Cum aflu un invers modulo un număr prim?
Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Corpul
Cauți clasa care, înmulțită cu cea dată, dă . În , inversul lui este , fiindcă . În , inversul lui este , fiindcă dă restul . Pentru prim, orice clasă nenulă are exact un invers, iar pe tabla înmulțirii el se vede ca locul unde apare pe linia clasei.
A opta cerință. Un corp e un inel cu în care fiecare element nenul își găsește un invers: pentru există cu . Elementului nul nu i se cere invers și nici nu l-ar putea avea, fiindcă orice produs cu el rămâne nul.
Exemplele cerute. Corpuri sunt , , și clasele de resturi luate față de un număr prim. e inel, dar nu corp: singurele numere întregi cu invers întreg sunt și . Nu sunt corpuri nici inelele de matrice (o matrice nenulă cu determinantul nul nu are inversă), nici inelul funcțiilor reale (o funcție care se anulează undeva nu are inversă).
Regula modulului. e corp exact când e număr prim. Dacă cu factori cuprinși strict între și , atunci cu factori nenuli, iar un invers al lui ar duce la . Într-un tabel finit inversul se vede cu ochiul: clasa îl are dacă pe linia ei se ivește elementul unitate.
Asimetria. Pentru „este corp” verifici toate elementele; pentru „nu este corp” ajunge unul singur, cu produsele lui scrise. Confuzia „impar, deci prim” costă cel mai des.
De reținut
- inversul lui este clasa cu
- în , cu prim, orice clasă nenulă are invers
- împărțirea într-un corp înseamnă înmulțirea cu inversul
Greșeala tipică
Se caută inversul lui în ca ; în clasele de resturi nu există fracții, iar inversul este clasa cu produsul , adică .
Exerciții din această mini-lecție
Care dintre structurile de mai jos este corp?
- a)
- b)
- c) mulțimea numerelor întregi pare
- d) inelul matricelor pătratice de tipul cu elemente reale
Vezi răspunsul
Răspuns corect: a)
Numărul este prim, deci orice clasă nenulă din are invers. La b), nu e prim: cu factori nenuli. La c) lipsește chiar elementul unitate, fiindcă nu e par. La d), matricea e nenulă și are determinantul nul, deci nu e inversabilă.
În corpul , inversul clasei este:
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: c)
Căutăm clasa al cărei produs cu dă : , deci . Pentru celelalte: dă ; dă ; dă — niciunul nu e elementul unitate.
În , clasa nu are invers. Argumentul corect este:
- a) , iar este o clasă nenulă; dacă ar avea inversul , înmulțind egalitatea cu el am obține , fals.
- b) este clasa nulă, iar clasa nulă nu are invers.
- c) este număr impar, deci nu este corp.
- d) , deci este element unitate și nu are invers.
Vezi răspunsul
Răspuns corect: a) , iar este o clasă nenulă; dacă ar avea inversul , înmulțind egalitatea cu el am obține , fals.
Argumentul din a) e tocmai demonstrația din lecție, scrisă pe un caz. Varianta b) e falsă: . Varianta c) confundă „impar” cu „prim”: are modul impar și este corp. Varianta d) e falsă de două ori: , deci , iar elementul unitate este .
Întrebări conexe
Cum rezolv ecuația în ?
Înmulțești ambii membri cu inversul lui , adică : . Verificare: , care dă restul la împărțirea cu . Același procedeu rezolvă orice ecuație cu nenul.
Care clase sunt propriul lor invers în ?
Cele pentru care dă restul : și , fiindcă . Clasa este, de fapt, , iar , ca la numere. În orice cu prim, doar și sunt propriul lor invers.
Cum împart două clase în ?
Împărțirea înseamnă înmulțirea cu inversul. Pentru , inversul lui este , fiindcă dă restul , deci rezultatul este . Verificare: . În clase de resturi împărțirea nu produce fracții, ci tot o clasă.
Cum rezolv un sistem liniar în ?
Ca la numere, dar cu inverse în loc de fracții. Din și , prin adunare, ; înmulțind cu inversul lui , care este , rezultă și apoi .
De ce are ecuația o singură soluție într-un corp, pentru nenul?
Pentru că are invers, iar înmulțirea cu el dă , fără nicio altă posibilitate. În , are soluția ; verificare: dă restul .
Oamenii mai întreabă și: inversul unei clase de resturi · inversul lui 3 modulo 7 · clase inversabile modulo p · cum găsesc inversul în Zp