Compararea probabilităților și decizii informate

Ai în față două urne. În prima sunt $3$ bile roșii și $2$ albastre; în a doua, $5$ roșii și $4$ albastre. Extragi o bilă dintr-una dintre ele, la alegere, și câștigi dacă e roșie. Din care urnă extragi? Prima are mai puține bile roșii în valoare absolută, dar întrebarea nu este „unde sunt mai multe bile roșii", ci „unde e mai mare raportul". Comparăm: $\frac{3}{5}$ față de $\frac{5}{9}$. Aduse la același numitor, $\frac{27}{45}$ și $\frac{25}{45}$ — deci prima urnă e mai bună, chiar dacă are mai puține bile roșii.

Aceasta este ultima lecție a capitolului și, poate, cea mai practică: nu adaugă formule noi, ci te învață să folosești probabilitățile pentru a alege. Vom vedea cum se compară corect două șanse, apoi vom trece prin trei situații celebre în care intuiția dă un răspuns și calculul dă altul — pentru că a ști să calculezi nu ajută la nimic dacă, la momentul deciziei, te iei după prima impresie.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două probabilități prin numitor comun, prin zecimale sau prin procente, alegând metoda cea mai potrivită.
• Vei ști să compari șanse care provin din experimente diferite, cu numere de cazuri diferite.
• Vei ști să analizezi jocuri și oferte, comparând probabilitățile de câștig.
• Vei ști de ce intuiția greșește la probleme de tip „cel puțin unul" și cum verifici prin calcul.
• Vei ști să deosebești o creștere relativă de una absolută atunci când citești o statistică.
• Vei ști să iei o decizie ținând cont și de probabilitate, și de mărimea consecințelor.

Hai să descoperim împreună

1. Trei feluri de a compara două probabilități

Toate trei sunt corecte; alege în funcție de numere.

a) Numitorul comun — cel mai sigur, mai ales când vrei un răspuns exact. Compară $\frac{3}{7}$ cu $\frac{4}{9}$: le aducem la numitorul $63$ și obținem $\frac{27}{63}$ față de $\frac{28}{63}$, deci $\frac{4}{9}$ este mai mare.

b) Zecimalele — cel mai rapid, când ai calculator sau când împărțirea e simplă: $\frac{3}{7}\approx 0,429$ și $\frac{4}{9}\approx 0,444$.

c) Procentele — cel mai potrivit pentru comunicare: $42,9\%$ față de $44,4\%$. Este limbajul în care apar probabilitățile în presă și în viața de zi cu zi, discutat și în lecția Frecvențe relative și procente.

Atenție la o capcană frecventă: nu compara numărătorii dacă numitorii diferă. $\frac{2}{10}$ este mai mare decât $\frac{15}{80}$, deși $15>2$; într-adevăr, $\frac{2}{10}=0,2$, iar $\frac{15}{80}=\frac{3}{16}=0,1875$.

2. Compararea unor șanse din experimente diferite

Probabilitatea este un raport, deci se poate compara între experimente complet diferite. Câteva perechi, calculate pe spațiile lor:

Ordonate descrescător: $0,421>0,306>0,167=0,167>0,111$. Observă că „suma $7$" și „dublu" au exact aceeași probabilitate, deși sunt evenimente foarte diferite — o coincidență numerică perfect posibilă.

3. Prima situație în care intuiția înșală: problema cavalerului de Méré

În secolul al XVII-lea, un jucător francez, cavalerul de Méré, credea că următoarele două pariuri sunt la fel de avantajoase:

• Pariul A: obții cel puțin un $6$ în patru aruncări ale unui zar.
• Pariul B: obții cel puțin un „dublu-$6$" în douăzeci și patru de aruncări ale unei perechi de zaruri.

Raționamentul lui părea logic: la primul, un $6$ are probabilitatea $\frac{1}{6}$ și ai patru încercări; la al doilea, un dublu-$6$ are probabilitatea $\frac{1}{36}$, adică de șase ori mai mică, dar ai de șase ori mai multe încercări. Ar trebui să se compenseze.

Calculăm, prin evenimentul contrar. La pariul A, cazurile posibile sunt $6^4=1296$, iar cele fără niciun $6$ sunt $5^4=625$:

$$P(A)=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0,5177.$$

La pariul B numărăm la fel: o aruncare a perechii de zaruri are $36$ de rezultate posibile, dintre care $35$ nu sunt dublu-$6$. Prin regula produsului, cele $24$ de aruncări dau $36^{24}$ rezultate posibile, iar cele fără niciun dublu-$6$ sunt $35^{24}$:

$$P(B)=1-\frac{35^{24}}{36^{24}}=1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^{24}\approx 1-0,5086=0,4914.$$

Deci pariul A este ușor avantajos (peste jumătate), iar pariul B ușor dezavantajos (sub jumătate). Diferența e mică — aproximativ $2,6$ puncte procentuale —, dar de partea greșită a lui $0,5$, iar pe multe partide asta se transformă în bani pierduți. Exact așa a descoperit-o și cavalerul, pe propria pungă, înainte de a-i scrie lui Pascal.

Ce ne învață: proporționalitatea nu se transferă la probabilități. „De șase ori mai puțin probabil, dar de șase ori mai multe încercări" nu se compensează exact, pentru că probabilitățile compuse se calculează prin înmulțire, nu prin adunare.

4. A doua situație: paradoxul zilelor de naștere

Într-o clasă cu $23$ de elevi, care este probabilitatea ca cel puțin doi să aibă ziua de naștere în aceeași zi a anului? Răspunsul spontan este „foarte mică, doar sunt $365$ de zile". Realitatea: probabilitatea depășește $50\%$.

Calculăm din nou prin contrar: „toți au zile de naștere diferite". Prima persoană poate avea orice zi; a doua trebuie să evite o zi, deci are $\frac{364}{365}$; a treia are $\frac{363}{365}$; și așa mai departe. Pentru $23$ de persoane:

$$P(\text{toate diferite})=\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdots \frac{343}{365}\approx 0,4927,$$

deci

$$P(\text{cel puțin doi ıˆn aceeași zi})\approx 1-0,4927=0,5073.$$

Iată câteva valori, care arată cât de repede crește probabilitatea:

De unde vine surpriza? Intuiția răspunde, de fapt, la altă întrebare: „care e probabilitatea ca cineva să aibă ziua în aceeași zi cu mine" — și aceea chiar e mică. Dar întrebarea pusă se referă la orice pereche de elevi, iar într-o clasă de $23$ de elevi se pot forma $C_{23}^2=253$ de perechi. Cu atâtea perechi, coincidența devine probabilă.

Poți verifica mecanismul pe un caz mic, de mână: $4$ persoane și doar $7$ zile ale săptămânii dau $P(\text{toate diferite})=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{7^4}=\frac{840}{2401}\approx 0,35$, deci probabilitatea unei coincidențe este deja de aproximativ $0,65$.

5. A treia situație: problema celor trei uși

La un concurs sunt trei uși. În spatele uneia se află un premiu, în spatele celorlalte două nu e nimic. Alegi o ușă. Prezentatorul, care știe unde e premiul, deschide întotdeauna una dintre celelalte două uși, aleasă astfel încât în spatele ei să nu fie nimic. Apoi te întreabă dacă vrei să rămâi la ușa ta sau să treci la cealaltă ușă rămasă închisă. Ce faci?

Intuiția spune că nu mai contează: au rămas două uși, deci $50\%$ - $50\%$. Calculul spune altceva. Comparăm două strategii, pe cele trei poziții egal probabile ale premiului, presupunând (fără să restrângem nimic) că ai ales inițial ușa $1$.

$$P(\text{caˆștig daca˘ ra˘maˆn})=\frac{1}{3},P(\text{caˆștig daca˘ schimb})=\frac{2}{3}.$$

Schimbarea dublează șansele. Explicația: alegerea inițială are probabilitatea $\frac{1}{3}$ de a fi corectă, iar acest lucru nu se schimbă când prezentatorul deschide o ușă goală — el ar fi deschis una goală oricum, pentru că știe unde e premiul. Prin urmare, celelalte două uși păstrează împreună probabilitatea $\frac{2}{3}$, care se concentrează acum pe singura rămasă închisă.

Detaliul esențial: dacă prezentatorul ar deschide o ușă la întâmplare, fără să știe ce e în spatele ei, calculul ar fi cu totul altul. Condițiile problemei contează la fel de mult ca numerele.

6. Creștere relativă și creștere absolută

Un titlu de ziar anunță: „Consumul produsului X crește cu $50\%$ riscul unei boli". Sună alarmant. Dar dacă riscul inițial era $2\%$, iar cel al consumatorilor este $3\%$, atunci:

• creșterea relativă este $\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}=50\%$ — cifra din titlu;
• creșterea absolută este $3\%-2\%=1$ punct procentual, adică o persoană în plus la fiecare $100$.

Ambele sunt corecte, dar spun lucruri foarte diferite. Când citești o statistică, întreabă-te întotdeauna: „cu cât a crescut, față de cât?" Fără riscul inițial, procentul de creștere nu înseamnă mai nimic.

7. Cum se ia o decizie informată

Compararea probabilităților este doar primul pas. O decizie bună ține cont de trei lucruri:

1. Probabilitatea fiecărui rezultat — ce ai învățat să calculezi în tot acest capitol.
2. Mărimea consecinței. Un eveniment cu probabilitatea $0,001$ poate fi neglijabil dacă înseamnă o mică neplăcere și foarte important dacă înseamnă un accident. Exact de aceea oamenii se asigură împotriva evenimentelor rare, dar grave, nu împotriva celor frecvente și mărunte.
3. Numărul de repetări. Un dezavantaj minuscul pe o partidă devine o pierdere sigură pe mii de partide — vezi lecția Probabilități în situații practice: jocuri, asigurări, teste.

Și trei atenționări finale, valabile oricând:

• Probabilitate mare nu înseamnă certitudine. La $0,9$, evenimentul lipsește totuși într-un caz din zece.
• Probabilitate mică nu înseamnă imposibil. Doar $0$ înseamnă imposibil.
• Rezultatul unei singure încercări nu confirmă și nu infirmă un calcul. Probabilitățile descriu tendința pe multe repetări.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Din ce urnă extragi?

Urna A conține $4$ bile roșii și $3$ albastre; urna B conține $5$ roșii și $4$ albastre. Din care urnă ai șanse mai mari să extragi o bilă roșie?

Rezolvare. $P(A)=\frac{4}{7}$, $P(B)=\frac{5}{9}$. Aducem la numitorul comun $63$:

$$\frac{4}{7}=\frac{36}{63},\frac{5}{9}=\frac{35}{63}.$$

Deci urna A este, foarte puțin, mai bună: $0,571$ față de $0,556$.

Exemplul 2 — Două bile roșii

Din urna A ($3$ roșii, $2$ albastre) sau din urna B ($5$ roșii, $4$ albastre) extragi două bile fără revenire. Unde e mai probabil să obții două bile roșii?

Rezolvare. Aplicăm regula înmulțirii, recalculând compoziția după prima extragere:

$$P(A)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0,3,P(B)=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{20}{72}=\frac{5}{18}\approx 0,278.$$

Urna A rămâne mai bună și pentru două bile.

Exemplul 3 — Care joc e mai bun

Jocul I: câștigi dacă la două zaruri apare cel puțin un $6$. Jocul II: câștigi dacă la două zaruri suma este $7$ sau $11$. Care joc are probabilitate de câștig mai mare?

Rezolvare. Jocul I: prin contrar, $1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\approx 0,306$.

Jocul II: evenimentele sunt disjuncte, deci $\frac{6}{36}+\frac{2}{36}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}\approx 0,222$.

Cum $\frac{11}{36}>\frac{8}{36}$, jocul I este mai avantajos.

Exemplul 4 — Cavalerul de Méré, comparat

Compară probabilitățile: a) cel puțin un $6$ în patru aruncări ale unui zar; b) cel puțin un dublu-$6$ în $24$ de aruncări ale unei perechi de zaruri.

Rezolvare. a) $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0,5177$.

b) $1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^{24}\approx 0,4914$.

Prima este mai mare, deși intuiția sugerează egalitatea. Diferența, de aproximativ $0,026$, decide pe termen lung cine câștigă pariul.

Exemplul 5 — Relativ sau absolut

Într-un grup, riscul unei probleme de sănătate este de $2\%$; într-un alt grup, de $3\%$. Cu cât este mai mare riscul în al doilea grup?

Rezolvare. În termeni relativi: $\frac{3\%}{2\%}=1,5$, deci riscul e cu $50\%$ mai mare. În termeni absoluți: $3\%-2\%=1$ punct procentual, adică o persoană în plus la fiecare $100$.

Ambele formulări sunt corecte, dar prima sună mult mai dramatic. La $10000$ de persoane, diferența înseamnă $100$ de cazuri în plus — un număr concret, mult mai util pentru o decizie decât procentul singur.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,10\}$. Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M$. a) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $3$. b) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $4$. c) Comparați cele două probabilități și precizați care eveniment este mai probabil.

Rezolvare. Cazuri posibile: $10$.

a) Divizibile cu $3$: $3,6,9$ — trei numere, deci $P_1=\frac{3}{10}=0,3$.

b) Divizibile cu $4$: $4$ și $8$ — două numere, deci $P_2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0,2$.

c) Cum $\frac{3}{10}>\frac{2}{10}$, evenimentul „divizibil cu $3$" este mai probabil. Diferența este $\frac{1}{10}$, adică $10$ puncte procentuale.

Să exersăm

1. Compară fracțiile $\frac{3}{7}$ și $\frac{4}{9}$ și precizează care este mai mare.

2. Urna A are $4$ bile roșii din $7$; urna B are $5$ roșii din $9$. Din care urnă e mai probabil să extragi o bilă roșie?

3. Compară probabilitățile $\frac{2}{10}$ și $\frac{15}{80}$. Care este mai mare?

4. Compară probabilitatea de a obține cel puțin un $6$ la două zaruri cu probabilitatea ca suma să fie $7$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un eveniment are probabilitate mai mare decât altul, atunci el se va produce sigur înaintea celuilalt."

6. Compară probabilitatea de a obține un dublu la două zaruri cu probabilitatea ca suma să fie $5$.

7. (Problemă aplicată.) Un magazin oferă două promoții: la prima câștigi un premiu cu probabilitatea $\frac{3}{20}$, la a doua cu probabilitatea $\frac{1}{7}$. Care promoție e mai avantajoasă?

8. Riscul unei probleme crește de la $2\%$ la $3\%$. Exprimă creșterea în termeni relativi și în termeni absoluți.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Probabilitățile $0,3$ și $\frac{3}{10}$ descriu șanse diferite."

10. Într-o familie cu doi copii se știe că cel puțin unul e băiat. Compară probabilitatea ca amândoi să fie băieți cu $\frac{1}{2}$ și explică diferența.

11. Compară probabilitatea de a obține cel puțin un $6$ la trei aruncări ale unui zar cu $\frac{1}{2}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,10\}$. Se alege la întâmplare un element. Comparați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $3$ cu probabilitatea ca el să fie divizibil cu $4$.

13. Ce e mai probabil: să câștigi un loz dintr-un pachet de $500$ cu $20$ de lozuri câștigătoare, sau să obții fața $6$ la o aruncare de zar?

14. Într-o clasă cu $23$ de elevi, care este aproximativ probabilitatea ca cel puțin doi să aibă ziua de naștere în aceeași zi? Compară cu $\frac{1}{2}$.

15. O urnă are $3$ bile roșii din $5$. Se adaugă încă o bilă roșie și încă una albastră. Compară probabilitatea de a extrage o bilă roșie înainte și după adăugare.

16. (Problemă aplicată.) La problema celor trei uși, compară probabilitățile de câștig ale celor două strategii („rămân" și „schimb") și explică de ce nu sunt egale.

17. Compară probabilitățile pariurilor cavalerului de Méré și precizează care este avantajos.

18. (Provocare.) Din urna A ($3$ roșii, $2$ albastre) sau din urna B ($5$ roșii, $4$ albastre) extragi două bile fără revenire. În care urnă e mai probabil să obții două bile roșii? Verifică dacă ordinea urnelor rămâne aceeași ca la extragerea unei singure bile.

Răspunsuri și explicații

1. Numitor comun $63$: $\frac{3}{7}=\frac{27}{63}$ și $\frac{4}{9}=\frac{28}{63}$, deci $\frac{4}{9}$ este mai mare (aproximativ $0,444$ față de $0,429$).

2. $\frac{4}{7}=\frac{36}{63}$ și $\frac{5}{9}=\frac{35}{63}$, deci urna A e mai bună ($0,571$ față de $0,556$).

3. $\frac{2}{10}=0,2$ și $\frac{15}{80}=\frac{3}{16}=0,1875$, deci prima este mai mare, deși are numărătorul mai mic.

4. $\frac{11}{36}\approx 0,306$ față de $\frac{6}{36}\approx 0,167$: „cel puțin un $6$" este de aproape două ori mai probabil.

5. Fals. Probabilitatea descrie tendința pe multe repetări, nu ordinea într-o singură încercare. Un eveniment mai puțin probabil se poate produce primul; asta nu contrazice cu nimic calculul.

6. $P(\text{dublu})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0,167$; suma $5$ apare la $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$, deci $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0,111$. Dublul e mai probabil.

7. $\frac{3}{20}=0,15$ și $\frac{1}{7}\approx 0,143$, deci prima promoție e ușor mai avantajoasă. (Cu numitor comun $140$: $\frac{21}{140}$ față de $\frac{20}{140}$.)

8. Relativ: $\frac{3}{2}-1=50\%$. Absolut: $1$ punct procentual, adică un caz în plus la fiecare $100$ de persoane.

9. Fals. $\frac{3}{10}=0,3$; sunt scrieri diferite ale aceluiași număr, deci descriu exact aceleași șanse.

10. Cazurile posibile sunt $BB$, $BF$, $FB$ (cazul $FF$ e eliminat de condiție), deci probabilitatea este $\frac{1}{3}\approx 0,333<\frac{1}{2}$. Diferența apare pentru că informația „cel puțin unul e băiat" nu precizează care dintre copii este băiat.

11. $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0,421<0,5$. Deci, cu trei aruncări, șansele sunt încă sub jumătate; abia la patru aruncări se depășește pragul, cu $\frac{671}{1296}\approx 0,518$.

12. Divizibile cu $3$: trei numere, $P=\frac{3}{10}$. Divizibile cu $4$: două numere, $P=\frac{2}{10}$. Primul eveniment este mai probabil, cu $\frac{1}{10}$.

13. Lozul: $\frac{20}{500}=\frac{1}{25}=0,04$; zarul: $\frac{1}{6}\approx 0,167$. Fața $6$ este de peste patru ori mai probabilă.

14. Aproximativ $0,507$, deci puțin peste $\frac{1}{2}$. Cu $22$ de elevi probabilitatea ar fi fost $0,476$, adică sub jumătate — pragul se trece exact la $23$.

15. Înainte: $\frac{3}{5}=0,6$. După adăugare: $\frac{4}{7}\approx 0,571$. Probabilitatea a scăzut, pentru că bila roșie adăugată a mărit numărătorul cu $1$, dar numitorul cu $2$.

16. „Rămân" câștigă doar dacă alegerea inițială era corectă, adică într-un caz din trei: $\frac{1}{3}$. „Schimb" câștigă în celelalte două cazuri: $\frac{2}{3}$. Nu sunt egale pentru că prezentatorul știe unde e premiul și deschide întotdeauna o ușă goală, deci gestul lui nu aduce nicio informație despre ușa aleasă inițial.

17. Pariul A: $\frac{671}{1296}\approx 0,5177$ — avantajos, pentru că depășește $0,5$. Pariul B: $\approx 0,4914$ — dezavantajos. Diferența, deși mică, are semnul opus față de pragul de $0,5$.

18. Urna A: $\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10}=0,3$. Urna B: $\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{5}{18}\approx 0,278$. Urna A rămâne mai bună, deci ordinea se păstrează. Ea nu se păstrează însă întotdeauna: la extrageri multiple, urna mai mică „sărăcește" mai repede, iar pentru extrageri numeroase avantajul se poate inversa — un motiv în plus să calculezi de fiecare dată, în loc să extinzi o concluzie de la un caz la altul.

De reținut

• Compararea a două probabilități se face prin numitor comun (exact), prin zecimale (rapid) sau prin procente (comunicare). Nu compara numărătorii dacă numitorii diferă.
• Proporționalitatea nu se transferă la probabilități. „De șase ori mai puțin probabil, dar de șase ori mai multe încercări" nu dă același rezultat: $0,5177$ față de $0,4914$ la pariurile cavalerului de Méré.
• La „cel puțin unul", numărul de perechi contează. Într-o clasă de $23$ de elevi se pot forma $253$ de perechi, de aceea probabilitatea unei coincidențe de zi de naștere depășește $50\%$.
• La problema celor trei uși, strategia „schimb" câștigă cu probabilitatea $\frac{2}{3}$, iar „rămân" doar cu $\frac{1}{3}$, pentru că prezentatorul deschide întotdeauna o ușă goală, știind unde e premiul.
• O decizie informată ține cont de probabilitate, de mărimea consecinței și de numărul de repetări; iar o creștere relativă („cu $50\%$ mai mult") spune altceva decât una absolută („un punct procentual").

Greșeli frecvente

• Compararea numărătorilor. $\frac{15}{80}$ nu este mai mare decât $\frac{2}{10}$, deși $15>2$. Probabilitatea este un raport, nu un număr de cazuri.
• Compensarea liniară a șanselor. Ideea că „de câte ori scade probabilitatea, de atâtea ori cresc încercările, deci se echilibrează" este falsă, pentru că evenimentele repetate se compun prin înmulțire.
• Răspunsul la altă întrebare. La paradoxul zilelor de naștere, mulți calculează probabilitatea ca cineva să aibă ziua în aceeași zi cu ei, nu probabilitatea existenței unei perechi oarecare.
• Ignorarea condițiilor problemei. La cele trei uși, răspunsul $\frac{2}{3}$ depinde de faptul că prezentatorul știe unde e premiul. Schimbă ipoteza, se schimbă rezultatul.
• Citirea procentelor fără punct de referință. „Cu $50\%$ mai mult" poate însemna o creștere de la $2\%$ la $3\%$ sau de la $40\%$ la $60\%$ — situații complet diferite ca importanță practică.

Aplică acasă

1. Titluri din presă. Găsește un titlu care conține o creștere procentuală („riscul crește cu …%"). Caută în articol valoarea inițială și calculează creșterea absolută. Discută cu un părinte care dintre cele două formulări e mai utilă pentru o decizie.

2. Testul zilelor de naștere. Notează zilele de naștere ale colegilor de clasă și verifică dacă există o coincidență. Repetă întrebarea la o altă clasă și la echipa ta preferată de sport (de obicei $23$ - $25$ de jucători). Compară frecvența observată cu valoarea teoretică de aproximativ $0,5$.

3. Cele trei uși, jucat. Cu trei pahare și o bomboană ascunsă sub unul dintre ele, joacă de $30$ de ori cu un prieten: de $15$ ori rămâi la alegerea inițială, de $15$ ori schimbi. Notează numărul de reușite pentru fiecare strategie și compară cu valorile teoretice $\frac{1}{3}$ și $\frac{2}{3}$.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lecția de încheiere a capitolului de probabilități și răspunde direct unei cerințe explicite din programă: compararea probabilităților a două sau mai multe evenimente pentru a lua decizii informate într-o situație practică. Nu introduce noțiuni noi, ci consolidează tot ce s-a învățat și adaugă ceva ce nu se poate preda prin formule — prudența în fața intuiției.

Ce verifică lecția: (1) compararea corectă a două fracții prin numitor comun, zecimale sau procente; (2) compararea unor probabilități provenite din experimente diferite; (3) calculul complet la cele trei situații clasice (cavalerul de Méré, zilele de naștere, cele trei uși), cu justificarea fiecărui pas; (4) distincția dintre creștere relativă și creștere absolută; (5) formularea unei decizii care ține cont și de probabilitate, și de consecință.

Cele trei probleme celebre sunt tratate exclusiv cu instrumente din programă: evenimentul contrar, regula înmulțirii și numărarea cazurilor. La problema celor trei uși se compară două strategii pe cele trei poziții egal probabile ale premiului — o numărare simplă, care nu cere niciun aparat suplimentar, dar care presupune enunțarea explicită a ipotezei că prezentatorul cunoaște poziția premiului.

Întrebări bune de control: „Care e numitorul comun?", „La ce întrebare răspunde de fapt calculul tău?", „Ce se schimbă dacă prezentatorul nu ar ști unde e premiul?". Semne că elevul a înțeles: verifică prin calcul o intuiție înainte de a o accepta și cere valoarea de referință când i se dă un procent de creștere. Capitolul poate fi recapitulat pornind de la Evenimentul contrar și probabilitatea lui și de la Probabilități condiționate, cele două lecții pe care se sprijină aproape toate calculele de aici.

Întrebări frecvente

Cum compar două probabilități scrise ca fracții? Le aduci la același numitor și compari numărătorii, sau le transformi în zecimale ori în procente. Nu compara numărătorii dacă numitorii sunt diferiți — $\frac{15}{80}$ este mai mic decât $\frac{2}{10}$.

De ce nu sunt egale probabilitățile celor două pariuri ale cavalerului de Méré? Pentru că probabilitățile repetărilor se compun prin înmulțire, nu prin adunare. Calculul dă $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4\approx 0,518$ pentru primul pariu și $1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^{24}\approx 0,491$ pentru al doilea.

De ce într-o clasă de $23$ de elevi e probabil să existe două zile de naștere identice? Pentru că întrebarea se referă la orice pereche de elevi, iar într-o clasă de $23$ se pot forma $C_{23}^2=253$ de perechi. Probabilitatea calculată este de aproximativ $0,507$, adică puțin peste jumătate.

La problema celor trei uși, e mai bine să schimb sau să rămân? Este mai bine să schimbi: strategia „schimb" câștigă cu probabilitatea $\frac{2}{3}$, iar „rămân" doar cu $\frac{1}{3}$. Rezultatul depinde însă de faptul că prezentatorul știe unde e premiul și deschide mereu o ușă goală.

Ce înseamnă că un risc „crește cu $50\%$"? Înseamnă o creștere relativă, raportată la valoarea inițială. Dacă riscul era $2\%$, el devine $3\%$ — deci în termeni absoluți creșterea este de un singur punct procentual. Fără valoarea inițială, procentul nu spune mare lucru.

Un eveniment mai probabil se produce întotdeauna primul? Nu. Probabilitatea descrie tendința pe multe repetări, nu ordinea într-o singură încercare. Un eveniment cu probabilitate mică se poate produce chiar de la prima încercare.

Cum aleg între două jocuri cu premii diferite? Compari probabilitățile de câștig, dar te uiți și la mărimea premiului și la costul participării. Un joc cu probabilitate mai mică poate fi preferabil dacă premiul este suficient de mare față de taxa cerută.

De ce probabilitatea scade dacă adaug bile de ambele culori? Pentru că numitorul crește mai repede decât numărătorul. La o urnă cu $3$ bile roșii din $5$, adăugarea unei bile roșii și a uneia albastre duce la $\frac{4}{7}\approx 0,571$, mai puțin decât $\frac{3}{5}=0,6$.