = C_{10}^{7}$ ." Calculați ambele valori.

7. Calculați $C_{15}^{13}$ și verificați rezultatul calculând și $C_{15}^{2}$ .

8. Rezolvați ecuația $C_{12}^{x} = C_{12}^{5}$ , unde $x \in N$ , $x \leq 12$ .

9. Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $C_{n}^{n - 2} = 45$ .

10. Câte submulțimi cu $8$ elemente are o mulțime cu $10$ elemente?

11. (Problemă aplicată.) Dintr-o clasă cu $30$ de elevi se aleg $28$ pentru o excursie. În câte moduri se poate face selecția? Explicați de ce e mai simplu să numărați elevii care rămân.

12. Calculați $C_{40}^{38}$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Calculați $C_{9}^{7}$ . b) Determinați $n \in N^{*}$ pentru care $C_{n}^{n - 1} = 12$ . c) Determinați numărul submulțimilor cu $16$ elemente ale unei mulțimi cu $18$ elemente.

14. Rezolvați în $N$ ecuația $C_{10}^{3 x} = C_{10}^{x + 4}$ .

15. Demonstrați, folosind formula combinărilor complementare, că $C_{n}^{n - 1} = n$ pentru orice $n \geq 1$ .

16. Calculați $C_{14}^{11}$ .

17. Fără să efectuați calculele complet, precizați care număr este mai mare: $C_{20}^{17}$ sau $C_{20}^{4}$ . Justificați, apoi verificați prin calcul.

18. (Provocare.) Arătați că $C_{n + 1}^{2} = 1 + 2 + \dots + n$ pentru orice $n \geq 1$ și folosiți rezultatul ca să calculați $C_{101}^{99}$ .

Răspunsuri și explicații

1. $C_{7}^{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ și $C_{7}^{5} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{120} = \frac{2520}{120} = 21$ . Egale, conform formulei complementare ( $2 + 5 = 7$ ).

2. $C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$ .

3. $C_{20}^{17} = C_{20}^{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = \frac{6840}{6} = 1140$ .

4. $C_{50}^{48} = C_{50}^{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225$ .

5. Adevărat. Din formula cu factoriali: $C_{n}^{n - k} = \frac{n !}{( n - k )! k !} = C_{n}^{k}$ . Sau, prin numărare: fiecărei submulțimi cu $k$ elemente îi corespunde exact una cu $n - k$ elemente — complementara ei.

6. Adevărat, pentru că $3 + 7 = 10$ . Valorile: $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ și $C_{10}^{7} = C_{10}^{3} = 120$ .

7. $C_{15}^{13} = C_{15}^{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105$ . Calculul direct al lui $C_{15}^{2}$ dă tot $105$ ✓ (era chiar complementarul folosit).

8. $x = 5$ sau $x + 5 = 12$ , deci $x = 7$ . Ambele respectă $0 \leq x \leq 12$ : $x \in {5, 7}$ . Verificare: $C_{12}^{5} = C_{12}^{7} = 792$ .

9. $C_{n}^{n - 2} = C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 45 ⟺ n^{2} - n - 90 = 0$ , cu $Δ = 361 = 1 9^{2}$ , deci $n \in {10, - 9}$ ; convine $n = 10$ . Verificare: $C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = 45$ ✓.

10. $C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ .

11. $C_{30}^{28} = C_{30}^{2} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 435$ . A alege cei $28$ care pleacă este exact același lucru cu a alege cei $2$ care rămân: fiecărei selecții de $28$ îi corespunde una și numai una de $2$ (complementara ei). Al doilea calcul are doi factori în loc de douăzeci și opt.

12. $C_{40}^{38} = C_{40}^{2} = \frac{40 \cdot 39}{2} = 780$ .

13. a) $C_{9}^{7} = C_{9}^{2} = 36$ . b) $C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{1} = n$ , deci $n = 12$ . c) $C_{18}^{16} = C_{18}^{2} = \frac{18 \cdot 17}{2} = 153$ .

14. Condiții: $3 x \leq 10$ și $x + 4 \leq 10$ , deci $x \leq 3$ . Cazul 1: $3 x = x + 4 \Rightarrow x = 2$ ✓. Cazul 2: $3 x + x + 4 = 10 \Rightarrow x = 1, 5$ , respins (nu e natural). Soluția: $x = 2$ , cu $C_{10}^{6} = 210$ .

15. Din $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ cu $k = n - 1$ obținem $C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{n - (n - 1)} = C_{n}^{1} = n$ . Interpretare: a alege $n - 1$ elemente din $n$ înseamnă a alege pe cel care rămâne afară, iar acesta poate fi ales în $n$ moduri.

16. $C_{14}^{11} = C_{14}^{3} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{6} = \frac{2184}{6} = 364$ .

17. $C_{20}^{17} = C_{20}^{3}$ , iar pe o linie valorile cresc pe măsură ce ne apropiem de mijloc, deci $C_{20}^{3} < C_{20}^{4}$ . Verificare: $C_{20}^{3} = 1140$ și $C_{20}^{4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{24} = 4845$ . Într-adevăr, $C_{20}^{4}$ este mai mare.

18. $C_{n + 1}^{2} = \frac{( n + 1 ) n}{2}$ , iar suma lui Gauss este $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ — aceeași expresie. Prin urmare $C_{101}^{99} = C_{101}^{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 5050 = 1 + 2 + \dots + 100$ .

De reținut

Formula combinărilor complementare: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , pentru orice $0 \leq k \leq n$ . Numerele de jos se completează până la $n$ .
Explicația în cuvinte: a alege $k$ elemente din $n$ înseamnă, în același timp, a alege cele $n - k$ elemente care rămân afară — o alegere, două citiri.
Utilizare practică: dacă $k > \frac{n}{2}$ , calculează $C_{n}^{n - k}$ . Astfel $C_{100}^{98}$ devine $C_{100}^{2} = 4950$ , dintr-o singură înmulțire.
Cazuri particulare: $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$ , $C_{n}^{2} = C_{n}^{n - 2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .
Ecuațiile $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ au două familii de soluții: $a = b$ sau $a + b = n$ . Ambele trebuie scrise și verificate față de condițiile $0 \leq a, b \leq n$ .

Greșeli frecvente

Un singur răspuns la ecuația $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ . Din $C_{12}^{x} = C_{12}^{5}$ nu rezultă doar $x = 5$ : mai există $x = 7$ , pentru că $5 + 7 = 12$ . Este cea mai costisitoare greșeală din această lecție.
Aplicarea formulei „pe dos". Nu înlocui $C_{n}^{k}$ cu $C_{n}^{k - n}$ sau cu $C_{n - k}^{k}$ . Se schimbă doar numărul de jos, iar noul număr este $n - k$ .
Calculul direct la $k$ mare. $C_{100}^{98}$ calculat prin definiție înseamnă un produs de $98$ de factori. Cine nu trece la complementar pierde timp și greșește.
Uitarea condițiilor la ecuații. Soluțiile trebuie să respecte $0 \leq x \leq n$ și să fie numere naturale. Valoarea $x = 1, 5$ din Exemplul 5 se respinge tocmai din acest motiv.
Confuzia dintre „complementar" și „complementara unui unghi". În combinatorică, cuvântul se referă la submulțimea elementelor rămase; nu are legătură cu unghiurile complementare din geometrie.

Aplică acasă

Alegerea din trusă. Ia o cutie cu $6$ obiecte diferite (creioane, cărți de joc, monede) și scrie pe caiet toate submulțimile cu $4$ obiecte. Apoi scrie-le pe cele cu $2$ obiecte. Ar trebui să obții de fiecare dată $15$ , iar fiecare submulțime dintr-o listă să aibă perechea ei în cealaltă.
Cine rămâne acasă. Numără câți colegi sunt în clasa ta și calculează în câte moduri s-ar putea alege toți în afară de doi ( $C_{n}^{n - 2}$ ). Verifică apoi că numărul obținut este exact numărul de perechi de colegi din clasă.
Simetria în tabel. Scrie pe o foaie liniile combinărilor pentru $n = 0, 1, 2, \dots, 6$ , îndoaie foaia pe verticală prin mijlocul liniilor și verifică prin transparență că numerele se suprapun perfect. Ai desenat, fără să știi, primele șapte linii ale triunghiului lui Pascal.

Pentru părinți și profesori

Formula combinărilor complementare este menționată explicit în programa de trunchi comun a clasei a X-a, iar una dintre activitățile de învățare recomandate este chiar „utilizarea combinărilor complementare în probleme practice de numărare". Valoarea ei pedagogică e dublă: pe de o parte, scurtează drastic calculele; pe de altă parte, oferă primul exemplu de demonstrație prin corespondență unu-la-unu — un raționament de numărare, nu un calcul. Merită insistat pe a doua demonstrație, cea cu „cine rămâne afară", pentru că ea rămâne în minte.

Ce verificați în rezolvarea copilului: (1) trece la complementar ori de câte ori $k$ depășește jumătate din $n$ ; (2) la ecuații de tipul $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ , scrie ambele familii de soluții și le verifică față de condiții; (3) poate explica în cuvinte de ce formula e adevărată, nu doar să o citeze. Întrebări bune de control: „De ce a alege $28$ din $30$ e același lucru cu a alege $2$ ?"; „Câte soluții are ecuația $C_{12}^{x} = C_{12}^{5}$ și de ce?"; „Cum se vede formula în tabelul de combinări?".

Semne că elevul a înțeles: nu mai calculează niciodată $C_{50}^{48}$ direct; recunoaște simetria liniilor înainte de a i se spune despre triunghiul lui Pascal; explică formula printr-o corespondență, nu prin factoriali. La Bacalaureat, combinările complementare apar la subiectul I, ca simplificare într-un calcul sau ca ecuație cu două soluții — iar a doua soluție este exact ce se pierde cel mai des.

Întrebări frecvente

Ce sunt combinările complementare? Sunt perechile de combinări $C_{n}^{k}$ și $C_{n}^{n - k}$ , în care numerele de jos se completează până la $n$ . Formula spune că ele sunt egale: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , pentru orice $0 \leq k \leq n$ .

De ce $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ? Pentru că a alege $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente înseamnă, în același timp, a decide care $n - k$ elemente rămân afară. Fiecărei submulțimi cu $k$ elemente îi corespunde exact una cu $n - k$ elemente — complementara ei — deci cele două familii sunt la fel de numeroase.

Cum calculez rapid $C_{100}^{98}$ ? Treci la complementar: $C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$ . Calculul direct ar cere un produs de $98$ de factori împărțit la $98!$ .

Când merită să folosesc formula combinărilor complementare? Ori de câte ori numărul de jos depășește jumătate din cel de sus, adică $k > \frac{n}{2}$ . Atunci $n - k$ este mai mic decât $k$ și calculul se scurtează.

Câte soluții are ecuația $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ ? Două familii: fie $a = b$ , fie $a + b = n$ . De exemplu, $C_{12}^{x} = C_{12}^{5}$ are soluțiile $x = 5$ și $x = 7$ . Ambele trebuie verificate față de condițiile $0 \leq x \leq n$ și $x$ natural.

Cât este $C_{n}^{n - 1}$ ? Este $n$ , pentru că $C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{1} = n$ . Interpretarea: a alege toți în afară de unul înseamnă a alege pe cel lăsat afară, ceea ce se poate face în $n$ moduri.

Ce legătură are formula cu triunghiul lui Pascal? Formula complementară este exact simetria pe care o vezi în fiecare linie a triunghiului: valorile citite de la stânga și de la dreapta coincid. Când $n$ e impar, cei doi termeni din mijloc sunt egali (de exemplu $C_{7}^{3} = C_{7}^{4} = 35$ ); când $n$ e par, există un singur termen central.

Cum verific formula fără calculator? Ia o mulțime mică, de exemplu cu $5$ elemente, și scrie efectiv submulțimile cu $2$ elemente și pe cele cu $3$ elemente. Vei obține câte $10$ de fiecare, iar fiecare submulțime dintr-o listă are perechea ei — complementara — în cealaltă.