Cuartilele Q1, Q2, Q3 — algoritmul cu jumătăți: pe scurt

Cuartilele $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ taie un set de date ordonat crescător în patru sferturi cu același număr de valori. $Q_2$ este chiar mediana; $Q_1$ este mediana jumătății inferioare, iar $Q_3$ este mediana jumătății superioare.

Regula-cheie, valabilă peste tot în acest capitol: când $n$ este impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți — se exclude înainte de a împărți restul în două. Când $n$ este par, nu ai ce exclude: jumătățile sunt primele și ultimele $\frac{n}{2}$ valori.

Amplitudinea $A=x_{\max }-x_{\min }$ folosește doar cele două extreme, deci e rapidă, dar fragilă la valori aberante. Abaterea intercuartilică $\text{IQR}=Q_3-Q_1$ ignoră capetele și măsoară cât de „lat" e miezul datelor — jumătatea din mijloc. Cu cât $\text{IQR}$ e mai mic, cu atât setul e mai omogen.

Cele cinci numere $x_{\min },Q_1,Q_2,Q_3,x_{\max }$ formează rezumatul în cinci numere al unui set și sunt exact ce se desenează într-un boxplot. Atenție: funcția QUARTILE din foile de calcul folosește altă convenție (interpolare) și poate da alte rezultate decât algoritmul cu jumătăți — la teme și la examen se folosește mereu algoritmul din lecție.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru setul $4,9,2,15,7,12,20$, cât este $Q_1$?

   • a) $4$
   • b) $2$
   • c) $7$
   • d) $9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $4$

   Ordonăm: $2,4,7,9,12,15,20$ ($n=7$). $Q_2=9$ (poziția $4$). Excludem $9$: jumătatea inferioară este $2,4,7$, cu mediana $Q_1=4$.

2. Pentru setul $5,12,8,20,15,25,10,18$, cât este $Q_3$?

   • a) $18$
   • b) $19$
   • c) $20$
   • d) $21$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $19$

   Ordonăm: $5,8,10,12,15,18,20,25$ ($n=8$, par). Jumătatea superioară (ultimele patru): $15,18,20,25$, cu mediana $Q_3=\frac{18+20}{2}=19$.

3. La un set cu $n=9$ valori (impar), ce faci cu valoarea mediană atunci când formezi cele două jumătăți pentru calculul cuartilelor?

   • a) O incluzi în jumătatea inferioară.
   • b) O incluzi în ambele jumătăți.
   • c) O excluzi din ambele jumătăți.
   • d) O înlocuiești cu media aritmetică.
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) O excluzi din ambele jumătăți.

   Convenția folosită peste tot în acest capitol: la $n$ impar, valoarea mediană este tăietura centrală și nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți; abia restul se împarte egal, câte $\frac{n-1}{2}$ valori de fiecare parte.