Cuartile și amplitudine

Două clase dau același test și obțin, amândouă, media $14$ și mediana $14$. Pe hârtie par identice. Punctajele lor sunt însă acestea:

$$\text{Clasa A: }10,12,13,14,15,16,18\text{Clasa B: }2,8,12,14,16,20,26.$$

Clasa A este un grup omogen, strâns în jurul lui $14$. Clasa B este un grup profund inegal: are elevi foarte slabi și elevi foarte buni, iar „media $14$" nu descrie pe nimeni. Un profesor care primește doar media și mediana nu are cum să vadă diferența — și totuși ea e cea care decide cum trebuie predat mai departe.

Ne lipsește, așadar, o măsură a împrăștierii datelor. Cea mai simplă este amplitudinea: cât de departe sunt extremele una de alta. Cea mai utilă sunt cuartilele: trei valori care taie setul ordonat nu în două, ca mediana, ci în patru sferturi egale. Din ele obținem imediat abaterea intercuartilică, care măsoară cât de lat e „miezul" setului — jumătatea din mijloc a datelor, cea care descrie cu adevărat majoritatea. La finalul lecției vei ști să calculezi, pentru orice set de date, cele cinci numere care îl caracterizează complet: minim, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, maxim.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi amplitudinea unui set de date și să o interpretezi.
• Vei ști să aplici, pas cu pas, algoritmul cuartilelor: mediana întâi, apoi cele două jumătăți.
• Vei ști cum se împart datele în jumătăți când $n$ este impar (mediana nu intră în niciuna) și când $n$ este par.
• Vei ști să calculezi abaterea intercuartilică $\text{IQR}=Q_3-Q_1$ și să spui ce măsoară ea.
• Vei ști să interpretezi cuartilele în procente: $25\%$, $50\%$, $75\%$ dintre date.
• Vei ști să scrii cele cinci numere caracteristice ale unui set și să compari două seturi cu ajutorul lor.

Hai să descoperim împreună

1. Amplitudinea

Amplitudinea unui set de date este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare:

$$A=x_{\max }-x_{\min }.$$

Pentru clasa A: $A=18-10=8$ puncte. Pentru clasa B: $A=26-2=24$ de puncte. Diferența dintre cele două grupuri sare imediat în ochi — clasa B este de trei ori mai împrăștiată.

Amplitudinea are un avantaj enorm (se calculează în două secunde) și un defect pe măsură: folosește doar două valori din tot setul, cele extreme. Un singur punctaj neobișnuit schimbă complet rezultatul, la fel cum o singură valoare extremă schimbă media, așa cum am văzut la Media aritmetică și media ponderată a unui set de date. De aceea avem nevoie de o măsură a împrăștierii care să ignore capetele — și aici intră cuartilele.

2. Ideea cuartilelor

Mediana taie setul ordonat în două părți egale ca număr de valori. Dacă tăiem și fiecare jumătate în două, obținem patru sferturi, iar tăieturile sunt trei valori numite cuartile:

• $Q_1$ — prima cuartilă (sau cuartila inferioară): sub ea se află aproximativ $25\%$ dintre date;
• $Q_2$ — a doua cuartilă: este chiar mediana, sub ea se află aproximativ $50\%$ dintre date;
• $Q_3$ — a treia cuartilă (sau cuartila superioară): sub ea se află aproximativ $75\%$ dintre date.

Cele patru sferturi au același număr de valori, nu aceeași lățime. Într-un set asimetric, sfertul dintre $Q_3$ și maxim poate fi de zece ori mai lat decât sfertul dintre $Q_1$ și $Q_2$ — și tocmai asta ne spune ceva despre forma datelor.

3. Algoritmul de calcul

Reținem exact acești patru pași; îi vom aplica identic la orice set de date.

Pasul 1. Ordonează datele crescător: $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$. Pasul 2. Calculează $Q_2$, adică mediana setului, așa cum ai învățat la Mediana unui set de date: dacă $n$ e impar, $Q_2=x_{\frac{n+1}{2}}$; dacă $n$ e par, $Q_2=\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$. Pasul 3. Împarte șirul în jumătatea inferioară și jumătatea superioară. Când $n$ este impar, valoarea mediană NU intră în niciuna dintre cele două jumătăți. Când $n$ este par, cele două jumătăți sunt exact primele $\frac{n}{2}$ valori și ultimele $\frac{n}{2}$ valori. Pasul 4. $Q_1$ este mediana jumătății inferioare, iar $Q_3$ este mediana jumătății superioare.

Pasul 3 este regula pe care trebuie să o știi pe de rost. Când $n$ e impar, valoarea din mijloc este deja tăietura din centru; a o mai băga într-una dintre jumătăți ar dezechilibra împărțirea și ar da rezultate diferite pentru $Q_1$ și $Q_3$.

4. Exemplu complet, $n$ impar

Se consideră setul de date

$$3,5,7,8,9,12,15(n=7).$$

Pasul 1. Datele sunt deja ordonate crescător.

Pasul 2. Cum $n=7$ este impar, mediana este pe poziția $\frac{7+1}{2}=4$:

$$Q_2=8.$$

Pasul 3. Scoatem valoarea mediană $8$ și rămânem cu două jumătăți de câte trei valori:

$$\text{juma˘tatea inferioara˘: }3,5,7\text{juma˘tatea superioara˘: }9,12,15.$$

Pasul 4. Mediana fiecărei jumătăți (fiecare are $3$ valori, deci valoarea de pe poziția a doua):

$$Q_1=5,Q_3=12.$$

Indicatorii de împrăștiere:

$$A=x_{\max }-x_{\min }=15-3=12,\text{IQR}=Q_3-Q_1=12-5=7.$$

Verificarea de bun-simț: trebuie să avem întotdeauna $x_{\min }\le Q_1\le Q_2\le Q_3\le x_{\max }$. Aici: $3\le 5\le 8\le 12\le 15$ ✓.

5. Exemplu complet, $n$ par

Se consideră setul de date

$$2,4,5,7,8,11,13,16(n=8).$$

Pasul 1. Datele sunt deja ordonate.

Pasul 2. Cum $n=8$ este par, mediana se obține din pozițiile $\frac{8}{2}=4$ și $5$, adică din valorile $7$ și $8$:

$$Q_2=\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7,5.$$

Pasul 3. Cele două jumătăți sunt primele patru și ultimele patru valori (nu avem ce scoate, mediana nu este o valoare din set):

$$\text{jos: }2,4,5,7\text{sus: }8,11,13,16.$$

Pasul 4. Fiecare jumătate are patru valori, deci mediana ei este media valorilor de pe pozițiile a doua și a treia:

$$Q_1=\frac{4+5}{2}=4,5,Q_3=\frac{11+13}{2}=12.$$

Indicatorii de împrăștiere:

$$A=16-2=14,\text{IQR}=12-4,5=7,5.$$

Verificare: $2\le 4,5\le 7,5\le 12\le 16$ ✓.

Tabel de sinteză al celor două cazuri:

Cu alte cuvinte: la $n$ impar arunci valoarea mediană din amândouă jumătățile; la $n$ par nu ai ce arunca.

6. Abaterea intercuartilică

Abaterea intercuartilică, notată $\text{IQR}$ (de la interquartile range), este

$$\text{IQR}=Q_3-Q_1.$$

Ea este amplitudinea jumătății din mijloc a datelor: intervalul $[Q_1,Q_3]$ conține aproximativ $50\%$ dintre valori, cele „obișnuite", fără sfertul de jos și fără sfertul de sus.

Avantajul față de amplitudine este exact acela că ignoră capetele. Revenim la cele două clase de la începutul lecției:

Media și mediana sunt identice, iar amplitudinea și $\text{IQR}$ arată dintr-o privire că cele două clase nu au nimic în comun ca structură. La clasa A, jumătatea din mijloc a elevilor se încadrează într-un interval de $4$ puncte; la clasa B, în unul de $12$ puncte, de trei ori mai lat.

Regula de interpretare: cu cât $\text{IQR}$ este mai mic, cu atât datele sunt mai omogene; cu cât e mai mare, cu atât sunt mai împrăștiate. Aceeași concluzie o vom obține, cu alt instrument, în lecția Abaterea standard: formulă și interpretare.

7. Cele cinci numere caracteristice

Cele cinci valori

$$x_{\min },Q_1,Q_2,Q_3,x_{\max }$$

formează rezumatul în cinci numere al unui set de date. Ele sunt suficiente pentru a schița forma întregului set și sunt exact datele din care se construiește diagrama boxplot, în lecția Diagrama boxplot.

Pentru setul $3,5,7,8,9,12,15$, rezumatul este $(3;5;8;12;15)$.

Cum se citesc procentele. Enunțurile de examen sună des așa: „aproximativ ce procent dintre date sunt mai mici decât $Q_3$?" Răspunsul este $75\%$. La fel: între $x_{\min }$ și $Q_1$ se află aproximativ $25\%$ dintre date, între $Q_1$ și $Q_3$ aproximativ $50\%$, iar peste $Q_3$ aproximativ $25\%$. Cuvântul aproximativ nu e o precauție inutilă: la un set cu $7$ valori nu poți avea exact un sfert de fiecare parte, iar procentele devin exacte doar pe seturi mari.

Ce ne spune poziția lui $Q_2$ față de $Q_1$ și $Q_3$. Dacă $Q_2$ este cam la mijlocul intervalului $[Q_1,Q_3]$, jumătatea centrală a datelor e simetrică. Dacă $Q_2$ este mult mai aproape de $Q_1$, datele sunt înghesuite la stânga și au o coadă spre dreapta — exact situația timpilor de navetă din lecția Gruparea datelor pe clase. Histograma, unde rezumatul în cinci numere este $(5;13;21,5;29,5;48)$.

8. Cu foaia de calcul — și o capcană

Programa cere explicit calcularea mărimilor caracteristice cu ajutorul foilor de calcul. Amplitudinea se obține imediat:

=MAX(A2:A41) - MIN(A2:A41).

Pentru cuartile există funcția =QUARTILE(A2:A41; 1), dar aici trebuie să fii atent la ceva important: foile de calcul folosesc altă convenție decât cea din manuale. Ele nu iau mediana unei jumătăți, ci interpolează între valori vecine, așa că rezultatele pot să difere.

Concret, pentru setul $3,5,7,8,9,12,15$, algoritmul din această lecție dă $Q_1=5$ și $Q_3=12$, în timp ce funcția QUARTILE afișează $6$ și $10,5$. Mediana, $Q_2=8$, iese la fel în ambele convenții — ea nu depinde de convenție.

Ce faci practic: la teze, la Bacalaureat și în toate lecțiile acestui capitol folosești algoritmul cu jumătăți descris mai sus. Foaia de calcul o folosești pentru medie, mediană, minim, maxim și amplitudine, iar când ai nevoie de cuartile în foaia de calcul, le calculezi „de mână", cu MEDIAN aplicat pe fiecare jumătate de date.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cazul $n$ impar, pas cu pas

Determinați cuartilele, amplitudinea și abaterea intercuartilică pentru setul $3,5,7,8,9,12,15$.

Rezolvare. Datele sunt ordonate, $n=7$ (impar).

Mediana este pe poziția $\frac{7+1}{2}=4$, deci $Q_2=8$.

Excludem valoarea mediană și obținem jumătatea inferioară $3,5,7$ și jumătatea superioară $9,12,15$. Fiecare are trei valori, deci mediana fiecăreia este valoarea din mijloc:

$$Q_1=5,Q_3=12.$$

$$A=15-3=12,\text{IQR}=12-5=7.$$

Rezumatul în cinci numere: $(3;5;8;12;15)$. Verificare: $3\le 5\le 8\le 12\le 15$ ✓.

Exemplul 2 — Cazul $n$ par, pas cu pas

Determinați cuartilele, amplitudinea și abaterea intercuartilică pentru setul $2,4,5,7,8,11,13,16$.

Rezolvare. Datele sunt ordonate, $n=8$ (par).

Mediana se calculează din pozițiile $4$ și $5$: $Q_2=\frac{7+8}{2}=7,5$.

Jumătatea inferioară este $2,4,5,7$, iar cea superioară $8,11,13,16$ — câte patru valori fiecare. Mediana unei jumătăți cu patru valori este media celor două din mijloc:

$$Q_1=\frac{4+5}{2}=4,5,Q_3=\frac{11+13}{2}=12.$$

$$A=16-2=14,\text{IQR}=12-4,5=7,5.$$

Rezumatul în cinci numere: $(2;4,5;7,5;12;16)$.

Observație. Aici toate cele trei cuartile sunt medii de câte două valori, deci niciuna nu apare printre date. Este perfect corect: cuartilele sunt tăieturi, nu observații.

Exemplul 3 — Un set cu $n=11$

Punctajele obținute la un concurs sunt $12,15,18,20,23,26,28,31,35,40,44$. Determinați cele cinci numere caracteristice.

Rezolvare. $n=11$, impar. Mediana este pe poziția $\frac{11+1}{2}=6$, deci $Q_2=26$.

Excludem valoarea $26$: jumătatea inferioară este $12,15,18,20,23$ (cinci valori), iar cea superioară $28,31,35,40,44$ (tot cinci). Mediana unei liste de cinci valori este a treia:

$$Q_1=18,Q_3=35.$$

$$A=44-12=32,\text{IQR}=35-18=17.$$

Rezumatul: $(12;18;26;35;44)$. Cum $n=11$ e de forma $4k+3$, toate cele trei cuartile au ieșit valori din set — se întâmplă exact la seturile de mărimile $7$, $11$, $15$, $19$…

Exemplul 4 — Comparația a două seturi

Comparați clasele A ($10,12,13,14,15,16,18$) și B ($2,8,12,14,16,20,26$).

Rezolvare. Ambele au $n=7$, deci $Q_2$ este a patra valoare: $14$ la amândouă. Media este tot $14$ la amândouă ($\frac{98}{7}$ în ambele cazuri).

Clasa A: jumătățile sunt $10,12,13$ și $15,16,18$, deci $Q_1=12$ și $Q_3=16$; $A=8$, $\text{IQR}=4$. Clasa B: jumătățile sunt $2,8,12$ și $16,20,26$, deci $Q_1=8$ și $Q_3=20$; $A=24$, $\text{IQR}=12$.

Concluzie. Cele două clase au același „centru", dar structuri complet diferite. La clasa A, jumătatea din mijloc a elevilor se încadrează în $4$ puncte; la clasa B, în $12$ puncte. Clasa B are nevoie de lucru diferențiat: are și elevi mult sub, și elevi mult peste medie.

Exemplul 5 — Interpretarea în procente

Cele cinci numere caracteristice ale duratelor, în minute, a zece filme sunt $(82;91;100;110;130)$. Răspundeți: a) Ce procent dintre filme durează sub $91$ de minute? b) Câte filme durează între $91$ și $110$ minute? c) Cât este abaterea intercuartilică și ce înseamnă ea aici?

Rezolvare. a) $91$ este $Q_1$, deci sub această valoare se află aproximativ $25\%$ dintre filme. b) Intervalul $[Q_1,Q_3]=[91;110]$ conține aproximativ $50\%$ dintre date, adică aproximativ $5$ dintre cele $10$ filme. c) $\text{IQR}=110-91=19$ minute. Interpretare: jumătatea „obișnuită" a filmelor — cea din mijloc — se încadrează într-un interval de $19$ minute. Pentru comparație, amplitudinea este $130-82=48$ de minute, mult mai mare, pentru că include și filmul cel mai scurt, și pe cel mai lung.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră setul de date $8$, $10$, $12$, $14$, $15$, $17$, $18$, $20$, $22$, $24$, $26$, $28$, $30$, $34$, $40$ (cheltuieli zilnice, în lei). a) Determinați mediana setului. b) Determinați cuartilele $Q_1$ și $Q_3$. c) Calculați amplitudinea și abaterea intercuartilică. d) Precizați aproximativ ce procent dintre zile au avut cheltuieli de cel mult $28$ de lei.

Rezolvare. a) Datele sunt ordonate, $n=15$ (impar), deci mediana este pe poziția $\frac{15+1}{2}=8$:

$$Q_2=20\text{ lei}.$$

b) Excludem valoarea mediană. Jumătatea inferioară: $8,10,12,14,15,17,18$ — șapte valori, deci mediana ei este a patra:

$$Q_1=14\text{ lei}.$$

Jumătatea superioară: $22,24,26,28,30,34,40$ — tot șapte valori, a patra fiind

$$Q_3=28\text{ lei}.$$

c) $A=40-8=32$ de lei, iar $\text{IQR}=28-14=14$ lei.

d) Valoarea $28$ este chiar $Q_3$, deci aproximativ $75\%$ dintre zile au avut cheltuieli de cel mult $28$ de lei. (Numărând exact: $12$ zile din $15$, adică $80\%$ — apropiat de $75\%$, diferența venind din faptul că setul are doar $15$ valori.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare set, scrie explicit șirul ordonat, mediana, cele două jumătăți și abia apoi $Q_1$ și $Q_3$.

1. Determină amplitudinea setului $7,12,15,19,23,31$.

2. Pentru setul $3,5,7,8,9,12,15$, determină $Q_2$ și scrie cele două jumătăți.

3. Pentru același set, determină $Q_1$, $Q_3$, amplitudinea și abaterea intercuartilică.

4. Pentru setul $2,4,5,7,8,11,13,16$, determină $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, amplitudinea și abaterea intercuartilică.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Când numărul de date este impar, valoarea mediană intră în jumătatea inferioară."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Abaterea intercuartilică este întotdeauna mai mică sau egală cu amplitudinea."

7. Determină cele cinci numere caracteristice pentru setul $12,15,18,20,23,26,28,31,35,40,44$.

8. Determină cuartilele setului $82,88,91,95,98,102,106,110,118,130$ (durate de filme, în minute).

9. Determină cuartilele setului $1,2,2,3,4,5,6,6,7,9,10,15$ (numărul de cărți citite într-un an).

10. Determină cuartilele setului $11,13,14,16,18,19,21,23,27$ (temperaturi, în grade Celsius).

11. Determină cuartilele setului $5,8,11,14,18,23$.

12. (Problemă aplicată.) Clasa A are punctajele $10,12,13,14,15,16,18$, iar clasa B punctajele $2,8,12,14,16,20,26$. Arată că au aceeași medie și aceeași mediană, apoi compară-le prin amplitudine și prin abaterea intercuartilică.

13. Cele cinci numere caracteristice ale unui set sunt $(82;91;100;110;130)$. Ce procent aproximativ dintre date sunt mai mici decât $110$? Dar mai mari decât $110$?

14. (Problemă aplicată.) Pentru un set de $40$ de timpi de navetă, rezumatul în cinci numere este $(5;13;21,5;29,5;48)$ minute. Calculează amplitudinea și abaterea intercuartilică și explică ce spun ele despre elevii clasei.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determinați cuartilele $Q_1$, $Q_2$ și $Q_3$, precum și amplitudinea setului de date $8$, $10$, $12$, $14$, $15$, $17$, $18$, $20$, $22$, $24$, $26$, $28$, $30$, $34$, $40$.

16. Un set are $Q_1=12$, $Q_3=20$ și amplitudinea $30$. Determină abaterea intercuartilică. Poți determina valoarea minimă a setului? Justifică.

17. (Problemă aplicată.) Într-o foaie de calcul, valorile sunt în A2:A41. Scrie formula pentru amplitudine și explică de ce nu te poți baza direct pe funcția QUARTILE pentru $Q_1$ și $Q_3$ la teză.

18. (Provocare.) Construiește un set de $8$ numere naturale distincte cu $Q_2=10$, $\text{IQR}=6$ și amplitudinea $16$. Verifică toate cele trei condiții, folosind algoritmul din lecție.

Răspunsuri și explicații

1. $A=x_{\max }-x_{\min }=31-7=24$.

2. $n=7$, impar, deci mediana este pe poziția $4$: $Q_2=8$. Excluzând valoarea mediană, jumătatea inferioară este $3,5,7$, iar cea superioară $9,12,15$.

3. Fiecare jumătate are trei valori, deci mediana ei este a doua valoare: $Q_1=5$ și $Q_3=12$. Amplitudinea: $15-3=12$. Abaterea intercuartilică: $12-5=7$.

4. $n=8$, par. Mediana: $\frac{7+8}{2}=7,5$. Jumătățile: $2,4,5,7$ și $8,11,13,16$. Fiecare are patru valori, deci $Q_1=\frac{4+5}{2}=4,5$ și $Q_3=\frac{11+13}{2}=12$. Amplitudinea: $16-2=14$. $\text{IQR}=12-4,5=7,5$.

5. Fals. Când $n$ este impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți: ea este chiar tăietura din centru. Pentru $3,5,7,8,9,12,15$, jumătățile sunt $3,5,7$ și $9,12,15$, iar valoarea $8$ rămâne în afara amândurora.

6. Adevărat. Din $x_{\min }\le Q_1\le Q_3\le x_{\max }$ rezultă $Q_3-Q_1\le x_{\max }-x_{\min }$, adică $\text{IQR}\le A$. Egalitatea ar avea loc doar dacă $Q_1=x_{\min }$ și $Q_3=x_{\max }$.

7. $n=11$, impar, mediana pe poziția $6$: $Q_2=26$. Jumătățile (fără valoarea mediană): $12,15,18,20,23$ și $28,31,35,40,44$, fiecare cu cinci valori, deci $Q_1=18$ și $Q_3=35$. Cele cinci numere: $(12;18;26;35;44)$.

8. $n=10$, par. Mediana: $\frac{98+102}{2}=100$. Jumătățile: $82,88,91,95,98$ și $102,106,110,118,130$, fiecare cu cinci valori, deci $Q_1=91$ și $Q_3=110$. Amplitudinea: $130-82=48$; $\text{IQR}=110-91=19$.

9. $n=12$, par. Mediana: valorile de pe pozițiile $6$ și $7$ sunt $5$ și $6$, deci $Q_2=5,5$. Jumătățile: $1,2,2,3,4,5$ și $6,6,7,9,10,15$, fiecare cu șase valori. Mediana primei: $\frac{2+3}{2}=2,5=Q_1$; mediana celei de-a doua: $\frac{7+9}{2}=8=Q_3$. Amplitudinea: $15-1=14$; $\text{IQR}=8-2,5=5,5$.

10. $n=9$, impar, mediana pe poziția $5$: $Q_2=18$. Jumătățile (fără $18$): $11,13,14,16$ și $19,21,23,27$, fiecare cu patru valori, deci $Q_1=\frac{13+14}{2}=13,5$ și $Q_3=\frac{21+23}{2}=22$. Amplitudinea: $27-11=16$; $\text{IQR}=22-13,5=8,5$.

11. $n=6$, par. Mediana: $\frac{11+14}{2}=12,5$. Jumătățile: $5,8,11$ și $14,18,23$, fiecare cu trei valori, deci $Q_1=8$ și $Q_3=18$. Amplitudinea: $23-5=18$; $\text{IQR}=18-8=10$.

12. Ambele seturi au suma $98$ și $n=7$, deci media $14$; ambele au $Q_2=14$ (a patra valoare). Clasa A: $Q_1=12$, $Q_3=16$, $A=8$, $\text{IQR}=4$. Clasa B: $Q_1=8$, $Q_3=20$, $A=24$, $\text{IQR}=12$. Deși „centrul" e identic, clasa B este de trei ori mai împrăștiată — media singură ar fi ascuns complet această diferență.

13. Valoarea $110$ este $Q_3$, deci aproximativ $75\%$ dintre date sunt mai mici decât ea și aproximativ $25\%$ mai mari.

14. $A=48-5=43$ de minute, iar $\text{IQR}=29,5-13=16,5$ minute. Interpretare: între cel mai apropiat și cel mai îndepărtat elev sunt $43$ de minute diferență, dar jumătatea din mijloc a clasei se încadrează într-un interval de doar $16,5$ minute. Amplitudinea mare este dată de câțiva elevi cu navetă foarte lungă, nu de o împrăștiere generală.

15. $n=15$, impar, mediana pe poziția $8$: $Q_2=20$. Jumătatea inferioară: $8,10,12,14,15,17,18$, cu mediana pe poziția a patra, deci $Q_1=14$. Jumătatea superioară: $22,24,26,28,30,34,40$, cu mediana $Q_3=28$. Amplitudinea: $40-8=32$. (Suplimentar: $\text{IQR}=14$.)

16. $\text{IQR}=Q_3-Q_1=20-12=8$. Valoarea minimă nu se poate determina: amplitudinea $30$ înseamnă doar că $x_{\max }-x_{\min }=30$, ceea ce admite o infinitate de perechi (de exemplu $x_{\min }=5$ și $x_{\max }=35$, sau $x_{\min }=10$ și $x_{\max }=40$). Cuartilele nu fixează capetele setului.

17. Amplitudinea: =MAX(A2:A41) - MIN(A2:A41). Funcția QUARTILE nu se poate folosi direct pentru că foile de calcul aplică o altă convenție decât cea din manuale — ele interpolează între valori vecine, în loc să ia mediana fiecărei jumătăți. Pentru setul $3,5,7,8,9,12,15$, algoritmul din lecție dă $Q_1=5$ și $Q_3=12$, iar funcția QUARTILE afișează $6$ și $10,5$. La teză se folosește algoritmul din lecție; în foaia de calcul, cuartilele se obțin aplicând MEDIAN separat pe fiecare jumătate de date.

18. Un exemplu potrivit: $4,6,8,9,11,14,16,20$. Mediana: $n=8$ par, pozițiile $4$ și $5$ dau $Q_2=\frac{9+11}{2}=10$ ✓. Cuartilele: jumătățile sunt $4,6,8,9$ și $11,14,16,20$, deci $Q_1=\frac{6+8}{2}=7$ și $Q_3=\frac{14+16}{2}=15$; prin urmare $\text{IQR}=15-7=8$. Nu convine — trebuie $\text{IQR}=6$. Corectat: $4,6,8,9,11,12,14,20$. Atunci $Q_2=\frac{9+11}{2}=10$ ✓, jumătățile sunt $4,6,8,9$ și $11,12,14,20$, deci $Q_1=7$ și $Q_3=13$, de unde $\text{IQR}=13-7=6$ ✓, iar amplitudinea este $20-4=16$ ✓. Metoda: fixezi întâi valorile din mijloc pentru $Q_2$, apoi perechile din interiorul jumătăților pentru cuartile și abia la final capetele, pentru amplitudine.

De reținut

• Amplitudinea: $A=x_{\max }-x_{\min }$ — rapidă, dar folosește doar cele două valori extreme.
• Algoritmul cuartilelor: ordonezi datele, calculezi $Q_2$ (mediana), împarți în două jumătăți, apoi $Q_1$ = mediana jumătății inferioare și $Q_3$ = mediana jumătății superioare.
• Regula-cheie: când $n$ este impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți; când $n$ este par, jumătățile sunt primele și ultimele $\frac{n}{2}$ valori.
• Abaterea intercuartilică: $\text{IQR}=Q_3-Q_1$ — amplitudinea jumătății din mijloc a datelor; cu cât e mai mică, cu atât setul e mai omogen.
• Cele cinci numere caracteristice sunt $x_{\min }$, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $x_{\max }$, în această ordine crescătoare; ele rezumă complet forma unui set de date.

Greșeli frecvente

• Includerea valorii mediane într-o jumătate, la $n$ impar. Pentru $3,5,7,8,9,12,15$, jumătatea inferioară este $3,5,7$, nu $3,5,7,8$. Cu valoarea $8$ inclusă ai obține $Q_1=6$, adică alt răspuns decât cel corect, $5$.
• Uitarea ordonării. La fel ca la mediană, tot algoritmul presupune date ordonate crescător. Pe un șir neordonat, orice cuartilă calculată este lipsită de sens.
• Confundarea amplitudinii cu abaterea intercuartilică. $A$ se calculează din capete, $\text{IQR}$ din cuartile. Pentru clasa B din lecție, $A=24$, iar $\text{IQR}=12$ — două numere diferite, cu interpretări diferite.
• Presupunerea că $Q_1$ și $Q_3$ sunt valori din set. Ele sunt tăieturi: la $n$ par, aproape întotdeauna sunt medii de câte două valori și pot să nu apară printre date.
• Compararea cu rezultatul dat de foaia de calcul. Funcția QUARTILE folosește altă convenție și poate afișa alte valori. La școală și la examen se folosește algoritmul cu jumătăți.

Aplică acasă

1. Rezumatul în cinci numere al lunii tale. Notează, timp de $11$ zile, câte minute ai petrecut zilnic făcând temele. Ordonează valorile, calculează $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, amplitudinea și $\text{IQR}$. Cu $n=11$, toate cele trei cuartile vor fi valori din set — o ocazie bună de a verifica algoritmul fără fracții.

2. Două grupuri, aceeași medie. Ia notele a doi colegi care au aceeași medie la o materie și calculează pentru fiecare amplitudinea și abaterea intercuartilică. Vei descoperi, probabil, că unul e constant, iar celălalt oscilează mult — informație pe care media singură nu o dă.

3. Cuartilele în foaia de calcul, corect. Introdu un set de date într-o foaie de calcul, calculează $Q_1$ cu =MEDIAN(...) aplicat pe jumătatea inferioară (selectată manual) și compară rezultatul cu ce afișează =QUARTILE(...; 1). Notează diferența — e chiar capcana descrisă în lecție.

Pentru părinți și profesori

Cuartilele sunt primul instrument din capitol care descrie împrăștierea, nu centrul, iar exemplul cu două clase de aceeași medie arată de ce acest pas este esențial. Programa le cere explicit alături de medie, mediană, mod și amplitudine (X.CS.3.3) și insistă pe compararea a două seturi de date pe baza mărimilor caracteristice (X.CS.5.3) — exact structura acestei lecții.

Un punct de atenție pentru profesori: în literatură circulă mai multe convenții de calcul al cuartilelor, iar foile de calcul folosesc una diferită de cea din manualele românești. Lecția adoptă convenția cu mediana exclusă din jumătăți la $n$ impar, folosită unitar în toate materialele MatePolis, și semnalează explicit diferența față de funcția QUARTILE.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie șirul ordonat; (2) calculează întâi $Q_2$, apoi jumătățile; (3) la $n$ impar exclude valoarea mediană din ambele jumătăți; (4) verifică lanțul $x_{\min }\le Q_1\le Q_2\le Q_3\le x_{\max }$. Întrebări bune de control: „Ce se întâmplă cu $Q_1$ dacă incluzi mediana în jumătatea de jos?"; „Ce măsoară $\text{IQR}$ și de ce e mai stabil decât amplitudinea?".

La Bacalaureat, cerințele sunt de tipul „determinați mediana și cuartilele setului de date …" sau „calculați amplitudinea", iar punctajul se obține integral doar cu pașii intermediari scriși: șirul ordonat, mediana, cele două jumătăți. Semne că elevul a înțeles: nu ezită la paritatea lui $n$, exclude corect valoarea mediană și interpretează $\text{IQR}$ în cuvinte.

Întrebări frecvente

Ce sunt cuartilele unui set de date? Sunt trei valori, $Q_1$, $Q_2$ și $Q_3$, care taie setul ordonat în patru părți cu același număr de date. Sub $Q_1$ se află aproximativ $25\%$ dintre valori, sub $Q_2$ (mediana) aproximativ $50\%$, iar sub $Q_3$ aproximativ $75\%$.

Cum se calculează $Q_1$ și $Q_3$? Ordonezi datele, calculezi mediana $Q_2$, împarți șirul într-o jumătate inferioară și una superioară, apoi $Q_1$ este mediana jumătății inferioare, iar $Q_3$ mediana jumătății superioare.

Ce fac cu valoarea mediană când numărul de date este impar? O excluzi din ambele jumătăți. Pentru $3,5,7,8,9,12,15$, mediana este $8$, iar jumătățile sunt $3,5,7$ și $9,12,15$, de unde $Q_1=5$ și $Q_3=12$. Dacă ai include valoarea $8$ în jumătatea de jos, ai obține greșit $Q_1=6$.

Cum se calculează cuartilele când numărul de date este par? Nu ai ce exclude: jumătatea inferioară este formată din primele $\frac{n}{2}$ valori, iar cea superioară din ultimele $\frac{n}{2}$. Pentru $2,4,5,7,8,11,13,16$ obții $Q_1=4,5$, $Q_2=7,5$ și $Q_3=12$.

Ce este amplitudinea unui set de date? Este diferența dintre valoarea maximă și valoarea minimă: $A=x_{\max }-x_{\min }$. Se calculează instantaneu, dar depinde doar de cele două extreme, deci o singură valoare neobișnuită o poate mări foarte mult.

Ce este abaterea intercuartilică și la ce folosește? Este $\text{IQR}=Q_3-Q_1$, adică amplitudinea jumătății din mijloc a datelor. Folosește la măsurarea împrăștierii fără influența capetelor: două clase cu aceeași medie și aceeași mediană pot avea $\text{IQR}$ de $4$ și, respectiv, $12$ puncte, ceea ce arată structuri complet diferite.

De ce funcția QUARTILE din Excel îmi dă alt rezultat? Pentru că foile de calcul folosesc o altă convenție: interpolează între valorile vecine în loc să ia mediana fiecărei jumătăți. Pentru $3,5,7,8,9,12,15$ ele afișează $6$ și $10,5$ în loc de $5$ și $12$. La școală și la examen se folosește algoritmul cu jumătăți din această lecție.