Continuitatea: într-un punct și pe interval (M2, științe ale naturii)

Pui un pahar cu apă pe o plită și urmărești termometrul. Temperatura urcă fără opriri și fără sărituri: între două valori măsurate, apa a trecut prin toate valorile intermediare, chiar dacă nu le-ai notat pe niciuna. Alături, un aparat înregistrează puterea consumată de plită, iar acolo se întâmplă altceva — în clipa în care termostatul oprește rezistența, puterea cade de la $2000$ de wați la zero, dintr-o dată. Prima mărime este o funcție continuă, a doua nu. Diferența dintre ele este tema lecției de față, la clasa a XI-a, profilul științe ale naturii (M2): continuitatea apare în programa de bacalaureat M2 pentru sesiunile 2027–2029, iar conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea.

După ce ai învățat să calculezi limite, continuitatea îți cere un singur pas în plus: să compari limita cu valoarea funcției. Pasul acesta pare mărunt, dar el este cel care transformă limitele într-un instrument de lucru — aproape toate rezultatele de analiză matematică din anul acesta și din următorul încep cu ipoteza „fie $f$ o funcție continuă". Lecția te învață să verifici continuitatea într-un punct, să spui pe ce intervale este continuă o funcție și să recunoști, pe un grafic, locul în care continuitatea se rupe.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici, în cuvintele tale, când o funcție e continuă într-un punct și care sunt cele trei numere de comparat acolo.
• Vei ști să verifici continuitatea unei funcții definite pe ramuri, în punctul în care ramurile se întâlnesc.
• Vei ști să scrii mulțimea punctelor de continuitate a unei funcții date printr-o formulă, pornind de la domeniul ei.
• Vei ști să recunoști pe un grafic o săritură și să citești corect valoarea funcției în punctul de rupere.
• Vei ști ce înseamnă continuitate la stânga și la dreapta și când te mulțumești cu una singură.
• Vei ști să spui care mărimi dintr-un experiment se modelează cu funcții continue și care nu.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că o funcție este continuă într-un punct?

Începem cu imaginea, pentru că ea e cea care se ține minte: graficul unei funcții continue pe un interval se desenează dintr-o singură mișcare, fără ridicarea creionului de pe hârtie. Curba temperaturii apei arată exact așa; graficul puterii consumate, nu — acolo creionul trebuie ridicat și mutat, în clipa opririi.

Imaginea nu poate fi însă folosită într-o demonstrație, așa că îi dăm un echivalent numeric. Continuitatea într-un punct înseamnă că trei numere, calculate pe căi diferite, ies egale: limita la stânga, valoarea funcției în punct și limita la dreapta.

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$ un punct în jurul căruia funcția este definită. Spunem că $f$ este continuă în $x_0$ dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, adică dacă

$$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)=f(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x).$$

Trei observații care despart răspunsurile bune de cele confuze. Prima: $x_0$ trebuie să fie în domeniu, altfel $f(x_0)$ nici nu există, iar întrebarea nu are obiect. A doua: cele trei numere trebuie să fie finite — o limită laterală infinită înseamnă asimptotă verticală, nu continuitate. A treia: continuitatea este o proprietate locală; ea se afirmă despre un punct anume sau despre un interval, niciodată despre o funcție „în general", fără să spui unde.

2. Cum se verifică la o funcție definită pe ramuri?

Funcțiile date prin două formule sunt cazul în care întrebarea chiar are sens, pentru că în rest nu se întâmplă nimic interesant. Pe fiecare dintre intervalele deschise, funcția este dată de o expresie obișnuită și se poartă cuminte; singurul loc în care graficul poate să sară este punctul de racord, acolo unde se schimbă formula.

Ia funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=4x-1$ pentru $x>1$. În punctul de racord $x_0=1$ calculezi, în ordine:

• limita la stânga, cu formula ramurii din stânga: $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\left(x^2+2\right)=3$;
• valoarea funcției, citită de pe ramura a cărei condiție este îndeplinită de $1$ (aici $x\le 1$): $f(1)=1^2+2=3$;
• limita la dreapta, cu formula celeilalte ramuri: $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(4x-1)=3$.

Cele trei numere coincid, deci funcția este continuă în $1$. Dacă ar fi ieșit $3$, $3$ și $5$, lanțul s-ar fi rupt la ultima verigă și graficul ar fi avut o săritură de $2$ unități.

Atenție la o scurtătură greșită, care pare că economisește timp: unii elevi egalează direct cele două formule, $x^2+2=4x-1$, și rezolvă ecuația. Nu asta se cere. Ecuația spune unde se intersectează cele două curbe, nu dacă ele se racordează în punctul cerut; răspunsul se obține numai din cele trei numere de mai sus.

3. Ce înseamnă „continuă pe un interval"?

Înseamnă continuă în fiecare punct al intervalului. La capetele închise cerința se schimbă pe jumătate: dacă domeniul este $[a,b]$, atunci în $a$ se verifică doar continuitatea la dreapta, iar în $b$ doar cea la stânga — de cealaltă parte nu există puncte ale domeniului din care să te apropii, deci nu există nici limită de calculat. Reține formulările: $f$ este continuă la stânga în $x_0$ dacă limita la stânga este egală cu $f(x_0)$, și continuă la dreapta dacă limita la dreapta este egală cu $f(x_0)$; funcția este continuă în punct exact când este continuă de amândouă părțile.

Rezultatul care face lecția practică este acesta: funcțiile studiate la profilul științe ale naturii sunt continue pe tot domeniul lor de definiție — cele raționale, radicalii, funcția exponențială, funcția logaritmică și, cea mai simplă dintre ele, funcția polinomială. De aici vine metoda de lucru: nu porni la drum verificând puncte la întâmplare. Scrie domeniul, iar apoi mulțimea punctelor de continuitate este chiar domeniul, cu excepția locurilor în care formula se schimbă și racordul nu se închide.

Așa se răspunde la cerința „determinați mulțimea punctelor de continuitate". Pentru $f(x)=\frac{2x+3}{x-4}$, domeniul este $(-\infty ,4)\cup (4,+\infty )$, iar funcția este continuă pe fiecare dintre cele două intervale. Despre punctul $4$ nu se spune „este discontinuă", ci „nu aparține domeniului", iar acolo graficul are asimptota verticală de ecuație $x=4$. La capetele axei, aceeași funcție poate urmări o dreaptă orizontală sau una înclinată; continuitatea și asimptotele răspund așadar la întrebări diferite, cu aceleași limite.

4. Cum se citește continuitatea de pe un grafic?

Programa de științe ale naturii cere explicit interpretarea grafică, iar pe desen se văd trei situații, ușor de deosebit. Săritura: graficul se rupe și repornește la altă înălțime; capătul care aparține funcției se marchează cu punct plin, celălalt cu cerculeț gol. Gaura: curba merge liniștit, dar un punct lipsește sau este mutat în altă parte; și aici continuitatea se pierde, chiar dacă ruptura e cât un vârf de ac. Ramura care fuge: graficul urcă sau coboară nemărginit lângă o dreaptă verticală, deci în acel punct funcția nici nu are valoare.

Capcana de citire e la săritură: valoarea funcției o dă punctul plin, nu cerculețul gol. Cerculețul arată o valoare de care graficul se apropie, dar pe care nu o atinge — adică o limită laterală, nu o valoare.

5. Ce mărimi din laborator sunt funcții continue?

Aproape toate mărimile care se schimbă „prin curgere": temperatura unui corp care se încălzește, masa de apă care se evaporă, distanța parcursă de un mobil, concentrația unei soluții în care reacția se desfășoară lent. Toate au aceeași trăsătură — între două valori măsurate, mărimea a trecut prin toate valorile intermediare.

Mărimile care se schimbă „prin comutare" nu sunt continue: puterea consumată de o rezistență comandată de termostat, numărul de persoane dintr-o sală, masa dintr-un vas în care se adaugă din când în când câte o cantitate fixă. Graficul lor este format din bucăți, iar punctele de rupere sunt chiar momentele comutării. Distincția are urmări practice: un model continuu se poate deriva și integra mai departe, unul cu salturi trebuie studiat bucată cu bucată.

6. La ce folosește continuitatea mai departe?

La aproape tot ce urmează. Semnul unei funcții continue pe un interval, studiul variației cu ajutorul derivatelor, aproximările numerice — toate pornesc de la ipoteza de continuitate, pentru că ea garantează că funcția nu poate „sări" peste o valoare. Lecția următoare folosește această ipoteză la funcțiile definite pe ramuri în care apare un parametru de determinat, iar felul în care se așază semnul unei funcții continue pe un interval este tema care închide unitatea.

Merită reținută, de pe acum, deprinderea de redactare: scrie lanțul celor trei numere, unul sub altul, cu limitele calculate separat. Pașii se scriu toți — limita la stânga, valoarea, limita la dreapta, concluzia —, nu doar cuvântul „continuă" pus la sfârșit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul

Graficul unei funcții $f:[0,6]\to \mathbb{R}$ este trasat dintr-o singură mișcare pe $[0,3)$ și pe $[3,6]$. Lângă $x=3$, ramura din stânga se apropie de înălțimea $2$ și se termină cu un cerculeț gol, iar ramura din dreapta pornește cu un punct plin de la înălțimea $3$. Ce puteți spune despre continuitate?

Rezolvare. Cerculețul gol arată limita la stânga, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }f(x)=2$. Punctul plin arată valoarea funcției, deci $f(3)=3$, iar ramura din dreapta pornește din el, așa că și limita la dreapta este $3$.

Primul număr diferă de celelalte două, deci lanțul nu se închide: funcția nu este continuă în $3$. Este însă continuă la dreapta în $3$, iar mulțimea punctelor ei de continuitate este $[0,6]\setminus \{3\}$. Saltul graficului măsoară $3-2=1$ unitate.

Exemplul 2 — O funcție polinomială și una rațională

a) Studiați continuitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-8x+5$, în $x_0=2$. b) Determinați mulțimea punctelor de continuitate a funcției $g(x)=\frac{x+5}{x^2-9}$.

Rezolvare. a) Valoarea este $f(2)=12-16+5=1$, iar limita se calculează prin înlocuire directă, fiindcă expresia este polinomială: $\underset{x\to 2}{\lim }\left(3x^2-8x+5\right)=1$. Cele două numere coincid, deci $f$ este continuă în $2$ — de altfel, este continuă pe tot $\mathbb{R}$.

b) Numitorul se anulează în $-3$ și în $3$, deci domeniul este $(-\infty ,-3)\cup (-3,3)\cup (3,+\infty )$. Fiind o funcție rațională, $g$ este continuă în fiecare punct al domeniului ei, iar mulțimea cerută este chiar acest domeniu. Despre $-3$ și $3$ nu se spune că sunt puncte de discontinuitate: acolo funcția nu are valoare.

Exemplul 3 — Ramuri care se racordează

Studiați continuitatea în $x_0=2$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+4,& x<2\\ 3x,& x\ge 2\end{array}$.

Rezolvare. Cele trei numere, în ordine: $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(x+4)=6$; $f(2)=3\cdot 2=6$, valoarea fiind citită de pe ramura a doua, pentru că ea conține condiția $x\ge 2$; $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }3x=6$.

Toate trei sunt egale cu $6$, deci $f$ este continuă în $2$. Cum fiecare ramură este o funcție polinomială pe intervalul ei, funcția este continuă pe tot $\mathbb{R}$, iar graficul ei — două semidrepte lipite în punctul $(2,6)$ — se desenează fără ridicarea creionului.

Exemplul 4 — Ramuri care sar

Studiați continuitatea în $x_0=3$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}5-x,& x<3\\ x,& x\ge 3\end{array}$, și precizați dacă funcția este continuă măcar de o parte.

Rezolvare. Limita la stânga este $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }(5-x)=2$, valoarea este $f(3)=3$, iar limita la dreapta este $3$.

Primul număr nu se potrivește cu celelalte două, deci funcția nu este continuă în $3$; graficul are acolo o săritură de $1$ unitate. Cum $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }f(x)=f(3)$, funcția este continuă la dreapta în $3$. În rest, pe $(-\infty ,3)$ și pe $(3,+\infty )$, ea este continuă, fiind dată de expresii polinomiale.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Funcția $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ este discontinuă în $x=2$, pentru că acolo se anulează numitorul. Funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ x^2+1,& x\ge 0\end{array}$, este discontinuă în $0$, pentru că are două formule diferite." Corectați ambele afirmații.

Rezolvare. Prima afirmație folosește un cuvânt care nu se potrivește. Punctul $2$ nu aparține domeniului lui $f$, iar despre un punct din afara domeniului nu se poate spune nici că funcția e continuă acolo, nici că e discontinuă — pur și simplu nu are valoare. Formularea corectă: $f$ este continuă pe tot domeniul ei, $(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$, iar în $2$ graficul are asimptotă verticală.

A doua afirmație confundă forma cu fondul. Numărul de formule nu decide nimic; decid cele trei numere. Aici $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }(x+1)=1$, $g(0)=0^2+1=1$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\left(x^2+1\right)=1$, deci $g$ este continuă în $0$. Multe funcții pe ramuri sunt continue; ramurile trebuie doar să se întâlnească la aceeași înălțime.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+3x,& x\le 1\\ 5x-1,& x>1\end{array}$. a) Calculați $f(0)$ și $f(2)$. b) Arătați că funcția $f$ este continuă în $x_0=1$. c) Arătați că funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare.

a) Pentru $x=0$ se folosește prima ramură, fiindcă $0\le 1$: $f(0)=0+0=0$. Pentru $x=2$ se folosește a doua, fiindcă $2>1$: $f(2)=10-1=9$.

b) Cele trei numere: $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\left(x^2+3x\right)=4$; $f(1)=1+3=4$; $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(5x-1)=4$. Fiind egale, $f$ este continuă în $1$.

c) Pe intervalul $(-\infty ,1)$ funcția este polinomială, deci continuă; la fel pe $(1,+\infty )$. Singurul punct rămas este $1$, iar acolo continuitatea a fost arătată la b). Prin urmare $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

De la examen la lecție. Ordinea cerințelor nu e întâmplătoare: punctul a) verifică dacă știi să alegi ramura potrivită, b) cere lanțul celor trei numere, iar c) doar adună concluziile. La examen, un răspuns la b) care sare peste una dintre cele trei limite rămâne incomplet chiar dacă rezultatul final este corect.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie cele trei numere unul sub altul: limita la stânga, valoarea funcției, limita la dreapta.

1. Studiază continuitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-2x+5$, în $x_0=-1$.

2. Determină mulțimea punctelor de continuitate a funcției $f(x)=\frac{3x-8}{x+6}$.

3. Studiază continuitatea în $x_0=2$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-1,& x<2\\ x^2-2,& x\ge 2\end{array}$, și măsoară saltul, dacă există.

4. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-9}{x+3}$, este continuă în fiecare punct al domeniului ei și explică de ce nu se poate vorbi despre continuitatea ei în $-3$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție definită prin două formule este întotdeauna discontinuă în punctul în care formula se schimbă."

6. Studiază continuitatea în $x_0=1$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3,& x\le 1\\ 2^x+2,& x>1\end{array}$.

7. (Problemă aplicată.) Un termostat ține rezistența unei plite pornită la puterea de $2000$ de wați timp de $10$ minute, apoi o oprește. Scrie puterea ca funcție de timp, pe intervalul $[0,20]$, și spune în ce punct nu este continuă. Explică de ce temperatura apei din vas rămâne, în schimb, o funcție continuă.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul unei funcții continue pe un interval nu poate avea asimptotă verticală într-un punct interior al acelui interval."

9. Determină mulțimea punctelor de continuitate a funcției $f(x)=\ln (x-3)$.

10. Graficul unei funcții $f:[0,8]\to \mathbb{R}$ se trasează fără ridicarea creionului, în afară de $x=5$, unde valorile trec brusc de la $2$ la $4$. Scrie mulțimea punctelor de continuitate și spune ce poți afirma despre limitele laterale în $5$.

11. Determină mulțimea punctelor de continuitate a funcției $f(x)=\frac{x+4}{x^2-36}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+1,& x\le 3\\ x^2-2,& x>3\end{array}$. Arată că funcția $f$ este continuă în $x_0=3$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+2$. Arată că funcția $f$ este continuă în $x_0=2$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}$. Determină mulțimea punctelor în care funcția $f$ este continuă.

15. Funcția $f:[2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-2}$, este continuă în $x_0=2$? Ce fel de continuitate se poate verifica acolo și de ce numai aceea?

16. Într-un vas, apa se evaporă lent, iar la fiecare oră se adaugă dintr-o dată $50$ de mililitri. Este funcția care dă volumul de apă continuă? Precizează punctele în care se rupe și explică ce reprezintă ele.

17. Despre o funcție $f$ se știe că $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }f(x)=5$, $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)=5$ și $f(2)=7$. Este $f$ continuă în $2$? Care dintre cele trei numere strică lanțul?

18. (Provocare.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 2\\ x+2,& x>2\end{array}$. Arată că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, apoi construiește o funcție definită pe ramuri care să fie continuă la stânga în $1$, dar nu și la dreapta, și justifică amândouă afirmațiile.

Răspunsuri și explicații

1. Funcția este polinomială, deci limita se obține prin înlocuire: $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=-1+2+5=6$ și $f(-1)=6$. Numerele coincid, deci $f$ este continuă în $-1$ (și pe tot $\mathbb{R}$).

2. Domeniul este $(-\infty ,-6)\cup (-6,+\infty )$, iar funcția rațională este continuă în fiecare punct al lui. Mulțimea cerută este chiar domeniul; în $-6$ funcția nu este definită.

3. Limita la stânga: $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(3x-1)=5$. Valoarea: $f(2)=4-2=2$. Limita la dreapta: $2$. Primul număr diferă, deci funcția nu este continuă în $2$, iar saltul măsoară $5-2=3$ unități; funcția rămâne continuă la dreapta.

4. Pe domeniul $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$ funcția este rațională, deci continuă în fiecare punct. În $-3$ nu există $f(-3)$, iar continuitatea cere o valoare în punct, așa că întrebarea nu are obiect acolo. (Limita există și valorează $-6$, dar limita singură nu înseamnă continuitate.)

5. Fals. Numărul de formule nu decide nimic. Dacă cele două ramuri ajung la aceeași înălțime în punctul de racord, funcția este continuă, ca la exercițiul 6 sau la Exemplul 3.

6. Limita la stânga: $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(x+3)=4$. Valoarea: $f(1)=1+3=4$, de pe prima ramură, fiindcă ea conține condiția $x\le 1$. Limita la dreapta: $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\left(2^x+2\right)=2+2=4$. Cele trei numere sunt egale, deci $f$ este continuă în $1$.

7. Puterea este $P(t)=2000$ pentru $t\in [0,10)$ și $P(t)=0$ pentru $t\in [10,20]$, măsurată în wați. În $t=10$ limita la stânga este $2000$, iar valoarea și limita la dreapta sunt $0$: funcția nu este continuă acolo, iar saltul este de $2000$ de wați. Temperatura apei rămâne continuă pentru că energia primită se acumulează treptat: în clipa opririi, apa nu își schimbă brusc temperatura, ci doar încetează să se mai încălzească.

8. Adevărat. Într-un punct interior al intervalului, continuitatea cere ca limitele laterale să fie egale cu $f(x_0)$, deci finite. O asimptotă verticală înseamnă cel puțin o limită laterală infinită, ceea ce ar contrazice continuitatea.

9. Domeniul este $(3,+\infty )$, iar funcția logaritmică este continuă pe tot domeniul ei. Mulțimea punctelor de continuitate este deci $(3,+\infty )$.

10. Mulțimea punctelor de continuitate este $[0,8]\setminus \{5\}$. În $5$, cele două limite laterale există și sunt finite, dar sunt diferite — una este $2$, cealaltă $4$ —, deci funcția nu are limită acolo și cu atât mai puțin continuitate.

11. Numitorul se anulează în $-6$ și în $6$, deci domeniul, care este și mulțimea punctelor de continuitate, este $(-\infty ,-6)\cup (-6,6)\cup (6,+\infty )$.

12. Limita la stânga: $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }(2x+1)=7$. Valoarea: $f(3)=7$, de pe prima ramură. Limita la dreapta: $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\left(x^2-2\right)=9-2=7$. Cele trei numere fiind egale, $f$ este continuă în $3$.

13. Expresia este polinomială, deci limita se calculează prin înlocuire: $\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^3-3x+2\right)=8-6+2=4$, iar $f(2)=4$. Cele două numere coincid, deci funcția este continuă în $2$.

14. Funcția este rațională, deci continuă în fiecare punct al domeniului: mulțimea cerută este $(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$. În $1$ funcția nu este definită, iar graficul are acolo asimptotă verticală.

15. Da, este continuă în $2$, dar numai la dreapta, și atât se cere. La stânga lui $2$ domeniul nu are niciun punct, deci limita la stânga nu se poate calcula. Cum $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\sqrt{x-2}=0=f(2)$, condiția care poate fi verificată este îndeplinită.

16. Nu este continuă. Între două adăugări, volumul scade treptat, deci acolo funcția este continuă; în momentele adăugării, volumul crește brusc cu $50$ de mililitri, deci graficul sare. Punctele de rupere sunt chiar momentele la care se toarnă apa, iar înălțimea fiecărei sărituri este cantitatea adăugată.

17. Nu este continuă în $2$. Cele două limite laterale sunt egale cu $5$, deci limita funcției în $2$ există și este $5$, dar valoarea $f(2)=7$ nu se potrivește cu ea. Numărul care strică lanțul este chiar valoarea funcției în punct.

18. În $2$: limita la stânga este $4$, valoarea este $f(2)=4$, limita la dreapta este $2+2=4$, deci funcția este continuă în $2$; pe cele două intervale deschise ea este polinomială, deci continuă, așa că este continuă pe $\mathbb{R}$. Un exemplu pentru partea a doua: $g(x)=x$ pentru $x\le 1$ și $g(x)=x+3$ pentru $x>1$. Limita la stânga în $1$ este $1$, egală cu $g(1)=1$, deci $g$ este continuă la stânga; limita la dreapta este $4\ne 1$, deci nu este continuă la dreapta.

De reținut

• Continuitatea în $x_0$ înseamnă egalitatea a trei numere finite: limita la stânga, valoarea $f(x_0)$ și limita la dreapta. Punctul trebuie să fie în domeniu, altfel întrebarea nu are obiect.
• La o funcție definită pe ramuri, singurul punct de verificat este racordul; pe intervalele deschise, expresiile obișnuite sunt continue oricum.
• Funcțiile studiate la profilul științe ale naturii — polinomiale, raționale, cu radicali, exponențiale și logaritmice — sunt continue pe tot domeniul lor, deci mulțimea punctelor de continuitate pornește întotdeauna de la domeniu.
• La un capăt închis al domeniului se verifică o singură continuitate laterală, pentru că de partea cealaltă nu există puncte din care să te apropii.
• Redactarea care ia punctajul are patru rânduri: limita la stânga, valoarea funcției, limita la dreapta, concluzia — în această ordine, cu fiecare limită calculată de pe ramura potrivită.

Greșeli frecvente

• Egalezi cele două formule în loc să calculezi limitele. Ecuația $x^2+2=4x-1$ spune unde se intersectează curbele, nu dacă ramurile se racordează în punctul cerut. Continuitatea se decide numai cu cele trei numere.
• Verifici puncte în care nu se întâmplă nimic. La o funcție pe ramuri, intervalele deschise sunt acoperite de funcțiile studiate; timpul se investește în punctul de racord, nu în calcule inutile pe restul domeniului.
• Scrii concluzia fără să spui unde. „Funcția este continuă" nu este un răspuns complet: continuitatea se afirmă despre un punct („în $x_0=3$") sau despre o mulțime („pe $(-\infty ,4)$ și pe $(4,+\infty )$").
• Ceri și limita la stânga într-un capăt închis al domeniului. La $f:[2,+\infty )\to \mathbb{R}$, în $2$ se verifică numai continuitatea la dreapta; căutarea celeilalte limite blochează rezolvarea fără niciun motiv.
• Citești valoarea de pe cerculețul gol. Pe un grafic cu săritură, valoarea funcției o dă punctul plin; cerculețul gol arată o limită laterală, adică o înălțime de care graficul doar se apropie.

Aplică acasă

1. Cântarul din bucătărie. Pune un vas gol pe un cântar de bucătărie și toarnă apă încet, notând masa din zece în zece secunde; apoi, brusc, adaugă o lingură de sare și continuă notările. Desenează graficul masei în funcție de timp și marchează punctul în care el se rupe. Scrie, în două propoziții, de ce prima parte este continuă și a doua nu.

2. Lupa digitală. Într-o aplicație de grafice, trasează funcția de la exercițiul 3 și mărește imaginea în jurul punctului de abscisă $2$. Observă că, oricât ai mări, saltul rămâne la fel de vizibil, apoi fă același lucru cu funcția de la Exemplul 3 și notează diferența dintre cele două imagini.

3. Autobuzul. Urmărește, într-o călătorie cu autobuzul, două mărimi: numărul de pasageri și distanța parcursă. Notează trei momente în care prima mărime sare și explică de ce a doua nu poate sări niciodată. Spune care dintre cele două mărimi ar putea fi studiată mai departe cu instrumentele analizei matematice.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.2 „Limite de funcții și continuitate", prin conținutul „Continuitate: interpretarea grafică a continuității unei funcții; studiul continuității într-un punct și pe intervale de pe dreapta reală, pentru funcțiile studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă (OMEN 4430/2014) cuprinde „Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții"; conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea. În modelul oficial al probei M_șt-nat, prima problemă a Subiectului al III-lea cere o derivată, o limită și o inegalitate; o cerință despre continuitate nu apare acolo, deci lecția pregătește pentru ce cere programa de examen, fără să promită o cerință anume. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Ce verifică lecția: (1) lanțul celor trei numere, scris explicit; (2) alegerea ramurii potrivite pentru valoarea din punct; (3) scrierea mulțimii punctelor de continuitate pornind de la domeniu; (4) deosebirea dintre „nu este continuă" și „nu este definită"; (5) citirea unei sărituri de pe grafic; (6) recunoașterea mărimilor reale care se modelează cu funcții continue.

Întrebări de control: „Ce trei numere compari și de unde le iei pe fiecare?"; „De pe ce ramură citești valoarea în punctul de racord?"; „Ce răspunzi despre un punct care nu e în domeniu?"; „Ce se schimbă la capătul închis al unui interval?". Semne că elevul a înțeles: scrie cele trei numere unul sub altul înainte de orice concluzie, nu confundă limita cu valoarea și spune întotdeauna în ce punct sau pe ce interval este continuă funcția.

Dificultatea tipică nu este calculul limitelor, ci disciplina redactării: mulți elevi ajung la răspunsul corect sărind peste una dintre cele trei verigi, deși un rând în plus ar fi făcut rezolvarea completă. Continuarea firească pe traseul de științe ale naturii este continuitatea funcțiilor pe ramuri cu parametru, iar versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții adaugă criteriul cu șiruri și clasificarea punctelor de discontinuitate, teme care nu intră în programa de științe ale naturii.

Întrebări frecvente

Ce se cere la M2 despre continuitate, față de mate-info (M1)? Se cere mai puțin, dar se cere temeinic: definiția cu cele trei numere, studiul într-un punct și pe intervale, interpretarea grafică. Programa de mate-info adaugă criteriul cu șiruri, clasificarea punctelor de discontinuitate pe speța I și a II-a, proprietatea valorilor intermediare și continuitatea funcției inverse — teme care nu apar la profilul științe ale naturii.

La ce subiect apare continuitatea la bacalaureatul M2? Continuitatea face parte din conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a, iar acesta se dă la Subiectul al III-lea al probei M_șt-nat. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cuprinde continuitatea într-un punct, funcțiile continue și interpretarea grafică. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial de subiect.

Cum arăt că o funcție pe ramuri este continuă în punctul de racord? Scrii trei rânduri: limita la stânga, calculată cu formula ramurii din stânga; valoarea funcției, luată de pe ramura a cărei condiție conține punctul; limita la dreapta, cu formula celeilalte ramuri. Dacă cele trei numere sunt egale, funcția este continuă acolo, iar concluzia se scrie explicit.

Ce înseamnă că o funcție este continuă pe un interval? Înseamnă că este continuă în fiecare punct al intervalului, iar graficul ei se poate desena pe acea porțiune fără ridicarea creionului. La capetele închise se cere doar continuitatea laterală dinspre interior, fiindcă de partea cealaltă nu există puncte ale domeniului.

„Fără ridicarea creionului" este o definiție? Nu, este imaginea care ajută memoria. Definiția de lucru, singura folosită în rezolvări, este egalitatea dintre limita funcției în punct și valoarea funcției în acel punct. Imaginea rămâne utilă la citirea graficelor, unde o săritură sau un punct mutat se văd imediat.

Cum se vede continuitatea pe un grafic trasat de o aplicație? După ruptură. Dacă graficul este o linie neîntreruptă pe tot intervalul, funcția este continuă acolo; dacă are o săritură, un punct izolat sau o ramură care fuge spre infinit, continuitatea se pierde exact în acel loc. Atenție la scara desenului: o săritură mică se vede abia după ce mărești imaginea.

La ce îmi folosește continuitatea mai departe? Este ipoteza de pornire a aproape tuturor rezultatelor care urmează: semnul unei funcții continue pe un interval, studiul variației cu derivate, rezolvarea aproximativă a ecuațiilor. Într-o problemă aplicată, ea spune că mărimea nu poate trece dintr-o valoare în alta fără să treacă prin toate valorile dintre ele.