Determină mulțimea punctelor de continuitate a funcției $$f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-49}$$.

$$(-\infty,-7)\cup(-7,7)\cup(7,+\infty)$$

$$(-\infty,-7)\cup(7,+\infty)$$

Se consideră funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^2+14x-36$$ pentru $$x\le4$$ și $$f(x)=9x-29$$ pentru $$x>4$$. Ce se poate spune în punctul $$4$$?

funcția nu este continuă în $$4$$; este continuă la stânga, iar saltul măsoară $$29$$

funcția este continuă în $$4$$, fiindcă ambele ramuri sunt polinomiale

funcția nu este continuă în $$4$$; este continuă la dreapta, iar saltul măsoară $$29$$

funcția nu este continuă în $$4$$, iar saltul măsoară $$36$$

Se consideră funcția $$f(x)=\dfrac{2^{x}+1}{x^2+5}$$. Care afirmație este adevărată?

$$f$$ este continuă pe $$\mathbb{R}$$, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul

$$f$$ nu este continuă în $$0$$, fiindcă exponențiala își schimbă comportarea acolo

$$f$$ este continuă numai pe $$(0,+\infty)$$

$$f$$ nu este continuă în $$-\sqrt5$$ și în $$\sqrt5$$, fiindcă acolo se anulează numitorul

Unde este continuă o funcție dată prin formulă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Continuitate

O funcție elementară este continuă în fiecare punct în care este definită. Aici intră funcțiile construite din polinoame, radicali, exponențiale, logaritmi, sinus și cosinus, prin sume, produse, câturi și compuneri. Deci mulțimea punctelor de continuitate este chiar domeniul. De exemplu, $f (x) = \frac{x - 2}{x - 5}$ are domeniul $[2, 5) \cup (5, + \infty)$ și este continuă pe toată această mulțime. În $x = 5$ nu se pune problema continuității, fiindcă punctul nu aparține domeniului.

A fi continuă în $x_{0}$ înseamnă că trei numere finite ies la fel: limita dinspre stânga, valoarea din punct și limita dinspre dreapta. Punctul trebuie să facă parte din domeniu, altfel al doilea număr nici nu există și întrebarea rămâne fără obiect; iar o laterală infinită înseamnă dreaptă verticală, nu lipire. Proprietatea se rostește țintit: despre o valoare precisă a argumentului ori despre o porțiune precisă de axă, niciodată despre funcție ca atare.

Pentru o lege scrisă pe bucăți, singurul loc primejdios e cusătura dintre ele: în interiorul fiecărei bucăți lucrează expresii care se comportă frumos oriunde au sens. De aici metoda: scrii domeniul, iar mulțimea căutată e chiar el, fără locurile unde bucățile nu se închid. Toate familiile din programă, de la polinoame până la logaritmi, sunt continue pe tot domeniul lor.

Capcana. A nu fi continuă și a nu fi definită sunt două lucruri diferite: despre o valoare din afara domeniului nu se afirmă niciuna. Pe desen, cifra funcției o dă bulina plină, iar cerculețul gol arată o înălțime doar atinsă cu privirea. Și nu se egalează cele două formule: ecuația aceea spune unde se taie curbele, nu dacă se lipesc.

De reținut

funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor
sumele, produsele, câturile și compunerile de funcții continue sunt continue
continuitatea se studiază doar în puncte ale domeniului

Greșeala tipică

Se afirmă că $\frac{1}{x}$ este discontinuă în $0$ ; punctul $0$ nu aparține domeniului, iar funcția este continuă în fiecare punct în care este definită.

Exerciții din această mini-lecție

Determină mulțimea punctelor de continuitate a funcției $f (x) = \frac{x + 2}{x ^{2} - 49}$ .
- a) $(- \infty, - 7) \cup (- 7, 7) \cup (7, + \infty)$
- b) $R$
- c) $R ∖ {- 2}$
- d) $(- \infty, - 7) \cup (7, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, - 7) \cup (- 7, 7) \cup (7, + \infty)$

Numitorul se anulează pentru $x \in {- 7, 7}$ , deci domeniul este $(- \infty, - 7) \cup (- 7, 7) \cup (7, + \infty)$ . Fiind o funcție rațională, $f$ este continuă în fiecare punct al domeniului ei, iar mulțimea cerută este chiar domeniul. Despre $- 7$ și $7$ nu se spune că sunt puncte de discontinuitate: acolo funcția nu are valoare. Varianta c) scoate zeroul numărătorului, care este un punct perfect obișnuit, iar d) scoate și intervalul dintre cele două valori.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 14 x - 36$ pentru $x \leq 4$ și $f (x) = 9 x - 29$ pentru $x > 4$ . Ce se poate spune în punctul $4$ ?
- a) funcția este continuă în $4$ , fiindcă ambele ramuri sunt polinomiale
- b) funcția nu este continuă în $4$ ; este continuă la stânga, iar saltul măsoară $29$
- c) funcția nu este continuă în $4$ ; este continuă la dreapta, iar saltul măsoară $29$
- d) funcția nu este continuă în $4$ , iar saltul măsoară $36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) funcția nu este continuă în $4$ ; este continuă la stânga, iar saltul măsoară $29$

Cele trei numere: $l_{s} (4) = 16 + 56 - 36 = 36$ ; $f (4) = 36$ , citită de pe prima ramură, fiindcă ea conține condiția $x \leq 4$ ; $l_{d} (4) = 36 - 29 = 7$ . Primele două coincid, deci funcția este continuă la stânga, dar al treilea diferă, deci nu este continuă în $4$ , iar saltul măsoară $36 - 7 = 29$ . Varianta a) confundă continuitatea ramurilor cu închiderea racordului, c) alege partea greșită, iar d) ia drept salt valoarea funcției.
Se consideră funcția $f (x) = \frac{2 ^{x} + 1}{x ^{2} + 5}$ . Care afirmație este adevărată?
- a) $f$ nu este continuă în $0$ , fiindcă exponențiala își schimbă comportarea acolo
- b) $f$ este continuă numai pe $(0, + \infty)$
- c) $f$ este continuă pe $R$ , ca raport de funcții continue cu numitorul nenul
- d) $f$ nu este continuă în $- 5$ și în $5$ , fiindcă acolo se anulează numitorul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f$ este continuă pe $R$ , ca raport de funcții continue cu numitorul nenul

Numitorul $x^{2} + 5$ este strict pozitiv pentru orice număr real, deci nu se anulează niciodată și domeniul este $R$ . Numărătorul este o sumă dintre o exponențială și o constantă, deci o funcție continuă; raportul a două funcții continue este continuu acolo unde numitorul nu se anulează, adică peste tot. Varianta a) inventează o rupere a exponențialei, b) îngustează domeniul fără motiv, iar d) rezolvă $x^{2} - 5 = 0$ în loc de $x^{2} + 5 = 0$ : numitorul valorează $10$ în amândouă punctele acelea, deci funcția e continuă și acolo.

Întrebări conexe

Este continuă funcția $\frac{1}{x}$ ?

Da, pe domeniul ei, $R^{*}$ . Graficul are două ramuri separate, dar punctul $0$ nu face parte din domeniu, deci acolo nu există nicio discontinuitate. Continuitatea se discută doar în punctele în care funcția este definită.

Cum arăt că o funcție pe ramuri nu este continuă într-un punct?

Arăți că cele trei numere din punct nu coincid toate: $l_{s} (x_{0})$ , $f (x_{0})$ și $l_{d} (x_{0})$ . Pentru $f (x) = x^{2}$ când $x < 1$ și $f (x) = 2 x$ când $x \geq 1$ : $l_{s} (1) = 1$ , iar $f (1) = 2$ , deci funcția nu este continuă în $1$ .

Este continuă o funcție care are o valoare pusă separat într-un punct?

Depinde de valoare. Pentru $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ când $x \neq = 2$ și $f (2) = 4$ , limita în $2$ este $2 + 2 = 4$ , egală cu $f (2)$ , deci funcția este continuă. Cu $f (2) = 5$ nu ar mai fi continuă în $2$ .

Ce înseamnă continuitatea pentru o mărime măsurată în timp?

Înseamnă că mărimea nu sare: la intervale de timp foarte scurte, valorile ei se schimbă foarte puțin. Temperatura unui lichid încălzit variază continuu, pe când numărul de monede dintr-o pușculiță crește în salturi, deci nu este descris de o funcție continuă.

Este continuă suma dintre o funcție continuă și una discontinuă?

Nu, în punctul de discontinuitate. Dacă $f$ ar fi continuă și $f + g$ ar fi continuă, atunci și $g = (f + g) - f$ ar fi continuă, ca diferență de funcții continue, ceea ce contrazice ipoteza. Discontinuitatea lui $g$ se transmite sumei.

Oamenii mai întreabă și: domeniul de continuitate al unei funcții · mulțimea punctelor de continuitate · pe ce mulțime este continuă o funcție · unde este continuă funcția