Determină intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^3+30x^2+7$$.

concavă pe $$(-\infty,-10]$$ și convexă pe $$[-10,+\infty)$$

convexă pe $$(-\infty,-10]$$ și concavă pe $$[-10,+\infty)$$

concavă pe $$(-\infty,-20]$$ și convexă pe $$[-20,+\infty)$$

Funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^3+6x^2-63x+4$$, are punctele critice $$-7$$ și $$3$$. Folosind derivata a doua, natura lor este:

$$-7$$ punct de maxim local, $$3$$ punct de minim local

$$-7$$ punct de minim local, $$3$$ punct de maxim local

amândouă puncte de minim local

criteriul nu decide, fiindcă $$f''$$ se anulează în $$-2$$

Pentru funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^4+6x^3+20$$, avem $$f'(0)=0$$ și $$f''(0)=0$$. Natura punctului $$0$$ este:

punct critic care nu este punct de extrem

nu se poate decide cu uneltele acestei teme

Este funcția 1/x convexă?

Derivata a doua este 2/x³: pozitivă pe (0,+∞), unde funcția este convexă, și negativă pe (-∞,0), unde este concavă. Pe domeniul întreg nu se poate spune nici convexă, nici concavă, fiindcă acesta nu este un interval.

Care e diferența dintre convex și concav?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Convexitate și concavitate

Un grafic convex are forma $\cup$ și stă deasupra tangentelor lui; un grafic concav are forma $\cap$ și stă sub tangente. Cu derivata a doua: $f^{''} \geq 0$ pe un interval înseamnă funcție convexă acolo, iar $f^{''} \leq 0$ înseamnă funcție concavă. De exemplu, $x^{2}$ este convexă pe $R$ , $- x^{2}$ este concavă, iar $x^{3}$ , cu $f^{''} (x) = 6 x$ , este concavă pe $(- \infty, 0]$ și convexă pe $[0, + \infty)$ .

Programa de examen M_șt-nat cere concavitatea și convexitatea la rolul derivatelor de ordinul întâi și al doilea; la proba MAT_P2 din $2030$ tema apare împreună cu recunoașterea naturii punctelor de extrem prin semnul lui $f^{''}$ .

Criteriul convexității. Pe un interval $I$ pe care $f$ are derivată de ordinul al doilea, $f^{''} (x) \geq 0$ dă grafic convex, $\cup$ , cel care „ține apa"; $f^{''} (x) \leq 0$ dă grafic concav, $\cap$ , cel care „varsă apa". Inegalitățile sunt nestricte fiindcă o anulare izolată a lui $f^{''}$ nu desparte nimic: contează schimbarea semnului.

Rețeta are patru pași: domeniul, derivata întâi simplificată, derivata a doua adusă la formă factorizată cu zerourile ei, apoi tabelul de semn și concluzia scrisă pe câte un interval.

Criteriul derivatei a doua lămurește un punct critic cu o singură înlocuire: o valoare pozitivă a lui $f^{''}$ în $x_{0}$ înseamnă minim, una negativă înseamnă maxim, iar $f^{''} (x_{0}) = 0$ nu decide — tăcerea lui nu este un răspuns negativ, ci trimiterea înapoi la semnul derivatei întâi.

Monotonia și convexitatea sunt informații independente, citite din două rânduri diferite. Toate cele patru îmbinări apar în științe: crește tot mai repede, crește tot mai încet, scade tot mai încet, scade tot mai repede — primul cuvânt vine din semnul lui $f^{'}$ , al doilea din semnul lui $f^{''}$ , iar interpretarea unui model nu e completă fără amândouă.

De reținut

convex ( $\cup$ ): $f^{''} \geq 0$ pe interval; concav ( $\cap$ ): $f^{''} \leq 0$
graficul convex stă deasupra tangentelor, cel concav sub ele
convexitatea se studiază pe intervale

Greșeala tipică

Se confundă convexitatea cu creșterea și se spune că o funcție care urcă este convexă; $ln x$ urcă și este concavă, iar $x^{2}$ coboară pe $(- \infty, 0]$ și este convexă.

Exerciții din această mini-lecție

Determină intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 30 x^{2} + 7$ .
- a) concavă pe $(- \infty, - 10]$ și convexă pe $[- 10, + \infty)$
- b) convexă pe $(- \infty, - 10]$ și concavă pe $[- 10, + \infty)$
- c) convexă pe $R$
- d) concavă pe $(- \infty, - 20]$ și convexă pe $[- 20, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) concavă pe $(- \infty, - 10]$ și convexă pe $[- 10, + \infty)$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 60 x$ , deci $f^{''} (x) = 6 x + 60$ , cu zeroul $- 10$ . Pentru $x < - 10$ avem $f^{''} (x) < 0$ , deci graficul varsă apa; pentru $x > - 10$ , $f^{''} (x) > 0$ , deci ține apa. Varianta b) inversează cele două forme, d) folosește zeroul lui $f^{'}$ , anume $- 20$ , în loc de zeroul lui $f^{''}$ , iar c) sare peste tabelul de semn.
Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 63 x + 4$ , are punctele critice $- 7$ și $3$ . Folosind derivata a doua, natura lor este:
- a) $- 7$ punct de minim local, $3$ punct de maxim local
- b) $- 7$ punct de maxim local, $3$ punct de minim local
- c) amândouă puncte de minim local
- d) criteriul nu decide, fiindcă $f^{''}$ se anulează în $- 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 7$ punct de maxim local, $3$ punct de minim local

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)$ , ceea ce confirmă punctele critice, iar $f^{''} (x) = 6 x + 12$ . Avem $f^{''} (- 7) = - 30 < 0$ , deci în $- 7$ graficul varsă apa și acolo este un maxim; și $f^{''} (3) = 30 > 0$ , deci în $3$ graficul ține apa și acolo este un minim. Varianta d) confundă locul în care $f^{''}$ se anulează cu punctele critice: criteriul se aplică în $- 7$ și în $3$ , unde $f^{''}$ nu este nulă.
Pentru funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 20$ , avem $f^{'} (0) = 0$ și $f^{''} (0) = 0$ . Natura punctului $0$ este:
- a) punct de minim local
- b) punct de maxim local
- c) nu se poate decide cu uneltele acestei teme
- d) punct critic care nu este punct de extrem
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) punct critic care nu este punct de extrem

$f^{'} (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} = 2 x^{2} (2 x + 9)$ , iar $f^{''} (x) = 12 x^{2} + 36 x = 12 x (x + 3)$ , deci amândouă se anulează în $0$ . Criteriul derivatei a doua tace, dar semnul derivatei întâi decide: în jurul lui $0$ factorul $2 x + 9$ este pozitiv, iar $2 x^{2}$ este nenegativ, deci $f^{'}$ nu își schimbă semnul acolo. Prin urmare $0$ este punct critic fără să fie de extrem, ceea ce respinge a), b) și c).

Întrebări conexe

Este funcția logaritm convexă sau concavă?

Pentru baza $a > 1$ este concavă: $(lo g_{a} x)^{''} = - \frac{1}{x ^{2} l n a} < 0$ pe $(0, + \infty)$ . Graficul crește, dar tot mai încet, și stă sub tangentele lui. Pentru baza între $0$ și $1$ , semnul se inversează și funcția este convexă.

Cum aflu intervalele de convexitate ale unei funcții de gradul 3?

Calculezi $f^{''}$ și îi studiezi semnul. Pentru $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1$ : $f^{''} (x) = 6 x - 12$ , cu semnul minus la stânga lui $2$ și plus la dreapta. Graficul are forma $\cap$ pe $(- \infty, 2]$ și convexă pe $[2, + \infty)$ , iar $x = 2$ este punct de inflexiune.

Ce poziție are graficul unei funcții convexe față de tangentele lui?

Stă deasupra fiecărei tangente. Pentru $x^{2}$ , tangenta în $1$ este $y = 2 x - 1$ , iar $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} \geq 0$ , deci graficul nu coboară niciodată sub ea. Inegalitatea $x^{2} \geq 2 x - 1$ se obține astfel direct din convexitate.

Ce poziție are o coardă față de graficul unei funcții convexe?

Coarda dintre două puncte ale graficului stă deasupra graficului pe intervalul dintre ele. Pentru $x^{2}$ pe $[0, 2]$ , coarda este $y = 2 x$ , iar $2 x - x^{2} = x (2 - x) \geq 0$ pe acest interval. La o funcție concavă, coarda stă dedesubt.

Este funcția $\frac{1}{x}$ convexă?

Derivata a doua este $\frac{2}{x ^{3}}$ : pozitivă pe $(0, + \infty)$ , unde funcția este convexă, și negativă pe $(- \infty, 0)$ , unde este concavă. Pe domeniul întreg nu se poate spune nici convexă, nici concavă, fiindcă acesta nu este un interval.

Oamenii mai întreabă și: funcție convexă și funcție concavă · ce înseamnă convex și concav · diferența dintre convexitate și concavitate · funcție concavă definiție