Convexitate, concavitate și derivata a doua (M2, științe ale naturii)

Două probe de laborator pierd, în zece ore, aceeași cantitate de substanță: amândouă pornesc de la $100$ de grame și ajung la zero. Și totuși nu se descompun la fel — una pierde la început încet și la sfârșit repede, cealaltă exact invers. Semnul derivatei întâi nu vede nicio deosebire între ele, pentru că amândouă scad. Deosebirea o vede abia derivata a doua. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), ea este instrumentul care descrie forma graficului, nu doar sensul lui, și se dă la Bacalaureatul M2 în prima problemă a Subiectului al III-lea, alături de monotonie și de extreme.

Lecția are două rezultate practice. Primul: din semnul lui $f^{\prime \prime }$ afli pe ce intervale graficul „ține apa" și pe ce intervale „varsă apa". Al doilea: cu aceeași derivată a doua poți decide, dintr-un singur calcul, dacă un punct critic este maxim sau minim — o scurtătură pe care programa o cere pe nume și care se scrie pe hârtie în două rânduri.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști pe grafic o porțiune convexă și una concavă și să le numești corect.
• Vei ști criteriul convexității: legătura dintre semnul lui $f^{\prime \prime }$ pe un interval și forma graficului.
• Vei ști să parcurgi cei patru pași ai determinării intervalelor de convexitate și de concavitate.
• Vei ști de ce în criteriu apar inegalități nestricte și ce se întâmplă când $f^{\prime \prime }$ se anulează izolat.
• Vei ști să aplici criteriul derivatei a doua pentru natura unui punct critic și să spui când el nu decide.
• Vei ști să traduci convexitatea într-un model din fizică, chimie sau biologie: „scade tot mai încet", „crește tot mai repede".

Hai să descoperim împreună

1. Ce deosebește două curbe care coboară la fel de mult?

Cele două probe din deschidere se descriu, pe intervalul $t\in [0,10]$ măsurat în ore, prin masele $A(t)=100-t^2$ și $B(t)=(10-t{)}^2$, amândouă în grame:

Proba $A$ pierde $4$ grame în primele două ore și $36$ în ultimele două: descompunerea ei se accelerează. Proba $B$ pierde $36$ de grame în primele două ore și doar $4$ în ultimele două: descompunerea ei încetinește. Amândouă scad, deci derivata întâi e negativă la amândouă; ceea ce le desparte este cât de repede scad, adică felul în care se schimbă panta.

O funcție este convexă pe un interval atunci când graficul ei se află, pe acel interval, sub orice coardă dusă între două puncte ale sale, și concavă atunci când graficul se află deasupra coardei. Intuiția care se folosește peste tot și pe care merită să o fixezi acum: convexă = „ține apa" ($\cup$), concavă = „varsă apa" ($\cap$). Ai citit deja aceste forme pe grafic, fără derivate, în clasa a X-a, la mărginire, convexitate și concavitate; aici primesc un criteriu de calcul.

Graficul lui $B$ ține apa, cel al lui $A$ varsă apa — și asta se vede și în tabel, nu doar pe desen: la o funcție convexă scăderile succesive pe intervale egale se micșorează în valoare absolută, la una concavă se măresc.

2. Ce hotărăște semnul derivatei a doua?

Panta graficului într-un punct este $f^{\prime }$, iar felul în care se schimbă panta de la un punct la altul este derivata lui $f^{\prime }$, adică derivata a doua. Dacă $f^{\prime \prime }>0$, atunci $f^{\prime }$ este strict crescătoare: panta urcă mereu, tangenta se rotește într-un singur sens, iar curba se curbează în sus. Asta înseamnă „ține apa".

Criteriul convexității. Fie $I$ un interval pe care funcția $f$ admite derivată de ordinul al doilea. Când $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ în fiecare punct al lui $I$, graficul lui $f$ ține apa, adică $f$ este convexă pe $I$; când $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ peste tot pe $I$, graficul varsă apa, adică $f$ este concavă acolo.

Verificăm pe cele două probe din paragraful 1. Pentru $A(t)=100-t^2$ avem $A^{\prime }(t)=-2t$ și $A^{\prime \prime }(t)=-2<0$: funcția este concavă, așa cum arăta și tabelul. Pentru $B(t)=(10-t{)}^2$ avem $B^{\prime }(t)=-2(10-t)=2t-20$ și $B^{\prime \prime }(t)=2>0$: funcția este convexă. Observă că amândouă scad pe $[0,10]$ — deci convexitatea și monotonia sunt două informații independente, citite din două rânduri diferite.

Ca și regula monotoniei, criteriul se admite la profilul științe ale naturii: programa cere recunoașterea convexității din semnul derivatei de ordinul al doilea, nu demonstrația echivalenței. Ipoteza „pe un interval" rămâne însă obligatorie, exact din același motiv ca la monotonie.

3. Cum determini intervalele de convexitate și de concavitate?

Rețeta are patru pași și se scrie în ordinea aceasta:

1. Domeniul, despărțit în intervalele din care e alcătuit.
2. Derivata întâi, simplificată, și apoi derivata a doua, adusă la o formă din care semnul se citește.
3. Zerourile lui $f^{\prime \prime }$ din domeniu, la care se adaugă punctele în care funcția nu e definită.
4. Tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$ și concluzia, scrisă pe câte un interval.

Să o aplicăm pe $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^3+5$. Avem $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x=12x(x-1)$, cu zerourile $0$ și $1$. Probe: $f^{\prime \prime }(-1)=12+12=24>0$, $f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{2}\right)=3-6=-3<0$, $f^{\prime \prime }(2)=48-24=24>0$.

Concluzia: funcția este convexă pe $(-\infty ,0]$, concavă pe $[0,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$. Punctele $0$ și $1$, în care forma graficului se schimbă, au un nume propriu și o lecție proprie — punctele de inflexiune —, așa că aici ne oprim la intervale. La fel, tabelul complet, cu rândurile lui $f^{\prime }$, ale lui $f^{\prime \prime }$ și ale valorilor funcției deodată, se completează la tabelul de variație.

4. De ce criteriul se scrie cu „mai mare sau egal"?

Pentru că anularea derivatei a doua în puncte izolate nu strică nimic. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$. Avem $f^{\prime }(x)=4x^3$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, care se anulează în $0$ și este strict pozitivă în rest. Semnul lui $f^{\prime \prime }$ nu se schimbă, deci funcția rămâne convexă pe tot $\mathbb{R}$: și pe $(-\infty ,0]$, și pe $[0,+\infty )$, iar cele două intervale se lipesc.

Dacă criteriul ar fi fost scris cu inegalitate strictă, ar fi trebuit să spunem că $x^4$ nu e convexă în origine, ceea ce ar fi absurd — graficul ei ține apa și acolo. Regula practică: în tabel contează schimbarea semnului, nu anularea în sine. Un zerou al lui $f^{\prime \prime }$ la care semnul rămâne același nu desparte nimic.

Merită reținut și cazul opus: dacă $f^{\prime \prime }$ se anulează și își schimbă semnul, forma graficului se schimbă efectiv. Acela e subiectul lecției următoare, așa că aici doar îl semnalăm.

5. Cum afli natura unui punct de extrem cu derivata a doua?

Programa cere explicit și o a doua folosință a lui $f^{\prime \prime }$: recunoașterea naturii punctelor de extrem. Ideea e simplă. Dacă într-un punct critic graficul ține apa, punctul e fundul văii; dacă varsă apa, e vârful dealului.

Criteriul derivatei a doua. Fie $x_0$ un punct critic al funcției $f$, adică $f^{\prime }(x_0)=0$, cu $f$ de două ori derivabilă în jurul lui. Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, atunci $x_0$ este punct de minim local. Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, atunci $x_0$ este punct de maxim local. Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, criteriul nu decide nimic.

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-3x^2-36x+1$. Avem $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-36=6(x-3)(x+2)$, deci punctele critice sunt $-2$ și $3$, și $f^{\prime \prime }(x)=12x-6$. Calculăm o singură valoare în fiecare punct: $f^{\prime \prime }(-2)=-30<0$, deci $-2$ este punct de **maxim** local, cu $f(-2)=-16-12+72+1=45$; $f^{\prime \prime }(3)=30>0$, deci $3$ este punct de minim local, cu $f(3)=54-27-108+1=-80$. Nu a fost nevoie de niciun tabel de semn.

Avantajul e limpede — două înlocuiri în loc de trei valori de probă —, dar și limita lui. Când $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ nu se poate spune nimic, și asta nu e o slăbiciune a metodei, ci o realitate: în origine, funcția $x^4$ are minim, funcția $-x^4$ are maxim, iar funcția $x^3$ nu are extrem, deși la toate trei și derivata întâi, și derivata a doua se anulează acolo. În astfel de cazuri te întorci la criteriul derivatei întâi, care decide întotdeauna.

6. Ce spune convexitatea despre un proces real?

O probă scoasă din etuvă se răcește în aer după legea $T(t)=20+80e^{-t}$, unde $T$ e temperatura în grade Celsius și $t$ timpul în ore. Derivatele sunt $T^{\prime }(t)=-80e^{-t}$ și $T^{\prime \prime }(t)=80e^{-t}$. Prima este negativă peste tot: temperatura scade, cum era de așteptat. A doua este pozitivă peste tot: graficul este convex.

Traducerea în limbaj de laborator este chiar propoziția utilă: temperatura scade tot mai încet. La început, când proba e cu mult mai caldă decât aerul din jur, pierderea de căldură e rapidă — $T^{\prime }(0)=-80$ grade Celsius pe oră; după două ore diferența s-a micșorat și ritmul a scăzut la $T^{\prime }(2)=-\frac{80}{e^2}$, adică o scădere de vreo $11$ grade Celsius pe oră. Convexitatea este exact această încetinire, iar temperatura se apropie de $20$ de grade fără să coboare sub ele.

Reține cele patru combinații, pentru că în științe toate patru apar: crește și e convexă (crește tot mai repede), crește și e concavă (crește tot mai încet), scade și e convexă (scade tot mai încet), scade și e concavă (scade tot mai repede). Semnul lui $f^{\prime }$ dă primul cuvânt, semnul lui $f^{\prime \prime }$ îl dă pe al doilea, iar interpretarea unui rezultat aplicativ nu e completă fără amândouă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție de gradul al treilea

Determinați intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x^2+5x-1$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2-24x+5$, iar $f^{\prime \prime }(x)=6x-24$, care se anulează în $x=4$, este negativă pentru $x<4$ și pozitivă pentru $x>4$.

Funcția este concavă pe $(-\infty ,4]$ și convexă pe $[4,+\infty )$. La orice funcție polinomială de gradul al treilea derivata a doua este de gradul întâi, deci tabelul are întotdeauna un singur punct de tăiere: graficul e concav pe o semidreaptă și convex pe cealaltă.

Exemplul 2 — O funcție de gradul al patrulea

Determinați intervalele de convexitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+4x^3+7$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=4x^3+12x^2$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+24x=12x(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $0$. Coeficientul dominant fiind pozitiv, semnele sunt plus, minus, plus; proba: $f^{\prime \prime }(-3)=108-72=36>0$, $f^{\prime \prime }(-1)=12-24=-12<0$, $f^{\prime \prime }(1)=12+24=36>0$.

Funcția este convexă pe $(-\infty ,-2]$, concavă pe $[-2,0]$ și convexă pe $[0,+\infty )$.

Exemplul 3 — O funcție cu logaritm

Determinați intervalele de convexitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2+1\right)$.

Rezolvare. Funcția e definită pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+1>0$ oricare ar fi $x$. Derivând funcția compusă obținem $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$, iar cu regula câtului $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(x^2+1\right)-2x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}.$$ Numitorul este strict pozitiv, deci semnul e al numărătorului $2-2x^2=2(1-x)(1+x)$: negativ în afara intervalului $[-1,1]$, pozitiv înăuntru.

Funcția este concavă pe $(-\infty ,-1]$, convexă pe $[-1,1]$ și concavă pe $[1,+\infty )$.

Exemplul 4 — Un model din chimie, cu unități de măsură

Pe o bandă de cromatografie pe hârtie, lungimea pe care a urcat solventul, în milimetri, la $t$ minute de la începerea experimentului, este $L(t)=24\sqrt{t}$, $t\in (0,25]$. Arătați că frontul înaintează, dar tot mai încet, și calculați viteza de înaintare la $t=9$ minute.

Rezolvare. Derivata întâi este $L^{\prime }(t)=\frac{12}{\sqrt{t}}$, strict pozitivă pe tot intervalul: frontul urcă mereu, cum se cuvine unui solvent absorbit de hârtie. Derivând încă o dată, $$L^{\prime \prime }(t)=-\frac{6}{t\sqrt{t}},$$ expresie strict negativă pentru $t>0$. Funcția este deci concavă, iar traducerea e chiar cerința: frontul înaintează, dar viteza lui scade — cu cât coloana de lichid ridicată e mai lungă, cu atât capilaritatea o trage mai greu.

La $t=9$ minute, $L^{\prime }(9)=\frac{12}{3}=4$, adică 4 milimetri pe minut; la $t=16$ minute, $L^{\prime }(16)=\frac{12}{4}=3$ milimetri pe minut. Cele două numere confirmă concavitatea mai bine decât orice desen. Modelul are sens numai pe intervalul măsurat: în $t=0$ derivata nici nu există, iar dincolo de $25$ de minute banda se termină.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev studiază $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5-5x^4$, și scrie: „Avem $f^{\prime }(x)=5x^4-20x^3=5x^3(x-4)$, deci punctele critice sunt $0$ și $4$. Cum $f^{\prime \prime }(x)=20x^3-60x^2=20x^2(x-3)$ și $f^{\prime \prime }(0)=0$, punctul $0$ nu este punct de extrem." Găsiți greșeala și dați răspunsul corect.

Rezolvare. Calculele sunt corecte; concluzia nu. Când $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, criteriul derivatei a doua nu decide — nu spune nici că punctul e extrem, nici că nu e. Elevul a citit tăcerea criteriului drept răspuns negativ.

Revenim la criteriul derivatei întâi, care decide întotdeauna. Semnul lui $f^{\prime }(x)=5x^3(x-4)$ în jurul lui $0$: pentru $x<0$ avem $x^3<0$ și $x-4<0$, deci produsul e pozitiv; pentru $0<x<4$ avem $x^3>0$ și $x-4<0$, deci produsul e negativ. Trecerea e de la plus la minus, așa că $0$ este punct de maxim local, cu valoarea $f(0)=0$.

Pentru celălalt punct critic criteriul derivatei a doua funcționează: $f^{\prime \prime }(4)=20\cdot 16\cdot 1=320>0$, deci $4$ este punct de minim local, cu $f(4)=1024-1280=-256$. Morala: derivata a doua e o scurtătură, nu un înlocuitor.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x^3+6x^2+2$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x$, $x\in \mathbb{R}$. b) Arătați că funcția $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$. c) Arătați că $f(x)\ge 2$ pentru orice număr real $x$.

Rezolvare.

a) Derivăm termen cu termen: $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x$.

b) Derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x+12=12\left(x^2-2x+1\right)=12(x-1{)}^2$. Fiind un pătrat înmulțit cu un număr pozitiv, $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x$ real, iar $\mathbb{R}$ este interval; criteriul convexității dă deci: $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$. Anularea izolată din $x=1$ nu schimbă concluzia.

c) Scriem $f^{\prime }(x)=4x\left(x^2-3x+3\right)$. Trinomul din paranteză are $\Delta =9-12=-3<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pentru orice $x$; prin urmare semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x$, iar singurul punct critic este $0$. Cum $f^{\prime \prime }(0)=12>0$, criteriul derivatei a doua spune că $0$ este punct de minim; funcția scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, deci $f(x)\ge f(0)=2$ pentru orice $x$ real.

De la examen la lecție. Structura celor trei cerințe este cea din modelul oficial al probei M_șt-nat: verificarea unei formule, o proprietate a funcției, o inegalitate. Subpunctul c) arată de ce merită să știi amândouă criteriile: punctul critic se găsește cu $f^{\prime }$, natura lui se citește dintr-o singură valoare a lui $f^{\prime \prime }$, iar inegalitatea rezultă comparând orice valoare a funcției cu minimul ei.

Să exersăm

Ordinea de redactare: domeniul, $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$ adusă la formă factorizată, zerourile ei, tabelul de semn, concluzia în cuvinte.

1. Determină intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x^2+4$.

2. Determină intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+15x^2-x+2$.

3. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+e^x$, este convexă pe $\mathbb{R}$.

4. Arată că funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3\ln x$, este convexă pe domeniul ei.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^6+13$, are $f^{\prime \prime }(0)=0$, deci $0$ nu este punct de extrem al ei."

6. Determină intervalele de convexitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^2+8$.

7. Studiază convexitatea funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{x-1}$, pe fiecare interval al domeniului ei.

8. Determină intervalele de convexitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)e^x$.

9. Determină intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-8x^3+18x^2$.

10. Folosind derivata a doua, precizează natura punctelor critice ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2-24x$.

11. (Problemă aplicată.) Masa unei culturi de alge, în grame, la $t$ zile de la însămânțare, este $m(t)=t^3-9t^2+30t+20$, $t\in [0,8]$. Arată că masa crește pe tot intervalul, apoi determină perioada în care creșterea încetinește și pe cea în care creșterea se accelerează.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+2x+1$. a) Arată că $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determină intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+2x-1\right)e^x$. a) Arată că $f^{\prime \prime }(x)=\left(x^2+6x+5\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determină intervalele de convexitate ale funcției $f$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-27x+4$. a) Arată că $f^{\prime \prime }(x)=6x$, $x\in \mathbb{R}$. b) Folosind semnul derivatei a doua, precizează natura punctelor critice $-3$ și $3$.

15. Dă un exemplu de funcție pentru care $f^{\prime \prime }$ se anulează într-un punct și forma graficului se schimbă acolo, și un exemplu de funcție pentru care $f^{\prime \prime }$ se anulează fără ca forma să se schimbe. Explică, în două rânduri, ce le deosebește.

16. Determină numerele reale $a$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+a{x}^3+6x^2$, este convexă pe $\mathbb{R}$.

17. Explică, în trei-patru rânduri, diferența dintre „funcția crește" și „funcția este convexă", dând câte un exemplu de funcție care crește și e concavă și de una care scade și e convexă.

18. (Provocare.) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{2x}-6x$, este convexă pe $\mathbb{R}$, apoi determină, cu ajutorul derivatei a doua, natura singurului ei punct critic.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-18x$ și $f^{\prime \prime }(x)=6x-18$, cu zeroul $3$; semnul trece de la minus la plus. Funcția este concavă pe $(-\infty ,3]$ și convexă pe $[3,+\infty )$.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2+30x-1$ și $f^{\prime \prime }(x)=6x+30$, cu zeroul $-5$. Funcția este concavă pe $(-\infty ,-5]$ și convexă pe $[-5,+\infty )$. Termenul $-x$ nu influențează nimic: derivata a doua a unei funcții de gradul întâi este nulă.

3. $f^{\prime }(x)=2x+e^x$ și $f^{\prime \prime }(x)=2+e^x$. Cum $e^x>0$ pentru orice $x$ real, avem $f^{\prime \prime }(x)>2>0$, deci funcția este convexă pe tot $\mathbb{R}$.

4. $f^{\prime }(x)=1-\frac{3}{x}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{3}{x^2}$, strict pozitivă pentru orice $x$ din domeniu. Prin urmare funcția este convexă pe $(0,+\infty )$, care este interval.

5. Fals. Avem $f^{\prime }(x)=6x^5$ și $f^{\prime \prime }(x)=30x^4$, deci într-adevăr $f^{\prime \prime }(0)=0$ — dar acolo criteriul derivatei a doua nu decide, iar tăcerea lui nu este un răspuns negativ. Natura punctului se stabilește cu semnul derivatei întâi: $6x^5$ este negativ pentru $x<0$ și pozitiv pentru $x>0$, deci semnul trece de la minus la plus și $0$ este punct de minim, cu valoarea $f(0)=13$.

6. $f^{\prime }(x)=4x^3-12x$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$, cu zerourile $-1$ și $1$; semnele sunt plus, minus, plus. Funcția este convexă pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[1,+\infty )$, concavă pe $[-1,1]$.

7. $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{(x-1{)}^3}$. Semnul este al lui $(x-1{)}^3$, adică al lui $x-1$: negativ înainte de $1$, pozitiv după. În dreptul lui $1$ se scrie bara $|$, pentru că funcția nu e definită acolo. Concluzia are două propoziții separate: funcția este concavă pe $(-\infty ,1)$ și convexă pe $(1,+\infty )$; nu se scrie niciodată „pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$".

8. $f^{\prime }(x)=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$ și $f^{\prime \prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$. Cum $e^x>0$, semnul este al lui $x+1$. Funcția este concavă pe $(-\infty ,-1]$ și convexă pe $[-1,+\infty )$.

9. $f^{\prime }(x)=4x^3-24x^2+36x$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-48x+36=12(x-1)(x-3)$, cu zerourile $1$ și $3$; semnele sunt plus, minus, plus. Funcția este convexă pe $(-\infty ,1]$ și pe $[3,+\infty )$, concavă pe $[1,3]$.

10. $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-24=3(x+4)(x-2)$, deci punctele critice sunt $-4$ și $2$; $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$. Avem $f^{\prime \prime }(-4)=-18<0$, deci $-4$ este punct de **maxim** local, cu $f(-4)=-64+48+96=80$; și $f^{\prime \prime }(2)=18>0$, deci $2$ este punct de minim local, cu $f(2)=8+12-48=-28$.

11. $m^{\prime }(t)=3t^2-18t+30$, un trinom cu $\Delta =324-360=-36<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci strict pozitiv: masa crește pe tot intervalul, de la $m(0)=20$ la $m(8)=512-576+240+20=196$ de grame. Derivata a doua este $m^{\prime \prime }(t)=6t-18$, negativă pe $[0,3)$ și pozitivă pe $(3,8]$: în primele trei zile funcția e concavă, adică creșterea încetinește, iar după a treia zi e convexă, adică creșterea se accelerează. Viteza de creștere se măsoară în grame pe zi, iar cea mai mică valoare a ei este $m^{\prime }(3)=27-54+30=3$ grame pe zi.

12. a) $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+2$, deci $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$. b) Zeroul lui $f^{\prime \prime }$ este $2$, cu semn minus înainte și plus după: funcția este concavă pe $(-\infty ,2]$ și convexă pe $[2,+\infty )$.

13. a) $f^{\prime }(x)=(2x+2)e^x+\left(x^2+2x-1\right)e^x=\left(x^2+4x+1\right)e^x$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=(2x+4)e^x+\left(x^2+4x+1\right)e^x=\left(x^2+6x+5\right)e^x$. b) Cum $e^x>0$, semnul este al trinomului $x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$: plus, minus, plus. Funcția este convexă pe $(-\infty ,-5]$ și pe $[-1,+\infty )$, concavă pe $[-5,-1]$.

14. a) $f^{\prime }(x)=3x^2-27$, deci $f^{\prime \prime }(x)=6x$. b) Punctele critice sunt soluțiile ecuației $3x^2-27=0$, adică $-3$ și $3$. Avem $f^{\prime \prime }(-3)=-18<0$, deci $-3$ este punct de **maxim** local, cu $f(-3)=-27+81+4=58$; și $f^{\prime \prime }(3)=18>0$, deci $3$ este punct de minim local, cu $f(3)=27-81+4=-50$.

15. Pentru prima cerință merge chiar funcția din Exemplul 1: derivata ei a doua, $6x-24$, se anulează în $4$ și își schimbă semnul acolo, deci graficul trece din concav în convex. Pentru a doua merge funcția din paragraful 4: derivata ei a doua se anulează în origine, dar rămâne pozitivă de ambele părți, iar graficul rămâne convex. Le deosebește schimbarea semnului lui $f^{\prime \prime }$, nu anularea lui; punctele în care semnul chiar se schimbă se numesc puncte de inflexiune și au lecția lor.

16. $f^{\prime }(x)=4x^3+3a{x}^2+12x$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+6ax+12$. Condiția de convexitate pe $\mathbb{R}$ este $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x$ real; coeficientul dominant fiind pozitiv, ea se scrie cu discriminantul: $\Delta =36a^2-576\le 0$, adică $a^2\le 16$, deci $a\in [-4,4]$. La capete derivata a doua are un zerou dublu, deci nu își schimbă semnul, iar convexitatea se păstrează.

17. „Crește" răspunde la întrebarea „încotro merg valorile?" și se citește din semnul lui $f^{\prime }$; „este convexă" răspunde la „cum se curbează graficul?" și se citește din semnul lui $f^{\prime \prime }$. Cele două sunt independente, iar toate combinațiile există. Funcția $L(t)=24\sqrt{t}$ din Exemplul 4 crește și este concavă — frontul de solvent urcă, dar tot mai încet. Funcția $T(t)=20+80e^{-t}$ din paragraful 6 scade și este convexă — temperatura coboară, dar tot mai încet.

18. $f^{\prime }(x)=2e^{2x}-6$, iar $f^{\prime \prime }(x)=4e^{2x}$, strict pozitivă pentru orice $x$ real: funcția este convexă pe $\mathbb{R}$. Punctul critic se obține din $2e^{2x}-6=0$, adică $e^{2x}=3$, deci $x=\frac{\ln 3}{2}$ — singura soluție, fiindcă exponențiala ia fiecare valoare pozitivă o singură dată. Cum $f^{\prime \prime }\left(\frac{\ln 3}{2}\right)=4\cdot 3=12>0$, criteriul derivatei a doua arată că acesta este punct de minim, cu valoarea $3-3\ln 3$. De altfel, la o funcție convexă pe un interval orice punct critic este punct de minim.

De reținut

• Criteriul convexității: pe un interval $I$ pe care $f$ e de două ori derivabilă, $f^{\prime \prime }\ge 0$ înseamnă grafic convex („ține apa", $\cup$), iar $f^{\prime \prime }\le 0$ înseamnă grafic concav („varsă apa", $\cap$).
• Rețeta are patru pași: domeniul, $f^{\prime }$ și apoi $f^{\prime \prime }$ factorizată, zerourile lui $f^{\prime \prime }$ împreună cu punctele excluse, tabelul de semn cu concluzia pe câte un interval.
• Inegalitățile sunt nestricte: o anulare izolată a lui $f^{\prime \prime }$ nu strică nimic, pentru că ceea ce desparte intervalele e schimbarea semnului, nu anularea.
• Criteriul derivatei a doua judecă un punct critic dintr-un singur calcul: $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ dă minim, $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ dă maxim, iar $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ nu dă nimic.
• Monotonia și convexitatea sunt informații independente: o funcție poate să scadă fiind convexă sau să crească fiind concavă, iar interpretarea aplicativă are nevoie de amândouă.

Greșeli frecvente

• Tragi o concluzie când $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. Tăcerea criteriului nu e un răspuns negativ: la $f(x)=x^5-5x^4$ avem $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $0$ este totuși punct de maxim, cum arată semnul derivatei întâi.
• Cauți punctele critice rezolvând $f^{\prime \prime }(x)=0$. Candidații la extrem vin din ecuația $f^{\prime }(x)=0$; derivata a doua nu produce candidați, ci doar le judecă natura celor găsiți deja.
• Treci la $f^{\prime \prime }$ fără să simplifici $f^{\prime }$. La funcțiile raționale și la cele cu exponențială, o derivată întâi lăsată nedesfăcută se derivează greșit aproape sigur; scrie $f^{\prime }$ pe un rând, simplificat, abia apoi derivează din nou.
• Decizi convexitatea din două valori ale funcției. Două valori arată doar dacă funcția a urcat sau a coborât între ele; forma graficului cere trei puncte — valoarea din mijloc comparată cu media celorlalte două — sau, mai simplu, semnul lui $f^{\prime \prime }$.
• Extinzi concluzia în afara modelului. La $L(t)=24\sqrt{t}$, concavitatea are sens pe intervalul în care experimentul chiar se petrece; dincolo de el formula nu mai descrie nimic, iar o afirmație despre „încetinire" nu mai are acoperire experimentală.

Aplică acasă

1. Lănțișorul dintre două degete. Ține un lănțișor sau un șiret de capete, lăsat să atârne liber, și fotografiază-l pe un fundal cu pătrățele. Pune o riglă între cele două capete: vei vedea că firul rămâne tot timpul sub riglă. Ai verificat, pe un obiect real, definiția convexității — graficul sub coardă — fără să calculezi nicio derivată.

2. Două pahare, același robinet. Toarnă apă cu debit constant, mai întâi într-un pahar cilindric, apoi într-unul conic cu vârful în jos, și măsoară de fiecare dată înălțimea apei din zece în zece secunde. La cilindru înălțimea crește în trepte egale, la con crește tot mai încet. Scrie pentru fiecare ce semn are derivata a doua a înălțimii și explică de ce forma vasului decide răspunsul.

3. Titlurile din știri. Caută două titluri: unul care spune că o creștere „a încetinit" și unul care spune că o creștere „s-a accelerat". Pentru fiecare, desenează forma curbei despre care e vorba și scrie semnul lui $f^{\prime }$ și al lui $f^{\prime \prime }$. Vei observa că amândouă descriu funcții crescătoare, deci deosebirea dintre ele stă exclusiv în derivata a doua.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" — „Convexitatea/concavitatea funcțiilor pe un interval: … recunoașterea naturii punctelor de extrem utilizând semnul derivatei de ordinul al doilea". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit, la „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", rolul derivatelor de ordinul I și de ordinul al II-lea, cu concavitatea și convexitatea numite pe nume; tema apare la Subiectul al III-lea. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, prima problemă a Subiectului al III-lea cere derivata, o limită și o inegalitate, fără o cerință de convexitate — semn că tema se dă, dar nu la fiecare variantă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Deosebirea de traseu față de matematică-informatică: acolo convexitatea este mai întâi definită riguros, cu inegalitatea dintre valoarea funcției într-o combinație a două puncte și combinația valorilor, iar criteriul cu derivata a doua se demonstrează. Programa de științe ale naturii cere recunoașterea proprietății din semnul derivatei a doua, așa că aici definiția se dă geometric — graficul față de coardă — și criteriul se admite. În schimb, profilul științe ale naturii are o cerință pe care traseul de mate-info o tratează separat: folosirea derivatei a doua pentru natura punctelor de extrem, adică scurtătura din paragraful 5.

Lecția verifică patru lucruri: (1) derivata întâi e scrisă și simplificată înainte de a doua; (2) semnul lui $f^{\prime \prime }$ e citit pe intervale, nu pe reuniuni; (3) elevul știe că $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ înseamnă „criteriul nu decide"; (4) interpretarea aplicativă folosește amândouă derivatele. Trei întrebări de control, de pus oral: „Ce rând al tabelului îți spune dacă funcția crește și care îți spune cum se curbează?"; „Ce faci dacă derivata a doua se anulează exact în punctul critic?"; „Dă-mi un exemplu de mărime care scade, dar din ce în ce mai încet". Semne că elevul a înțeles: nu confundă cele două rânduri, nu declară automat o schimbare de formă la fiecare zerou al lui $f^{\prime \prime }$ și traduce rezultatul în cuvintele problemei.

Întrebări frecvente

Cum se citește convexitatea de pe graficul unei funcții? Se privește forma curbei între două puncte: dacă graficul rămâne sub coarda care le unește, porțiunea este convexă și „ține apa"; dacă rămâne deasupra coardei, este concavă și „varsă apa". Pe un desen fără gradații se poate folosi o riglă așezată între două puncte ale curbei, exact ca la activitatea cu lănțișorul.

Ce diferență este între convexitate la M2 și la mate-info (M1)? La profilul științe ale naturii convexitatea se definește geometric și se recunoaște din semnul derivatei a doua, iar programa cere în plus folosirea lui $f^{\prime \prime }$ pentru natura punctelor de extrem. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: convexitatea și derivata a doua pornește de la definiția cu inegalitatea dintre valori și demonstrează criteriul, folosind teoreme pe care programa de științe ale naturii nu le conține.

La ce subiect apare derivata a doua la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, în prima problemă, cea construită pe studiul unei funcții cu ajutorul derivatelor. Cerințele obișnuite sunt verificarea unei formule a lui $f^{\prime \prime }$, determinarea intervalelor de convexitate sau stabilirea naturii unui punct critic. Fiecare subpunct valorează cinci puncte, iar calculul derivatei și concluzia se scriu separat.

Cum aflu natura unui punct de extrem folosind derivata a doua? Rezolvi întâi $f^{\prime }(x)=0$ și găsești punctele critice, apoi calculezi $f^{\prime \prime }$ în fiecare dintre ele. O valoare pozitivă înseamnă punct de minim, una negativă înseamnă punct de maxim. Metoda cere două înlocuiri, nu un tabel întreg, și e cea mai rapidă când ai deja derivata a doua calculată pentru convexitate.

Ce fac dacă derivata a doua se anulează chiar în punctul critic? Criteriul nu decide, deci te întorci la semnul derivatei întâi de o parte și de alta a punctului. Cele trei funcții care arată de ce e obligatoriu așa sunt $x^4$, care are minim în origine, $-x^4$, care are maxim, și $x^3$, care nu are extrem — toate trei cu derivata întâi și a doua nule acolo.

Trebuie să demonstrez criteriul convexității la examen? Nu. Programa de științe ale naturii cere recunoașterea convexității și a concavității pe baza semnului derivatei de ordinul al doilea, nu demonstrarea echivalenței. În rezolvare se scrie pe scurt că derivata a doua este pozitivă pe interval și se trage concluzia, apoi se trece la cerința următoare.

Convexitatea are legătură cu monotonia? Nu, sunt proprietăți independente, citite din două derivate diferite. O funcție poate să crească fiind convexă sau concavă, și poate să scadă fiind convexă sau concavă — toate cele patru combinații apar în probleme din științe. Semnul lui $f^{\prime }$ spune încotro merg valorile, semnul lui $f^{\prime \prime }$ spune cum se schimbă ritmul acestei mișcări.