Parametrul care face continuă o funcție pe ramuri (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un termostat de laborator încălzește o probă timp de patru minute, apoi oprește rezistența și lasă proba să se răcească. Legea temperaturii are, prin urmare, două formule: una pentru faza de încălzire, alta pentru faza de răcire. Nimic nu împiedică un elev să scrie cele două formule la întâmplare — în afară de fizică: temperatura unui corp nu poate sări de la $80$ la $90$ de grade într-o clipă. Cele două bucăți trebuie să se lipească, iar cerința aceasta fixează un coeficient care altfel ar fi rămas liber. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), coeficientul acela se numește parametru, iar lipirea celor două bucăți se numește continuitate — o temă prevăzută de programa de examen pentru bacalaureatul M2, la capitolul „Funcții continue", și legată de Subiectul al III-lea, acolo unde se dau problemele de analiză matematică.

Lecția de față îți dă procedeul complet: cum recunoști punctul în care se schimbă formula, ce trei numere calculezi acolo și cum transformi continuitatea dintr-o proprietate pe care o constați într-o ecuație pe care o rezolvi. Tema intră în programa examenului din sesiunile 2027–2029, iar din 2030, la proba MAT_P2, ea stă în domeniul „Analiză matematică". În modelul oficial publicat al probei M_șt-nat nu apare însă nicio cerință de continuitate — cele două probleme ale Subiectului al III-lea pornesc, în model, de la o derivată și de la o integrală.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști punctul de racord al unei funcții scrise pe ramuri și să spui de ce numai acolo se poate strica lipirea.
Vei ști să calculezi, în punctul de racord, numerele $l_{s}$ , $f (x_{0})$ și $l_{d}$ și să scoți din ele o ecuație în parametru.
Vei ști să tratezi o lege scrisă pe trei bucăți, în care apar doi parametri, scăzând o ecuație din cealaltă.
Vei ști să recunoști ecuațiile care au două soluții și pe cele care nu au niciuna, și să scrii răspunsul în forma potrivită.
Vei ști să tratezi racordurile la care apare nedeterminarea $\frac{0}{0}$ , prin factorizare sau prin amplificare cu conjugata.
Vei ști să explici, într-un model din fizică, chimie sau biologie, de ce mărimea măsurată nu are voie să sară și ce înseamnă asta pentru coeficienți.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu are voie graficul să sară?

Să scriem legea din deschidere. Proba pornește de la $20$ °C și se încălzește cu $15$ grade pe minut timp de patru minute; după aceea se răcește cu $5$ grade pe minut. Notând cu $t$ timpul, în minute, avem

$T (t) = {20 + 15 t, m - 5 t, 0 \leq t \leq 4 4 < t \leq 16$

unde $m$ este un număr real pe care legea nu îl fixează. Funcția definită pe ramuri este o funcție al cărei domeniu se împarte în bucăți care îl acoperă în întregime și nu se suprapun, pe fiecare bucată acționând altă expresie. Punctul în care se schimbă expresia — aici $t = 4$ — poartă un nume propriu: punctul de racord este valoarea variabilei la care se trece de la o ramură la următoarea; o funcție cu două ramuri are un punct de racord, una cu trei ramuri are două, iar una cu $k$ ramuri are $k - 1$ .

La sfârșitul minutului al patrulea temperatura este $20 + 15 \cdot 4 = 80$ de grade. Dacă am lua pentru parametru valoarea $110$ , formula a doua ar da, imediat după minutul al patrulea, valori apropiate de $110 - 20 = 90$ de grade: proba ar câștiga zece grade într-o clipă, fără să primească energie. Modelul ar fi greșit, nu proba. Singura valoare care face legea credibilă este cea pentru care a doua ramură pornește tocmai de la $80$ : din $m - 20 = 80$ obținem $m = 100$ , iar faza de răcire se scrie $T (t) = 100 - 5 t$ .

Observă ce s-a întâmplat: o cerință de bun-simț fizic — mărimile măsurate variază fără salturi — a determinat un coeficient. Aceasta este toată lecția, iar restul ei este tehnică: cum se scrie cerința ca ecuație și cum se rezolvă.

2. Care sunt cele trei numere care decid?

În punctul de racord $x_{0}$ ai de calculat trei numere, și numai trei:

limita la stânga, $l_{s} (x_{0}) = x \to x_{0} x < x_{0} lim f (x)$ , calculată pe ramura dinaintea racordului;
valoarea funcției, $f (x_{0})$ , citită de pe ramura a cărei condiție îl conține efectiv pe $x_{0}$ ;
limita la dreapta, $l_{d} (x_{0}) = x \to x_{0} x > x_{0} lim f (x)$ , calculată pe ramura de după racord.

Din lecția continuitatea unei funcții într-un punct și pe interval știi că funcția este continuă în $x_{0}$ exact atunci când cele trei numere coincid. Tot de acolo știi și cealaltă jumătate a răspunsului, cea care scurtează enorm calculul: pe fiecare bucată lucrează o singură formulă dintre cele studiate la M2 — gradul I, gradul al doilea, puterea, radicalul, exponențiala, logaritmul sau un raport de expresii de grad cel mult doi —, iar asemenea formule sunt continue oriunde au sens. Prin urmare, în afara punctelor de racord nu se poate întâmpla nimic rău, iar studiul se reduce la câteva puncte izolate.

Semnele de inegalitate din enunț nu sunt decor. Un $\leq$ trage punctul de racord spre bucata dinaintea lui, iar un $<$ îl lasă bucății de după; cum valoarea din punct vine mereu de pe bucata care îl cuprinde, aceste două semne hotărăsc singure ce expresie folosești. Citite pe fugă, ele strică o rezolvare altfel corectă.

3. Cum se transformă continuitatea într-o ecuație?

Rețeta are trei mișcări, iar ordinea lor nu se schimbă: trei numere, o ecuație, o probă.

Trei numere. Scrie, unul sub altul, $l_{s} (x_{0})$ , $f (x_{0})$ și $l_{d} (x_{0})$ . Dacă vreuna dintre expresii dă $\frac{0}{0}$ , prelucrează-o înainte de a merge mai departe (vezi §6).
O ecuație. Pune-le egale. Din lanțul $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$ rămâne, de obicei, o singură egalitate cu adevărat informativă — cea care conține parametrul — și pe ea o rezolvi.
O probă. Înlocuiește valoarea găsită în cele trei expresii și arată că lanțul chiar se închide. Proba nu e un moft: la ecuațiile de gradul al doilea îți spune dacă amândouă rădăcinile sunt bune, iar la enunțurile cu condiții suplimentare („ $m$ număr natural") îți spune ce ai voie să păstrezi.

Să vedem rețeta la lucru pe funcția $f : R \to R$ ,

$f (x) = {2 x + m, x^{2} - 4, x \leq 3 x > 3$

Racordul e în $3$ , iar acest număr cade pe prima bucată, unde condiția e $x \leq 3$ . Cele trei numere: $l_{s} (3) = 6 + m$ , $f (3) = 6 + m$ și $l_{d} (3) = 9 - 4 = 5$ . Prima egalitate se închide de la sine, fiindcă expresia dinaintea racordului e continuă și îl cuprinde pe $3$ ; informația utilă stă deci în a doua: $6 + m = 5$ , adică $m = - 1$ . Proba: cu $m = - 1$ prima ramură devine $2 x - 1$ , $f (3) = 5$ , $l_{s} (3) = 5$ și $l_{d} (3) = 5$ ; lanțul se închide.

Reține și forma pe care o ia limita când în expresie apare un parametru. Litera $m$ este un număr fixat, chiar dacă nu-i cunoaștem valoarea, deci trece prin limită neatinsă: $x \to 3 lim (2 x + m) = 6 + m$ . Nu se „simplifică", nu „tinde la zero" și nu iese din calcul.

4. Doi parametri, două racorduri

Cu trei bucăți apar două racorduri, iar parametrii stau de obicei pe bucata dintre ele; fiecare racord aduce câte o ecuație. Fie

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 1, m x + n, 3 x - 1, x \leq - 1 - 1 < x < 2 x \geq 2$

În $x_{0} = - 1$ avem $f (- 1) = 2$ , $l_{s} (- 1) = 2$ și $l_{d} (- 1) = - m + n$ , deci prima condiție este $- m + n = 2$ . În $x_{0} = 2$ avem $f (2) = 5$ , $l_{d} (2) = 5$ și $l_{s} (2) = 2 m + n$ , deci a doua condiție este $2 m + n = 5$ .

Sistemul se rezolvă în două rânduri, fără nicio unealtă nouă: scăzând prima ecuație din a doua, necunoscuta $n$ dispare și rămâne $3 m = 3$ , adică $m = 1$ ; înlocuind, $n = 3$ . Ramura din mijloc devine $x + 3$ . Proba: în $- 1$ ea dă $2$ , cât $f (- 1)$ ; în $2$ dă $5$ , cât $f (2)$ . Amândouă cusăturile se închid.

Merită să observi de ce metoda scăderii e de preferat aici: cele două ecuații au același coeficient la $n$ , așa că scăderea îl elimină dintr-o singură mișcare. Determinanții, pe care i-ai studiat în prima unitate a clasei, ar da același rezultat, dar cu un ocol inutil pentru un sistem atât de mic.

5. Două soluții, o soluție sau niciuna

Două soluții. Dacă parametrul apare ridicat la pătrat, ecuația pasului al doilea nu mai e liniară: ea capătă două rădăcini, iar amândouă pot fi bune. Pentru

$f (x) = {x + m^{2}, 6 x - 4 m, x \leq 1 x > 1$

avem $f (1) = l_{s} (1) = 1 + m^{2}$ și $l_{d} (1) = 6 - 4 m$ , deci $1 + m^{2} = 6 - 4 m$ , adică $m^{2} + 4 m - 5 = 0$ , cu rădăcinile $m = 1$ și $m = - 5$ . Amândouă trec proba: pentru $m = 1$ ramurile sunt $x + 1$ și $6 x - 4$ , cu valoarea comună $2$ în punctul $1$ ; pentru $m = - 5$ ramurile sunt $x + 25$ și $6 x + 20$ , cu valoarea comună $26$ . Sunt două funcții diferite, amândouă continue, iar răspunsul se scrie ca mulțime: $m \in {- 5, 1}$ .

Nicio soluție. Se întâmplă când parametrul se simplifică și rămâne o egalitate falsă între două numere. Fie

$f (x) = {x + m, m x + 3, x \leq 1 x > 1$

Aici $f (1) = l_{s} (1) = 1 + m$ și $l_{d} (1) = m + 3$ , iar condiția $1 + m = m + 3$ se reduce la $1 = 3$ . Nu există niciun număr real $m$ care să facă funcția continuă în $1$ : oricât ai mări sau ai micșora parametrul, el urcă amândouă ramurile deodată, iar saltul de două unități rămâne pe loc. Răspunsul corect nu este „ $m$ oarecare", ci „nu există o asemenea valoare", însoțit de calculul care o arată.

Racorduri imposibil de salvat. Uneori una dintre bucăți zboară spre infinit chiar în dreptul racordului: expresia $\frac{1}{x - 2}$ , privită dinspre valorile mai mici decât $2$ , scade fără margine. Continuitatea cere însă trei numere finite și egale, iar acolo primul dintre ele nu e deloc număr, așa că parametrul rămâne fără putere.

6. Ce faci când la racord apare $\frac{0}{0}$ ?

Uneori una dintre ramuri este un raport care, în punctul de racord, are și numărătorul, și numitorul nule. Atunci limita laterală nu se citește prin înlocuire; se prelucrează întâi expresia, cu exact cele două unelte de care ai nevoie la M2:

factorizarea, la rapoartele de expresii polinomiale: numărătorul se anulează în $x_{0}$ , deci conține factorul $x - x_{0}$ , care se simplifică cu numitorul;
amplificarea cu conjugata, la expresiile cu radical de ordinul al doilea: înmulțind și numărătorul, și numitorul cu conjugata, diferența de radicali se transformă într-o diferență de expresii polinomiale.

Amândouă au fost construite în unitatea de limite; aici doar le folosești. Regula care nu se încalcă niciodată: nu înlocui $x$ cu $x_{0}$ înainte ca nedeterminarea să dispară. Scrierea „ $\frac{0}{0} = 0$ " nu este o valoare, ci un semnal că mai ai de lucru.

Există și o variantă de enunț în care funcția nu are două ramuri, ci o formulă și o valoare izolată: $f (x) = \frac{x ^{2} - 7 x - 18}{x - 9}$ pentru $x \neq = 9$ și $f (9) = m$ . Aici $l_{s} (9)$ și $l_{d} (9)$ se calculează cu aceeași expresie, deci sunt automat egale, iar tot ce mai rămâne este să potrivești valoarea din punct cu limita comună.

7. Ce înseamnă racordul într-un model din științe?

Când funcția descrie o mărime măsurabilă, continuitatea nu mai e o cerință matematică, ci una fizică. O masă de precipitat, un volum de gaz, înălțimea unei plante, doza cumulată dintr-o perfuzie — toate se schimbă treptat, prin acumulare, deci graficele lor nu au salturi. Dacă un model scris pe ramuri are salt în punctul de racord, greșeala nu este a naturii, ci a coeficienților.

Sunt și mărimi care chiar sar: numărul de indivizi dintr-o populație numărată o dată pe zi sau nota de la o lucrare se schimbă brusc, pentru că nu sunt măsurate pe un domeniu continuu. Pentru ele, cerința de continuitate nu are sens. Primul lucru pe care îl decizi la o problemă aplicată este deci dacă mărimea variază continuu; abia apoi cauți parametrul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un racord simplu

Determinați numărul real $m$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {3 x + m, x^{2} + 1, x \leq 2 x > 2$ , este continuă în $x_{0} = 2$ .

Rezolvare. Punctul $2$ verifică $x \leq 2$ , deci se află pe prima ramură: $f (2) = 6 + m$ . Cele trei numere sunt

$l_{s} (2) = x \to 2 x < 2 lim (3 x + m) = 6 + m, f (2) = 6 + m, l_{d} (2) = x \to 2 x > 2 lim (x^{2} + 1) = 5.$

Condiția de continuitate devine $6 + m = 5$ , adică $m = - 1$ .

Proba. Cu $m = - 1$ , prima ramură este $3 x - 1$ ; atunci $l_{s} (2) = 5$ , $f (2) = 5$ și $l_{d} (2) = 5$ , deci lanțul se închide.

Exemplul 2 — Citește graficul

Graficul unei funcții $f : R \to R$ , $f (x) = {x + 2, 4 x + m, x \leq 1 x > 1$ , a fost desenat pentru o anumită valoare a parametrului. Pe desen, ramura din stânga se termină cu punct plin în $(1, 3)$ , iar ramura din dreapta pornește cu cerculeț gol din $(1, 5)$ . a) Cât este saltul graficului în punctul de racord și ce valoare a lui $m$ a fost folosită la desen? b) Pentru ce valoare a lui $m$ dispare saltul?

Rezolvare. a) Cerculețul gol arată limita la dreapta, iar punctul plin arată valoarea funcției: $l_{d} (1) = 5$ și $f (1) = 3$ . Saltul este diferența dintre ele, adică $5 - 3 = 2$ . Cum $l_{d} (1) = 4 + m$ , din $4 + m = 5$ rezultă că desenul a fost făcut pentru valoarea $1$ a parametrului.

b) Ca să dispară saltul, limita la dreapta trebuie să coboare la $3$ : din $4 + m = 3$ rezultă $m = - 1$ . Cu această valoare, ramura a doua este $4 x - 1$ și pornește exact din punctul $(1, 3)$ .

Ce s-a văzut aici. Desenul arată dintr-o privire care dintre cele trei numere se abate, iar mărimea saltului spune cu cât trebuie schimbat parametrul — aici cu $- 2$ , fiindcă $m$ intră cu coeficientul $1$ în limita la dreapta.

Exemplul 3 — Un model din biologie

Înălțimea unei plante de fasole, măsurată în centimetri la $t$ zile de la răsărire, se potrivește cu legea $h (t) = {2 t + 3, 0, 5 t + m, 0 \leq t \leq 10 10 < t \leq 30$ . Determinați $m$ astfel încât modelul să nu aibă salt și interpretați rezultatul.

Rezolvare. În prima fază planta crește cu $2$ cm pe zi, iar în ziua a zecea are $h (10) = 2 \cdot 10 + 3 = 23$ de centimetri. Pe a doua ramură, limita la dreapta în $10$ este $0, 5 \cdot 10 + m = 5 + m$ . Condiția de continuitate $5 + m = 23$ dă $m = 18$ , deci a doua fază se scrie $h (t) = 0, 5 t + 18$ .

Proba. $0, 5 \cdot 10 + 18 = 23$ de centimetri, cât are planta la sfârșitul primei faze.

Interpretarea. Ritmul de creștere scade de patru ori, de la $2$ la $0, 5$ centimetri pe zi, dar înălțimea nu sare: o plantă nu se poate lungi brusc. Parametrul $18$ nu are o semnificație biologică proprie — el este doar numărul care așază a doua dreaptă la înălțimea potrivită. Modelul e valabil până în ziua a treizecea; dincolo de ea, creșterea liniară nu mai descrie realitatea.

Exemplul 4 — Racord cu radical

Determinați numărul real $m$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + m, \frac{2 x + 7 - 3}{x - 1}, x \leq 1 x > 1$ , este continuă în $x_{0} = 1$ .

Rezolvare. Pe prima ramură nu apare nicio dificultate: $f (1) = 1 + m$ și $l_{s} (1) = 1 + m$ .

Pe a doua ramură, în $1$ , și numărătorul, și numitorul se anulează. Amplificăm cu conjugata numărătorului, $2 x + 7 + 3$ :

$\frac{2 x + 7 - 3}{x - 1} = \frac{2 x + 7 - 9}{( x - 1 ) ( 2 x + 7 + 3 )} = \frac{2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( 2 x + 7 + 3 )} = \frac{2}{2 x + 7 + 3} .$

Ultima expresie nu mai are nedeterminare, iar în $1$ dă $\frac{2}{3 + 3} = \frac{1}{3}$ , deci $l_{d} (1) = \frac{1}{3}$ .

Condiția $1 + m = \frac{1}{3}$ dă $m = - \frac{2}{3}$ .

Proba. Cu $m = - \frac{2}{3}$ , prima ramură este $x^{2} - \frac{2}{3}$ , iar $f (1) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ , cât limita la dreapta. Reține forma exactă: $- \frac{2}{3}$ este răspunsul, nu $- 0, 67$ .

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev trebuie să determine $m$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 15}{x + 5}$ pentru $x \neq = - 5$ și $f (- 5) = m$ , este continuă în $x_{0} = - 5$ . El scrie: „În $- 5$ numitorul se anulează, deci limita nu există; funcția nu poate fi continuă, oricare ar fi $m$ ." Găsiți greșeala și rezolvați corect.

Rezolvare. Greșeala este că elevul a privit numai numitorul. Se anulează și numărătorul: $(- 5)^{2} + 2 \cdot (- 5) - 15 = 0$ . Un raport în care ambii termeni tind la zero este o nedeterminare $\frac{0}{0}$ , nu o limită inexistentă — exact situația în care expresia trebuie prelucrată.

Factorizăm numărătorul căutându-i rădăcinile: suma lor este $- 2$ , produsul este $- 15$ , deci ele sunt $- 5$ și $3$ , iar $x^{2} + 2 x - 15 = (x + 5) (x - 3)$ . Prin urmare, pentru $x \neq = - 5$ ,

$\frac{x ^{2} + 2 x - 15}{x + 5} = \frac{( x + 5 ) ( x - 3 )}{x + 5} = x - 3,$

de unde $l_{s} (- 5) = l_{d} (- 5) = - 8$ . Cum $f (- 5) = m$ , condiția de continuitate dă $m = - 8$ .

Reține proba de recunoaștere. Când numitorul se anulează în punctul studiat, verifică întâi numărătorul: dacă și el se anulează, ai o nedeterminare care se ridică; dacă nu, atunci limita chiar este infinită și niciun parametru nu ajută.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {x^{2} + m x, 4 x - 2, x \leq 1 x > 1$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că $x \to 1 x > 1 lim f (x) = 2$ . b) Determinați numărul real $m$ pentru care funcția $f$ este continuă în $x_{0} = 1$ . c) Arătați că, pentru valoarea determinată la punctul b), $f (x) \geq - \frac{1}{4}$ , pentru orice $x \leq 1$ .

Rezolvare.

a) Pentru $x > 1$ funcția este dată de expresia de gradul I $4 x - 2$ , continuă pe $R$ , deci limita se obține prin înlocuire: $x \to 1 x > 1 lim (4 x - 2) = 4 - 2 = 2$ .

b) Punctul $1$ verifică $x \leq 1$ , deci $f (1) = 1 + m$ , iar $l_{s} (1) = 1 + m$ . Condiția de continuitate $l_{s} (1) = f (1) = l_{d} (1)$ se reduce la $1 + m = 2$ , adică $m = 1$ .

c) Cu $m = 1$ , pentru $x \leq 1$ avem $f (x) = x^{2} + x$ . Scriem forma canonică, din care, încă din clasa a IX-a, la monotonia și extremul funcției de gradul al doilea, citeai direct vârful parabolei: $x^{2} + x = (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ . Cum un pătrat este mereu mai mare sau egal cu zero, rezultă $f (x) \geq - \frac{1}{4}$ , cu egalitate pentru $x = - \frac{1}{2}$ , valoare care verifică într-adevăr $x \leq 1$ .

De la examen la lecție. Cele trei cerințe sunt așezate în ordinea în care se lucrează: întâi un calcul de limită, apoi ecuația de continuitate, apoi o inegalitate demonstrată cu ce s-a obținut. Punctul c) folosește forma canonică a funcției de gradul al doilea, învățată în clasa a IX-a — un semn că problemele de analiză nu sunt niciodată „numai analiză".

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie cele trei numere, apoi ecuația, apoi proba.

1. Precizează punctul de racord al funcției $f (x) = {6 x - 11, x^{2} - 3, x \leq 4 x > 4$ și spune de pe ce ramură se citește $f (4)$ .

2. Determină $m \in R$ pentru care $f (x) = {x + m, 2 x - 3, x \leq 4 x > 4$ este continuă în $x_{0} = 4$ .

3. Determină $m \in R$ pentru care $f (x) = {5 x - m, x^{2} + 2, x \leq 1 x > 1$ este continuă în $x_{0} = 1$ .

4. Determină $m \in R$ pentru care funcția $f (x) = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$ , pentru $x \neq = 3$ , și $f (3) = m$ este continuă în $x_{0} = 3$ .

5. Determină $m \in R$ pentru care $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ m - x, \frac{x + 3 - 2}{x - 1}, x \leq 1 x > 1$ este continuă în $x_{0} = 1$ .

6. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care $f (x) = {x^{2} + m^{2}, m x + 7, x \leq 1 x > 1$ este continuă în $x_{0} = 1$ .

7. Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x, m x + n, x^{2} - 1, x \leq 1 1 < x < 3 x \geq 3$ este continuă pe $R$ .

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă cele două limite laterale într-un punct de racord sunt egale, atunci funcția este continuă în acel punct."

9. Arată că nu există niciun număr real $m$ pentru care funcția $f (x) = {7 x - m, m x + 8, x \leq - 1 x > - 1$ să fie continuă în $x_{0} = - 1$ .

10. (Problemă aplicată.) Doza cumulată dintr-o perfuzie, în miligrame, la $t$ ore de la începerea ei, este $D (t) = {8 t, 4 t + m, 0 \leq t \leq 3 3 < t \leq 8$ . Determină $m$ astfel încât modelul să nu aibă salt și spune ce se întâmplă cu ritmul de administrare după a treia oră.

11. Determină $m \in R$ pentru care funcția $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x - 3}, m + 1, x < 3 x \geq 3$ este continuă în $x_{0} = 3$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {3 x + m, x^{2} + x + 4, x \leq 0 x > 0$ . Determinați numărul real $m$ pentru care funcția $f$ este continuă în $x_{0} = 0$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {x^{2} + 2 x, m x + 1, x \leq - 1 x > - 1$ . Arătați că funcția $f$ este continuă în $x_{0} = - 1$ dacă și numai dacă $m = 2$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}, 2 x + m, x < 1 x \geq 1$ . Determinați numărul real $m$ pentru care funcția $f$ este continuă în $x_{0} = 1$ .

15. Determină $m \in R$ pentru care $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5, x^{2} + 5, m x - 1, x \leq 0 0 < x < 2 x \geq 2$ este continuă pe $R$ , arătând mai întâi că racordul din $0$ se închide singur.

16. Pe graficul funcției $f (x) = {x^{2} + 4, 2 x + m, x \leq 3 x > 3$ , desenat pentru $m = 2$ , se vede un salt în punctul de racord. Cât este saltul și ce valoare trebuie să ia $m$ pentru ca el să dispară?

17. Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ m x + n, x^{2} + 3, 7 x - n, x \leq 1 1 < x < 2 x \geq 2$ este continuă pe $R$ .

18. (Provocare.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - x - 20}{x - 5}, m x + n, x < 5 x \geq 5$ , unde $m$ și $n$ sunt numere reale. a) Arată că funcția este continuă în $x_{0} = 5$ exact atunci când $5 m + n = 9$ , deci că există o infinitate de perechi $(m, n)$ potrivite. b) Determină perechea pentru care, în plus, $f (7) = 13$ .

Răspunsuri și explicații

1. Punctul de racord este $4$ . Condiția primei ramuri este $x \leq 4$ , deci $4$ îi aparține ei, iar $f (4) = 6 \cdot 4 - 11 = 13$ . (Ramura a doua ar da tot $16 - 3 = 13$ , dar raționamentul trebuie făcut pe ramura corectă.)

2. $f (4) = l_{s} (4) = 4 + m$ , iar $l_{d} (4) = 2 \cdot 4 - 3 = 5$ . Din $4 + m = 5$ rezultă $m = 1$ . Proba: prima ramură devine $x + 1$ , iar $f (4) = 5$ .

3. $f (1) = l_{s} (1) = 5 - m$ , iar $l_{d} (1) = 1 + 2 = 3$ . Din $5 - m = 3$ rezultă $m = 2$ . Proba: $5 - 2 = 3$ .

4. Numărătorul se anulează în $3$ , deci se factorizează: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ , iar raportul este $x - 2$ pentru $x \neq = 3$ . Limita comună este $3 - 2 = 1$ , deci $m = 1$ .

5. Amplificând cu conjugata, $\frac{x + 3 - 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 3 + 2 )} = \frac{1}{x + 3 + 2}$ , cu limita $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ în $1$ . Cum $f (1) = m - 1$ , obținem $m - 1 = \frac{1}{4}$ , adică $m = \frac{5}{4}$ .

6. $f (1) = l_{s} (1) = 1 + m^{2}$ și $l_{d} (1) = m + 7$ , deci $m^{2} - m - 6 = 0$ , cu rădăcinile $m = 3$ și $m = - 2$ . Proba: pentru $m = 3$ valoarea comună este $10$ , pentru $m = - 2$ este $5$ . Răspuns: $m \in {- 2, 3}$ .

7. În $1$ : $f (1) = 2$ și $l_{d} (1) = m + n$ , deci $m + n = 2$ . În $3$ : $f (3) = 8$ și $l_{s} (3) = 3 m + n$ , deci $3 m + n = 8$ . Scăzând, $2 m = 6$ , adică $m = 3$ și $n = - 1$ . Proba: $3 - 1 = 2$ și $9 - 1 = 8$ .

8. Fals. Egalitatea limitelor laterale arată doar că funcția are limită în punct. Continuitatea cere ca acea limită comună să fie egală și cu $f (x_{0})$ . Contraexemplu: $f (x) = x + 1$ pentru $x \neq = 0$ și $f (0) = 7$ are limitele laterale egale cu $1$ , dar nu este continuă în $0$ .

9. $f (- 1) = l_{s} (- 1) = - 7 - m$ și $l_{d} (- 1) = - m + 8$ . Condiția $- 7 - m = - m + 8$ se reduce la $- 7 = 8$ , egalitate falsă. Parametrul se simplifică pentru că, în punctul de racord, el apare cu același coeficient $- 1$ în ambele expresii, deci mulțimea soluțiilor este vidă.

10. $D (3) = 24$ de miligrame, iar limita la dreapta este $12 + m$ . Din $12 + m = 24$ rezultă $m = 12$ . Ritmul scade de la $8$ la $4$ miligrame pe oră, dar doza deja administrată rămâne aceeași: cantitatea acumulată nu poate sări.

11. Numărătorul se anulează în $3$ : $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ , deci raportul este $x + 1$ pentru $x < 3$ , iar $l_{s} (3) = 4$ . Cum $f (3) = m + 1$ , obținem $m + 1 = 4$ , adică $m = 3$ .

12. $f (0) = l_{s} (0) = m$ , iar $l_{d} (0) = 0 + 0 + 4 = 4$ . Deci $m = 4$ .

13. $f (- 1) = l_{s} (- 1) = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) = - 1$ , iar $l_{d} (- 1) = - m + 1$ . Condiția de continuitate este $- m + 1 = - 1$ , echivalentă cu $m = 2$ . Cum toți pașii sunt echivalențe, afirmația „dacă și numai dacă" este demonstrată.

14. Pentru $x < 1$ , $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ , deci $l_{s} (1) = 2$ . Cum $1$ aparține ramurii a doua, $f (1) = 2 + m = l_{d} (1)$ . Din $2 + m = 2$ rezultă $m = 0$ .

15. În $0$ : $f (0) = 5$ , $l_{s} (0) = 5$ și $l_{d} (0) = 0 + 5 = 5$ — racordul se închide fără nicio condiție, pentru că cele două expresii iau aceeași valoare acolo. În $2$ : $l_{s} (2) = 9$ și $f (2) = 2 m - 1$ , deci $2 m - 1 = 9$ , adică $m = 5$ .

16. Pentru valoarea $2$ a parametrului avem $f (3) = 13$ și $l_{d} (3) = 6 + 2 = 8$ , deci saltul este $13 - 8 = 5$ . Ca el să dispară, trebuie $6 + m = 13$ , adică $m = 7$ .

17. În $2$ : $l_{s} (2) = 7$ și $f (2) = 14 - n$ , deci $14 - n = 7$ , adică $n = 7$ . În $1$ : $f (1) = m + n = m + 7$ și $l_{d} (1) = 1 + 3 = 4$ , deci $m + 7 = 4$ , adică $m = - 3$ . Proba: ramurile devin $- 3 x + 7$ , $x^{2} + 3$ și $7 x - 7$ , cu valorile comune $4$ în $1$ și $7$ în $2$ .

18. a) Numărătorul se anulează în $5$ ( $25 - 5 - 20 = 0$ ), deci $x^{2} - x - 20 = (x - 5) (x + 4)$ , iar pentru $x < 5$ raportul este $x + 4$ ; prin urmare $l_{s} (5) = 9$ . Punctul $5$ aparține ramurii a doua, deci $f (5) = 5 m + n = l_{d} (5)$ , iar lanțul se închide exact când $5 m + n = 9$ . Condiția aceasta leagă între ele două necunoscute, fără să le fixeze: pentru fiecare $m$ ales, $n = 9 - 5 m$ , deci perechile potrivite sunt o infinitate. b) Condiția $f (7) = 13$ dă $7 m + n = 13$ ; scăzând prima ecuație din a doua, $2 m = 4$ , adică $m = 2$ și $n = - 1$ . Proba: $5 \cdot 2 - 1 = 9$ , cât $l_{s} (5)$ , iar $7 \cdot 2 - 1 = 13$ .

De reținut

O funcție pe ramuri se poate strica doar în punctele de racord; în interiorul fiecărei ramuri, expresiile studiate la M2 sunt continue peste tot unde sunt definite, iar acest lucru se justifică într-o singură propoziție.
Rețeta are trei mișcări, în ordine: cele trei numere $l_{s} (x_{0})$ , $f (x_{0})$ , $l_{d} (x_{0})$ ; ecuația obținută punându-le egale; proba prin înlocuirea valorii găsite.
Parametrul este un număr fixat, nu o variabilă: el trece prin limită neatins, iar $x \to 3 lim (2 x + m) = 6 + m$ .
Răspunsul poate fi o valoare, o mulțime de două valori (când ecuația e de gradul al doilea), mulțimea vidă (când parametrul se simplifică și rămâne o egalitate falsă) sau o legătură între doi parametri, atunci când un singur racord are de fixat două necunoscute. Forma exactă — inclusiv fracțiile — este cea corectă.
La un model din științe, continuitatea se cere pentru că mărimea măsurată nu sare; înainte de a căuta parametrul, verifică dacă mărimea chiar variază continuu.

Greșeli frecvente

Tratezi parametrul ca pe o variabilă în calculul limitei. Scrierea „ $m x \to 0$ pentru că $m$ e mic" nu are sens: $m$ e un număr fixat, iar $x \to 2 lim (m x + 1) = 2 m + 1$ . Parametrul iese din limită întreg, cu semnul lui cu tot.
Dai răspunsul ca inecuație sau ca interval. Continuitatea într-un punct produce o ecuație, deci soluția este una sau mai multe valori. Un răspuns de forma „ $m \geq 2$ " arată că ai confundat cerința cu o condiție de existență.
Rotunjești parametrul. Când iese $m = - \frac{2}{3}$ sau $m = \frac{5}{4}$ , aceea este forma finală; zecimalele aproximative se pot folosi cel mult ca verificare mentală, niciodată ca răspuns.
Cauți racordul unde formula nu se schimbă. Capătul unui domeniu sau valoarea în care se anulează un radicand nu sunt puncte de racord. Racordul e exact locul unde se trece de la o ramură la alta, iar el se citește din acoladă, nu din expresii.
Confunzi „funcție definită" cu „funcție continuă". Faptul că amândouă formulele au sens în jurul punctului nu spune nimic despre lipire: ele pot da valori diferite, iar graficul sare. Lipirea se verifică, nu se presupune.

Aplică acasă

Plimbarea în doi pași. Mergi zece minute în ritm obișnuit, apoi încă zece minute cât poți de repede, măsurând distanța din două în două minute cu aplicația de pe telefon. Scrie distanța parcursă ca funcție pe două ramuri, potrivind câte o dreaptă pe fiecare fază, și verifică racordul de la minutul zece. Distanța parcursă nu poate sări — dacă modelul tău are salt, coeficientul liber al celei de-a doua drepte e prost ales.
Bateria la priză și în mână. Notează procentul bateriei telefonului din zece în zece minute cât se încarcă, apoi încă o oră după ce îl scoți din priză. Scrie funcția pe două ramuri, cu punctul de racord chiar la momentul scoaterii din priză, și determină coeficientul liber al ramurii a doua din condiția de continuitate. Compară-l cu procentul citit efectiv atunci.
Fasolea din pahar. Pune trei boabe de fasole într-un pahar cu vată umedă și măsoară zilnic, două săptămâni, înălțimea plantei. Împarte perioada în două faze de creștere, potrivește câte o dreaptă pe fiecare, apoi calculează parametrul care le lipește în ziua de trecere. Compară valoarea calculată cu măsurătoarea din ziua aceea și spune cât de mare e diferența.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.2 „Limite de funcții și continuitate" — „studiul continuității într-un punct și pe intervale de pe dreapta reală". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) prevede capitolul „Funcții continue"; în modelul oficial publicat al probei nu apare însă nicio cerință de continuitate, așa că nu se poate spune dinainte în ce formă va fi cerută. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția verifică patru lucruri: (1) identificarea punctului de racord și citirea corectă a semnelor $\leq$ și $<$ ; (2) scrierea celor trei numere înainte de orice ecuație; (3) tratarea parametrului ca număr fixat în calculul limitei; (4) proba finală. Patru întrebări de control, de pus oral: „De ce nu trebuie să studiezi și celelalte puncte ale domeniului?"; „De pe ce ramură iei valoarea funcției în punctul de racord și de ce?"; „Ce înseamnă, pe desen, că ecuația în parametru nu are soluție?"; „Dacă parametrul iese o fracție, ai greșit?". Semne bune: începe rezolvarea așezând pe hârtie cele trei numere, întoarce singur valoarea găsită în expresii ca să o verifice și deosebește un răspuns vid de unul în care parametrul ar fi liber.

O observație de predare: la științe ale naturii tiparul merită legat de laborator, nu doar de examen. Un elev care a văzut o curbă de încălzire înțelege imediat de ce modelul trebuie să se lipească, iar ecuația în parametru devine o traducere, nu o convenție. Continuarea firească a lecției este semnul unei funcții continue pe un interval, unde continuitatea se transformă într-o unealtă de calcul.

Întrebări frecvente

Se dă la fel continuitatea cu parametru la M1 și la M2? Procedeul este același, dar la științe ale naturii se opresc mai devreme funcțiile care pot apărea pe ramuri. La M1 racordurile pot cere limitele fundamentale, cu sinus, exponențială sau logaritm, și se studiază separat clasificarea punctelor de discontinuitate. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcții continue definite pe ramuri și determinarea parametrilor tratează și aceste cazuri.

La ce subiect apare continuitatea la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 prevede capitolul „Funcții continue", iar locul lui firesc în structura probei este Subiectul al III-lea, unde se dau cele două probleme de analiză matematică. În modelul oficial publicat al probei M_șt-nat nu există nicio cerință de continuitate: cele două probleme pornesc acolo de la o derivată și de la o integrală.

Trebuie neapărat să calculez amândouă limitele laterale? Da, dar una dintre ele e adesea gratuită. Dacă punctul de racord aparține unei ramuri date printr-o expresie continuă, limita dinspre acea parte este chiar valoarea funcției în punct, iar egalitatea se închide singură. Scrii totuși ambele numere, pentru că sărirea unuia lasă rezolvarea incompletă.

Poate parametrul să iasă o fracție? Da, și destul de des, mai ales la racordurile cu radical. Forma exactă este răspunsul: $m = - \frac{2}{3}$ se scrie ca fracție, nu ca $- 0, 67$ . Zecimalele ajută cel mult ca să-ți dai seama dacă rezultatul e plauzibil; scrise ca răspuns, ele nu sunt forma cerută.

De ce se cere ca modelele din fizică sau chimie să fie continue? Pentru că mărimile pe care le descriu se schimbă prin acumulare, nu prin salt: o temperatură, o concentrație, o doză administrată sau o înălțime nu se pot modifica instantaneu. Dacă un model scris pe ramuri are salt în punctul de racord, greșeala este a coeficienților, nu a fenomenului, iar continuitatea e tocmai condiția care îi corectează.

Se poate cere continuitatea pe un interval, nu doar într-un punct? Da, iar cerința „este continuă pe $R$ " se rezolvă la fel. Justifici într-o propoziție că pe fiecare bucată dintre racorduri expresia e continuă, apoi treci prin racorduri unul câte unul și scrii ecuația fiecăruia. Două racorduri înseamnă două ecuații, deci doi parametri determinați.

Ce funcții pot apărea pe ramuri la profilul științe ale naturii? Cele din programa clasei: funcția de gradul I și cea de gradul al doilea, funcția putere și funcția radical de ordinul al doilea și al treilea, funcția exponențială, cea logaritmică și raportul a două expresii de grad cel mult doi. Nedeterminările care apar la racord se ridică prin factorizare sau prin amplificare cu conjugata.