Compararea probabilităților: decizii: pe scurt

Compararea a două probabilități se face prin numitor comun (exact), prin zecimale (rapid) sau prin procente (comunicare) — niciodată prin compararea numărătorilor când numitorii diferă: $\frac{2}{10}>\frac{15}{80}$, deși $15>2$.

Trei situații celebre arată cât de des greșește intuiția. La cavalerul de Méré, „de șase ori mai puțin probabil, dar de șase ori mai multe încercări” nu se compensează: $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4\approx 0,518$ față de $1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^{24}\approx 0,491$. La paradoxul zilelor de naștere, într-o clasă de $23$ de elevi probabilitatea unei coincidențe depășește $50\%$, pentru că întrebarea privește orice pereche, iar perechile posibile sunt $C_{23}^2=253$. La problema celor trei uși, strategia „schimb” câștigă cu probabilitatea $\frac{2}{3}$, dublu față de „rămân”, pentru că prezentatorul, știind unde e premiul, deschide mereu o ușă goală.

O creștere relativă („cu $50\%$ mai mult”) nu e totuna cu una absolută (un punct procentual) — depinde de valoarea de referință. O decizie informată ține cont de probabilitate, de mărimea consecinței și de numărul de repetări, nu doar de un procent izolat.

Exerciții din această mini-lecție

1. Compară fracțiile $\frac{5}{12}$ și $\frac{7}{18}$. Care este mai mare?

   • a) $\frac{5}{12}$
   • b) Sunt egale
   • c) Nu se pot compara
   • d) $\frac{7}{18}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{5}{12}$

   Numitor comun $36$: $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$ și $\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$, deci $\frac{5}{12}$ este mai mare (aproximativ $0,417$ față de $0,389$).

2. Urna $A$ are $6$ bile roșii din $10$; urna $B$ are $9$ bile roșii din $16$. Din care urnă e mai probabil să extragi o bilă roșie?

   • a) Urna $B$
   • b) Urna $A$
   • c) Sunt egale
   • d) Nu se poate determina
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) Urna $A$

   $P(A)=\frac{6}{10}=0,6$ și $P(B)=\frac{9}{16}=0,5625$. Cum $0,6>0,5625$, urna $A$ este mai avantajoasă, deși are mai puține bile roșii în valoare absolută.

3. Într-o clasă cu $30$ de elevi, probabilitatea ca cel puțin doi să aibă ziua de naștere în aceeași zi a anului este:

   • a) sub $50\%$
   • b) exact $50\%$
   • c) peste $70\%$
   • d) sub $10\%$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) peste $70\%$

   Prin evenimentul contrar, „toate zilele diferite” are probabilitatea $\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdots \frac{336}{365}\approx 0,294$, deci probabilitatea unei coincidențe este $\approx 1-0,294=0,706$, adică peste $70\%$ — mult mai mult decât sugerează intuiția.