Compatibilitatea unui sistem, prin rang (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un laborator, fiecare măsurătoare adaugă o condiție, iar condițiile se pun laolaltă. Uneori se completează și lasă un singur răspuns posibil; alteori spun același lucru de două ori, iar răspunsul rămâne nehotărât; alteori se contrazic, și atunci nicio valoare nu le mulțumește pe toate. Un sistem de ecuații liniare e exact o astfel de listă de condiții, iar întrebarea de la care pornește lecția de față, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), e cea mai practică dintre toate: are sistemul acesta măcar o soluție? Răspunsul se dă fără să rezolvi nimic, comparând două numere întregi mici, iar la bacalaureatul M2 din 2030 tema stă în domeniul Algebră, alături de matrice și determinanți.

Merită spus cinstit cui se adresează lecția. Compatibilitatea studiată cu ajutorul rangului e o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025 (anexa 28), care mută sistemele liniare la clasa a XII-a. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au tema nici la clasă, nici în subiecte: pentru ei sistemele rămân la nivelul clasei a XI-a, cu cel mult trei necunoscute și cu metoda lui Cramer. Dacă ești în prima promoție care învață după programa nouă, criteriul de aici intră în proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Algebră, la unitatea XII.1 „Sisteme de ecuații liniare".

Ce vei învăța

Vei ști să scrii matricea extinsă a unui sistem și să spui ce format are, pornind de la numărul de ecuații și de necunoscute.
Vei ști criteriul de compatibilitate: un sistem liniar are soluții exact atunci când matricea lui și matricea lui extinsă au același rang.
Vei ști să desparți cele trei situații — incompatibil, compatibil determinat, compatibil nedeterminat — și să afli gradul de nedeterminare, adică numărul necunoscutelor care rămân libere.
Vei ști să dai verdictul fără să rezolvi sistemul și să scrii justificarea rangului în forma cerută într-o lucrare.
Vei ști să citești rezultatul într-un context din științe: ce înseamnă, pentru niște măsurători, că rangurile nu sunt egale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este matricea extinsă și ce întrebare punem cu ea?

Un sistem liniar cu $m$ ecuații și $n$ necunoscute are, așa cum ai văzut la forma matriceală a unui sistem liniar, o matrice a coeficienților $A$ și o coloană a termenilor liberi $B$ . Punându-le alături, obținem un tablou nou.

Matricea extinsă a sistemului, notată $\overline{A}$ , este matricea obținută din $A$ prin adăugarea, ca ultimă coloană, a coloanei termenilor liberi; ea are $m$ linii și $n + 1$ coloane. În ea stă tot ce știm despre sistem.

Rangul, definit prin minori la rangul unei matrice, măsoară câte linii aduc informație nouă. Comparația dintre $rang A$ și $rang \overline{A}$ răspunde deci la întrebarea: coloana termenilor liberi aduce ceva în plus față de coeficienți, sau nu? Dacă nu aduce, cerințele se potrivesc între ele; dacă aduce, se bat cap în cap. Și fiindcă $\overline{A}$ are aceleași linii ca $A$ și o coloană în plus, orice minor nenul al lui $A$ e minor și al lui $\overline{A}$ : de aici $rang \overline{A} \geq rang A$ , niciodată invers.

2. Care este criteriul de compatibilitate?

Numele compatibil (are cel puțin o soluție) și incompatibil (nu are niciuna), împreună cu deosebirea dintre determinat și nedeterminat, le-ai întâlnit la clasificarea sistemelor liniare. Criteriul pe care îl adaugă clasa a XII-a le leagă de ranguri:

Un sistem liniar are soluții exact atunci când cele două matrice ale lui, $A$ și $\overline{A}$ , au același rang, adică $rang A = rang \overline{A}$ . Când coloana termenilor liberi urcă rangul, adică $rang \overline{A} > rang A$ , mulțimea soluțiilor e vidă.

Fiind o echivalență, criteriul lucrează în ambele sensuri, dar nu spune care sunt soluțiile și nici câte — asta o hotărăște un al doilea pas.

Ideea din spate se ține minte mai bine decât enunțul. Dacă o ecuație se obține din celelalte — de pildă, a treia e suma primelor două —, ea nu adaugă nimic la coeficienți, deci rangul lui $A$ nu crește. Dar termenul ei liber poate respecta aceeași relație sau nu: dacă o respectă, ecuația e o repetare și sistemul rămâne coerent; dacă n-o respectă, aceeași expresie ar trebui să ia două valori diferite, iar rangul lui $\overline{A}$ crește cu o unitate. Așa se face că diferența $rang \overline{A} - rang A$ ia numai valorile $0$ și $1$ : $0$ înseamnă compatibil, $1$ înseamnă incompatibil, iar „grade" de incompatibilitate nu există.

3. Cum arată, pe un sistem, cazul contradicției?

Ia sistemul $3 x + y - 2 z = 4$ , $x - 2 y + z = 1$ , $4 x - y - z = 9$ și privește liniile de coeficienți: $(3, 1, - 2)$ , $(1, - 2, 1)$ și $(4, - 1, - 1)$ . A treia e suma primelor două, deci $det A = 0$ și rangul lui $A$ nu poate fi $3$ . Luând primele două linii și primele două coloane, $31 1 - 2 = - 7 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ .

Dacă și termenii liberi ar respecta aceeași relație, $4 + 1$ ar trebui să fie $9$ ; or, $4 + 1 = 5$ . Contradicția se vede cu ochiul liber, dar rangul o măsoară: minorul lui $\overline{A}$ din coloanele lui $x$ , ale lui $y$ și din cea a termenilor liberi este $314 1 - 2 - 1 419 = - 28 \neq = 0$ , deci $rang \overline{A} = 3$ .

Rangurile nu sunt egale, deci sistemul e incompatibil. Tiparul se repetă peste tot: coeficienții spuneau „a treia ecuație e suma primelor două", iar termenii liberi spuneau „ba nu". (Sistemul a fost folosit doar aici, ca să arate drumul.)

4. Și cazul în care cerințele se repetă?

Schimbăm complet obiectul, ca să se vadă că celălalt caz nu se obține „stricând" o cifră. Fie sistemul $3 x + y - 5 z = 7$ , $2 x + y - 3 z = 6$ , $5 x + 2 y - 8 z = 13$ , cu liniile de coeficienți $(3, 1, - 5)$ , $(2, 1, - 3)$ și $(5, 2, - 8)$ : a treia e din nou suma primelor două, dar de data aceasta și termenii liberi se potrivesc, fiindcă $7 + 6 = 13$ .

Minorul $3211 = 1 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , iar determinantul lui $A$ fiind nul, rangul nu urcă mai sus. În matricea extinsă, orice minor de ordinul $3$ are tot a treia linie egală cu suma primelor două, deci e nul: $rang \overline{A} = 2$ . Rangurile sunt egale, deci sistemul e compatibil.

Numai că soluția nu e una singură. Avem $n = 3$ necunoscute și rangul comun $r = 2$ : rămân două condiții pentru trei necunoscute, deci una poate lua orice valoare, iar celelalte se potrivesc după ea. Cu $z = α$ în primele două ecuații iese $S = {(1 + 2 α, 4 - α, α) ∣ α \in R}$ , iar controlul în a treia ecuație dă $5 (1 + 2 α) + 2 (4 - α) - 8 α = 13$ . (Și acest sistem rămâne doar aici.)

5. Cum deosebești soluția unică de infinitatea de soluții?

Comparația rangurilor între ele spune dacă există soluții; comparația rangului comun $r$ cu numărul $n$ al necunoscutelor spune câte:

$rang A \neq = rang \overline{A}$ — sistem incompatibil, mulțimea soluțiilor este vidă;
$rang A = rang \overline{A} = r = n$ — sistem compatibil determinat, cu o singură soluție;
$rang A = rang \overline{A} = r < n$ — sistem compatibil nedeterminat, cu o infinitate de soluții.

Numărul $n - r$ se numește gradul de nedeterminare: el arată câte necunoscute rămân secundare, adică primesc valori arbitrare, notate de obicei cu $α$ și $β$ . Când gradul e $1$ spunem că sistemul e simplu nedeterminat, când e $2$ , dublu nedeterminat; el nu se alege, ci se citește din ranguri.

Două observații care scurtează multe rezolvări. Rangul unei matrice cu $m$ linii și $n$ coloane nu depășește nici pe $m$ , nici pe $n$ ; deci, dacă $m < n$ , condiția $r = n$ nu poate fi îndeplinită, iar un sistem cu mai puține ecuații decât necunoscute nu poate fi compatibil determinat. Și invers, numărul ecuațiilor nu decide singur nimic: unul cu patru ecuații și trei necunoscute poate avea soluție unică.

6. Cum se scrie justificarea rangului într-o lucrare?

Aici apar cele mai multe greșeli, și nu din calcul. A spune „rangul e $2$ " cere două afirmații:

există un minor de ordinul $2$ nenul — îl scrii și îi dai valoarea;
toți minorii de ordinul $3$ sunt nuli — fie îi calculezi, fie arăți o relație între linii care îi anulează deodată.

Fără a doua, ai arătat doar că rangul e cel puțin $2$ ; cu ea, că e exact $2$ .

Pentru matricea extinsă, calculul nu se ia de la capăt: minorul nenul de ordinul $r$ din $A$ e minor și în $\overline{A}$ , iar minorii de ordinul $r + 1$ care nu ating ultima coloană sunt minori ai lui $A$ , deci deja nuli. Rămâne o întrebare: există un minor de ordinul $r + 1$ nenul care folosește și coloana termenilor liberi? Dacă da, sistemul e incompatibil; dacă nu, e compatibil.

7. Ce se întâmplă când toți termenii liberi sunt nuli?

Un sistem se numește omogen dacă toți termenii lui liberi sunt nuli. Cazul e de margine și se rezolvă fără niciun calcul: ultima coloană a lui $\overline{A}$ fiind numai zerouri, ea nu poate mări rangul, deci $rang \overline{A} = rang A$ întotdeauna, iar un sistem omogen este întotdeauna compatibil. Se vede și direct: valorile nule ale tuturor necunoscutelor verifică orice ecuație cu termenul liber nul — soluția aceasta se numește banală. Întrebarea interesantă acolo nu e dacă există soluții, ci dacă există și altele în afară de cea banală, iar răspunsul îl dă tot comparația lui $r$ cu $n$ .

Și încă o citire, care leagă capitolul de geometrie: o ecuație de gradul întâi cu trei necunoscute descrie un plan, așa că un sistem cu trei asemenea ecuații e o întrebare despre trei plane. Verdictele se traduc atunci unul câte unul în poziții relative, lucru pe care îl vei face la trei plane citite dintr-un sistem liniar.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem pătratic cu determinant nenul

Studiază compatibilitatea sistemului $2 x + y - z = 6$ , $x + 4 y + 2 z = 16$ , $3 x - y + 4 z = 7$ și, dacă are soluții, află-le.

Rezolvare. Matricea sistemului e de format $3 \times 3$ , iar cea extinsă, $3 \times 4$ . Calculăm determinantul lui $A$ :

$213 14 - 1 - 1 24 = 2 (16 + 2) - 1 (4 - 6) + (- 1) (- 1 - 12) = 36 + 2 + 13 = 51$

Fiind nenul, $rang A = 3$ . Matricea extinsă are doar $3$ linii și conține minorul de mai sus, deci $rang \overline{A} = 3$ . Rangurile sunt egale, iar valoarea comună e $r = 3 = n$ : sistem compatibil determinat. Fiind pătratic cu determinant nenul, se rezolvă cu formulele lui Cramer: $x = 2$ , $y = 3$ , $z = 1$ . Verificare: $4 + 3 - 1 = 6$ , $2 + 12 + 2 = 16$ , $6 - 3 + 4 = 7$ .

Exemplul 2 — Cerințe care se contrazic

Arată că sistemul $4 x + y + 3 z = 10$ , $x + 2 y - 3 z = 4$ , $5 x + 3 y = 15$ nu are soluții.

Rezolvare. A treia linie de coeficienți, $(5, 3, 0)$ , e suma primelor două, deci $det A = 0$ ; minorul $4112 = 7 \neq = 0$ arată că $rang A = 2$ . În matricea extinsă cercetăm minorii de ordinul $3$ cu coloana termenilor liberi; cel din coloanele lui $x$ , ale lui $y$ și ultima este

$41512310415 = 4 (30 - 12) - 1 (15 - 20) + 10 (3 - 10) = 72 + 5 - 70 = 7$

nenul, deci $rang \overline{A} = 3 \neq = 2$ : sistemul este incompatibil. Contradicția se citește și direct: adunând primele două ecuații ar rezulta $5 x + 3 y = 14$ , iar a treia cere $15$ .

Exemplul 3 — O infinitate de soluții, scrise corect

Studiază sistemul $x + 2 y - z = 9$ , $2 x + y - 5 z = 6$ , $3 y + 3 z = 12$ și scrie mulțimea soluțiilor.

Rezolvare. Minorul $1221 = - 3 \neq = 0$ dă $rang A \geq 2$ , iar determinantul lui $A$ este

$120213 - 1 - 5 3 = 1 (3 + 15) - 2 (6 - 0) + (- 1) (6 - 0) = 18 - 12 - 6 = 0$

deci $rang A = 2$ . A treia linie e dublul primei minus a doua, și la coeficienți, și la termenii liberi ( $2 \cdot 9 - 6 = 12$ ), deci orice minor de ordinul $3$ al matricei extinse e nul și $rang \overline{A} = 2$ .

Rangurile fiind egale, sistemul e compatibil; cum $r = 2 < 3 = n$ , e nedeterminat, de grad $3 - 2 = 1$ . Minorul nenul ocupă coloanele lui $x$ și $y$ , deci $z$ rămâne secundară: cu $z = α$ , primele două ecuații dau $S = {(1 + 3 α, 4 - α, α) ∣ α \in R}$ . Control în ecuația a treia: $3 (4 - α) + 3 α = 12$ , adevărat pentru orice $α$ .

Exemplul 4 — Verdictul citit dintr-un tabel

Pentru fiecare situație de mai jos, cunoscută doar prin numere, dă verdictul și, unde e cazul, gradul de nedeterminare.

Caz	$m$	$n$	$rang A$	$rang \overline{A}$
a	3	3	3	3
b	4	3	2	3
c	3	4	3	3
d	4	4	2	2

Rezolvare. a) Ranguri egale, valoarea comună $3$ , cât numărul necunoscutelor: compatibil determinat. b) Ranguri diferite: incompatibil. c) Ranguri egale, $3 < n = 4$ : compatibil nedeterminat, de grad $1$ . d) Ranguri egale, $2 < n = 4$ : compatibil nedeterminat, de grad $2$ . În b și d avem același număr de ecuații și verdicte opuse: hotărăsc rangurile, nu formatul.

Exemplul 5 — Trei drepte din plan

Se dau dreptele de ecuații $5 x + 2 y = 13$ , $4 x - 3 y = 15$ și $x + 6 y = - 3$ . Arată, cu ajutorul rangurilor, că ele au un punct comun și află-l.

Rezolvare. Ecuațiile formează un sistem cu $m = 3$ și $n = 2$ . Minorul $54 2 - 3 = - 23 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , maximul pentru o matrice cu două coloane, iar singurul minor de ordinul $3$ al matricei extinse e chiar determinantul ei:

$541 2 - 3 6 1315 - 3 = 5 (9 - 90) - 2 (- 12 - 15) + 13 (24 + 3) = - 405 + 54 + 351 = 0$

deci $rang \overline{A} = 2 = n$ : sistem compatibil determinat, deci dreptele trec toate prin același punct. Rezolvând primele două ecuații găsim $x = 3$ , $y = - 1$ , iar a treia se verifică: $3 - 6 = - 3$ . Trei drepte din plan sunt concurente exact atunci când sistemul ecuațiilor lor e compatibil determinat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră sistemul $x + y + z - 2 t = 6$ , $3 x + y + t = 5$ , $x + 2 z - t = 7$ , cu necunoscute reale.

a) Scrie $A$ și $\overline{A}$ , precizând formatul fiecăreia. b) Arată că $rang A = 3$ . c) Stabilește tipul de compatibilitate și scrie mulțimea soluțiilor.

Rezolvare. a) $z$ lipsește din a doua ecuație, iar $y$ din a treia, deci coeficienții lor sunt $0$ :

$A = 131110102 - 2 1 - 1, \overline{A} = 131110102 - 2 1 - 1 657$

Formatul lui $A$ este $3 \times 4$ , iar al lui $\overline{A}$ , $3 \times 5$ .

b) Matricea $A$ are $3$ linii, deci rangul ei e cel mult $3$ . Minorul din primele trei coloane este

$131110102 = 1 (2 - 0) - 1 (6 - 0) + 1 (0 - 1) = 2 - 6 - 1 = - 5$

nenul, deci $rang A = 3$ .

c) Matricea extinsă are tot $3$ linii și conține minorul de mai sus, deci $rang \overline{A} = 3 = rang A$ : sistem compatibil, iar cum $r = 3 < 4 = n$ , nedeterminat, de grad $1$ . Minorul nenul ocupă coloanele lui $x$ , $y$ , $z$ , deci $t$ e secundară: cu $t = α$ , $S = {(1 - α, 2 + 2 α, 3 + α, α) ∣ α \in R}$ , iar controlul în ecuația a treia dă $(1 - α) + 2 (3 + α) - α = 7$ .

Să exersăm

Scrie de fiecare dată $A$ și $\overline{A}$ , justifică rangurile cu două afirmații și abia apoi dă verdictul.

1. Scrie $A$ și $\overline{A}$ pentru sistemul $5 x - y + 2 z = 3$ , $x + 3 y - 6 z = 8$ , $2 x + y - 4 z = 0$ , precizând formatul fiecăreia.

2. Arată, prin ranguri, că sistemul $3 x - 5 y = 11$ , $7 x + 4 y = 10$ e compatibil determinat și rezolvă-l.

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul $2 x + 3 y - z = 10$ , $x - 2 y + 3 z = - 9$ , $4 x + y - 3 z = 12$ . a) Calculează $det A$ . b) Stabilește tipul de compatibilitate.

4. Studiază compatibilitatea sistemului $x + 5 y - z = 3$ , $2 x - y + 3 z = 8$ , $3 x + 4 y + 2 z = 12$ .

5. Studiază sistemul $4 x + y - z = 9$ , $3 x + 2 y + 3 z = 8$ , $7 x + 3 y + 2 z = 17$ și scrie, de există, mulțimea soluțiilor.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $rang A = rang \overline{A} = 2$ , iar sistemul are patru necunoscute, el are o infinitate de soluții, iar două necunoscute rămân secundare."

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul $x + 2 y + z + t = 9$ , $2 x + y - t = 2$ , $3 x + y + z - 2 t = 3$ . a) Precizează formatul lui $\overline{A}$ . b) Arată că $rang A = 3$ și află gradul de nedeterminare.

8. Studiază sistemul $2 x - y + z = 7$ , $x + 4 y - z = 5$ , $3 x + y + 2 z = 14$ , $x - y + 3 z = 8$ .

9. Un sistem cu $5$ necunoscute are $rang A = rang \overline{A} = 2$ . Câte necunoscute secundare are și de ce nu poate fi compatibil determinat?

10. (Problemă aplicată.) Un fir metalic se alungește sub sarcină după legea liniară $ℓ = a F + b$ , cu $F$ forța, în newtoni, și $ℓ$ lungimea, în milimetri. Trei măsurători dau $502$ mm la $10$ N, $506$ mm la $30$ N și $511$ mm la $45$ N. Scrie sistemul cu necunoscutele $a$ și $b$ , stabilește dacă e compatibil și spune ce înseamnă răspunsul pentru laborator.

11. Arată, fără să-l rezolvi, că sistemul omogen $3 x + 2 y - z = 0$ , $x - y + 4 z = 0$ , $4 x + y + 3 z = 0$ e compatibil și dă o soluție a lui.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul $x + 3 y + 2 z = 5$ , $2 x - y + z = 8$ , $3 x + 2 y + 3 z = 14$ . a) Arată că $rang A = 2$ . b) E sistemul compatibil?

13. Poate un sistem cu două ecuații și patru necunoscute să aibă soluție unică? Justifică.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem cu mai multe ecuații decât necunoscute este sigur incompatibil."

15. Dă verdictul pentru sistemul $2 x + 6 y - 4 z = 5$ , $3 x + 9 y - 6 z = 8$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se dă sistemul $x - y + 2 z = 4$ , $3 x + y - z = 2$ , $4 x + z = 6$ . a) Arată că $rang A = 2$ . b) Scrie mulțimea soluțiilor.

17. Un sistem cu patru ecuații și patru necunoscute are matricea sistemului de rang trei. Ce valori poate lua rangul matricei extinse și ce verdict îi corespunde fiecăreia?

18. (Provocare.) Se consideră sistemul de matrice $A = 123213 - 1 10$ și termeni liberi $p$ , $q$ , $s$ . Determină condiția pe care trebuie s-o îndeplinească numerele reale $p$ , $q$ , $s$ pentru ca sistemul să fie compatibil și arată că atunci el e nedeterminat.

Răspunsuri și explicații

1. $A = 512 - 1 31 2 - 6 - 4$ , de format $3 \times 3$ , și $\overline{A} = 512 - 1 31 2 - 6 - 4 380$ , de format $3 \times 4$ . Termenul liber al ultimei ecuații e $0$ și se trece ca atare.

2. $det A = 37 - 5 4 = 12 + 35 = 47 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ ; matricea extinsă are două linii, deci $rang \overline{A} = 2 = n$ : compatibil determinat, cu $x = 2$ , $y = - 1$ ( $6 + 5 = 11$ , $14 - 4 = 10$ ).

3. a) $det A = 214 3 - 2 1 - 1 3 - 3 = 2 (6 - 3) - 3 (- 3 - 12) + (- 1) (1 + 8) = 6 + 45 - 9 = 42$ . b) Nenul, deci $rang A = 3$ , iar matricea extinsă, cu tot trei linii, are rangul tot $3$ : compatibil determinat, cu $x = 1$ , $y = 2$ , $z = - 2$ .

4. A treia linie de coeficienți, $(3, 4, 2)$ , e suma primelor două, iar la termenii liberi $3 + 8 = 11 \neq = 12$ . Minorul $12 5 - 1 = - 11 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , iar în matricea extinsă $123 5 - 1 4 3812 = 1 (- 12 - 32) - 5 (24 - 24) + 3 (8 + 3) = - 44 - 0 + 33 = - 11$ , nenul, deci $rang \overline{A} = 3$ : sistem incompatibil.

5. A treia linie e suma primelor două, și la coeficienți, și la termenii liberi ( $9 + 8 = 17$ ). Minorul $4312 = 5 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , iar orice minor de ordinul $3$ al matricei extinse are a treia linie egală cu suma primelor două, deci e nul: $rang \overline{A} = 2$ . Compatibil nedeterminat, de grad $1$ : cu $z = α$ , $S = {(2 + α, 1 - 3 α, α) ∣ α \in R}$ ; control în a treia ecuație: $7 (2 + α) + 3 (1 - 3 α) + 2 α = 17$ .

6. Adevărat. Rangurile fiind egale, sistemul e compatibil; valoarea lor comună, $2$ , e mai mică decât $n = 4$ , deci e nedeterminat, cu gradul $4 - 2 = 2$ : exact două necunoscute secundare.

7. a) Trei ecuații și patru necunoscute, deci $\overline{A}$ e de format $3 \times 5$ . b) Minorul din coloanele lui $x$ , $y$ și $z$ este $123211101 = 1 (1 - 0) - 2 (2 - 0) + 1 (2 - 3) = 1 - 4 - 1 = - 4$ , nenul; cum $A$ are trei linii, $rang A = 3$ , iar $\overline{A}$ , cu tot trei linii, are rangul tot $3$ . Gradul de nedeterminare e $4 - 3 = 1$ , iar cu $t = β$ $S = {(β - 1, 4 - β, 2, β) ∣ β \in R}$ .

8. Minorul din primele trei linii, $213 - 1 41 1 - 1 2 = 2 (8 + 1) + 1 (2 + 3) + 1 (1 - 12) = 18 + 5 - 11 = 12$ , e nenul, deci $rang A = 3$ , maximul pentru o matrice cu trei coloane. Tripletul $(3, 1, 2)$ verifică toate patru ecuațiile, deci $rang \overline{A} = 3 = n$ : compatibil determinat, cu $x = 3$ , $y = 1$ , $z = 2$ .

9. Gradul de nedeterminare e $n - r = 5 - 2 = 3$ : trei necunoscute rămân secundare. Determinat ar cere $r = n = 5$ , imposibil când rangul comun e $2$ .

10. Sistemul e $10 a + b = 502$ , $30 a + b = 506$ , $45 a + b = 511$ . Minorul $103011 = - 20 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , iar determinantul matricei extinse este $103045111502506511 = 10 (511 - 506) - 1 (30 \cdot 511 - 45 \cdot 506) + 502 (30 - 45) = 50 + 7440 - 7530 = - 40$ , nenul, deci $rang \overline{A} = 3$ : sistemul e incompatibil. Pentru laborator asta nu înseamnă o greșeală de calcul, ci că cele trei puncte măsurate nu stau pe aceeași dreaptă: fie o măsurătoare are o eroare, fie legea liniară nu descrie bine firul pe tot intervalul de forțe folosit. Din primele două măsurători ies $a = 0, 2$ mm/N și $b = 500$ mm, valori cu care a treia măsurătoare ar fi trebuit să dea $509$ mm, iar aparatul a citit $511$ mm: de aici contradicția.

11. Toți termenii liberi fiind nuli, ultima coloană a matricei extinse e nulă și nu poate mări rangul: $rang \overline{A} = rang A$ , oricare ar fi coeficienții, deci sistemul e compatibil. O soluție e cea banală, $x = y = z = 0$ .

12. a) A treia linie de coeficienți, $(3, 2, 3)$ , e suma primelor două, deci $det A = 0$ ; minorul $12 3 - 1 = - 7 \neq = 0$ arată că rangul e exact $2$ . b) La termenii liberi, $5 + 8 = 13 \neq = 14$ : minorul $123 3 - 1 2 5814 = 1 (- 14 - 16) - 3 (28 - 24) + 5 (4 + 3) = - 30 - 12 + 35 = - 7$ este nenul, deci $rang \overline{A} = 3$ și sistemul e incompatibil.

13. Nu. Matricea $A$ are două linii, deci $rang A \leq 2$ , iar soluția unică ar cere $r = n = 4$ . Sistemul e ori incompatibil, ori nedeterminat cu cel puțin două necunoscute secundare.

14. Fals. Dacă unele ecuații sunt consecințe ale celorlalte, rangurile pot fi egale. Exercițiul $8$ e un contraexemplu: patru ecuații, trei necunoscute, sistem compatibil determinat.

15. A doua linie de coeficienți e prima înmulțită cu $\frac{3}{2}$ , deci $rang A = 1$ (coeficientul $2$ e un minor nenul de ordinul $1$ , iar toți minorii de ordinul $2$ ai lui $A$ se anulează). La termenii liberi, $\frac{3}{2} \cdot 5 = 7, 5 \neq = 8$ , iar minorul $2358 = 1$ e nenul, deci $rang \overline{A} = 2$ : sistem incompatibil.

16. a) A treia linie de coeficienți, $(4, 0, 1)$ , e suma primelor două, deci $det A = 0$ ; minorul $13 - 1 1 = 4 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ . b) La termenii liberi, $4 + 2 = 6$ , deci relația se păstrează și în matricea extinsă: $rang \overline{A} = 2$ , deci compatibil nedeterminat, de grad $1$ . Cu $z = α$ : $S = {(\frac{3}{2} - \frac{1}{4} α, - \frac{5}{2} + \frac{7}{4} α, α) ∣ α \in R}$ ; pentru $α = 2$ se obține tripletul $(1, 1, 2)$ , care verifică toate trei ecuațiile.

17. Diferența rangurilor e $0$ sau $1$ , deci rangul matricei extinse e trei sau patru. Dacă e trei, rangurile sunt egale, iar valoarea comună e mai mică decât numărul necunoscutelor: compatibil nedeterminat, cu o necunoscută secundară. Dacă e patru, rangurile diferă: incompatibil. Soluție unică nu poate avea, fiindcă asta ar cere rangul patru și pentru matricea sistemului.

18. A treia linie a lui $A$ e suma primelor două, iar minorul $1221 = - 3 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ . Sistemul e compatibil exact când coloana termenilor liberi respectă aceeași relație, adică atunci când minorul $123213 p q s = - 3 s + 3 p + 3 q$ se anulează — condiția cerută e $s = p + q$ . Atunci $rang \overline{A} = 2 = rang A < 3 = n$ , deci sistemul e compatibil nedeterminat, cu o necunoscută secundară; de pildă, $p = 1$ , $q = 2$ , $s = 3$ dau o infinitate de soluții.

De reținut

Matricea extinsă $\overline{A}$ se obține din $A$ adăugând coloana termenilor liberi; are $m$ linii și $n + 1$ coloane, iar rangul ei e egal cu $rang A$ sau cu $rang A + 1$ .
Criteriul: există soluții exact când $rang A = rang \overline{A}$ ; când coloana termenilor liberi urcă rangul cu o unitate, mulțimea soluțiilor e vidă.
Cele trei situații: ranguri diferite — incompatibil; ranguri egale cu $r = n$ — determinat; ranguri egale cu $r < n$ — nedeterminat, cu $n - r$ necunoscute secundare.
Un rang se scrie cu două argumente: minorul nenul care îl atinge și motivul pentru care cei de ordin imediat superior sunt nuli; la $\overline{A}$ se cercetează doar minorii cu ultima coloană.
Un sistem omogen e întotdeauna compatibil, fiindcă o coloană de zerouri nu poate mări rangul; are măcar soluția banală.

Greșeli frecvente

Oprirea la cuvântul „compatibil". După ce a constatat că rangurile sunt egale, elevul scrie verdictul și trece mai departe. Comparația s-a terminat însă pe jumătate: mai trebuie pus rangul comun alături de $n$ , altfel nu se știe dacă soluția e una singură sau o infinitate.
Justificarea rangului cu o singură afirmație. Un minor nenul de ordinul $2$ arată doar că rangul e cel puțin $2$ ; ca să fie exact $2$ trebuie spus și de ce se anulează toți minorii de ordinul $3$ , de obicei printr-o relație între linii scrisă explicit.
Strecurarea coloanei termenilor liberi în rangul lui $A$ . Se lucrează pe matricea extinsă și se folosesc, la „rangul lui $A$ ", minori care ating ultima coloană. Rangul lui $A$ se calculează numai cu coloanele necunoscutelor.
Răspunsul dat din primele ecuații. La un sistem cu mai multe ecuații decât necunoscute, elevul le rezolvă pe primele, găsește numere frumoase și se oprește. Dacă ecuațiile rămase nu se verifică, sistemul e incompatibil: nu are nicio soluție, nici măcar „parțială".
Citirea rangului „la ochi". Rangul nu e numărul ecuațiilor care arată diferit: trei ecuații scrise diferit pot avea matricea de rang $1$ , dacă liniile sunt proporționale.

Aplică acasă

Cât de rar e cazul frumos. Ia o matrice $3 \times 3$ în care ultima linie e suma celorlalte două și pune-i alături, pe rând, cinci coloane de termeni liberi alese cu zarul. Notează de fiecare dată rangul matricei extinse și numără cazurile în care el a rămas doi; explică apoi de ce valoarea trei apare aproape mereu.
Trei drepte pe hârtie milimetrică. Desenează trei drepte care se taie două câte două în puncte diferite, citește-le ecuațiile din desen și verifică prin ranguri că sistemul lor e incompatibil. Rotește apoi una dintre ele până când toate trei trec prin același punct și urmărește cum coboară rangul matricei extinse.
Ce se schimbă când termenii liberi devin zero. Ia trei sisteme din lecție, dintre care măcar unul incompatibil, și înlocuiește toți termenii liberi cu zero. Constată că toate ies compatibile și spune în ce moment al raționamentului s-a rupt vechiul verdict; caută apoi, printre ele, unul cu alte soluții în afară de cea banală.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul scrie corect matricea extinsă, inclusiv coeficienții nuli ai necunoscutelor care lipsesc dintr-o ecuație; dacă justifică rangul prin două afirmații, nu prin una; și dacă trage verdictul comparând rangurile atât între ele, cât și cu numărul necunoscutelor. Sunt deprinderi de redactare, nu de calcul: aritmetica se reduce la determinanți de ordinul $2$ și $3$ , știuți din clasa a XI-a.

Dificultatea reală e schimbarea de obicei: până acum „a studia un sistem" însemna „a-l rezolva", iar de aici încolo prima întrebare e dacă are rost să-l rezolvi. Un semn bun e când, în fața unui sistem cu determinantul nul, elevul nu mai spune „nu are soluții", ci „trebuie să compar rangurile".

Întrebări de control: „Câte coloane are matricea extinsă a unui sistem cu trei ecuații și patru necunoscute?"; „Ce înseamnă că gradul de nedeterminare e $2$ ?". Semne că a înțeles: scrie de la sine relația dintre linii care anulează minorii, în loc să-i calculeze pe toți, iar când sistemul iese incompatibil într-o problemă de laborator spune că datele se contrazic, nu că a greșit calculul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; tema apare în domeniul Algebră, la unitatea XII.1. Sisteme de ecuații liniare, cu rândul „Studiul compatibilității unui sistem de ecuații liniare cu ajutorul noțiunii de rang", pentru sisteme cu cel mult $4$ ecuații și $4$ necunoscute. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) nu conține nici rangul, nici studiul compatibilității: capitolul de sisteme se oprește acolo la cel mult trei necunoscute și la metoda lui Cramer. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen, iar marcajele exercițiilor arată exact această deosebire. Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2. Din 2030, la științe ale naturii, matematica e una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Cele trei ore pe săptămână pe care se sprijină planificarea vin din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

De ce nu poartă criteriul acesta un nume de matematician la profilul științe ale naturii?

Pentru că programa de la științe ale naturii cere, la acest rând de conținut, „studiul compatibilității unui sistem de ecuații liniare cu ajutorul noțiunii de rang", fără să numească vreo teoremă. Criteriul are un nume în tradiția matematică și la profilul matematică-informatică se învață cu el; aici îl folosești ca pe o regulă de lucru.

Poate un sistem de ecuații liniare să aibă exact două soluții?

Nu. Numărul soluțiilor e ori zero, ori unu, ori infinit — niciodată doi. Motivul se vede în criteriu: dacă rangul comun e egal cu numărul necunoscutelor, soluția e unică; dacă e mai mic, măcar o necunoscută primește orice valoare reală, deci soluțiile sunt deja infinit de multe.

Se studiază compatibilitatea prin rang și la mate-info (M1)?

Da, dar în clasa a XI-a și cu un aparat mai bogat: acolo criteriul poartă numele unei teoreme, i se adaugă un al doilea rezultat pentru sistemele nepătratice și o metodă de eliminare pe care programa de științe n-o cuprinde: Versiunea pentru mate-info (M1), unde același criteriu poartă numele teoremei Kronecker-Capelli.

La ce subiect apare compatibilitatea prin rang la Bacalaureatul M2?

În sesiunile 2027–2029 nu apare deloc: programa de examen din 2014 nu conține rangul unei matrice. Tema intră în probă din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Algebră", unitatea XII.1. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, prima problemă a Subiectului al II-lea este despre matrice și determinanți; structura probei MAT_P2 nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 e construit, nu preluat dintr-un model oficial.

Cum arăt, într-o lucrare, că rangul unei matrice este exact $r$ ?

Scrii două lucruri: un minor de ordinul $r$ cu valoarea lui, ca să arăți că rangul e cel puțin $r$ , apoi motivul pentru care toți minorii de ordinul $r + 1$ se anulează — fie îi calculezi, fie indici o relație între linii, „a treia linie e suma primelor două". A doua parte e cea uitată și tocmai ea închide demonstrația.

Ce înseamnă, la niște măsurători de laborator, că rangurile nu sunt egale?

Că datele se contrazic: modelul spunea că mărimile sunt legate printr-o lege liniară, iar numerele măsurate nu pot fi toate adevărate deodată. Concluzia corectă nu e „am greșit calculul", ci „o măsurătoare are o eroare" sau „legea liniară nu descrie bine fenomenul pe intervalul folosit". Rangul devine astfel un instrument de control al datelor.

Un sistem omogen poate fi incompatibil?

Nu, niciodată. Coloana termenilor liberi fiind numai zerouri, adăugarea ei nu poate mări rangul, deci rangurile sunt automat egale. Se vede și fără rang: valorile nule ale tuturor necunoscutelor verifică fiecare ecuație. Rămâne doar întrebarea dacă, pe lângă soluția banală, există și altele.