Corpul: corpuri numerice și clase modulo p (M2, științe ale naturii)

O soluție de laborator are concentrația de $80$ de miligrame pe mililitru și trebuie diluată de patru ori. Gestul e banal: înmulțești cu $\frac{1}{4}$ și obții $20$. Dacă vrei să te întorci, înmulțești cu $4$ și ai din nou $80$ — pentru că $4$ și $\frac{1}{4}$ se anulează reciproc. Toată aritmetica pe care o faci fără să te gândești, de la simplificări până la rezolvarea ecuațiilor, se sprijină pe existența acestui partener: inversul. Există însă inele în care el lipsește: în numerele întregi nu poți împărți la $4$ și în clasele de resturi modulo $6$ sunt clase nenule care nu se pot „desface". Inelele în care lipsa aceasta nu apare niciodată — adică acelea în care toate elementele nenule își au inversul — poartă un nume propriu: corp. Suntem la clasa a XII-a, la științe ale naturii (M2), iar tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Și această lecție ține de suplimentul pentru Bacalaureatul M2: tema figurează în programa de examen din 2014, după care se dau sesiunile 2027, 2028 și 2029, iar programa de științe ale naturii din 2025 nu o mai cuprinde la clasa a XII-a. Ea încheie unitatea deschisă de Inelul: definiție și exemple și continuată de Inele de matrice și inele de funcții reale: adaugă listei celor șapte condiții pe a opta, iar rezultatul e o structură în care algebra funcționează exact ca în școala generală.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția corpului și să spui ce anume se adaugă listei condițiilor de inel.
• Vei ști care sunt corpurile numerice cerute de programa de examen și de ce $\mathbb{Z}$ nu este printre ele.
• Vei ști să citești inversele din tabla înmulțirii în ${\mathbb{Z}}_5$ și în ${\mathbb{Z}}_7$.
• Vei ști să arăți că ${\mathbb{Z}}_6$ nu este corp, găsind o clasă fără invers.
• Vei ști să folosești regula: ${\mathbb{Z}}_n$ este corp exact când $n$ este număr prim, și să o justifici în ambele sensuri.
• Vei ști să recunoști inele care nu sunt corpuri printre matrice și printre funcții.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se adaugă listei ca să obții un corp?

Un inel are cele șapte condiții din lecția a prima a unității: adunarea formează grup comutativ, înmulțirea e asociativă și are element unitate, iar cele două operații sunt legate prin distributivitate. Nicăieri nu se cere însă ca elementele nenule să aibă invers — și tocmai de aceea în $\mathbb{Z}$ nu se poate împărți, iar în ${\mathbb{Z}}_8$ nu se poate simplifica.

Corpul este un inel $(K,+,\cdot )$ în care elementul unitate este diferit de elementul nul, $1\ne 0$, și în care orice element diferit de elementul nul are invers, adică pentru orice $x\in K$ cu $x\ne 0$ există $x^{-1}\in K$ astfel încât $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1$.

Două observații scurte, o dată pentru toată lecția. Întâi: elementul nul nu are invers în niciun corp, și nici nu i se cere — un produs în care intră $0$ dă mereu $0$, deci nu poate da $1$. Apoi: toate corpurile care apar la profilul științe ale naturii sunt comutative, adică au și înmulțirea comutativă; nu vom mai repeta cuvântul, dar el se subînțelege. Condiția $1\ne 0$ înlătură doar cazul lipsit de interes al unui inel cu un singur element.

2. Care sunt corpurile de numere cerute de programa de examen?

Programa numește trei: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$. Toate trei sunt inele, lucru știut din prima lecție a unității, iar condiția adăugată se verifică imediat: inversul fracției $\frac{p}{q}\ne 0$ este $\frac{q}{p}$; inversul numărului real $x\ne 0$ este $\frac{1}{x}$; iar inversul unui număr complex nenul se obține prin amplificare cu conjugatul, gest pe care îl faci de la Raționalizarea numitorilor și expresia conjugată.

$\mathbb{Z}$, în schimb, nu este corp, deși este inel. Singurele numere întregi al căror invers este tot întreg sunt $1$ și $-1$; pentru $4$ ar trebui ca $\frac{1}{4}$ să fie întreg, ceea ce nu se întâmplă. Reține deosebirea, pentru că programa de examen din 2014 cere, la elementele de algebră, și inelele, și corpurile: $\mathbb{Z}$ e inel, dar nu corp; $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sunt corpuri. Un singur element nenul fără invers strică totul — și, invers, ca să arăți că o structură este corp trebuie să găsești inversul fiecărui element nenul.

3. Cum se văd inversele în tabla înmulțirii din ${\mathbb{Z}}_5$?

Pe o mulțime finită întrebarea „are invers?" are un răspuns care se vede: pe linia elementului trebuie să apară elementul unitate. Scriem tabla înmulțirii în ${\mathbb{Z}}_5$:

Pe fiecare dintre liniile claselor nenule apare $\hat{1}$, exact o dată, iar coloana în care apare arată inversul: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{2}$ și ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$. Cum ${\mathbb{Z}}_5$ este inel comutativ cu $\hat{1}\ne \hat{0}$ și fiecare clasă nenulă are invers, rezultă că $({\mathbb{Z}}_5,+,\cdot )$ este corp.

Mai observă un lucru care va conta: pe fiecare linie nenulă apar toate clasele, fiecare o singură dată — liniile sunt rearanjări ale antetului. De aceea $\hat{1}$ nu are cum să lipsească.

4. Se întâmplă la fel în ${\mathbb{Z}}_7$?

Scriem și tabla înmulțirii în ${\mathbb{Z}}_7$, ca să vedem dacă tiparul se repetă:

Se repetă întocmai: pe fiecare dintre cele șase linii nenule apare $\hat{1}$, deci fiecare clasă are invers — ${\hat{2}}^{-1}=\hat{4}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{2}$, ${\hat{5}}^{-1}=\hat{3}$, iar $\hat{1}$ și $\hat{6}$ sunt propriile lor inverse. Prin urmare $({\mathbb{Z}}_7,+,\cdot )$ este corp. Observă și aici că liniile nenule sunt rearanjări ale antetului, exact ca la ${\mathbb{Z}}_5$.

5. De ce nu este ${\mathbb{Z}}_6$ corp?

Revenim la tabla din lecția Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, acum cu înmulțirea. Nu ne trebuie toată tabla, ci o singură linie, cea a clasei $\hat{4}$, calculată direct pe reprezentanți: $$\hat{4}\cdot \hat{0}=\hat{0},\hat{4}\cdot \hat{1}=\hat{4},\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{8}=\hat{2},\hat{4}\cdot \hat{3}=\widehat{12}=\hat{0},\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{4},\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{2}.$$ Pe linia lui $\hat{4}$ apar numai clasele $\hat{0}$, $\hat{4}$ și $\hat{2}$ — $\hat{1}$ nu apare nicăieri. Prin urmare $\hat{4}$ nu are invers în ${\mathbb{Z}}_6$, deși este o clasă nenulă, iar $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$ nu este corp. E tot inel, ca orice ${\mathbb{Z}}_n$; îi lipsește însă condiția adăugată.

Același lucru se întâmplase deja în ${\mathbb{Z}}_8$, fără să-i fi dat un nume: pe linia lui $\hat{2}$ din tabla scrisă la prima lecție a unității apar numai clasele pare, deci nici acolo $\hat{1}$ nu se ivește și nici $\hat{2}$ nu are invers. Reține forma pe care o ia răspunsul: pentru „nu e corp" ajunge o singură clasă nenulă fără invers, arătată cu toate produsele ei scrise.

6. Când este ${\mathbb{Z}}_n$ corp?

Compară cele patru cazuri: ${\mathbb{Z}}_5$ și ${\mathbb{Z}}_7$ sunt corpuri, ${\mathbb{Z}}_6$ și ${\mathbb{Z}}_8$ nu. Deosebirea nu vine din numărul de elemente, ci din felul numărului $n$: $5$ și $7$ sunt prime, $6=2\cdot 3$ și $8=2\cdot 4$ nu sunt — vezi Numere prime și numere compuse.

Regula. Fie $n\ge 2$. Dacă numărul $n$ este prim, inelul ${\mathbb{Z}}_n$ este corp; dacă $n$ este compus, nu este.

Iată de ce, în ambele sensuri, cu argumente scurte.

Dacă $n$ nu este prim, ${\mathbb{Z}}_n$ nu este corp. Scriem $n=ab$, cu $1<a<n$ și $1<b<n$. Atunci $\hat{a}$ și $\hat{b}$ sunt clase nenule, iar $\hat{a}\cdot \hat{b}=\hat{n}=\hat{0}$. Dacă $\hat{a}$ ar avea un invers $\hat{c}$, am înmulți cu el egalitatea de mai sus și am obține $\hat{b}=\hat{c}\cdot (\hat{a}\cdot \hat{b})=\hat{c}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, ceea ce este fals. Deci $\hat{a}$ nu are invers.

Dacă $p$ este prim, ${\mathbb{Z}}_p$ este corp. Fie $\hat{a}$ o clasă nenulă, adică $p$ nu divide $a$. Ne uităm la cele $p-1$ produse $\hat{a}\cdot \hat{1}$, $\hat{a}\cdot \hat{2}$, …, $\hat{a}\cdot \widehat{p-1}$. Niciunul nu este $\hat{0}$: dacă $p$ ar divide $ak$, cum $p$ e prim și nu divide $a$, ar trebui să dividă $k$, imposibil pentru $1\le k\le p-1$. Și oricare două sunt diferite: dacă $\hat{a}\hat{k}=\hat{a}\hat{j}$, atunci $p$ divide $a(k-j)$, deci divide $k-j$, ceea ce pentru două numere între $1$ și $p-1$ înseamnă $k=j$. Avem așadar $p-1$ clase nenule, distincte două câte două — adică toate clasele nenule, printre care și $\hat{1}$. Există deci un $k$ cu $\hat{a}\hat{k}=\hat{1}$, adică $\hat{a}$ are invers.

Aceasta e și explicația observației de la §3 și §4: la modul prim, fiecare linie nenulă a tablei este o rearanjare a antetului.

7. Care inele cunoscute nu sunt corpuri?

Merită trecute în revistă, pentru că întrebarea „e corp?" are cel mai des răspunsul „nu". Inelul matricelor ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ nu este corp: matricea $\left(\begin{array}{cc}6& 9\\ 2& 3\end{array}\right)$ este nenulă, dar determinantul ei este $18-18=0$, deci nu este inversabilă — iar la matrice, inversabilitatea cere determinant nenul, cum se știe din clasa a XI-a. Nici inelul funcțiilor reale nu este corp: funcția $f(x)=3x-6$ nu este funcția nulă, dar nu are inversă, fiindcă o inversă ar trebui să dea $f(x)g(x)=1$ în orice punct, iar în $x=2$ membrul stâng este $0$.

Rămâne, pentru examen, o listă scurtă de reținut: corpuri sunt $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim; nu sunt corpuri $\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus, inelele de matrice și inelele de funcții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Inverse în corpurile de numere

Determină inversul numărului $-\frac{3}{5}$ în $\mathbb{Q}$ și inversul numărului $\sqrt{7}$ în $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Inversul unei fracții se obține răsturnând-o, cu tot cu semn: inversul lui $-\frac{3}{5}$ este $-\frac{5}{3}$, iar proba este imediată, $\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)=1$. Pentru $\sqrt{7}$, inversul este $\frac{1}{\sqrt{7}}$, pe care îl scriem fără radical la numitor: $\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$. Proba: $\sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{7}{7}=1$. Amândouă inversele sunt în aceeași mulțime cu numerele de plecare — de aceea $\mathbb{Q}$ și $\mathbb{R}$ sunt corpuri.

Exemplul 2 — ${\mathbb{Z}}_9$ nu este corp

Arată că ${\mathbb{Z}}_9$ nu este corp.

Rezolvare. Căutăm o clasă nenulă fără invers și o luăm pe $\hat{3}$. Produsele ei cu toate clasele sunt $\hat{3}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{1}=\hat{3}$, $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{6}$, $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{3}$, $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{6}$, iar de aici tiparul se repetă: apar numai clasele $\hat{0}$, $\hat{3}$ și $\hat{6}$. Cum $\hat{1}$ nu apare, $\hat{3}$ nu are invers, deci ${\mathbb{Z}}_9$ nu este corp. Se vedea și din regulă: $9=3\cdot 3$ nu este număr prim.

Exemplul 3 — O ecuație într-un corp finit

Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ ecuația $\hat{4}x=\hat{3}$.

Rezolvare. Fiindcă ${\mathbb{Z}}_7$ este corp, coeficientul $\hat{4}$ are invers, iar din tabla de mai sus citim ${\hat{4}}^{-1}=\hat{2}$. Înmulțim ambii membri cu $\hat{2}$: $$\hat{2}\cdot \hat{4}\cdot x=\hat{2}\cdot \hat{3}⟹\hat{1}\cdot x=\hat{6}⟹x=\hat{6}.$$ Verificare: $\hat{4}\cdot \hat{6}=\widehat{24}=\hat{3}$, pentru că $24=3\cdot 7+3$. Soluția este unică: dacă ar exista două, înmulțind cu inversul lui $\hat{4}$ am obține că sunt egale. Într-un inel care nu e corp, o astfel de ecuație poate avea mai multe soluții sau niciuna.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „${\mathbb{Z}}_{10}$ este corp, pentru că $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{1}$, deci clasele au invers". Găsește greșeala.

Rezolvare. Calculul citat este corect: $21=2\cdot 10+1$, deci $\hat{3}$ și $\hat{7}$ sunt într-adevăr inverse una alteia în ${\mathbb{Z}}_{10}$. Greșeala este în cuvântul „deci": definiția cere ca toate clasele nenule să aibă invers, nu una sau două. Iar clasa $\hat{2}$ nu are: produsele ei sunt $\hat{0}$, $\hat{2}$, $\hat{4}$, $\hat{6}$, $\hat{8}$ și iar de la capăt, toate pare, deci $\hat{1}$ nu apare printre ele. Prin urmare ${\mathbb{Z}}_{10}$ nu este corp — cum arată și regula, fiindcă $10=2\cdot 5$ nu e prim. Reține asimetria: pentru „este corp" ai de verificat toate clasele, pentru „nu este corp" îți ajunge una.

Exemplul 5 — Model din științe: cifra de control

Probele dintr-un laborator primesc un cod din trei cifre, $a$, $b$, $c$, fiecare dintre ele de la $0$ la $6$, urmat de o cifră de control $k$, aleasă astfel încât $\widehat{3a+2b+c}=\hat{k}$ în ${\mathbb{Z}}_7$. Arată, pe codul $4$–$2$–$5$, cum se calculează controlul și explică de ce o greșeală la prima cifră se observă întotdeauna.

Rezolvare. Pentru codul dat, $3\cdot 4+2\cdot 2+5=12+4+5=21$, iar $\widehat{21}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_7$, deci cifra de control este $0$. Dacă prima cifră se scrie greșit, de pildă $6$ în loc de $4$, suma devine $3\cdot 6+2\cdot 2+5=27$, iar $\widehat{27}=\hat{6}$, diferit de $\hat{0}$: greșeala iese la iveală. Motivul general este chiar structura de corp: diferența dintre cele două controale este $\hat{3}\cdot \hat{d}$, unde $d$ este diferența dintre cifra scrisă și cea corectă. Cum cifrele sunt între $0$ și $6$, o diferență nenulă nu poate fi multiplu de $7$, deci $\hat{d}\ne \hat{0}$; iar ${\mathbb{Z}}_7$ fiind corp, produsul a două clase nenule nu poate fi $\hat{0}$. Aici se vede de ce contează ca modulul să fie prim: dacă am lucra modulo $10$, o greșeală de $5$ la cifra din mijloc ar da, în ${\mathbb{Z}}_{10}$, o diferență de control $\hat{2}\cdot \hat{5}=\widehat{10}=\hat{0}$, deci ar trece neobservată. Revenim, pentru restul lecției, la ${\mathbb{Z}}_7$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Cerință construită pe rândul din programa de examen, în formatul unei probleme cu trei cerințe legate.)

Se consideră mulțimea claselor de resturi ${\mathbb{Z}}_{17}$.

a) Arată că $\hat{5}\cdot \hat{7}=\hat{1}$.

b) Rezolvă ecuația $\hat{5}x=\hat{3}$.

c) Explică de ce ${\mathbb{Z}}_{17}$ este corp, iar ${\mathbb{Z}}_{16}$ nu.

Rezolvare. a) În ${\mathbb{Z}}_{17}$ avem $\hat{5}\cdot \hat{7}=\widehat{35}$, iar $35=2\cdot 17+1$, deci $\widehat{35}=\hat{1}$. Așadar $\hat{7}$ este inversul lui $\hat{5}$.

b) Înmulțim ambii membri cu $\hat{7}$ și rămânem în ${\mathbb{Z}}_{17}$: $x=\hat{7}\cdot \hat{3}=\widehat{21}=\hat{4}$, pentru că $21=17+4$. Verificare: $\hat{5}\cdot \hat{4}=\widehat{20}=\hat{3}$.

c) $17$ este număr prim, deci, după regula din lecție, ${\mathbb{Z}}_{17}$ este corp. În schimb $16=2\cdot 8$ nu este prim: în ${\mathbb{Z}}_{16}$, clasele $\hat{2}$ și $\hat{8}$ sunt nenule, dar $\hat{2}\cdot \hat{8}=\widehat{16}=\hat{0}$, iar dacă $\hat{2}$ ar avea invers, înmulțind cu el am obține $\hat{8}=\hat{0}$, fals. Deci ${\mathbb{Z}}_{16}$ nu este corp.

Să exersăm

1. Determină inversul numărului $7$ și inversul numărului $-\frac{1}{4}$ în $\mathbb{Q}$.

2. Arată că $\hat{4}$ și $\hat{3}$ sunt inverse una alteia în ${\mathbb{Z}}_{11}$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $n$ este număr impar, atunci ${\mathbb{Z}}_n$ este corp.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ ecuația $\hat{6}x=\hat{5}$.

5. Scrie cel mai mic număr $n\ge 10$ pentru care ${\mathbb{Z}}_n$ este corp și cel mai mare număr $n\le 10$ pentru care nu este.

6. (Problemă aplicată.) Într-o soluție, masa de solvat reprezintă $\frac{3}{20}$ din masa totală. Scrie cu ce factor se înmulțește masa totală pentru a obține masa de solvat și cu ce factor se face drumul invers; explică apoi de ce calculul acesta se poate face în $\mathbb{R}$, dar nu și în mulțimea numerelor întregi de eprubete.

7. Arată că $\hat{3}$ nu are invers în ${\mathbb{Z}}_6$, scriind toate produsele ei.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră corpul ${\mathbb{Z}}_5$. a) Rezolvă ecuația $\hat{3}x=\hat{2}$. b) Arată că ecuația $\hat{0}\cdot x=\hat{2}$ nu are soluție. c) Explică de ce ecuația de la punctul a) are soluție unică.

9. Scrie ce condiție se adaugă celor șapte ale inelului pentru a obține un corp și explică de ce ea nu se cere și pentru elementul nul.

10. Determină clasele $\hat{x}$ din ${\mathbb{Z}}_5$ pentru care $\hat{x}\cdot \hat{x}=\hat{1}$.

11. Precizează câte clase nenule are ${\mathbb{Z}}_{13}$ și câte dintre ele au invers.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că în ${\mathbb{Z}}_{14}$ clasa $\hat{2}$ nu are invers, folosind produsul $\hat{2}\cdot \hat{7}$.

13. Arată că funcția $g(x)=x-4$ nu are inversă în inelul funcțiilor reale.

14. Verifică dacă matricea $\left(\begin{array}{cc}4& 10\\ 2& 5\end{array}\right)$ este inversabilă, calculându-i determinantul.

15. Arată că, într-un corp, din $ax=ay$ și $a\ne 0$ rezultă $x=y$.

16. Dă un exemplu de inel comutativ cu opt elemente care nu este corp și unul cu șapte elemente care este corp.

17. Explică de ce, într-un corp, din $x\cdot x=0$ rezultă $x=0$.

18. (Provocare.) Determină toate clasele din ${\mathbb{Z}}_{11}$ care sunt propriul lor invers.

Răspunsuri și explicații

1. Inversul lui $7$ este $\frac{1}{7}$, iar inversul lui $-\frac{1}{4}$ este $-4$; proba: $7\cdot \frac{1}{7}=1$ și $\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot (-4)=1$.

2. $\hat{4}\cdot \hat{3}=\widehat{12}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$, pentru că $12=11+1$. Cum produsul lor este elementul unitate, fiecare este inversul celeilalte.

3. Fals. Regula cere ca $n$ să fie prim, nu impar. Contraexemplu: $n=15$ este impar, dar $15=3\cdot 5$, iar clasele $\hat{3}$ și $\hat{5}$ sunt nenule cu $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{0}$; dacă $\hat{3}$ ar avea invers, înmulțind egalitatea cu el am obține $\hat{5}=\hat{0}$, fals. Deci ${\mathbb{Z}}_{15}$ nu este corp. Afirmația e adevărată doar pentru numerele impare care sunt și prime.

4. Inversul lui $\hat{6}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ este $\hat{6}$, fiindcă $\hat{6}\cdot \hat{6}=\widehat{36}=\hat{1}$. Înmulțim: $x=\hat{6}\cdot \hat{5}=\widehat{30}=\hat{2}$. Verificare: $\hat{6}\cdot \hat{2}=\widehat{12}=\hat{5}$.

5. Cel mai mic $n\ge 10$ cu ${\mathbb{Z}}_n$ corp este $11$, primul număr prim de la $10$ în sus. Cel mai mare $n\le 10$ pentru care ${\mathbb{Z}}_n$ nu e corp este $10$, pentru că $10=2\cdot 5$ nu e prim.

6. Masa de solvat se obține înmulțind masa totală cu $\frac{3}{20}$, iar drumul invers se face înmulțind cu $\frac{20}{3}$, inversul acestui număr în $\mathbb{R}$. În mulțimea numerelor întregi de eprubete calculul nu are sens: $\frac{20}{3}$ nu e întreg, deci „a împărți la trei douăzecimi" iese din mulțime. Practic, orice reglaj de concentrație se poate desface exact dacă lucrezi cu mase, dar nu și dacă poți lua numai eprubete întregi.

7. Produsele clasei $\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_6$ sunt $\hat{3}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{1}=\hat{3}$, $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{3}$, $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{3}$. Apar numai $\hat{0}$ și $\hat{3}$, deci $\hat{1}$ nu apare și clasa nu are invers.

8. a) Inversul lui $\hat{3}$ este $\hat{2}$, deci $x=\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$; verificare: $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{2}$. b) Produsul $\hat{0}\cdot x$ este $\hat{0}$ pentru orice clasă $x$, iar $\hat{0}\ne \hat{2}$, deci ecuația nu are soluție. c) Pentru că ${\mathbb{Z}}_5$ e corp și $\hat{3}\ne \hat{0}$: dacă două clase ar fi soluții, înmulțind egalitatea lor cu inversul lui $\hat{3}$ am obține că sunt egale.

9. Se adaugă condiția ca orice element diferit de elementul nul să aibă invers la înmulțire, împreună cu cerința $1\ne 0$. Pentru elementul nul condiția nu se poate cere: produsul dintre $0$ și orice element dă $0$, niciodată $1$, deci un invers al lui $0$ nu există în nicio structură cu cele șapte condiții.

10. Verificăm cele patru clase nenule: $\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{1}$ și $\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{1}$, în timp ce $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$ și $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{4}$. Răspuns: $\hat{x}=\hat{1}$ și $\hat{x}=\hat{4}$, adică exact clasele care sunt propriul lor invers.

11. ${\mathbb{Z}}_{13}$ are $13$ clase, deci $12$ clase nenule. Cum $13$ este număr prim, toate cele $12$ au invers, iar structura este corp.

12. $\hat{2}\cdot \hat{7}=\widehat{14}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_{14}$, iar $\hat{7}$ este o clasă nenulă. Dacă $\hat{2}$ ar avea inversul $\hat{c}$, înmulțind egalitatea cu $\hat{c}$ am obține $\hat{7}=\hat{c}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, ceea ce este fals. Deci $\hat{2}$ nu are invers.

13. O inversă $h$ ar trebui să verifice $g(x)h(x)=1$ în orice punct. În $x=4$ însă $g(4)=0$, deci membrul stâng este $0$, iar egalitatea $0=1$ este falsă. Prin urmare $g$ nu are inversă, deși nu este funcția nulă.

14. Determinantul este $4\cdot 5-10\cdot 2=20-20=0$, deci matricea nu este inversabilă, deși niciun element al ei nu e nul. Este încă un motiv pentru care inelul matricelor nu e corp.

15. Cum $a\ne 0$ și structura e corp, $a$ are inversul $a^{-1}$. Înmulțim egalitatea cu el, la stânga: $a^{-1}(ax)=a^{-1}(ay)$, adică $(a^{-1}a)x=(a^{-1}a)y$, deci $1\cdot x=1\cdot y$ și $x=y$. Exact acest pas era interzis în ${\mathbb{Z}}_8$, unde $\hat{4}$ nu are invers.

16. Cu opt elemente: ${\mathbb{Z}}_8$, care este inel comutativ, dar nu corp, fiindcă $8$ nu e prim. Cu șapte elemente: ${\mathbb{Z}}_7$, corp, fiindcă $7$ e prim.

17. Dacă $x\ne 0$, atunci $x$ are invers, iar înmulțind egalitatea $x\cdot x=0$ cu $x^{-1}$ obținem $x=0$ — contradicție cu presupunerea. Rămâne $x=0$. Într-un inel oarecare afirmația e falsă: în ${\mathbb{Z}}_8$, clasa $\hat{4}$ verifică $\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{0}$.

18. Căutăm clasele cu $\hat{a}\cdot \hat{a}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$, adică numerele $a$ între $1$ și $10$ cu $11\mid a^2-1=(a-1)(a+1)$. Cum $11$ e prim, el trebuie să dividă $a-1$ sau $a+1$, deci $a=1$ sau $a=10$. Răspuns: $\hat{1}$ și $\widehat{10}$. Verificare: $\widehat{10}\cdot \widehat{10}=\widehat{100}=\hat{1}$, fiindcă $100=9\cdot 11+1$.

De reținut

• Un corp este un inel cu $1\ne 0$ în care nu există element nenul lipsit de invers; pentru elementul nul, inversul nici nu se cere.
• Corpurile numerice cerute de programa de examen sunt $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$; $\mathbb{Z}$ este inel, dar nu corp, fiindcă doar $1$ și $-1$ au invers întreg.
• Pe o tablă finită, o clasă are invers exact atunci când pe linia ei apare elementul unitate; la ${\mathbb{Z}}_5$ și ${\mathbb{Z}}_7$ el apare pe toate liniile nenule.
• ${\mathbb{Z}}_n$ e corp pentru $n$ prim și nu e corp pentru $n$ compus; pentru „nu este corp" ajunge o singură clasă nenulă fără invers.
• Inelele de matrice și inelele de funcții nu sunt corpuri: o matrice nenulă cu determinantul nul și o funcție care se anulează într-un punct nu au invers.

Greșeli frecvente

• Se declară „corp" după ce s-a găsit un singur invers. Definiția cere inversul pentru fiecare element nenul; o singură pereche de clase inverse nu spune nimic despre celelalte.
• Se confundă „impar" cu „prim". Regula privește exclusiv primalitatea lui $n$, nu paritatea lui: înainte de a răspunde, caută un divizor al lui $n$ cuprins strict între $1$ și $n$, iar dacă găsești unul, structura nu mai are cum să fie corp.
• Se caută inversul elementului nul. Nicio structură nu-l are, pentru că orice produs cu $0$ dă $0$. Cerința se pune doar pentru elementele nenule, iar definiția corpului o scrie exact așa.
• Se simplifică într-un inel care nu e corp. Pasul „împart ambii membri cu $\hat{a}$" este permis numai dacă $\hat{a}$ are invers; în ${\mathbb{Z}}_6$ sau ${\mathbb{Z}}_8$ el duce la egalități false.
• Se confundă inversul cu opusul. Opusul lui $\hat{a}$ se adună cu el și dă $\hat{0}$; inversul se înmulțește cu el și dă $\hat{1}$. În ${\mathbb{Z}}_7$, opusul lui $\hat{3}$ este $\hat{4}$, iar inversul lui este $\hat{5}$.

Aplică acasă

1. Cele două table, pe hârtie. Scrie tablele înmulțirii pentru ${\mathbb{Z}}_4$ și pentru ${\mathbb{Z}}_{11}$ — prima are patru linii, a doua unsprezece — și încercuiește, pe fiecare linie nenulă, căsuța în care apare $\hat{1}$. Numără liniile fără cerc în fiecare caz și pune rezultatul alături de regula din lecție.

2. Inverse în trei mulțimi. Ia numerele $2$, $-5$ și $\frac{2}{3}$ și scrie, pentru fiecare, inversul în $\mathbb{Q}$, apoi verifică dacă el aparține și mulțimii numerelor întregi. Repetă exercițiul pentru clasele $\hat{2}$, $\hat{3}$ și $\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ și notează care dintre ele sunt propriile lor inverse.

3. Un cod de control propriu. Alege un modul prim, de pildă $13$, și inventează o regulă de control pentru numere de patru cifre, cu coeficienți la alegere. Scrie zece coduri corecte, apoi strică o cifră în fiecare și verifică dacă regula ta observă greșeala de fiecare dată. Încearcă apoi cu un modul compus și compară.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri: dacă elevul enunță definiția corpului cu tot cu condiția asupra elementului nul; dacă decide corect, pentru un ${\mathbb{Z}}_n$ dat, dacă este sau nu corp, și justifică — prin primalitatea lui $n$ sau printr-o clasă fără invers, cu produsele scrise; și dacă folosește inversul ca să rezolve o ecuație de gradul întâi într-un corp finit, cu verificare.

Dificultatea nu e calculul, ci cuantificatorul: „orice element nenul are invers" cere verificarea tuturor elementelor, în timp ce negația cere unul singur. Aproape toate greșelile de la acest capitol vin de aici. Semnele că elevul a înțeles: nu mai confundă opusul cu inversul; spune imediat, pentru un $n$ dat, dacă ${\mathbb{Z}}_n$ e corp, uitându-se doar la primalitatea lui $n$; și nu mai simplifică o egalitate de produse fără să verifice că factorul comun are invers. Întrebări de control: „Ce se adaugă definiției inelului?", „Care numere întregi au inversul tot întreg?", „Ce arată linia lui $\hat{4}$ din ${\mathbb{Z}}_6$?", „Care e inversul lui $\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_7$?".

Programa și examenul. Tema aparține suplimentului: rândul „Corp, exemple: corpuri numerice, ${\mathbb{Z}}_p$, $p$ prim" se află în programa de examen pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) aprobată prin OMEN 4430/2014, aplicată în sesiunile 2027, 2028 și 2029. Programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu o mai cuprinde la clasa a XII-a, deci pentru generația care dă proba MAT_P2 din 2030 ea nu mai este materie de examen. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de algebră de acest fel stau la Subiectul al II-lea; proba durează trei ore, are trei subiecte de câte $30$ de puncte și $10$ puncte din oficiu. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o structură este corp?

Înseamnă că e inel, că $1\ne 0$ și că fiecare element nenul își găsește un partener de înmulțire care dă elementul unitate. Pe lângă cele șapte condiții ale inelului se adaugă, așadar, una singură, dar puternică: se poate împărți cu orice element diferit de zero. Corpurile din programa de examen sunt $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim.

Ce poți face într-un corp și nu poți face în orice inel?

Poți împărți și poți simplifica. Coeficientul nenul al unei ecuații de gradul întâi are invers, deci ecuația se rezolvă înmulțind cu el și are soluție unică; tot de acolo vine dreptul de a tăia un factor comun nenul dintr-o egalitate de produse. În $\mathbb{Z}$ sau în ${\mathbb{Z}}_8$ niciunul dintre cele două gesturi nu este sigur.

Când este ${\mathbb{Z}}_n$ corp?

Exact atunci când $n$ este număr prim. Dacă $n=ab$ cu $a$ și $b$ între $1$ și $n$, clasa $\hat{a}$ nu are invers, deci structura nu e corp; iar dacă $n$ e prim, produsele unei clase nenule cu toate clasele nenule sunt distincte, așa că printre ele apare și elementul unitate. Cele mai mici exemple de corpuri sunt ${\mathbb{Z}}_2$, ${\mathbb{Z}}_3$, ${\mathbb{Z}}_5$ și ${\mathbb{Z}}_7$.

Cum arăt repede că o structură nu este corp?

Găsești un singur element nenul fără invers și scrii toate produsele lui, ca să se vadă că elementul unitate nu apare. La clasele de resturi ajunge și trimiterea la regulă, dacă $n$ nu e prim; la matrice, o matrice nenulă cu determinantul nul; la funcții, o funcție care se anulează într-un punct.

De ce nu are elementul nul invers?

Pentru că produsul dintre elementul nul și orice element al structurii este tot elementul nul; el nu poate da elementul unitate, iar într-un corp cele două sunt diferite. Un invers al lui $0$ ar duce deci la o contradicție. De aceea definiția cere inversabilitatea numai pentru elementele nenule, iar precizarea aceasta face parte din enunțul ei și se scrie ca atare.

Se studiază corpurile și la mate-info (M1)?

Da, mult mai pe larg: acolo se studiază și mulțimi de numere cu radicali care formează corpuri, legăturile dintre două corpuri și mutarea structurii dintr-unul în altul. La științe ale naturii, programa de examen cere doar definiția și exemplele. Pentru comparație, aceeași temă la mate-info (M1).

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Tema este în programa de examen din 2014, la algebră, și se dă în sesiunile 2027, 2028 și 2029. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de algebră de acest tip apar la Subiectul al II-lea, sub forma unei probleme cu trei cerințe legate, ca Exemplul 6 din lecție.