Se consideră sistemul $$x + 4y - 2z = 3$$, $$3x - y + z = 8$$, $$4x + 3y - z = 9$$. Ce verdict are el?

compatibil nedeterminat, de grad $$1$$

compatibil nedeterminat, de grad $$2$$

Ce este matricea extinsă a unui sistem?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Compatibilitate prin rang

Matricea extinsă $\overline{A}$ este matricea sistemului la care se alipește, la dreapta, coloana termenilor liberi; are $m$ linii și $n + 1$ coloane. Comparând rangul ei cu rangul lui $A$ afli dacă sistemul are soluții. Exemplu: la $x + 2 y = 3$ , $2 x + 4 y = 7$ , matricea $A$ are rangul $1$ , dar în $\overline{A}$ minorul $2437 = 2$ e nenul, deci rangul ei e $2$ : sistemul este incompatibil, fiindcă dublul primei ecuații ar cere $6$ , nu $7$ .

Lipind coloana termenilor liberi în dreapta matricei sistemului obții matricea extinsă $\overline{A}$ , cu $m$ rânduri și $n + 1$ coloane; în ea încape tot ce se cunoaște despre problemă. Rândurile fiind aceleași și coloanele cu una mai multe, rangul ei nu coboară sub rangul lui $A$ , iar între cele două ranguri diferența este $0$ ori $1$ .

Criteriul sună simplu: soluții există dacă și numai dacă rangurile coincid. Când coloana termenilor liberi ridică rangul, o singură cantitate ar trebui să valoreze în două feluri deodată, ceea ce nu se poate, deci mulțimea soluțiilor iese vidă. Comparația hotărăște doar existența; pentru număr se pune rangul comun $r$ față în față cu $n$ : la $r = n$ soluția e singura, la $r < n$ soluțiile sunt infinit de multe, iar $n - r$ , numit grad de nedeterminare, arată câte necunoscute pot lua orice valoare.

Ies de aici două scurtături. Când ecuațiile sunt mai puține la număr decât necunoscutele, unicitatea devine imposibilă, fiindcă rangul nu depășește numărul rândurilor. Iar sistemele omogene rămân mereu compatibile, o coloană de zerouri neputând ridica vreun rang.

La $\overline{A}$ nu se reia totul de la capăt: minorul nenul găsit în $A$ rămâne valabil, cei cu ordinul mai mare care nu ating ultima coloană sunt deja nuli, deci se cercetează numai minorii care ajung până la coloana termenilor liberi.

De reținut

$\overline{A}$ = matricea $A$ plus coloana termenilor liberi, de tipul $m \times (n + 1)$
$rang \overline{A}$ este egal cu $rang A$ sau cu $rang A + 1$
compatibil exact când rangurile sunt egale; gradul de nedeterminare este $n - r$

Greșeala tipică

Se calculează rangul lui $\overline{A}$ numai cu minori care nu ating ultima coloană, așa că iese mereu egal cu rangul lui $A$ ; minorii care decid sunt tocmai cei care conțin coloana termenilor liberi.

Exerciții din această mini-lecție

Un sistem liniar are cinci ecuații și trei necunoscute. Ce format are matricea lui extinsă?
- a) $5 \times 3$
- b) $5 \times 4$
- c) $4 \times 5$
- d) $3 \times 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5 \times 4$

Matricea extinsă are câte o linie pentru fiecare ecuație, deci $5$ , și cu o coloană mai mult decât numărul necunoscutelor, fiindcă la cele $3$ coloane ale coeficienților se alipește coloana termenilor liberi: $5 \times 4$ . Varianta a) uită coloana adăugată; c) și d) inversează liniile cu coloanele.
Un sistem liniar cu patru ecuații și cinci necunoscute are $rang A = rang \overline{A} = 3$ . Câte necunoscute secundare are?
- a) $1$
- b) $3$
- c) $5$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2$

Rangurile fiind egale, sistemul este compatibil; cum valoarea lor comună, $3$ , este mai mică decât numărul necunoscutelor, $5$ , sistemul este nedeterminat, iar gradul de nedeterminare este $n - r = 5 - 3 = 2$ : exact două necunoscute primesc valori arbitrare. Varianta a) scade greșit numărul ecuațiilor din rang; b) confundă gradul de nedeterminare cu rangul; c) îl confundă cu numărul necunoscutelor.
Se consideră sistemul $x + 4 y - 2 z = 3$ , $3 x - y + z = 8$ , $4 x + 3 y - z = 9$ . Ce verdict are el?
- a) incompatibil
- b) compatibil determinat
- c) compatibil nedeterminat, de grad $1$
- d) compatibil nedeterminat, de grad $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) incompatibil

Linia a treia de coeficienți, $(4, 3, - 1)$ , este suma primelor două, deci $det A = 0$ ; minorul $13 4 - 1 = - 13 \neq = 0$ arată că $rang A = 2$ . La termenii liberi, însă, $3 + 8 = 11 \neq = 9$ , iar minorul matricei extinse din coloanele lui $x$ , ale lui $y$ și din ultima, $134 4 - 1 3 389 = 26$ , este nenul: $rang \overline{A} = 3$ . Rangurile diferă, deci sistemul este incompatibil, iar variantele b), c) și d) ar cere ranguri egale.

Întrebări conexe

Ce este gradul de nedeterminare al unui sistem?

Este diferența $n - r$ dintre numărul necunoscutelor și rangul comun al celor două matrice. La $x + y + z = 4$ , $2 x + 2 y + 2 z = 8$ rangul este $1$ , iar gradul este $3 - 1 = 2$ : $y = α$ , $z = β$ sunt libere, iar $x = 4 - α - β$ .

Cum aleg minorii de cercetat în matricea extinsă?

Pornești de la minorul nenul care a dat rangul lui $A$ și îl bordezi doar cu coloana termenilor liberi și cu câte o linie rămasă. Minorii de ordin mai mare care nu conțin ultima coloană sunt deja minori ai lui $A$ , deci știi că sunt nuli.

Cum discut compatibilitatea când termenul liber conține un parametru?

La $x + y = 2$ , $3 x + 3 y = a$ matricea $A$ are rangul $1$ , iar în $\overline{A}$ minorul $13 2 a = a - 6$ decide. Pentru $a = 6$ rangurile sunt egale și sistemul e compatibil nedeterminat; pentru $a \neq = 6$ este incompatibil.

Ce se întâmplă când un sistem are trei ecuații și doar două necunoscute?

Matricea extinsă este pătratică, de ordinul $3$ . Dacă determinantul ei e nenul, rangul ei este $3$ , mai mare decât rangul lui $A$ , care nu trece de $2$ , deci sistemul e incompatibil. La $x + y = 2$ , $x - y = 0$ , $2 x + y = 5$ acest determinant este $- 4$ .

Ce înseamnă rangurile egale într-o problemă de aliaje?

Că datele se împacă și există o rețetă. Din două aliaje cu $20%$ și $50%$ cupru se cer $30$ kg cu $30%$ : $x + y = 30$ , $0, 2 x + 0, 5 y = 9$ . Determinantul este $0, 3 \neq = 0$ , rangurile sunt egale cu $2$ , iar singura rețetă este $x = 20$ kg, $y = 10$ kg.

De ce rangul matricei extinse nu scade sub rangul lui $A$ ?

Orice minor al lui $A$ este și minor al lui $\overline{A}$ , fiindcă $\overline{A}$ conține toate coloanele lui $A$ . Un minor nenul care arată rangul lui $A$ rămâne deci disponibil și în matricea extinsă; coloana adăugată poate doar să mai aducă un minor nenul.

Oamenii mai întreabă și: matricea extinsă a sistemului · ce e matricea extinsă · A barat la sisteme liniare · matricea sistemului cu coloana termenilor liberi