Se consideră funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=5x-31$$ pentru $$x<9$$ și $$f(x)=x^2+2$$ pentru $$x\ge9$$. De pe ce ramură se citește $$f(9)$$ și cât este?

de pe ramura a doua, $$f(9)=83$$

de pe prima ramură, $$f(9)=14$$

de pe amândouă, fiindcă valorile coincid

$$f(9)$$ nu se poate calcula, punctul fiind chiar racordul

Determină valorile reale ale lui $$m$$ pentru care funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x+m^2$$ pentru $$x\le3$$ și $$f(x)=11m-5x$$ pentru $$x>3$$, este continuă în punctul $$3$$.

nu există nicio valoare reală a lui $$m$$

Cum fac continuă o funcție cu trei ramuri?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Parametrul la racord

O funcție cu trei ramuri are două puncte de racord; în fiecare scrii egalitatea dintre limita la stânga, valoarea și limita la dreapta. Obții două ecuații în parametri. Pentru $f (x) = 2 x$ când $x < 1$ , $f (x) = a x + b$ când $1 \leq x \leq 3$ și $f (x) = x^{2} - 1$ când $x > 3$ : în $1$ rezultă $a + b = 2$ , iar în $3$ rezultă $3 a + b = 8$ . Scăzând, $2 a = 6$ , deci $a = 3$ și $b = - 1$ . Proba: ramura din mijloc dă $2$ în $1$ și $8$ în $3$ .

O lege scrisă pe bucăți poate ceda numai la cusături, adică acolo unde se schimbă formula; cu două bucăți ai o cusătură, cu trei ai două. În rest lucrează expresii care se comportă frumos, iar lucrul acesta se spune într-o propoziție și se trece mai departe. Semnele $\leq$ și $<$ nu sunt podoabe: ele hotărăsc singure de unde se citește valoarea din punctul de trecere.

Mersul e mereu același: trei numere puse unul sub altul, o ecuație obținută cerându-le egale, o probă făcută cu valoarea găsită. Litera necunoscută e un număr fixat, nu o variabilă, așa că trece prin limită fără să se atingă nimeni de ea.

Capcana. Rezultatul poate arăta în patru feluri, toate legitime: un număr; o mulțime cu două numere, când ecuația iese de gradul al doilea; mulțimea vidă, când litera se reduce și rămâne o egalitate falsă între cifre; sau o relație între două litere, când o singură cusătură are de fixat două necunoscute. Forma exactă e cea care se scrie — o zecimală rotunjită nu înlocuiește o fracție. Iar dacă la cusătură apare $\frac{0}{0}$ , se descompune ori se amplifică mai întâi.

De reținut

în fiecare punct de racord: $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$
trei ramuri înseamnă două puncte de racord și două ecuații
valorile găsite se verifică înlocuindu-le în ambele ramuri

Greșeala tipică

Se scrie doar condiția din primul punct de racord și se uită al doilea; cu doi parametri e nevoie de ambele ecuații, altfel sistemul nu are soluție unică.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x - 31$ pentru $x < 9$ și $f (x) = x^{2} + 2$ pentru $x \geq 9$ . De pe ce ramură se citește $f (9)$ și cât este?
- a) de pe prima ramură, $f (9) = 14$
- b) de pe ramura a doua, $f (9) = 83$
- c) de pe amândouă, fiindcă valorile coincid
- d) $f (9)$ nu se poate calcula, punctul fiind chiar racordul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) de pe ramura a doua, $f (9) = 83$

Condiția care îl conține efectiv pe $9$ este $x \geq 9$ , deci valoarea se citește de pe ramura a doua: $f (9) = 81 + 2 = 83$ . Prima ramură dă $45 - 31 = 14$ , dar ea lucrează numai pentru $x < 9$ și intervine doar în limita la stânga. Varianta c) presupune o coincidență care aici nu are loc, iar d) confundă racordul cu un punct în afara domeniului.
Determină numărul real $m$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 6 x + m$ pentru $x \leq - 4$ și $f (x) = x^{2} - 31$ pentru $x > - 4$ , este continuă în punctul $- 4$ .
- a) $m = - 9$
- b) $m = 39$
- c) $m = 9$
- d) $m = - 39$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m = 9$

Punctul $- 4$ cade pe prima ramură, deci $l_{s} (- 4) = f (- 4) = - 24 + m$ , iar prima egalitate se închide de la sine. Limita la dreapta este $l_{d} (- 4) = 16 - 31 = - 15$ , deci condiția de continuitate se reduce la $- 24 + m = - 15$ , adică $m = 9$ . Proba: cu $m = 9$ , prima ramură devine $6 x + 9$ și dă în $- 4$ valoarea $- 15$ , cât limita la dreapta. Variantele greșesc semnul sau adună cele două numere în loc să le scadă.
Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x + m^{2}$ pentru $x \leq 3$ și $f (x) = 11 m - 5 x$ pentru $x > 3$ , este continuă în punctul $3$ .
- a) $m \in {2, 9}$
- b) $m \in {- 2, - 9}$
- c) $m = 2$
- d) nu există nicio valoare reală a lui $m$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m \in {2, 9}$

Avem $l_{s} (3) = f (3) = 3 + m^{2}$ și $l_{d} (3) = 11 m - 15$ . Condiția $3 + m^{2} = 11 m - 15$ dă $m^{2} - 11 m + 18 = 0$ , cu rădăcinile $2$ și $9$ . Amândouă trec proba: pentru $m = 2$ valoarea comună în $3$ este $7$ , iar pentru $m = 9$ este $84$ . Sunt două funcții diferite, amândouă continue, deci răspunsul se scrie ca mulțime. Varianta b) schimbă semnele rădăcinilor, c) păstrează doar una, iar d) presupune că parametrul se simplifică.

Întrebări conexe

Cum aflu parametrul când o ramură dă un caz 0 supra 0?

Calculezi întâi limita ramurii prin simplificare. Pentru $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ când $x < 3$ și $f (x) = m + x$ când $x \geq 3$ : pentru $x \neq = 3$ , prima ramură este $x + 3$ , cu limita $6$ , iar $f (3) = m + 3$ . Condiția $m + 3 = 6$ dă $m = 3$ .

Poate să nu existe niciun parametru care face funcția continuă?

Da. Pentru $f (x) = m^{2}$ când $x \leq 0$ și $f (x) = x - 1$ când $x > 0$ , continuitatea în $0$ cere $m^{2} = - 1$ , ecuație fără soluții reale. Răspunsul corect este atunci că nu există niciun $m$ real, nu o valoare forțată.

Ce ecuație de gradul al doilea poate apărea la continuitatea cu parametru?

Apare când parametrul este ridicat la pătrat. Pentru $f (x) = m^{2} x$ când $x \leq 1$ și $f (x) = x + 5 m - 7$ când $x > 1$ , în $1$ se cere $m^{2} = 5 m - 6$ , adică $m^{2} - 5 m + 6 = 0$ , cu soluțiile $m = 2$ și $m = 3$ . Ambele valori sunt bune.

Cum aleg constanta unui model de răcire în două etape?

Ceri ca temperatura să nu sară la schimbarea etapei. Dacă $T (t) = 80 - 5 t$ pentru $0 \leq t \leq 6$ minute, la final $T (6) = 50$ °C. Pentru a doua etapă, $T (t) = k - 2 t$ , limita la dreapta în $6$ este $k - 12$ , deci $k - 12 = 50$ și $k = 62$ .

Cum aflu parametrul dintr-o ramură cu radical?

Calculezi limita ramurii cu radical prin înlocuire, dacă expresia de sub radical este pozitivă. Pentru $f (x) = x + 5$ când $x < 4$ și $f (x) = a x - 1$ când $x \geq 4$ : limita la stânga este $9 = 3$ , iar $f (4) = 4 a - 1$ , deci $4 a - 1 = 3$ și $a = 1$ .

Oamenii mai întreabă și: continuitate cu doi parametri · funcție cu trei ramuri continuă · doi parametri pentru care funcția este continuă · determină a și b pentru care funcția este continuă